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【江苏省各地区真题汇编】指对幂函数考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南通校级模拟）已知函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2），则“a≥2”是“函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025 武进区校级一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩ RB＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
3．（2025 江苏三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
4．（2025春 建邺区校级期中）若函数f（x）＝logax+loga+1x是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 鼓楼区校级月考）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（　　）
A．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．1091
6．（2024秋 盐城期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 如皋市期末）已知幂函数（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），则f（sinα﹣cosα）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2023秋 张家港市校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是减函数，若，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，3） B．（）
C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x
（多选）10．（2025春 镇江校级月考）下列计算正确的有（　　）
A．log2（log0.50.5）＝1
B．
C．若lg3＝m，lg2＝n，则
D．若，则a+a﹣1＝2
（多选）11．（2024秋 张家港市校级期末）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 苏州期末）计算的值为 　 　 ．
13．（2025 姜堰区模拟）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 　 　 ．
14．（2025春 海陵区校级期中）幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术 方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，则a＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 泗阳县期末）化简与求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
16．（2015秋 灌南县校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
17．（2024秋 泰州期末）已知函数f（x）＝log2（4x+a 2x+4），其中a∈R．
（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；
（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
18．（2018秋 睢宁县校级月考）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
19．（2024秋 鼓楼区校级期中）我们知道，任何一个正实数x都可以表示成x＝a×10n（1 a＜10，n∈Z）．当n 0时，记x的整数部分的位数为f（a×10n），例如f（1.02×10）＝2；当n＜0时，记x的非有效数字的个数为f（a×10n），例如f（1.02×10﹣2）＝2．
（1）求f（1.02×102），f（1.02×10﹣1），并写出f（a×10n）的表达式（不必写出过程）；
（2）若x＝2100，且取lg2＝0.301，求n，a以及f（a×10n）；
（3）已知k∈N*，猜想：f（2k）与f（2﹣k）的大小关系，并证明你的结论．
【江苏省各地区真题汇编】指对幂函数考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B C C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD BCD ABC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南通校级模拟）已知函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2），则“a≥2”是“函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：令u＝x2﹣ax+2，函数y＝lgu在（0，+∞）上单调递增，
由函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，得函数u＝x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上单调递减，且当x＝1时，u＞0，
因此，解得2≤a＜3，
则{a|2≤a＜3} {a|a≥2}．
故选：C．
2．（2025 武进区校级一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩ RB＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
【解答】解：由题意，得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＞1}，
所以 RB＝{x|x≤1}，所以A∩（ RB）＝{﹣2，﹣1，0，1}．
故选：C．
3．（2025 江苏三模）已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．
∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．
则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
4．（2025春 建邺区校级期中）若函数f（x）＝logax+loga+1x是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，函数f（x）定义域为（0，+∞），
因为f（x）＝logax+loga+1x，
所以f′（x）0，
又因为a＞0且a≠1，所以ln（a+1）＞0，所以0，
又因为a2+a＞a，所以，解得a＜1，
当a时，a2+a＝1，f′（x）0，不合题意，
所以a的取值范围是（，1）．
故选：B．
5．（2025春 鼓楼区校级月考）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（　　）
A．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．1091
【解答】解：由题意可知M≈1082，N≈3361，
则lgN＝lg3361＝361lg3≈361×0.48＝173.28，
lgM＝lg1082＝82，
所以．
则．
故选：C．
6．（2024秋 盐城期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原点对称．
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B；
因为，故排除选项A；
因为，故排除选项D．
故选：C．
7．（2024秋 如皋市期末）已知幂函数（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），则f（sinα﹣cosα）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，得m2﹣2m＜0，
解得0＜m＜2，又m∈Z，所以m＝1，f（x），
所以f（sinα+cosα）5，所以sinα+cosα，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，解得2sinαcosα，
所以1﹣2sinαcosα，即（sinα﹣cosα）2，
因为α∈（0，π），2sinαcosα0，所以α∈（，π），
所以sinα﹣cosα，所以f（sinα﹣cosα）．
故选：A．
8．（2023秋 张家港市校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是减函数，若，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，3） B．（）
C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（）
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图象关于原点对称，且（0，+∞）上是减函数，
所以m﹣2＜0，因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
∴当m＝0时，0﹣2＝﹣2，图象关y轴对称，不满足题意；
当m＝1时，1﹣2＝﹣1，图象关于原点对称，满足题意，
∴不等式即，
因为函数在（0，+∞）上递减，所以a+1＞0，3﹣2a＞0，a+1＞3﹣2a；
解得，即实数a的取值范围．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x
【解答】解：选项四个函数定义域都是R，
函数y＝﹣2x的斜率为﹣2，在R上单调递减，故A错误；
函数f（x）＝x3，f（x）+f（﹣x）＝x3+（﹣x）3＝0，则f（x）＝x3是奇函数，
任取x1＜x2，则，所以f（x）＝x3在R上单调递增，故B正确；
，则y＝|x|在（﹣∞，0]单调递减，在（0，+∞）单调递增，故C错误；
g（x）＝2x﹣2﹣x，则g（x）+g（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）＝0，
所以g（x）是奇函数，
因为y＝2x单调递增，y＝2﹣x单调递减，
所以g（x）在R上单调递增，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（2025春 镇江校级月考）下列计算正确的有（　　）
A．log2（log0.50.5）＝1
B．
C．若lg3＝m，lg2＝n，则
D．若，则a+a﹣1＝2
【解答】解：由对数性质、运算法则得log2（log0.50.5）＝log2（log0.50.5）＝log21＝0，故A错误；
由指数运算法则得，故B正确；
∵lg3＝m，lg2＝n，
∴由对数运算法则得，故C正确；
∵，
∴，
∴a+a﹣1＝4﹣2＝2，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2024秋 张家港市校级期末）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
【解答】解：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．
由方程ex+x＝2和lnx+x＝2可化为ex＝﹣x+2和lnx＝﹣x+2，
即直线y＝﹣x+2与两函数y＝ex和y＝lnx的交点横坐标分别为x1、x2，
由于y＝ex和y＝lnx互为反函数，则它们的图像关于直线y＝x对称，
如图所示，点A、B关于点C对称，0＜x1＜1＜x2＜2，且C（1，1），
所以x1+x2＝2，故A正确；
因为，所以，
又x2＝2﹣x1，所以x2﹣x1＝2﹣x1﹣x1＝2﹣2x1＞1，故B正确；
由y＝ex和y＝lnx它们的图像关于直线y＝x对称，所以，lnx2＝x1，
所以，故C正确；
对于D，由，则，即x1＝x2，与0＜x1＜1＜x2＜2矛盾，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 苏州期末）计算的值为 　　 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
13．（2025 姜堰区模拟）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，]∪[，+∞）　 ．
【解答】解：∵函数的值域为R，
∴x2﹣2ax+3能够取到大于0的所有实数，
则Δ＝4a2﹣12≥0，解得a或a．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．
14．（2025春 海陵区校级期中）幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术 方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，则a＝ 　1　 ．
【解答】解：因为函数f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1为幂函数，
所以可得，解得a＝1．
故答案为：1．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 泗阳县期末）化简与求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
【解答】解：（1）
．
（2）∵，∴（）2＝a﹣2+a﹣1＝1，
∴a+a﹣1＝3，∴（a+a﹣1）2＝a2+2+a﹣2＝9，
∴a2+a﹣2＝7，
∴．
16．（2015秋 灌南县校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
【解答】解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
则有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898
∵x∈[﹣2，1]
∴
则f（x）98
当，即x＝﹣2时，f（x）max＝8．
当，即x时，f（x）min
所以函数的值域为[，8]．
17．（2024秋 泰州期末）已知函数f（x）＝log2（4x+a 2x+4），其中a∈R．
（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；
（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
【解答】解：（1）当a＝﹣5时，要使对数有意义，
只需满足4x﹣5 2x+4＞0．
令2x＝t（t＞0）则不等式变为t2﹣5t+4＞0，解得t＜1或t＞4．
即2x＜1或2x＞4，解得：x＜0或x＞2，
因此，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
（2）要使对任意实数x，f（2x）≥f（x）成立，需满足，
即：42x+a 22x+4≥4x+a 2x+4，令2x＝m（m＞0），
则不等式变为m4+a m2﹣m2﹣a m≥0．化简得m（m3+am﹣a﹣m）≥0，
由于m＞0，要使不等式恒成立，需m3+am﹣a﹣m≥0．
（m3﹣m）+a（m﹣1）＝（m﹣1）（m2+m+a）≥0恒成立．
只需m2+m+a分解出（m﹣1）因式，
m2+m+a＝（m2﹣m）+2（m﹣1）＝（m﹣1）（m+2），
（此时a＝﹣2），且不等式转化为：（m﹣1）2（m+2）≥0，
∵（m﹣1）2≥0，m+2＞0，∴不等式恒成立．即a＝﹣2，不等式恒成立．
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
设g（x）＝f（x）﹣x
，对于函数，
令m＝2x（m＞0），则，
根据对勾函数性质，的图象关于直线m＝2对称，
即2x＝2时，x＝1．对于，
∵g（x），
，
，
g（1﹣x）﹣g（1+x）．
故函数g（x）图像关于直线x＝1对称，即函数f（x）﹣x图象是轴对称图形．
18．（2018秋 睢宁县校级月考）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．
∵g（x）＝10f（x）+3x，
∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max＝g（），g（x）min＝g（﹣2）＝﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．
19．（2024秋 鼓楼区校级期中）我们知道，任何一个正实数x都可以表示成x＝a×10n（1 a＜10，n∈Z）．当n 0时，记x的整数部分的位数为f（a×10n），例如f（1.02×10）＝2；当n＜0时，记x的非有效数字的个数为f（a×10n），例如f（1.02×10﹣2）＝2．
（1）求f（1.02×102），f（1.02×10﹣1），并写出f（a×10n）的表达式（不必写出过程）；
（2）若x＝2100，且取lg2＝0.301，求n，a以及f（a×10n）；
（3）已知k∈N*，猜想：f（2k）与f（2﹣k）的大小关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）因为当n 0时，记x的整数部分的位数为f（a×10n）；当n＜0时，记x的非有效数字的个数为f（a×10n），
所以f（1.02×102）＝3，f（1.02×10﹣1）＝1，
因为当n≥0时，a×10n整数部分的位数为n+1，
当n＜0时，a×10n的非有效数字的位数为﹣n，
所以；
（2）由x＝2100，则lgx＝100lg2＝30+0.1，
所以x＝1030+0.1＝100.1×1030，
故a＝100.1，n＝30，f（a×1030）＝31；
（3）猜想：f（2k）＝f（2﹣k），证明如下：
当k∈N*时，2k为正整数且不可能是10的倍数，
所以存在m∈N，使得10m＜2k＜10m+1，此时f（2k）＝m+1，
而10﹣（m+1）＜2﹣k＜10﹣m，所以f（2﹣k）＝m+1，
所以f（2k）＝f（2﹣k）．
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