资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 春季
课题 2.5 三元一次方程组及其解法
教学目标
1. 能了解三元一次方程组的相关概念。 2. 能运用代入消元和加减消元解决简单的三元一次方程组。
教学重难点
教学重点： 1. 能类比二元一次方程组的概念了解三元一次方程组的相关概念。
2. 能运用代入消元和加减消元解决简单的三元一次方程组。
教学难点： 运用代入消元和加减消元解简单的三元一次方程组。
教学过程
环节一：温故知新 问题1：本章我们学习了二元一次方程组的哪些内容？ 【师生活动】回顾二元一次方程的学习内容和过程：在解决实际问题的过程中，抽象出了二元一次方程和二元一次方程组的相关概念。并对解法进行学习，在求解过程中，利用消元的思想将二元一次方程组转化为一元一次方程。了解概念，学会求解后，就可以进一步运用二元一次方程组解决实际应用问题。 设计意图：回顾二元一次方程组的学习，为学习三元一次方程组做下铺垫。 环节二：探究知新 问题2:《九章算术》的“方程”章中有这样一个问题： 3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗； 2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗； 1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗. 问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？ 【探究1】先呈现出第一句话“3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；”，并进行追问。 追问1: 你能用方程表示这个关系吗？（分析等量关系，设好未知数并列出三元一次方程：3x+2y+z=39。） 追问2: 你能确定每种稻谷的数量吗？（类比二元一次方程解的不确定性，现在只有一个三元一次方程也无法确定数量。） 【探究2】追问1: 这个问题中有几个等量关系？ 追问2: 你能列出方程组吗？（强调需要同时满足三个等量关系，所以列出方程组） 追问3: 你要想研究三元一次方程组的哪些内容 类比二元一次方程组的研究内容和过程，明确三元一次方程组的学习路径。 【探究3】请通过类比给出三元一次方程组的相关概念. 【师生活动】类比二元一次方程组的定义和解的定义，给出三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。解的定义：同时满足三元一次方程组中各个方程的解。 【探究4】如何解三元一次方程组？ 【师生活动】同样的可以类比二元一次方程组进行。在二元一次方程组的求解中，我们利用消元的思想将二元一次方程组转化成一元一次方程，那么对于三元一次方程，虽然未知数更多了，但求解的思路不变，我们可以进行逐步消元。 设计意图：通过数学文化进行引入，提升学生的民族自豪感。同时在解决问题中抽象出三元一次方程、三元一次方程组。进一步类比二元一次方程组的学习方法，对三元一次方程组进行学习。 环节三：求解方程 例1 解方程组 【师生活动】学生观察例1的方程组，思考该如何求解。在这一方程组中，3式为x=y-z，这个式子中已经实现了用y、z表示x。那么我们就可以将3式代入1式和2式中，通过代入消元，消去x，这样就将三元一次方程组通过代入消元法转化成了二元一次方程组。到了这你们就会解了。再解这个二元一次方程组就可以得到y=5，z=7。 例2 解方程组 【师生活动】请同学们观察例2的方程组，并利用加减消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组。 归纳：解三元一次方程组的一般方法。 【师生活动】我们可以观察方程组的特征，从而选择用代入消元或者加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程即可。求解的思路是非常清晰的，但是由于有三个未知数，未知数数量比较多，所以观察方程特征，选用适合的方法来消元至关重要。 设计意图：类比二元一次方程组的求解思路，学习三元一次方程组的解法。感受化归、转化的思想。 环节四：应用新知 练习1：观察下列方程的特点，如何消元最简单？请分析并求解方程. 练习2：求解引入部分《九章算术》中的三元一次方程组。 设计意图：练习1中通过引导学生观察方程的特征，从而做出求解的决策，加强对消元的理解与运用。练习2在学完解法后，进一步解决引入中的实际问题，感受三元一次方程组的实际应用性。 环节五：数学文化 《九章算术》给出的解法是“ 遍乘直除”法，“ 除”即“ 减”，类似于现在解方程组的加减消元法，只不过较为烦琐. 在书中，这种解法还用来解四元一次方程组和五元一次方程组，比印度婆罗摩笈多（Brahmagupta，约 598～约 655）的解法早五百多年. 设计意图：补充《九章算术》和国外三元一次方程的求解思路。上图实际上就是用算筹列出的方程组。它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项. 现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由表组成的表叫做矩阵，可以看出利用矩阵解一次方程组的方法，与算筹的方法是一致的，我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年，这是我国数学的一个光辉的成就。 环节六：课堂小结 【师生活动】总结本节课的学习内容：本节课我们通过类比二元一次方程组，对三元一次方程组进行学习。首先从实际问题中抽象出了三元一次方程，并类比二元一次方程组的定义和解的定义，给出了三元一次方程组的定义。在学习求解的过程中，也是类比二元一次方程进行，运用消元的思想，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再通过消元转化为一元一次方程进行求解。 设计意图：通过框图的形式带领学生回顾所学内容，感悟研究过程，总结学习路径这样的框架性结构有益于学生在后续学习一元二次方程等知识时中实现结构上的正迁移，为后续的学习提供支架.

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