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【江苏省各地区真题汇编】平面向量及其应用考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 东海县期中）已知向量，，若，则实数k＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．（2025春 东海县期中）已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 东海县期中）在△ABC中，M是BC中点，AM＝1，，则BC＝（　　）
A． B． C．2 D．4
4．（2020秋 江阴市校级月考）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b、则“a＝b”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（2025春 宜兴市期中）已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2024秋 灌南县期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足的三角形有两个，则b的取值范围为（　　）
A． B． C．（2，4） D．
7．（2025春 东海县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，AF与DE交于点N，，则x+y＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 东海县期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，，N是边BC上一点，且满足BN＝AC，M是AC中点，则MN的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东海县期中）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在上的投影向量为（﹣1，0）
（多选）10．（2025春 沭阳县校级期中）点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若，则M为△ABC的重心
B．若，则△ABC为锐角三角形
C．若，则
D．若△ABC为边长为2的正三角形，点M在线段BC上运动，则
（多选）11．（2025春 沭阳县校级期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边）．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且△ABC的面积，则（　　）
A．△ABC的最长边长为14
B．△ABC的三个内角满足
C．△ABC的三条高的和为
D．△ABC的中线CD的长为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 无锡校级月考）已知平面向量满足，则与夹角的大小为 　 　 ．
13．（2025春 东海县期中）在△ABC中，，∠A的平分线交线段BC于点D，BD＝2DC，AD＝3，则BC＝　 　 ．
14．（2024秋 灌南县期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为 　 　 ；设，则λ+μ＝　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 玉溪校级期中）已知向量．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
16．（2025春 东海县期中）如图，已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，以BC为一边作等边△BCD，A，D位于边BC两侧，连结AD．
（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求证：tanA＝3tanB；
（2）若b＝4，c＝2，求：
（i）的值；
（ii）△ACD面积的最大值．
17．（2024秋 灌南县期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若a＝2，c＝5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求△ABD的面积．
18．（2025春 句容市校级期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积为，
①已知E为BC的中点，且b+c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
19．（2025春 沭阳县校级期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中θ为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，且，求正数t的值；
（3）已知非零向量满足（k是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求sinθ．
【江苏省各地区真题汇编】平面向量及其应用考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B D C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 东海县期中）已知向量，，若，则实数k＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：向量，，，则，
所以k＝2．
故选：A．
2．（2025春 东海县期中）已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，平方可得，
因为，
所以，所以，
因为，
则，又，则，
则，的夹角为．
故选：B．
3．（2025春 东海县期中）在△ABC中，M是BC中点，AM＝1，，则BC＝（　　）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：因为M是BC中点，所以，
且，．
可得 （） （）．
已知1，又因为 3，所以13，移项可得1+3＝4．
因为M是BC中点，所以BC＝2||，而，则，
所以BC＝2×2＝4．
故选：D．
4．（2020秋 江阴市校级月考）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b、则“a＝b”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解答】解：在△ABC中，若a＝b，则A＝B，则cosA＝cosB，则，
故“a＝b”是“”的充分条件
在△ABC中，若，则acosB＝bcosA，
由正弦定理得：sinAcosB＝sinBcosA，即sin（A﹣B）＝0，
故A＝B，则a＝b，
故“a＝b”是“”的必要条件，
故选：C．
5．（2025春 宜兴市期中）已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：若⊥（λ），
则，
向量（﹣1，1），（1，3），
则2+2λ＝0，解得λ＝﹣1．
故选：B．
6．（2024秋 灌南县期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足的三角形有两个，则b的取值范围为（　　）
A． B． C．（2，4） D．
【解答】解：在△ABC中，，由△ABC有两解，得，
即，解得．
故选：D．
7．（2025春 东海县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，AF与DE交于点N，，则x+y＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，因为E，F分别为AB，BC中点，
则，
因为，则，而D，N，E三点共线，
故，则，即
则，则．
故选：C．
8．（2025春 东海县期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，，N是边BC上一点，且满足BN＝AC，M是AC中点，则MN的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，可得，
又，则，即，
在△ABC中，由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝9，
如图可知，，
在△MNC中，由余弦定理，
，
由a2+b2﹣ab＝9，可得，
设，则，
不妨取x∈[0，2π），由图可知，
又sinx＞0，cosx＞0，进而解得，
由代入MN2的表达式中可得，
，
当时，，
则．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东海县期中）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在上的投影向量为（﹣1，0）
【解答】解：，则，，则，不满足，A选项错误；
向量，，
则，则，则，B选项正确；
根据夹角公式，，又向量的夹角范围是[0，π]，则与的夹角为，C选项正确；
在上的投影向量为，D选项正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2025春 沭阳县校级期中）点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若，则M为△ABC的重心
B．若，则△ABC为锐角三角形
C．若，则
D．若△ABC为边长为2的正三角形，点M在线段BC上运动，则
【解答】解：对于A，如图，取AB的中点D，连接MD，
则，
因为，所以，所以M在中线CD上，
取BC的中点E，连接ME，同理可得M在中线AE上，
所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由 ，即cosA＞0，
因为A∈（0，π），则角A为锐角，但是其它角不一定为锐角，
所以△ABC不一定为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，即，
所以，所以，
所以M为BC上靠近C的三等分点，即，
如图，设A到BC边的距离为h，
则，故C正确；
对于D，若M为BC的中点，则，
所以
，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2025春 沭阳县校级期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边）．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且△ABC的面积，则（　　）
A．△ABC的最长边长为14
B．△ABC的三个内角满足
C．△ABC的三条高的和为
D．△ABC的中线CD的长为
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝3：5：7＝a：b：c＝3：5：7，设a＝3m，b＝5m，c＝7m，
因为△ABC的面积，，
所以，
解得m＝2，所以a＝6，b＝10，c＝14，
对于A，因为a＝6，b＝10，c＝14，A正确，
对于B，由余弦定理得，
因为C∈（0，π），所以C，所以A+B，B正确，
对于C，因为△ABC的面积，且a＝6，b＝10，c＝14，
所以△ABC的三条高的和为，C错误，
对于D，因为CD为△ABC的中线，所以，
所以
，
所以|CD|，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 无锡校级月考）已知平面向量满足，则与夹角的大小为 　　 ．
【解答】解：因为平面向量满足，
所以，
所以，即，
所以，
设与夹角为α，
则，
又因为α∈[0，π]，所以．
故答案为：．
13．（2025春 东海县期中）在△ABC中，，∠A的平分线交线段BC于点D，BD＝2DC，AD＝3，则BC＝　　 ．
【解答】解：因为，∠A的平分线交线段BC于点D，BD＝2DC，
所以，
设AB＝2x，AC＝x，因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
所以，
即，解得，
由余弦定理得：BC2＝4x2+x2﹣2 2x x cos60°＝3x2，
所以．
故答案为：．
14．（2024秋 灌南县期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为 　　 ；设，则λ+μ＝　　 ．
【解答】解：设AF＝1，由，得DF＝2，AD＝3，
在△ABD中，BD＝AF＝1，∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
所以AB，可得，
因为正△ABC与正△DEF相似，所以（）2．
由题意，得，（），，
结合，可得（）（），
即，整理得，
将代入，得，整理得，
结合，可得λ，μ，所以λ+μ．
故答案为：；．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 玉溪校级期中）已知向量．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，因为，则，
而，
若向量与共线，则有﹣2（k+2）＝﹣5（k+1），解得．
（2）根据题意，若向量与的夹角为锐角，则且不共线，
由，解得，
若∥，则有k+2＝2（k+1），解可得k＝0，此时、同向，不满足题意．
综合可得，k的取值范围为（，0）∪（0，+∞）．
16．（2025春 东海县期中）如图，已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，以BC为一边作等边△BCD，A，D位于边BC两侧，连结AD．
（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求证：tanA＝3tanB；
（2）若b＝4，c＝2，求：
（i）的值；
（ii）△ACD面积的最大值．
【解答】（1）证明：因为2（asinA﹣bsinB）＝csinC，
由正弦定理可得2a2﹣2b2＝c2，则，
所以4acosB＝3c，
由正弦定理：4sinAcosB＝3sinC，
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAcosB＝3cosAsinB，
即证得tanA＝3tanB；
（2）解：（i），
又，
所以；
（ii）由BC＝CD＝BD＝a，AC＝b＝4，AB＝c＝2，
若E是BC的中点，以E为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，
如下图示，
所以，由题意及（i）结果，可设A（x，y）且y＜0＜x，
所以，解得，
所以
，
而2＜a＜6，若t＝a2﹣20∈（﹣16，16），
令，
若，，
所以，
可得（m+n）2＝（ n×1）2，
由柯西不等式可（ n×1）2≤（n2）（3+1）≤256×4，
所以，当且仅当，即t2＝192时取等号，
所以，
即时△ACD的最大值为（32+20）4（1）．
所以△ACD面积的最大值．
17．（2024秋 灌南县期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若a＝2，c＝5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）由，得2bcosC＝2a+c，结合正弦定理得2sinBcosC＝2sinA+sinC，
在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以2sinBcosC＝2（sinBcosC+cosBsinC）+sinC，整理得sinC（2cosB+1）＝0，
因为△ABC中，sinC≠0，所以2cosB+1＝0，cosB，结合B∈（0，π），可得B；
（2）根据∠ABC且BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD．
由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，得AB BCsinAB BDsinBC BDsin，
即，解得BD，
所以S△ABD．
18．（2025春 句容市校级期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积为，
①已知E为BC的中点，且b+c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，
由正弦定理，得，即，
故，
所以，
所以；
（2）①由（1）知，
所以，解得bc＝16，
且b+c＝8，解得b＝c＝4，由于，
所以
，所以；
②因为AD为角A的角平分线，所以，
由于S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
所以，
由于，所以，
由于，
又bc＝16，所以，
由于，当且仅当b＝c＝4时，等号取得到，
故|AD|（b+c）|AD|＝8|AD|，
故．
19．（2025春 沭阳县校级期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中θ为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，且，求正数t的值；
（3）已知非零向量满足（k是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求sinθ．
【解答】解：（1）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中θ为与的夹角，
若非零向量满足，且，
则，
又，所以，得到，
又，且，
所以的取值范围是；
（2）若向量，且，
则，，
则设向量和的夹角为θ，则，
所以，
则，整理得到|t2﹣8|＝t2+4，
所以t2﹣8＝t2+4（舍）或8﹣t2＝t2+4，解得t＝2或t＝﹣2（舍），
所以正数t的值为2；
（3）已知非零向量满足（k是正整数），向量的夹角，
和都是有理数，且，
因为，则，，
又，则，即，
又，则，又k是正整数，
当k＝1，不合题意，
当k＝2，，由，得到，
所以，满足题意，故，
当k＝3时，，得到，解得，
此时，不是有理数，所以k＝3不合题意，
当k≥4时，，所以k≥4时，不合题意，
综上，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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