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多选题高频考点 押题练
2025年高考数学三轮复习备考
1．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3
B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，
3．在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的外接球的表面积为
C．若平面，则四棱锥的体积为
D．若，与平面所成角相等，则
4．已知，，且，若，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为 D．的取值范围为
5．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期
C．在上为增函数 D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
7．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．是等比数列
8．函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ）
A．若，则
B．若，则成对数据的样本相关系数等于
C．若，则成对数据的样本相关系数大于
D．若，则成对数据的经验回归方程
10．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．当时，点到平面的距离为
C．当平面平面时，
D．当二面角为时，
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，则（ ）
A． B．的值域为
C．在上单调递减 D．在上有8个零点
13．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D．
14．已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
15．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（ ）
A．若，则从开始出现数字2；
B．若，则的最后一个数字均为；
C．可能既是等差数列又是等比数列；
D．若，则均不包含数字4.
16．已知定义在上的函数，集合对于任意，在使得的所有中，下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．存在在处取到最大值 D．存在，使得在单调递减
17．已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C．的最小值为
D．的最大值为
18．已知函数，，则（ ）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，，
C．若，则
D．若函数在处取得极值，且，使，则
19．如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点，使得平面
B．点到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 AC ACD AC BCD ABD AC ACD ABC ABD AC
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 BD AB BC ABC BCD ABC ACD AC BCD
1．AC
利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.
对于A：由，得，故A正确；
对于B：由，得，故B错误；
对于C：因为，
所以，故C正确；
对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线，
，所以在正态分布曲线上，的峰值较高，
正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误.
故选：AC.
2．ACD
利用下四分位数的定义可判断A选项；利用样本系数的定义即可判断B选项；利用方差的性质可判断C选项；利用回归分析可判断D选项.
对于A选项，因为，所以，这组数据的下四分位数是，故A正确；
对于B选项，由题意得，其计算公式与相关系数的公式不同，则无法得到其相关系数的值，故B错误；
对于C选项，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故C正确；
对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，
即，可得，故，，故D正确.
故选：ACD.
3．AC
由面面垂直的性质结合棱锥的体积公式可得A正确；由几何关系求得棱锥的外接球半径，再求表面积可判断B；由体积拼接可得C正确；建立空间直角坐标系，由空间线面角公式可判断D.
设，由可得，
取的中点，连接，
由为等边三角形可得，
又侧面底面，侧面底面，面，
所以由面面垂直的性质定理可得面，
由，
所以三棱锥体积.
对于A，若，即，即，故A正确；
对于B，若，由A可得，则，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，，
则，解得，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
对于C，若平面，平面平面，平面，
所以，
又为棱的中点，所以为的中点，
则，
由三角形相似可得，且到平面的距离不变，
所以，所以四棱锥的体积为，故C正确；
对于D，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，由题意得为与平面所成的角，
且，
，
所以，由，，可得，
所以，
平面的法向量为，
因为，与平面所成角相等，
所以，
化简可得，解得无解，故D错误.
故选：AC
4．BCD
利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD.
A.由条件可知，，，则，故A错误；
B.由题意可知，，则，当时等号成立，
则的最小值为，故B正确；
C. ，当，即时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
D.，
当，均单调递增，且时，，
则在区间上单调递增，
∴当时取得最大值5，且时，，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
5．ABD
利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D.
对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
对于B，，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，令，当时，在上单调递减，
且， 在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递减函数，故C错误；
对于D，因为，令，
则，求导得，
由于，所以，单调递增.
当时，取得最大值；
当时，取得最小值.
因为，所以，即 ，故D正确.
故选：ABD.
6．AC
利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.
7．ACD
求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项.
由题意可知，，则，
故数列为递减数列，故A正确；
因二次函数的对称轴为，且开口朝下，
则当或时，取得最大值，故B错误；
当时，，
则，
又，符合上式，故，故C正确；
令，则，则是等比数列，故D正确.
故选：ACD
8．ABC
分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
9．ABD
根据相关系数的意义判断ABC，利用线性回归方程的求法判断D.
当时，变量正相关，所以，故A正确；
因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确；
因为，则成对数据对应点相当于把成对数据对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误；
当，由可知，新的回归直线方程中斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D正确.
故选：ABD
10．AC
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法逐项判断即可.
因为底面，，底面是边长为的正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，其中，
故点，
对于A选项，，，
若存在点，使得，则，解得，合乎题意，
所以，存在点，使得，A对；
对于B选项，当时，点，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，且，
所以，点到平面的距离为，B错；
对于C选项，设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
若平面平面，则，解得，C对；
对于D选项，平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
若二面角为，则，解得，D错.
故选：AC.
11．BD
令，可判定A不正确；令，得到，结合为奇函数，则为偶函数，得到和，得出和是周期函数，可判定B正确；由函数的周期性，结合和，可得判定C错误；求得，结合周期性，可得判定以D正确.
对于A中，令，可得，
因为，所以，所以A不正确；
对于B中，令，可得，
所以，
因为函数为奇函数，则为偶函数，
所以，
联立可得，
即，
所以，
所以函数是周期为3的函数，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，
且，因为数是周期为3的函数，
可得，所以C错误；
对于D中， 由，可得
令，可得，所以，
因为函数周期为3的函数，即，可得
所以函数是周期为3的函数，可得，所以，
令，可得，所以，
所以，可得
所以，所以D正确.
故选：BD.
12．AB
对于A选项，利用函数的周期性与奇偶性，计算函数值；对于B选项，利用函数的解析式求得函数值范围，再利用奇偶性，得出函数的值域；对于C选项，利用函数解析式和周期性，推得函数的单调性；对于D选项，利用函数的周期性和奇偶性，得出零点个数。
对于A，，所以A正确；
对于B，当时，单调递增，
所以当时，的值域为，
由于函数是偶函数，在上的值域也为，
又是周期为的周期函数，所以的值域为，所以B正确；
对于C，当时，单调递增，
又的周期是4，所以在上单调递增，所以C错误；
对于D，令，得，所以，
由于的周期为4，所以，
所以在上有6个零点，所以D错误，
故选：AB.
13．BC
根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出，即可判断D.
对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；
对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设为，则，
故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，
圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确；
对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立，
整理得，，即，
所以，
所以，，
所以，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC
14．ABC
利用线面垂直的判定定理可判断A选项；由结合空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；以、为邻边作平行四边形，则为矩形，分、两种情况求出球的表面积，可判断D选项.
对于A选项，若，又因为，，
、平面，故平面，A对；
对于B选项，，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B对；
对于C选项，不妨取的中点，连接、，则，
，

同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C对；
对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：

则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：

因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错.
故选：ABC.
15．BCD
由外观数列的定义可判断A和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④.
对于A，当时，
由外观数列的定义可得：，，，故A错；
对于B，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，
所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故B正确；
对于C，取，则，
此时既是等差数列又是等比数列，故C正确；
对于D，当时，
由外观数列的定义可得：，，，.
设第一次出现数字4，
则中必出现了4个连续的相同数字.
而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义.
所以当时，均不包含数字4，故D正确.
故选：BCD
关键点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.
16．ABC
利用题中集合的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；构造函数，数形结合可判断C选项；利用函数单调性的定义结合题中定义可判断D选项.
对于A选项，因为，且，根据题中定义可得，A对；
对于B选项，任取、且，则存在，则，
根据题意，对任意的，，则，
同理，对任意的，，即，故，
所以，函数在上单调递减，B对；
对于C选项，若存在函数在处取到最大值，
构造函数，如下图所示：
由图可知，函数在处取得最大值，
且对任意的，当时，，合乎题意，C对；
对于D选项，若存在，使得在单调递减，
对任意的，当时，，所以，与已知条件矛盾，D错.
故选：ABC.
17．ACD
A取线段的中点，在中利用余弦定理求即可；B先利用体积得出三棱锥的高，再证明平面，再结合点到平面的距离均为，即可找出点P轨迹；C利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再求的最小值即可；D利用数量积的定义即可.
取线段的中点，连接，
因为线段中点，结合正方体的性质可知，，且，
则四边形为平行四边形，则，
则直线与所成角的为或其补角，
容易得，
则在中利用余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为，故A正确；
连接，设点到平面的距离为，
容易得的面积为，
由题意可得，得，
由正方体的性质可知，平面，
又平面，则，
又，，平面，则平面，
因，则点到平面的距离均为，
因，平面，平面，则平面，
同理可得平面，
因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，
故B错误；
依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，
则的最小值为，故C正确；
因
，
则当时，取最大值，最大值为，故D正确.
故选：ACD
18．AC
利用导数分析函数单调性得到极值可得A正确，由正余弦函数的值域结合函数的单调性可得B错误；由函数的对称中心代入可得C正确；由极值点的性质可得，，令，化简又，可证明判断D.
对于A，当时，，，
易得当时，，函数在上单调递减；
当或时，，函数在和上单调递增，
所以极大值，极小值，
又，，
所以函数在，，各有一个零点，
所以函数有三个零点，故A正确；
对于B，当时， ，，
易得当时，，函数在上单调递减；
又，，
所以，故B错误；
对于C，若，则的图象关于成中心对称，
又的定义域为，所以，
即，即，
整理可得，故C正确；
对于D，因为，所以，
由题有，即，
由，得，
令，则，又，
所以，
得到，
整理得到，
又，代入化简得到，
又，，
所以，得到，
即，即，故D错误.
故选：AC.
19．BCD
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.
A，在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，
设棱上点，，则，
若平面，则有，
解得，与矛盾，
即在棱上不存在点M，使得平面，A不正确；
B，点到平面的距离h，因，
则，B正确；
C，取AD，CD的中点E，F，连接，
则，即确定一个平面，如图，
依题意，，，即四边形是平行四边形，，
平面，平面，于是得平面，
显然，平面，平面，于是得平面，
而，平面，因此，平面平面，
即梯形是过与平面平行的正方体的截面，
而，
则此等腰梯形的高，
所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；
D，过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，
该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，
由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，
令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，
则，而，而球半径，
则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.
故选：BCD
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