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【江苏省各地区真题汇编】数列考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南京模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝63+S3，a3+a12＝12，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025 武进区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且满足，则S11的值为（　　）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
3．（2024秋 通州区期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4﹣2成等差数列，则S4＝（　　）
A．7 B．12 C．15 D．31
4．（2025 秦淮区校级二模）若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025 江苏校级模拟）在数列{2n}的项2i和2i+1之间插入i个i（i＝1，2，3， ，i∈N*）构成新数列{an}，则a100＝（　　）
A．13 B．213 C．14 D．214
6．（2025 江苏三模）设cn＝an+bn，数列{bn}为等比数列，数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，则数列{cn}的前10项和为（　　）
A．1078 B．1077 C．567 D．550
7．（2024秋 金坛区校级月考）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 鼓楼区校级模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＞0，且a2020 a2021＜0，则Sn取得最小值时n为（　　）
A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2023秋 启东市校级月考）已知Sn是{an}的前n项和，a1＝2，，则下列选项正确的是（　　）
A．a2021＝2
B．S2021＝1012
C．a3n a3n+1 a3n+2＝1
D．{an}是以3为周期的周期数列
（多选）10．（2025 江苏模拟）已知数列{an}满足a1＝1，．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}每一项an都满足
B．数列{an}是递减数列
C．数列{an}的前n项和Sn＜2
D．数列{an}每一项都满足成立
（多选）11．（2025 南京二模）已知数列{an}中，，其前n项和为Sn，则（　　）
A． B．
C．an≥a7 D．S10＜0
三．填空题（共3小题）
12．（2017春 兴化市校级月考）设{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a3+a7＝10，则S9＝　 　 ．
13．（2025 江苏三模）已知数列{an}满足a1＝2，，n∈N*.设，若不等式对于任意n∈N*都成立，则正数k的最大值为　 　 ．
14．（2025春 宜兴市期中）如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，P3，Q3是边B3C3的两个三等分点，AP3分别交B1C1、B2C2于P1、P2，AQ3分别交B1C1、B2C2于Q1、Q2，则 　 　 ．（注：）
四．解答题（共5小题）
15．（2025 秦淮区校级二模）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前2n项和S2n．
16．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
17．（2018春 泰州期末）已知数列{an}，{bn}满足bn＝an+1﹣an，数列{bn}前n项和为Tn．
（1）若数列{an}是首项为正数，公比为q（q＞1）的等比数列．
①求证：数列{bn}为等比数列；
②若Tn+1≤4bn对任意n∈N*恒成立，求q的值；
（2）已知{an}为递增数列，即．若对任意n∈N*，数列{an}中都存在一项am使得bn+1＝am﹣an，求证：数列{an}为等差数列．
18．（2025春 亭湖区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn，求{bn}的前2n项和T2n．
19．（2025 鼓楼区校级模拟）函数y＝f（x），其中，定义域是一切实数．
（1）计算的值并指出其几何意义；
（2）当时，方程f（x）＝a+x只有一个解，求实数a的取值范围；
（3）设x1＝0，xn+1＝f（xn），，n≥1，n∈N，bn＝yn﹣xn．求证：．
【江苏省各地区真题汇编】数列考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A A A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南京模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝63+S3，a3+a12＝12，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S12＝63+S3，a3+a12＝12，
∴，
解得a1＝﹣7，d＝2．
故选：B．
2．（2025 武进区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且满足，则S11的值为（　　）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
【解答】解：，故，又a1﹣2＝﹣1，
所以是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，所以，
则．
故选：A．
3．（2024秋 通州区期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4﹣2成等差数列，则S4＝（　　）
A．7 B．12 C．15 D．31
【解答】解：设公比为q（q≠0），
∵a2，a3，a4﹣2成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣2，
则2×2q＝2+2q2﹣2，解得：q＝2或0（舍去），
a2＝2，∴a1＝1，故．
故选：C．
4．（2025 秦淮区校级二模）若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由题意知，若数列{an}为等比数列，
当a3＝1时，得，故充分性成立；
当a1a5＝1时，，解得a3＝±1，故必要性不成立．
故选：A．
5．（2025 江苏校级模拟）在数列{2n}的项2i和2i+1之间插入i个i（i＝1，2，3， ，i∈N*）构成新数列{an}，则a100＝（　　）
A．13 B．213 C．14 D．214
【解答】解：由题意，在2i和2i+1之间插入i个i（i＝1，2，3， ，i∈N*）构成数列{an}，
所以，
则数列{2n}中不超过2i的数的个数为，
当i＝13时，，当i＝14时，，
故a100位于213和214之间，所以a100＝13．
故选：A．
6．（2025 江苏三模）设cn＝an+bn，数列{bn}为等比数列，数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，则数列{cn}的前10项和为（　　）
A．1078 B．1077 C．567 D．550
【解答】解：cn＝an+bn，数列{bn}为等比数列，数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，
由题意，即，即（1+d）2＝1+3d，整理得d2﹣d＝0，
因为d≠0，所以d＝1，故an＝a1+（n﹣1）d＝1+n﹣1＝n，
所以b2＝a2＝2，则，故，
又因为，
所以数列{cn}的前10项和为S10＝（a1+a2+a3+ +a10）+（b1+b2+b3+ +b10）
．
故选：A．
7．（2024秋 金坛区校级月考）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，
由等差数列性质得，，
由得，．
故选：C．
8．（2025 鼓楼区校级模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＞0，且a2020 a2021＜0，则Sn取得最小值时n为（　　）
A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
【解答】解：因为公差d＞0，所以a2020＜a2021，又a2020 a2021＜0，
所以a2020＜0，a2021＞0，
所以前2020项的和S2020为Sn的最小值，故n＝2020．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2023秋 启东市校级月考）已知Sn是{an}的前n项和，a1＝2，，则下列选项正确的是（　　）
A．a2021＝2
B．S2021＝1012
C．a3n a3n+1 a3n+2＝1
D．{an}是以3为周期的周期数列
【解答】解：∵a1＝2，，
∴，，，…，
则数列{an}是以3为周期的周期数列，故D正确；
则，故A错误；
，故B正确；
可得，故C错误．
故选：BD．
（多选）10．（2025 江苏模拟）已知数列{an}满足a1＝1，．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}每一项an都满足
B．数列{an}是递减数列
C．数列{an}的前n项和Sn＜2
D．数列{an}每一项都满足成立
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，，
对于A，由，
当n＝1时，a2＝a11，
所以0＜a2＜1，
下面运用数学归纳法证明：
假设当n＝k时，0＜ak＜1；
则当n＝k+1时，，
综上，，故A正确；
对于B，由，可得数列{an}是递减数列，故B正确；
对于C，由数列{an}满足a1＝1，，
可得，，，
，故C错误；
对于D，对，两边取倒数可得，
所以，
累加得，所以，即，
所以，又a1＝1，故成立，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 南京二模）已知数列{an}中，，其前n项和为Sn，则（　　）
A． B．
C．an≥a7 D．S10＜0
【解答】解：因为an﹣an+1＝﹣3an+1an，
所以两边同时除以anan+1，得：，
令，则递推式变为：bn+1﹣bn＝﹣3；
所以数列{bn}是公差为﹣3的等差数列，
因为，所以b3＝8，所以bn＝b3+（n﹣3）（﹣3）＝17﹣3n，
所以数列{an}通项公式为：，
对于A，当n＝1时，，故A正确；
对于B，由推导过程可知，，故B正确；
对于C，因为，，显然a6＜a7，故C错误；
对于D，0，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2017春 兴化市校级月考）设{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a3+a7＝10，则S9＝　45　 ．
【解答】解：S945．
故答案为：45．
13．（2025 江苏三模）已知数列{an}满足a1＝2，，n∈N*.设，若不等式对于任意n∈N*都成立，则正数k的最大值为　4　 ．
【解答】解：根据题目已知数列{an}满足a1＝2，，n∈N*.设，
若不等式对于任意n∈N*都成立，
因为数列{an}满足a1＝2，，n∈N*，
则，且，
所以，数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，故，
由，
可得，
令，
所以，
，
对任意的n∈N*，xn＞0，故，则xn+1＞xn，故数列{xn}为递增数列，
所以，，
因此，实数k的最大值为4．
故答案为：4．
14．（2025春 宜兴市期中）如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，P3，Q3是边B3C3的两个三等分点，AP3分别交B1C1、B2C2于P1、P2，AQ3分别交B1C1、B2C2于Q1、Q2，则 　72　 ．（注：）
【解答】解：以A为原点，AC1所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
可得A（0，0），B2（3，），C1（2，0），C2（4，0），C3（6，0），
由P3、Q3是边B3C3的两个三等分点，
可得，即，同理求得．
则，，可得，
，
根据△AC1P1∽△AC3P3，且，
可得，同理求得．
所以，，
且△AC2P2∽△AC3P3，，
则，同理可得，
因为（，），（，），
所以，，
可得
．
故答案为：72．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 秦淮区校级二模）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前2n项和S2n．
【解答】解：（1）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1，
则a2＝3a1+1＝7，
当n为偶数时，an+1＝2an﹣1，则数列{an}的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，
于是，即当n为奇数时，，当n为偶数时，，
所以{an}的通项公式是；
（2）由（1）知，，
，
则数列{an}的前2n项和．
16．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2，
所以，Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+2，即an+1﹣an＝2，
根据等差数列的定义可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
根据等差数列的通项公式和求和公式可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，；
（2）因为，则b1＝2且，
根据等比数列的定义可得数列{bn}是首项为2，公比为16的等比数列，
故．
17．（2018春 泰州期末）已知数列{an}，{bn}满足bn＝an+1﹣an，数列{bn}前n项和为Tn．
（1）若数列{an}是首项为正数，公比为q（q＞1）的等比数列．
①求证：数列{bn}为等比数列；
②若Tn+1≤4bn对任意n∈N*恒成立，求q的值；
（2）已知{an}为递增数列，即．若对任意n∈N*，数列{an}中都存在一项am使得bn+1＝am﹣an，求证：数列{an}为等差数列．
【解答】证明：（1）①数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列及bn＝an+1﹣an得bn≠0，
∴为定值，
∴数列{bn}为等比数列．
解：②，
∴qn﹣1（q﹣2）2≤1对任意n∈N*恒成立，
而q＞1，∴q＝2．
∵q＞1，q≠2，∴当时，qn﹣1（q﹣2）2＞1矛盾．
综上，q＝2．
证明：（2）∵数列{an}中都存在一项am使得bn+1＝am﹣an，
∴am＝an+2﹣an+1+an，
而{an}为递增数列，则an＜am＝an+2﹣an+1+an＜an+2，
∴am＝an+2﹣an+1+an＝an+1，即an+2+an＝2an+1，
∴数列{an}为等差数列．
18．（2025春 亭湖区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn，求{bn}的前2n项和T2n．
【解答】解：（1）由，可得a1＝S1＝1，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1n（n+1）n（n﹣1）＝n，对n＝1也成立，
则an＝n，n∈N*；
（2）bn，
则{bn}的前2n项和T2n＝（b1+b3+...b2n﹣1）+（b2+b4+...+b2n）（1...）+（4+16+...+4n）
（1）．
19．（2025 鼓楼区校级模拟）函数y＝f（x），其中，定义域是一切实数．
（1）计算的值并指出其几何意义；
（2）当时，方程f（x）＝a+x只有一个解，求实数a的取值范围；
（3）设x1＝0，xn+1＝f（xn），，n≥1，n∈N，bn＝yn﹣xn．求证：．
【解答】解：（1），
原式，
几何意义是函数在点处切线的斜率是；
（2）变形f（x）＝a+x得到，
令，在内恒小于零，
所以函数在严格递减，
得到值域为，所以a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知函数g（x）＝f（x）﹣x在严格减，且存在唯一的零点，
使得g（x0）＝0，即f（x0）＝x0，
，∴，根据函数单调性知，∴f（x2）＜f（x1），
即x3＞x2，依次类推，得到，
同理，
即，
，
∵0＜yn+xn＜1，∴，
∴，得到，
∴，
，
，
∴．
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