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【江苏省各地区真题汇编】三角函数考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋 淮安期中）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 江苏模拟）已知2cos（2α+β）﹣3cosβ＝0，则tanαtan（α+β）＝（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
3．（2025 南通模拟）已知函数f（x）＝sinx+cosx的极值点与的零点完全相同，则ω＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（2025春 吴中区校级月考）已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），且当时，f（x）＝x+tanx，则（　　）
A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）
5．（2024秋 苏州期末）“点P（sinθ，tanθ）在第二象限”是“角θ为第三象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2023秋 海州区校级月考）已知，且3sinα＝sin（2β﹣α），则tanα的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 赣榆区校级期末）y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，则所得图象对应的函数为（　　）
A．y＝sin（2x） B．y＝sin（2x）
C．y＝sin（x） D．y＝sin（x）
8．（2025春 南京期中）若，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 润州区校级期中）下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2024秋 鼓楼区校级月考）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数y＝g（x）的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
（多选）11．（2025春 工业园区校级期中）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，），则下列说法正确的是（　　）
A．A＝3
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东海县期中）的值为 　 　 ．
13．（2025 江苏一模）函数y＝sinx+acosx的图象关于直线对称，则实数a＝　 　 ．
14．（2025春 苏州校级期中）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 沭阳县校级期中）已知，．
（1）求tanα的值；
（2）若P（7，1）在角β终边上，求cos（α+2β）的值．
16．（2025春 东海县期中）已知，，且α∈（0，π），．
（1）cos2α的值；
（2）β﹣2α的值．
17．（2025春 大连校级期中）在平面直角坐标系中，已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为且α∈（﹣π，0），求α的值．
18．（2025春 苏州月考）定义有序实数对（a，b）的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R）．
（1）记有序数对（1，﹣1）的“跟随函数”为f（x），若f（x）＝0，x∈[0，2π]，求满足要求的所有x的集合；
（2）记有序数对（0，1）的“跟随函数”为f（x），若函数g（x）＝f（x）|sinx|，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知a＝3，若有序数对（a，b）的“跟随函数”y＝f（x）在x＝x0处取得最大值，当b在区间（0，]变化时，求tan2x0的取值范围．
19．（2025春 新北区校级月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设．
（1）当θ时，求△PMN的面积；
（2）求三角形区域PMN面积的最大值．
【江苏省各地区真题汇编】三角函数考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B D C B A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 CD ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋 淮安期中）（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：cos（2）＝cos．
故选：D．
2．（2025 江苏模拟）已知2cos（2α+β）﹣3cosβ＝0，则tanαtan（α+β）＝（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
【解答】解：因为2cos（2α+β）﹣3cosβ＝0，
所以2cos（α+α+β）＝3cos（α+β﹣α），
即2cosαcos（α+β）﹣2sinαsin（α+β）＝3cos（α+β）cosα+3sin（α+β）sinα，
所以cos（α+β）cosα＝﹣5sin（α+β）sinα，
则tanαtan（α+β）．
故选：D．
3．（2025 南通模拟）已知函数f（x）＝sinx+cosx的极值点与的零点完全相同，则ω＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：，由，得，
对于由，得ωx＝kπ﹣2，k∈Z，
依题意ω≠0，所以②，
由于函数f（x）＝sinx+cosx的极值点与的零点完全相同，
对比①②可得ω＝﹣1．
故选：B．
4．（2025春 吴中区校级月考）已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），且当时，f（x）＝x+tanx，则（　　）
A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）
【解答】解：因为f（x）＝f（π﹣x），
所以f（3）＝f（π﹣3），f（2）＝f（π﹣2），
函数f（x）＝x+tanx在上单调递增，
又，
所以f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），
所以f（3）＜f（1）＜f（2）．
故选：D．
5．（2024秋 苏州期末）“点P（sinθ，tanθ）在第二象限”是“角θ为第三象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若点P（sinθ，tanθ）在第二象限，则sinθ＜0，tanθ＞0，则角θ为第三象限角，故充分性成立，
若角θ为第三象限角，则sinθ＜0，tanθ＞0，则点P（sinθ，tanθ）在第二象限，故必要性成立．
故选：C．
6．（2023秋 海州区校级月考）已知，且3sinα＝sin（2β﹣α），则tanα的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得3sin[（α﹣β）+β]+sin[（α﹣β）+β]＝0，
整理可得3sin（α﹣β）cosβ+3cos（α﹣β）sinβ+sin（α﹣β）cosβ﹣cos（α﹣β）sinβ＝0，
4sin（α﹣β）cosβ+2cos（α﹣β）sinβ＝0，可得2tan（α﹣β）+tanβ＝0，
可得tan（α﹣β）tanβ，
因为β∈（0，），可得tanβ＞0，
tanα＝tan[（α﹣β）+β]，
当且仅当tanβ，即tanβ时取等号．
所以tanα的最大值为．
故选：B．
7．（2024秋 赣榆区校级期末）y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，则所得图象对应的函数为（　　）
A．y＝sin（2x） B．y＝sin（2x）
C．y＝sin（x） D．y＝sin（x）
【解答】解：把 y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），可得y＝sin2x图象，
再将得到的图象向右平移个单位长度，则所得图象对应的函数为y＝sin（2x），
故选：A．
8．（2025春 南京期中）若，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴cos（2α）＝1﹣2sin2（α）＝1．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 润州区校级期中）下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解；因为sin75°cos75°sin150°sin（180°﹣30°）sin30°，选项A错误；
2sin222.5°﹣1＝﹣cos45°，选项B错误；
sin26°cos34°+cos26°sin34°＝sin（26°+34°）＝sin60°，选项C正确；
tan（71°﹣26°）＝tan45°＝1，选项D正确．
故选：CD．
（多选）10．（2024秋 鼓楼区校级月考）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数y＝g（x）的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
【解答】解：对于A，根据所给图象，可知当x时，f（x）有最大值2，
所以kπ（k∈Z），结合0＜ω＜1，取k＝0得，故A项正确；
对于B，因为，由（k∈Z），解得xkπ（k∈Z），
所以f（x）的对称中心为（k∈Z），取k＝0，得为f（x）的一个对称中心，故B项正确；
对于C，由题意得2cosx．
根据余弦函数的对称性，可知g（x）的对称轴为x＝kπ（k∈Z），
所以不是函数g（x）的对称轴，故C项错误；
对于D，，
由（k∈Z），可得（k∈Z）．
函数的单调减区间为（k∈Z），
因为（k∈Z），
所以函数在区间上单调递减，故D项正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 工业园区校级期中）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，），则下列说法正确的是（　　）
A．A＝3
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
【解答】解；由题意得，d的最大值为3+1.5＝4.5，最小值为﹣3+1.5＝﹣1.5，
所以A＝3，K＝1.5，选项A正确．
设函数的最小正周期为T，由筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈可得T40，所以ω，
所以d＝3sin（t+φ）+1.5，
由t＝0时，d＝3sinφ+1.5＝0，得sinφ，
因为φ，所以φ，选项B正确．
由B知，d＝3sin（t）+1.5，
令d＝﹣1.5，得3sin（t）+1.5＝﹣1.5，所以sin（t）＝﹣1，
所以，解得，
令k＝0，得，所以盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C错误．
由d≤0，得，得，
所以，
解得，
所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为40秒，选项D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东海县期中）的值为 　　 ．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
13．（2025 江苏一模）函数y＝sinx+acosx的图象关于直线对称，则实数a＝　　 ．
【解答】解：，在对称轴处取得最大值或最小值，
∴，
即 ，解得a；
故答案为：．
14．（2025春 苏州校级期中）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 　（0，1]　 ．
【解答】解：由题意令，
则，
由题意取k＝0，则，
所以，解得，
结合ω＞0，知0＜ω≤1，即ω的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 沭阳县校级期中）已知，．
（1）求tanα的值；
（2）若P（7，1）在角β终边上，求cos（α+2β）的值．
【解答】解：（1）由题意得sin（α）（sinα+cosα），可得，
结合sin2α+cos2α＝1，解得（舍去）或．
所以．
（2）根据点P（7，1）在角β终边上，可得 ．
所以，，
可得．
16．（2025春 东海县期中）已知，，且α∈（0，π），．
（1）cos2α的值；
（2）β﹣2α的值．
【解答】解：（1）由题意得，解得tanα＝2，
所以cos2α＝cos2α﹣sin2α；
（2）根据tanα＞0可得，2α∈（0，π），所以sin2α＞0，
结合，可得（舍负）．
根据可知cosβ＜0，所以．
可得cos（β﹣2α）＝cosβcos2α+sinβsin2α0，
sin（β﹣2α）＝sinβcos2α﹣cosβsin2α0，
所以β﹣2α是第一象限角，结合，可得．
17．（2025春 大连校级期中）在平面直角坐标系中，已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为且α∈（﹣π，0），求α的值．
【解答】解：（1）由，，且，
得，即sinα，
∵cosα≠0，∴，
则；
（2）由，，
得，，
，
∵与的夹角为，∴cos，
∴，
∵α∈（﹣π，0），∴，
则，得．
18．（2025春 苏州月考）定义有序实数对（a，b）的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R）．
（1）记有序数对（1，﹣1）的“跟随函数”为f（x），若f（x）＝0，x∈[0，2π]，求满足要求的所有x的集合；
（2）记有序数对（0，1）的“跟随函数”为f（x），若函数g（x）＝f（x）|sinx|，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知a＝3，若有序数对（a，b）的“跟随函数”y＝f（x）在x＝x0处取得最大值，当b在区间（0，]变化时，求tan2x0的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），a＝1，b＝﹣1，
∴由题意代入得f（x）＝sinx﹣cosx0，解得x，
又∵x∈[0，2π]，
∴x，即满足要求的所有x的集合为{}；
（2）∵a＝0，b＝1，代入得f（x）＝cosx，
g（x）＝cosx|sinx|，x∈[0，2π]，
∴g（x） g（x），
∵g（x）与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，
∴k∈[1，2]；
（3）∵a＝3，y＝f（x）＝3sinx+bcosx，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵y＝f（x）在x＝x0处取得最大值，即，
∴，
∴，
则tan2．
19．（2025春 新北区校级月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设．
（1）当θ时，求△PMN的面积；
（2）求三角形区域PMN面积的最大值．
【解答】解：（1）根据题目：长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，
设MN与AB相交于点E，则，
可得，，
因为AE等于P到MN的距离，
所以，
即当θ时，△PMN的面积为．
（2）过点P作PF⊥MN于点F，则PF＝AE＝50+50cosθ，
且MN＝ME+EN＝50+50sinθ，三角形区域PMN面积为
＝1250（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），
设sinθ+cosθ＝t，由，得
所以，
结合，可得．
当时，S取得最大值，．
即PMN面积的最大值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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