资源简介

作者的话
当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养：
对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下
册数学易错讲义》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！
《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》打破各种小学辅导书局限于教材基础、
忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。
《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为：
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宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！
中小学数学教研
2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
第五单元 数学广角—鸽巢问题
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】鸽巢问题
1、把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。
2、把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。
3、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个物品。
4、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn+1)个物品。
5、(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=a……b(b6、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③说明理由，得出结论。
【考点一】鸽巢问题
【典例一】一副扑克牌有4种花色（大小王除外），每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
【分析】把4种花色看作4个抽屉，利用抽屉原理1即可解答。
【解答】解：建立抽屉：4种花色看作4个抽屉，
考虑最差情况：抽出12张扑克牌，每个抽屉都有3张，那么在任意摸出1张，无论放在哪个抽屉都会出现一个抽屉里有4张牌，
所以（张
答：至少要抽13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
故答案为：13。
【点评】此题考查了抽屉原理的灵活运用，这里要注意考虑最差情况。
【典例二】六三班同学有8人都订阅了三种报刊中的一种或几种，那么，这8人中至少有（ ）个人所订的报刊种类完全相同。
【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是8，抽屉数是7，据此计算即可。
【解答】解：（种（种
（种
答：这8个人少有2个人所订的报刊种类完全相同。
故答案为：2。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。
【典例三】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【分析】按这种记分方法，最高可得（40分），最低是倒扣（10分），得分，共有（种不同分数．对1题加3分，答错1题扣1分，答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现；后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，35分不会出现，因此一共有种分数，为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有人，据此解答．
【解答】解：因为最高可得（分，最低是倒扣：（分，得分，共有（种不同分数．
答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现，后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，中间的35分不会出现，因此一共有种分数；
为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有：（人．
答：要保证至少有4人得分相同，至少需要115人参加竞赛．
【点评】本题关键是得出得分的范围和不可能出现的2个分数．
【典例四】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【解答】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
【典例五】班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期
日期＋月份的总数一共有（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。
【解答】答案的数量：（个）
日期＋月份的总数一共有：（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，月份至少为，而
11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。
答：该班至少有2个同学生日相同。
一、填空题
1．有14枚棋子放入下面的方格中，那么有一个小方格内至少放（ ）枚棋子。
【答案】4
【分析】把4个小方格看作是4个抽屉，14枚棋子看作14个元素，考虑最差情况：把14个元素平均分配在4个抽屉中：14÷4＝3（枚） 2（枚），那么每个抽屉都有3枚棋子，那么剩下的2枚棋子，无论放到哪个抽屉都会出现4枚棋子在同一个抽屉里。
【解答】14÷4＝3（枚） 2（枚）
3＋1＝4（枚）
即那么有一个小方格内至少放4枚棋子。
【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
2．体育器材室有若干个足球、篮球和排球，体育老师让44名同学到体育器材室拿球，每人最少拿1个，最多拿2个，那么至少有（ ）名同学拿球的情况完全相同。
【答案】5
【分析】根据题意，列出所有可能的拿球情况。拿1个球时，有足球、篮球、排球3种可能；拿2个球时，有足球和足球、篮球和篮球、排球和排球、足球和篮球、足球和排球、篮球和排球6种可能，一共9种拿球情况。然后，把这9种情况看作9个“抽屉”，将44名同学看作“物品”。接下来，用同学的数量除以抽屉的数量，即44÷9。最后，根据所得的商和余数，判断至少有多少名同学拿球情况相同，据此解答。
【解答】因为拿球的组合情况共有9种，44名同学平均分配到这9种情况中，44÷9＝4 8，余下的8名同学不论如何分配，都会使得至少有一种情况再多1人，所以至少有5名同学拿球的情况完全相同。
3．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，为什么呢？
可以这样想：如果每个笔筒只放1支铅笔，最多放（ ）支。剩下的（ ）支还要放进其中的一个笔筒，所以至少有（ ）支铅笔放进同一个笔筒。
【答案】3 1 2
【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
【解答】如果每个笔筒只放1支铅笔，最多放3支。剩下的1支还要放进其中的一个笔筒，所以至少有2支铅笔放进同一个笔筒。
【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
4．箱子里有大小相同的38张卡片，这些卡片上印有不同外卖APP的标志，分别是“美团外卖”12张，“饿了么”13张，“肯德基宅急送”6张，“百度外卖”7张。从箱子里取卡片，至少取（ ）张才能保证其中5张卡片是同一家外卖APP的标志。
【答案】17
【分析】从最不利情况考虑：一共有4种卡片，每种卡片各取4张，需要取（4×4）张卡片，此时再任意取一张卡片一定有5张卡片是同一种卡片，据此解答。
【解答】4×4＋1
＝16＋1
＝17（张）
所以，至少取17张才能保证其中5张卡片是同一家外卖APP的标志。
【点评】本题主要考查运用抽屉原理解决实际问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。
5．今天是小明的生日，小明邀请好朋友一起庆祝。妈妈为他准备了一个大蛋糕，把蛋糕平均分 成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了（ ）块蛋糕。请说明你的理由。（ ）。
【答案】2 因为每个盘子中先放1块蛋糕，则还剩下2块蛋糕；此时无论将剩下的蛋糕放在任意盘子中，总有一个盘子中最少放了2块蛋糕。
【分析】8块蛋糕放在6个盘子中，可每个盘子中先放1块蛋糕，则还剩下2块蛋糕；此时无论将剩下的蛋糕放在任意盘子中，总有一个盘子中最少放了2块蛋糕。据此可得出答案。
【解答】把蛋糕平均分 成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了2块蛋糕；因为每个盘子中先放1块蛋糕，则还剩下2块蛋糕；此时无论将剩下的蛋糕放在任意盘子中，总有一个盘子中最少放了2块蛋糕。
【点评】本题主要考查的是鸽巢原理，解题的关键是先将蛋糕平均分配到盘子中，再看剩下的蛋糕数量，进而得出答案。
6．六（1）班举办“童心向党”主题活动，有18名同学表演了节目，节日类型有唱歌、舞蹈、弹奏、朗诵、小品，至少有（ ）名同学表演的节目类型相同。
【答案】4
【分析】
根据题意，相当于把18个物体放到5个抽屉中，则18÷5＝3（名）……3（名），至少有3＋1＝4（名）同学表演的节目类型相同。
【解答】
18÷5＝3（名）……3（名）
3＋1＝4（名）
所以至少有4名同学表演的节目类型相同。
7．有红、黄、蓝三种颜色的筷子各两双混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出（ ）根才能保证一定有两根同色的筷子。
【答案】4
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，从最不利情况考虑，假设取出的前3根筷子颜色都不相同，此时再任意取一根筷子一定有2根筷子是同色的，据此解答。
【解答】3＋1＝4（根）
则每次最少拿出4根才能保证一定有两根同色的筷子。
8．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有（ ）个面的颜色相同。
【答案】2/两
【分析】把正方体木块的6个面看作被分放物体，红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，若能整除，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量，若不能整除，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【解答】6÷3＝2（个）
所以，给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有2个面的颜色相同。
9．杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有（ ）人是同一个月生日。
【答案】74
【分析】一年有12个月，把12个月看作12个“抽屉”， 886名运动员相当于要放进这12个“抽屉”里的“物品”，先用运动员总数886除以月数12，即886÷12＝73（人）……10（人），这里73表示如果平均分配，每个月分配到73个人，余数是10表示分完后还剩下10个人。剩下的这10人，无论放到12个月中的哪一个月，都会使得那个月的人数至少（73＋1）人，即这些运动员中至少有（73＋1）人是同一个月生日，据此解答。
【解答】一年有12个月。
886÷12＝73（人）……10（人）
73＋1＝74（人）
即这些运动员中至少有74人是同一个月生日。
10．盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出（ ）个玻璃球，才能保证有2个是同色的。
【答案】5
【分析】根据题意，盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，运气最差的情况为先取出的4个玻璃球分别是红、黄、蓝、绿各1个，再从盒子中任取一个玻璃球，此时就会出现2个同色的玻璃球。
【解答】4＋1＝5（个）
至少取出5个玻璃球，才能保证有2个是同色的。
二、判断题
11．在由4张 ，4张 ，4张 ，4张 组成的一堆牌中，要保证抽出一张 ，至少要抽4张。（ ）
【答案】×
【分析】解答此题要考虑最差情况：假设4张 ，4张 ，4张 全部抽出，一共抽了12张，此时再任意抽取一张，必定是 ，据此即可判断。
【解答】由分析可知：
4×3＋1
＝12＋1
＝13（张）
则要保证抽出一张 ，至少要抽13张。原题干说法错误。
故答案为：×
【点评】此题主要考查抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况。
12．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。（ ）
【答案】√
【分析】假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。
【解答】5＋1＝6（个）
6÷3＝2（次）
所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。
故答案为：√
【点评】本题主要考查抽屉问题，从最差情况分析问题是解答题目的关键。
13．学校将新买的19张课桌分给6个班，总有一个班至少分到4张课桌。（ ）
【答案】√
【分析】把6个班看作6个抽屉，把19张桌子看作19个元素，那么每个抽屉需要放19÷6＝3（张）……1（张），所以每个抽屉需要放3张，剩下的1张不论怎么放，总有一个抽屉里至少有3＋1＝4（张）。据此解答。
【解答】19÷6＝3（张）…1（张）
3＋1＝4（张）
所以总有一个班至少分到4张课桌。
原题说法正确。
故答案为：√
14．六（1）班有40名学生，其中至少有4人是同一个月出生。（ ）
【答案】√
【分析】根据鸽巢问题的求法，先把40名学生平均分给12个月，每个月至少有3人在同一个月出生，还剩下4人，无论把这4人分给哪个月，至少有4人是同一个月出生。
【解答】40÷12＝3（人）……4（人）
3＋1＝4（人）
至少有4人在同一个月过生日。原题说法正确。
故答案为：√
15．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ ）
【答案】√
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。
【解答】5×（3－1）＋1
＝5×2＋1
＝10＋1
＝11（本）
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为：√
【点评】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
三、选择题
16．一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取（ ）张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。
A．9 B．13 C．14 D．27
【答案】C
【分析】本题考查了抽屉原理，一副扑克牌有54张，去掉大小王后，还剩下54－2＝52（张）扑克牌；扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色，每种花色有52÷4＝13（张），相当于有13个抽屉，要保证其中至少有2张牌的点数相同，则每个抽屉放入一张扑克牌，最少再放入一张扑克牌即可。
【解答】（54－2）÷4
＝52÷4
＝13（张）
13＋1＝14（张）
一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取14张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。
故答案为：C
17．下列说法错误的是（ ）。
A．31名在6月份过生日的同学中，至少有两人在同一天过生日
B．某小组男生人数占总人数的75%，则女生人数与男生人数的比是1∶3
C．长方体的底面积一定，体积和高成正比例
D．如果圆柱的底面直径和高都是5dm，那么它的侧面沿高展开后是正方形
【答案】D
【分析】根据题意可知，
A．6月份只有30天，所以31名在6月份过生日的同学中，至少有两人在同一天过生日；
B．男生人数占总人数的75%，则女生人数占总人数的1－75%＝25%，求出女生人数与男生人数的比是25%∶75%＝1∶3；
C．根据长方体的体积公式：底面积×高，所以当长方体的底面积一定时，体积和高成正比例；
D．根据圆柱的展开图可知，圆柱的底面周长和高相等，它的侧面沿高展开后是正方形。
【解答】A．31名在6月份过生日的同学中，至少有两人在同一天过生日。选项说法正确；
B．女生人数占总人数的25%，男生人数占总人数的75%，所以女生人数与男生人数的比是1∶3。选项说法正确；
C．根据长方体的体积公式可知，长方体的底面积一定，体积和高成正比例。选项说法正确；
D．如果圆柱的底面周长和高都是5dm，那么它的侧面沿高展开后是正方形。选项说法错误。
故答案为：D
18．有13只鸽子飞进4个笼子里，总有一个笼子里至少飞进（ ）只鸽子。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】将笼子看作抽屉，鸽子看作元素，通过平均分的方法来确定每个抽屉先放的数量，再考虑剩余鸽子的分配。据此解答。
【解答】13只鸽子飞进4个笼子，13÷4 ＝ 3（只）……1（只），每个笼子先平均放3只鸽子，还剩1只。剩下的这1只不论放进哪个笼子，都会使得这个笼子里的鸽子数量至少增加1只。所以总有一个笼子至少飞进3＋1＝4只鸽子。
故答案为：D
19．六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放（ ）本书。
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】把3层书架看作3个抽屉，把31本书看作31个元素，从最不利情况考虑，每层书架放10本，共放10×3＝30（本），剩下1本无论放在哪个书架，总有一个书架放10＋1＝11（本），据此解答。
【解答】31÷3＝10（本）……1（本）
10＋1＝11（本）
六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放11本书。
故答案为：C
20．有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（ ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】运用最不利原则，先考虑最糟糕的抽取情况，就是先把一种颜色的卡片全部抽完，因为每种颜色卡片有5张，所以先把一种颜色（比如红色）的5张卡片全部抽出来，此时再抽一张，无论抽到白色还是蓝色卡片，都能保证取到两张不同颜色的卡片，所以至少要抽取（5＋1）张卡片，据此解答。
【解答】根据分析：
5＋1＝6（张）
即至少取6张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
故答案为：D
四、连线题
21．如图盒子里有同样大小的球，要想摸出的球一定有2个相同的号码，至少要摸出几个球？
【答案】见详解
【分析】第一个盒子有3种不同的号码，根据最不利原则，最不利的情况是摸3个球号码都不相同，那么再摸出1个不论什么颜色，总有一个和前面摸出的同色，所以至少要摸出3＋1＝4（个）球；同理，第二个盒子有5种不同的号码，最不利的情况是摸5个球号码都不相同，那么再摸出1个不论什么颜色，总有一个和前面摸出的同色，所以至少要摸出5＋1＝6（个）球；第三个盒子有4种不同的号码，最不利的情况是摸4个球号码都不相同，那么再摸出1个不论什么颜色，总有一个和前面摸出的同色，所以至少要摸出4＋1＝5（个）球。
【解答】通过分析可得：
五、解答题
22．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
【答案】8名
【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。
【解答】抽屉：3＋3＋1＝7（个）
学生：7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生。
23．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？
6.66元 66元 神秘任务包
小惊喜 开始 抽奖 16.66元
5.66元 48元 谢谢参与
【答案】抽奖的结果共8种，张叔叔共抽奖12次，假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果，剩下4次无论抽中什么结果，总能保证至少有2次抽奖结果是相同的。
【分析】根据题意可知，假设抽了8次，每一次结果都不同，剩下4次机会，无论怎么抽，至少有2次的抽奖结果是相同的。
【解答】根据题意，抽奖的结果共8种，张叔叔共抽奖12次，假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果，剩下4次无论抽中什么结果，总能保证至少有2次抽奖结果是相同的。
24．小东家有三种花纹不同的筷子，小东吃早饭时要去拿一双花纹一样的筷子。假如他闭上眼睛，至少要拿几根筷子，才能保证拿到一双花纹相同的筷子？
【答案】4根
【分析】从最不利的情况考虑，如果前3次刚好拿出三种花纹的筷子各1根，那么再拿出1根无论是什么花纹，都能保证拿到一双花纹相同的筷子。
【解答】3＋1＝4（根）
答：至少要拿4根筷子，才能保证拿到一双花纹相同的筷子。
【点评】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。
25．一副扑克牌有四种花色（除去大王和小王），每种13张，从中任意抽出5张，那至少有几张牌花色相同？如果抽出13张牌，那至少有几张牌花色相同？如果抽出24张牌，至少有几张牌花色相同？如果抽出14张牌。那至少有几张牌花色不相同？
【答案】2张；4张；6张；10张
【分析】用物体数除以抽屉数，有余数时，至少数等于商＋1，没有余数时至少数等于商；抽出14张牌，至少有4张花色相同，用14减去4，求出至少有10张牌花色不相同，据此解答即可。
【解答】（1）（张）（张）
（张）
答：那至少有2张牌花色相同；
（2）（张）（张）
（张）
答：那至少有4张牌花色相同；
（3）（张）
答：那至少有6张牌花色相同；
（4）（张）（张）
（张）
（张）
答：那至少有10张牌花色不相同。
【点评】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
26．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？
【答案】3个
【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。
【解答】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。
将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。
答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。
【点评】本题考查抽屉原理。
27．将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？
【答案】2个；4个
【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【解答】9－8＝1（个）
25÷8＝3（组）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果；将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了4个苹果。
【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
28．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？
【答案】28次
【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。
【解答】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次）
答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。
29．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？
【答案】见详解
【分析】把6个人看作6个抽屉，把121环看作121个元素，从最不利情况考虑，每人射击20环，共射击20×6＝120（环），剩下1环无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉是20＋1＝21（环），据此解答。
【解答】121÷6＝20（环）……1（环）
20＋1＝21（环）
答：因为如果每个人都射中不超过20环，那么6个人最多只能射中120环，但题目给出的总环数是121环，超过了120环，所以必定有1人至少射中21环。
30．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？
【答案】11个
【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。
【解答】（1＋9）×9÷2
＝10×9÷2
＝50÷2
＝45（个）
15－9＝6（个）
9＋1＋1
＝10＋1
＝11（个）
答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。
【点评】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。
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当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养：
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中小学数学教研
2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
第五单元 数学广角—鸽巢问题
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】鸽巢问题
1、把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。
2、把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。
3、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个物品。
4、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn+1)个物品。
5、(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=a……b(b6、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③说明理由，得出结论。
【考点一】鸽巢问题
【典例一】一副扑克牌有4种花色（大小王除外），每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
【典例二】六三班同学有8人都订阅了三种报刊中的一种或几种，那么，这8人中至少有（ ）个人所订的报刊种类完全相同。
【典例三】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【典例四】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
【典例五】班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
一、填空题
1．有14枚棋子放入下面的方格中，那么有一个小方格内至少放（ ）枚棋子。
2．体育器材室有若干个足球、篮球和排球，体育老师让44名同学到体育器材室拿球，每人最少拿1个，最多拿2个，那么至少有（ ）名同学拿球的情况完全相同。
3．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，为什么呢？
可以这样想：如果每个笔筒只放1支铅笔，最多放（ ）支。剩下的（ ）支还要放进其中的一个笔筒，所以至少有（ ）支铅笔放进同一个笔筒。
4．箱子里有大小相同的38张卡片，这些卡片上印有不同外卖APP的标志，分别是“美团外卖”12张，“饿了么”13张，“肯德基宅急送”6张，“百度外卖”7张。从箱子里取卡片，至少取（ ）张才能保证其中5张卡片是同一家外卖APP的标志。
5．今天是小明的生日，小明邀请好朋友一起庆祝。妈妈为他准备了一个大蛋糕，把蛋糕平均分 成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了（ ）块蛋糕。请说明你的理由。（ ）。
6．六（1）班举办“童心向党”主题活动，有18名同学表演了节目，节日类型有唱歌、舞蹈、弹奏、朗诵、小品，至少有（ ）名同学表演的节目类型相同。
7．有红、黄、蓝三种颜色的筷子各两双混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出（ ）根才能保证一定有两根同色的筷子。
8．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有（ ）个面的颜色相同。
9．杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有（ ）人是同一个月生日。
10．盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出（ ）个玻璃球，才能保证有2个是同色的。
二、判断题
11．在由4张 ，4张 ，4张 ，4张 组成的一堆牌中，要保证抽出一张 ，至少要抽4张。（ ）
12．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。（ ）
13．学校将新买的19张课桌分给6个班，总有一个班至少分到4张课桌。（ ）
14．六（1）班有40名学生，其中至少有4人是同一个月出生。（ ）
15．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ ）
三、选择题
16．一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取（ ）张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。
A．9 B．13 C．14 D．27
17．下列说法错误的是（ ）。
A．31名在6月份过生日的同学中，至少有两人在同一天过生日
B．某小组男生人数占总人数的75%，则女生人数与男生人数的比是1∶3
C．长方体的底面积一定，体积和高成正比例
D．如果圆柱的底面直径和高都是5dm，那么它的侧面沿高展开后是正方形
18．有13只鸽子飞进4个笼子里，总有一个笼子里至少飞进（ ）只鸽子。
A．1 B．2 C．3 D．4
19．六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放（ ）本书。
A．9 B．10 C．11 D．12
20．有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（ ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
A．3 B．4 C．5 D．6
四、连线题
21．如图盒子里有同样大小的球，要想摸出的球一定有2个相同的号码，至少要摸出几个球？
五、解答题
22．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
23．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？
6.66元 66元 神秘任务包
小惊喜 开始 抽奖 16.66元
5.66元 48元 谢谢参与
24．小东家有三种花纹不同的筷子，小东吃早饭时要去拿一双花纹一样的筷子。假如他闭上眼睛，至少要拿几根筷子，才能保证拿到一双花纹相同的筷子？
25．一副扑克牌有四种花色（除去大王和小王），每种13张，从中任意抽出5张，那至少有几张牌花色相同？如果抽出13张牌，那至少有几张牌花色相同？如果抽出24张牌，至少有几张牌花色相同？如果抽出14张牌。那至少有几张牌花色不相同？
26．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？
27．将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？
28．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？
29．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？
30．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？
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