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2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
（从课本到奥数）第三单元 圆柱与圆锥奥数思维训练一
一、解答题
1．一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是14厘米，水的高度8厘米，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了12厘米，刚好没过圆锥高的，圆锥的底面积是多少？
2．两根同样的圆柱形钢材，长度都是2m，把它们拼成一根4m长的圆柱形钢材以后表面积减少了0.6dm2，如果每立方分米钢材重7.8kg，拼成后的这根钢材重多少千克？
3．在一节拓展课堂中，张老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作及进行如下的测量与操作：
①张亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量了得到底面直径是4，高是10。
②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是。
③强强把20枚螺丝钉放入（螺丝钉完全浸没在水中）。
④江江测量了此时水的高度与水面离杯口的距离之比是。
根据上面的信息，你能计算出一枚螺丝钉的体积吗？
4．一段圆柱形木料，如果分成两段圆柱形木料，表面积将增加6.28dm2；如果沿底面直径劈成两个半圆柱，表面积将增加80dm2，原来圆柱形木料的表面积是多少？
5．如图所示，在长方体上挖走圆柱的一半，求剩余部分的表面积和体积。（单位：厘米）（解答题，写出主要解答步骤）
6．从底面直径10cm的圆柱上部截去一部分后，表面积比原来减少了，截去部分的高是圆柱高的，圆柱的高是多少？截去后剩下的图形的体积是多少？
7．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器的高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？
8．火神山医院在建设过程中每天24小时昼夜不停，顺利完成场地平整、砂石回填等重要环节的施工。施工中，把一个底面直径为40厘米的圆锥体金属，全部浸没到一个底面半径为40厘米的圆柱形容器内，容器内的水上升了3厘米且没有溢出。那么圆锥体金属的高是多少厘米？
9．唐老鸭用一个圆锥形容器装满了香油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与洞口齐平为止（如图，此时油面直径是圆锥形容器底面直径的）。问：米老鼠共偷得香油多少mL？（容器厚度忽略不计）
10．有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，如图，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内液面的高度是7厘米，当将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是多少厘米？
11．把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4dm的圆柱形钢材，求钢材的长度。
12．小明为了做实验，把一段长1米、横截面直径是20厘米的木头放在水里，小明发现它正好是一半露出水面（如图）。这段木头与水面接触的面积是多少平方米？露出水面部分的体积是多少立方米？
13．在一个底面半径是6cm，高是15cm的圆柱形玻璃杯内装入10cm高的水，然后放一个底面直径是8cm的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到11.6cm，这个铅锤的高是少厘米？
14．如图，长方体容器内装有一些纯果汁，容器的底面是边长为8厘米正方形。圆锥容器里装满水，现将水与纯果汁按一定比混合，调成一杯果汁倒入圆柱形玻璃杯内，果汁占杯子的。原长方体容器内纯果汁的高度是多少？（①取3；②不考虑所有容器的厚度）
15．在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径是5厘米的圆钢全部放入水中，水面就上升10厘米，把圆钢竖着拉出水面8厘米长后，水面就下降4厘米，求圆钢的体积。
16．一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2米，高是1.5米，装满一车沙，卸车后沙堆形成一个高是2米的圆锥形，这个圆锥形沙堆的底面积是多少平方米？
17．有两个圆柱形容器，容器A的底面半径是10分米，容器B的底面半径是8分米，容器A有一些水，水面高度为16.4分米，将A中的一部分水倒入容器B中，使两个容器的水面高度一样，这时水面高度是多少？
18．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？

19．把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图1），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少了多少立方厘米？
20．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？
21．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）

（1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？
（2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？
22．甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。
（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？
（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？
23．拓展课上，徐老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，合作进行如下操作：
（1）小潜准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测得底面直径是6厘米，高是10厘米。
（2）小阳往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1.
（3）小龙把30枚螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。
（4）小霞测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2.
请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。
24．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积）
（1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。
（2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？
25．实验小学开展以“我最喜欢的2022年冬奥会冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占调查人数的40%，请根据图中信息解决问题。
（1）在这次调查中，一共抽取了（ ）名学生。
（2）请补全条形统计图中冰壶的直条。
（3）如果实验小学有1500名学生，请你估计出最喜欢高山滑雪的学生共有（ ）名。
（4）冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看成一个长方体中挖去了半个圆柱体。已知冬奥会标准U形池的规格：长为120m，宽为30m，高为10m，其中挖圆柱体的底面直径AD为20m。该U形池所占空间大小是（ ）m3。（π取3来计算）
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（从课本到奥数）第二单元 百分数（二）奥数思维训练一
答案解析
1．【解题思路】由题意得：浸在水中的部分的体积等于高为厘米的长方体的体积，即：立方厘米；露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，所以露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为，所以浸在水中的部分圆锥体的体积是整个圆锥体体积的，用除法即可求出大圆锥体的体积，进而即可求出底面积。
【详细解答】浸在水中的圆锥体体积为：
（厘米）
露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，即露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为。
所以整个圆锥体体积为：
＝784×
（立方厘米）
圆锥体底面积为：
＝896÷（4×2）
（平方厘米）
答：圆锥的底面积是112平方厘米。
【点评】解答此题的关键是先求出浸入水中的部分占圆锥体积的几分之几，从而问题得解。
2．【解题思路】由把两根同样的圆柱形钢材拼成一根圆柱体钢材以后，表面积减少了0.6 dm2，知道面积减少的是两个底面，由此求出圆柱的底面积，而圆柱的体积可根据V＝Sh求出；拼成后钢材重量＝每立方分米钢材重量×圆柱体的体积，列式解答即可。
【详细解答】圆柱的底面积：
0.6÷2＝0.3（平方分米）
4米＝40分米
圆柱体的体积：
0.3×40＝12（立方分米）
拼成后钢材重量：
12×7.8＝93.6（千克）
答：拼成后的这根钢材重93.6千克。
【考点点评】此题关键是明白拼成的图形减少的表面积是两个底面，另外在计算过程中还要注意单位的统一。
3．【解题思路】根据张亮的操作，结合圆柱的体积公式先求出这个玻璃杯的体积；根据小李的操作可知，水的体积是玻璃杯的一半，据此用玻璃杯的体积除以2得到水的体积；根据强强和江江的操作可知，水加上螺丝钉的体积是玻璃杯体积的，据此先求出水加上螺丝钉的体积，再利用减法求出螺丝钉的体积，最后利用除法求出每枚螺丝钉的体积即可。
【详细解答】玻璃杯的体积：3.14×4×10＝125.6（立方厘米）
水的体积：125.6÷2＝62.8（立方厘米）
螺丝钉的体积：
125.6×－62.8
＝125.6×－62.8
＝75.36－62.8
＝12.56（立方厘米）
12.56÷20＝0.628（立方厘米）
答：每枚螺丝钉的体积是0.628立方厘米。
【考点点评】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。
4．【解题思路】将其分成两段圆柱形木料，表面积增加的部分是圆柱底面积的2倍，所以用6.28除以2，可求出圆柱的底面积，从而求出圆柱的底面半径。将其沿底面直径劈成两个半圆柱，表面积增加的部分是两个长方形的面积，这个两个长方形的长是圆柱的高、宽是圆柱的底面直径。据此，用80除以2再除以直径，可求出圆柱的高。最后，根据圆柱的表面积公式，列式计算出原来圆柱形木料的表面积。
【详细解答】6.28÷2＝3.14（dm2）
3.14÷3.14＝1（dm）
80÷2÷（1×2）
＝40÷2
＝20（dm）
3.14×2＋3.14×1×2×20
＝6.28＋125.6
＝131.88（dm2）
答：原来圆柱形木料的表面积是131.88dm2。
【考点点评】本题考查了圆柱的表面积。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积。
5．【解题思路】通过观察图形可知，剩余部分的表面积：是原来长方体的表面积加上底面直径是（10－4－4）厘米，高是6厘米的圆柱的侧面积的一半，再减去直径是（10－4－4）厘米圆的面积和一个长6厘米，宽（10－4－4）厘米的长方形的面积；
剩余部分的体积等于长方体的体积减去这个半圆柱的体积；
根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详细解答】10－4×2＝2（厘米）
（10×6＋10×8＋6×8）×2＋3.14×2×6÷2－3.14×（2÷2）2－6×2
＝（60＋80＋48）×2＋37.68÷2－3.14×1－6×2
＝188×2＋18.84－3.14－12
＝376＋18.84－3.14－12
＝394.84－3.14－12
＝379.7（平方厘米）
10×6×8－3.14×（2÷2）2×6÷2
＝480－3.14×1×6÷2
＝480－9.42
＝470.58（立方厘米）
答：剩余部分的表面积是379.7平方厘米，体积是470.58立方厘米。
【考点点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．【解题思路】根据题意可得，圆柱上部截去一部分后，表面积比原来减少了，减少的是截去圆柱的侧面积，据此求出截去圆柱的高，再求出剩下圆柱的高，最后求剩下圆柱的体积。
【详细解答】底面积：
3.14×（10÷2）2
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
截去圆柱的高：
628÷（3.14×10）
＝628÷31.4
＝20（厘米）
圆柱的高：
＝60（厘米）
剩下圆柱的高：60－20＝40（厘米）
剩下圆柱的体积：78.5×40＝3140（立方厘米）
答：圆柱的高是60厘米，截去后剩下的图形的体积是3140立方厘米。
【考点点评】本题考查圆柱的体积、表面积，解答本题的关键是掌握圆柱的体积、表面积公式。
7．【解题思路】根据题意可知，水龙头往容器内的每秒钟的注水量是一定的，因此可得到等量关系式：15秒钟的注水量÷15秒＝1分半钟的注水量÷1分半钟，已知正方体的高度是6厘米，容器内注入与正方体等高的水用15秒钟，此时的注水高度是6厘米，注水底面积是容器的底面积减去正方体的底面积，用底面积乘高可得到此时的注水量；又过了1分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（24－6）厘米，注水底面积是即是圆柱的底面积，因此可设圆柱的底面积是x平方厘米，把未知数代入等量关系式进行解答即可得到答案。
【详细解答】解：设容器底面积为x平方厘米。
6（x－6 ）÷15＝（24－6）x÷90
6（x－6 ）÷15×90＝（24－6）x÷90×90
6（x－6 ）×6＝18x
36x－1296＝18x
18x÷18＝1296÷18
x＝72
答：容器的底面积是72平方厘米。
【考点点评】解答此题的关键是利用圆柱的体积公式V＝sh确定两次分别注入的水量，然后再利用每秒钟的注水量相等进行解答即可
8．【解题思路】根据题意，圆锥的体积等于水面上升部分的体积，水在圆柱形容器内，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是圆锥的体积；已知圆锥的底面直径，利用S＝πr2可以求出圆锥的底面积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算即可。
【详细解答】水面上升的体积（圆锥的体积）：
3.14×402×3
＝3.14×1600×3
＝5024×3
＝15072（立方厘米）
圆锥的底面积：
3.14×（40÷2）2
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
圆锥的高：
15072×3÷1256
＝45216÷1256
＝36（厘米）
答：圆锥体金属的高是36厘米。
【考点点评】明确圆锥的体积等于水面上升部分的体积，以及灵活运用圆柱、圆锥的体积公式是解题的关键。
9．【解题思路】由题意可知，圆锥形容器的容积是2000mL，米老鼠偷完之后剩下香油的高度为圆锥形容器的，剩下香油的底面直径是圆锥形容器底面直径的，则剩下香油的底面积是圆锥形容器底面积的（×），根据“圆锥的体积＝×底面积×高”求出剩下香油的体积，米老鼠偷得香油的体积＝香油的总体积－剩下香油的体积。
【详细解答】假设圆锥形容器的底面积为S，高度为h。
Sh＝2000mL，那么Sh＝6000mL。
剩下香油的底面积：×S＝S
剩下香油的高度：h
剩下香油的体积：×S×h
＝S×h
＝Sh
＝×6000
＝250（mL）
2000－250＝1750（mL）
答：米老鼠共偷得香油1750mL。
【考点点评】根据剩下香油与圆锥容器底面积和高的关系利用圆锥的体积公式求出剩下香油的体积是解答题目的关键。
10．【解题思路】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以圆柱内高为2厘米的水的体积等于圆锥内高6厘米的水的体积。把圆柱中2厘米高的水倒入圆锥中，正好把圆锥部分装满，则剩下的就是圆柱内水的高度，即厘米，由圆锥的高度圆柱内水的高度即可解决问题。
【详细解答】（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：从圆锥的尖到液面的高是11厘米。
【考点点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆柱内高6厘米的水的是指高度为2厘米的水的体积，倒入圆锥容器内正好装满。
11．【解题思路】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体钢坯的体积；把它铸造成圆柱形，形状变了，体积不变；根据S底＝πr2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，h＝V÷S，即可求出圆柱的长度。
【详细解答】6.28×4×3.5
＝25.12×3.5
＝87.92（dm3）
3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（dm2）
87.92÷12.56＝7（dm）
答：钢材的长度是7dm。
【考点点评】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”，灵活运用长方体、圆柱的体积公式是解题的关键。
12．【解题思路】从图中可以看出，这段木头与水面接触的部分是圆柱的两个半圆和侧面的一半；所以与水面接触的面积是圆柱的底面积加上圆柱侧面积的一半，其中S底＝πr2，S侧＝πdh；圆柱露出水面部分的体积是圆柱体积的一半，根据V＝πr2h求出圆柱的体积，再乘即可。
【详细解答】1米＝100厘米
20÷2＝10（厘米）
3.14×102＋3.14×20×100×
＝3.14×100＋3.14×1000
＝314＋3140
＝3454（平方厘米）
3454平方厘米＝0.3454平方米
3.14×102×100×
＝3.14×100×100×
＝3.14×5000
＝15700（立方厘米）
15700立方厘米＝0.0157立方米
答：这段木头与水面接触的面积是0.3454平方米，露出水面部分的体积是0.0157立方米。
【考点点评】灵活运用圆柱的表面积、体积计算公式是解题的关键。
13．【解题思路】根据题意可知，把圆锥放入容器中（完全浸没），上升部分水的体积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝计算出上升部分水的体积；再根据圆锥的高，将数值代入计算即可。
【详细解答】
＝3.14×36×1.6
＝113.04×1.6
＝180.864（立方厘米）
8÷2＝4（厘米）
180.84×3÷（3.14×4×4）
＝542.592÷50.24
＝10.8（厘米）
答：这个铅锤的高是10.8厘米。
【考点点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
14．【解题思路】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，圆柱体积＝底面积×高，分别求出圆锥和圆柱容器的容积，将圆柱容器的容积看作单位“1”，圆柱容器容积×＝果汁体积，果汁体积－水的体积＝纯果汁体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出原长方体容器内纯果汁的高度。
【详细解答】3×（8÷2）2×15÷3
＝3×16×5
＝240（立方厘米）
3×（8÷2）2×15
＝3×16×15
＝720（立方厘米）
720×＝480（立方厘米）
（480－240）÷（8×8）
＝240÷64
＝3.75（厘米）
答：原长方体容器内纯果汁的高度是3.75厘米。
【考点点评】关键是掌握并灵活运用圆柱、圆锥和长方体体积公式。
15．【解题思路】把圆钢全部放入水中，水面就上升10厘米，说明整个圆钢的体积等于水桶中10厘米高的水的体积；如果把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米，说明8厘米高的圆钢的体积等于水桶中4厘米高的水的体积；如果水桶中的水下降10厘米，那么整个圆钢就被拿出水面了，这时竖着拿出圆钢的高度是（8÷4×10），也就是圆钢的高度；最后根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算即可解答。
【详细解答】
（立方厘米）
答：圆钢的体积是1570立方厘米。
【考点点评】解答本题的关键是根据题意计算出圆钢的高度。
16．【解题思路】已知货车的车厢是一个长方体，装满一车沙，根据长方体的体积公式V＝abh，求出这堆沙的体积；卸车后沙堆形成一个圆锥形，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算即可。
【详细解答】长方体的体积：
4×2×1.5
＝8×1.5
＝12（立方米）
圆锥形沙堆的底面积：
12×3÷2
＝36÷2
＝18（平方米）
答：这个圆锥形沙堆的底面积是18平方米。
【考点点评】本题考查长方体的体积、圆锥的体积公式的灵活运用。
17．【解题思路】先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出容器A中水的体积；已知把A中的一部分水倒入容器B中，使两个容器的水面高度一样，可以把此时的这两个容器看作一个组合容器，这个组合容器的底面积是容器A和B的底面积之和，根据圆柱的高h＝V÷S，求出这时水面的高度。
【详细解答】容器A中水的体积：
3.14×102×16.4
＝3.14×100×16.4
＝5149.6（立方分米）
水面高度：
5149.6÷（3.14×102＋3.14×82）
＝5149.6÷（314＋200.96）
＝5149.6÷514.96
＝10（分米）
答：这时水面高度是10分米。
【考点点评】本题考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，抓住水的体积不变，理解两个容器水面高度一样时，两个容器可以看作一个底面积相加的新的圆柱形容器。
18．【解题思路】根据题意，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，这部分的沙子是一个底面直径为2厘米，高为3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，即可求出1分钟漏沙子的体积；
已经漏到下面的沙子的体积＝底面直径为8厘米、高为12厘米的圆锥的体积－底面直径为4cm、高为（12－6）厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积公式求解；
然后用已经漏到下面的沙子的体积除以每分钟漏沙子的体积，即可求出已经计量的时间。
【详细解答】×3.14×（2÷2）2×3
＝×3.14×1×3
＝3.14（立方厘米）
×3.14×（8÷2）2×12
＝×3.14×16×12
＝200.96（立方厘米）
×3.14×（4÷2）2×（12－6）
＝×3.14×4×6
＝25.12（立方厘米）
200.96—25.12＝175.84（立方厘米）
175.84÷3.14＝56（分钟）
答：现在已经计量了56分钟。
【考点点评】本题考查圆锥体积公式的运用，分析出1分钟漏沙子的体积和已经漏到下面的沙子的体积是解题的关键。
19．【解题思路】图1从“沿底面直径竖直切”可知，表面积增加了4个长方形的面积，用48÷4即可求出一个长方形的面积。图2从“平行于底面切”可知，表面积增加了4个圆柱的底面面积，用50.24÷4即可求出一个底面积。根据圆面积：S＝πr2，可推出半径，再根据直径×高＝长方形的面积，求出圆柱的高。图3从“削成一个最大的圆锥”可知，圆柱与圆锥等底等高，那么削去的体积就是圆柱体积的。据此解答。
【详细解答】长方形的面积：48÷4＝12（平方厘米）
底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米）
12.56÷3.14＝4
因为4＝2×2，
所以半径是2厘米。
高：
12÷（2×2）
＝12÷4
＝3（厘米）
减少的体积：
12.56×3×（1－）
＝37.68×
（立方厘米）
答：体积减少了立方厘米。
【考点点评】本题主要考查圆柱两种不同切法引起表面积的增加情况。解答此题的关键是根据增加的面积求出这个圆柱的底面的半径和高。
20．【解题思路】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；
然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积；
如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。
【详细解答】圆柱的底面半径：
720÷8÷15
＝90÷15
＝6（厘米）
圆柱的体积：
3.14×62×15
＝3.14×36×15
＝1695.6（立方厘米）
削去的体积：
1695.6×（1－）
＝1695.6×
＝1130.4（立方厘米）
答：削去了1130.4立方厘米木料。
【考点点评】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。
21．【解题思路】（1）从图中可知，剪下的长方形做圆柱形油桶的侧面，剪下的两个圆分别做油桶的两个底面。那么长方形铁皮的长就是圆柱形油桶的底面周长，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出油桶的底面直径；长方形铁皮的宽减去油桶的底面直径，即是圆柱形油桶的高；
然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形油桶的表面积。
（2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱形油桶的体积。
【详细解答】（1）圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米）
圆柱的高：10－6＝4（分米）
圆柱的表面积：
18.84×4＋3.14×（6÷2）2×2
＝75.36＋3.14×9×2
＝75.36＋56.52
＝131.88（平方分米）
答：圆柱形油桶的表面积是131.88平方分米。
（2）3.14×（6÷2）2×4
＝3.14×9×4
＝113.04（立方分米）
答：圆柱形油桶的体积是113.04立方分米。
【考点点评】本题考查圆柱表面积、体积公式的灵活运用，结合图形，找出长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系是解题的关键。
22．【解题思路】（1）已知图①的输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升；先根据进率：1毫升＝1立方厘米，将250毫升换算成250立方厘米；然后根据圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个输液瓶的底面积。
（2）已知输液速度为平均每分钟5毫升，即每分钟5立方厘米，那么10分钟一共输液5×10＝50立方厘米；由上一题可知这个输液瓶的底面积是25平方厘米，根据圆柱的体积V＝Sh可知，图②空的部分的体积是（25×6）立方厘米；用原来液体的体积加上图②空的部分的体积，再减去10分钟输液的体积，即是这个输液瓶的容积。
【详细解答】（1）250毫升＝250立方厘米
250÷10＝25（平方厘米）
答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。
（2）5毫升＝5立方厘米
250＋25×6－5×10
＝250＋150－50
＝350（立方厘米）
350立方厘米＝350毫升
答：这个输液瓶的容积是350毫升。
【考点点评】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明白图②空的部分的体积包含原来空的部分体积和10分钟输液的体积。
23．【解题思路】根据题意，通过两次距离之比，分别求出放螺丝钉前后的水的高度，结合圆柱的体积公式：，用3.14乘上半径的平方再乘上两次水的高度之差，可算出30枚螺丝钉的体积，再除以30即可得出答案。
【详细解答】因为高是10cm，所以放螺丝钉之前水的高度：
10×
＝10×
＝5（厘米）
放螺丝钉之后水的高度：
10×
＝10×
＝6（厘米）
3.14××（6－5）
＝3.14××1
＝3.14×9×1
＝28.26×1
＝28.26（立方厘米）
28.26÷30＝0.942（立方厘米）
答：一枚螺丝钉的体积是0.942立方厘米。
【考点点评】熟悉不规则物体体积的求法，且能够熟练运用比与分数的关系。
24．【解题思路】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。
（2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。
【详细解答】（1）950÷19＝50（立方厘米）
50立方厘米＝50毫升
因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。
（2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19
（950－x）÷19＋x÷9＝70
9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171
8550－9x＋19x ＝ 11970
8550－10x－8550＝11970－8550
10x＝3420
x＝342
答：皇冠被掺了342克铜。
【考点点评】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。
25．【解题思路】（1）从条形统计图中可知，最喜欢短道速滑的学生有24名，占调查人数的40%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出调查的人数。
（2）由上一题可知，用调查的人数减去喜欢冰球、短道速滑、高山滑雪运动项目的学生人数，即是喜欢冰壶运动项目的学生人数，据此补全条形统计图。
（3）先求出喜欢高山滑雪运动项目的学生占调查人数的百分之几，再乘1500名即可。
（4）求U形池所占空间大小，就是求半个圆柱体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积，再除以2即可。
【详细解答】（1）24÷40%
＝24÷0.4
＝60（名）
（2）60－（16＋24＋12）
＝60－52
＝8（名）
如图：
（3）12÷60＝20%
1500×20%＝300（名）
（4）3×（20÷2）2×120÷2
＝3×100×120÷2
＝300×120÷2
＝36000÷2
＝18000（m3）
【考点点评】理解掌握条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
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