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2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
（从课本到奥数）第四单元 比例奥数思维训练一
答案解析
1．【解题思路】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。
【详细解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。
100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15）
100∶（100－x）＝90∶85
90×（100－x）＝100×85
90×（100－x）＝8500
90×（100－x）÷90＝8500÷90
100－x＝
x＝100－
x＝
当杨洋跑到终点时会领先张雯米。
【考点点评】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。
2．【解题思路】从“甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等”可得：甲× ＝乙×20%，根据比例的基本性质可得：甲∶乙＝20%∶＝2∶1。甲乙两数的和是156，对应（2＋1）份。用156÷（2＋1）就求出一份的量，即乙；再用和减去乙，就求出了甲。据此解答。
【详细解答】甲× ＝乙×20%
甲∶乙＝20%∶＝20%∶10%＝2∶1
乙：156÷（2＋1）
＝156÷3
＝52
甲：156－52＝104
甲是104，乙是52。
【考点点评】理解甲数的小数点向左移动一位即缩小到甲的 ，利用比例的基本性质求出甲乙的比是解题关键。
3．【解题思路】表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；因为甲数×＝乙数，所以当甲数作比例的外项，则也是外项，乙数作比例的内项，则也作比例的内项，所以甲数∶乙数＝，最后化简即可。
【详细解答】由分析可知：甲数∶乙数＝
所以甲数与乙数的比是6∶5。
【考点点评】本题考查比例的基本性质，解答本题的关键是掌握比例的基本性质。
4．【解题思路】△ABC和△ABD是等底等高的两个三角形，所以这两个三角形面积相等，△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC＝25＋35＝60（cm2），所以△ABD的面积＝△ABC的面积＝△AOB的面积＋△AOD的面积，所以△AOD的面积＝60－25＝35（cm2），△AOD和△AOB的高相等，所以△AOD和△AOB的底边长之比等于面积之比，即BO∶DO＝25∶35，同理，△BOC和△DOC的高相等，所以△BOC和△DOC的底边长之比等于面积之比，即BO∶DO＝35∶△DOC的面积，已知BO∶DO＝25∶35，所以25∶35＝35∶△DOC的面积，利用比例的基本性质求出△DOC的面积，再加上△ABC和△AOD的面积，即可求出梯形的面积。
【详细解答】△ABC面积＝△AOB的面积＋△BOC＝25＋35＝60（cm2）
△AOD的面积＝60－25＝35（cm2）
假设△DOC的面积为xcm2，
25∶35＝35∶x
25x＝35×35
25x＝1225
x＝1225÷25
x＝49
所以△DOC的面积是49cm2。
49＋60＋35＝144（cm2）
即梯形的面积是144cm2。
【考点点评】此题首先根据三角形的特征及比的应用，列出比例，关键是求△DOC的面积。
5．【解题思路】已知西安到北京的图上距离和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率：1千米＝100000厘米，求出西安到北京的实际距离。
根据“速度和＝相遇路程÷相遇时间”，求出客车和货车的速度和，又已知客车和货车的速度比是3∶2，即客车的速度占3份，货车的速度占2份，一共是（3＋2）份；用两车的速度和除以（3＋2）份，求出一份数，再用一份数乘货车速度的份数，即可求出货车的速度。
【详细解答】实际距离：
5.5÷
＝5.5×20000000
＝110000000（厘米）
110000000厘米＝1100千米
速度和：1100÷5.5＝200（千米/时）
一份数：
200÷（3＋2）
＝200÷5
＝40（千米/时）
货车的速度：40×2＝80（千米/时）
西安到北京的实际距离1100千米，货车的速度是80千米/时。
【考点点评】本题考查比例尺的意义、行程问题和比的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。
6．【解题思路】如果两个数互为倒数，那么它们的乘积为1，所有的质数中2是唯一的偶质数，再根据分数形式的比例中，交叉相乘积相等，把比例转化为方程求出的值，据此解答。
【详细解答】分析可知，，。
解：
所以，的值为。
【考点点评】本题主要考查解比例，掌握倒数的意义并熟记2既是偶数又是质数是解答题目的关键。
7．【解题思路】如图：
根据平行四边形的面积＝底×高可知，两个同高的平行四边形，面积的比等于对应底的比，图①和图②等高，图③和图④等高，那么图①的面积∶图②的面积＝图③的面积∶图④的面积，据此列出比例方程，并求解。
【详细解答】解：设阴影部分的面积为m2。
12∶4＝24∶
12＝4×24
12＝96
12÷12＝96÷12
＝8
阴影部分的面积是8m2。
【考点点评】本题考查平行四边形面积的计算，关键是抓住两个同高的平行四边形，面积的比等于对应底的比，据此列出比例方程。
8．【解题思路】“把一个长方形缩小到原来的”是把长方形的长和宽分别缩小到原来的。如果原来长方形的长用a表示，宽用b表示，那么现在长方形的长为a，宽为b。再根据长方形周长和面积公式，把原来长方形的周长和面积、现在长方形的周长和面积分别用含有a，b的式子表示。最后比较现在长方形的周长与原来长方形的周长的关系，现在长方形的面积与原来长方形的面积的关系。
【详细解答】原来长方形的周长：2（a＋b）
现在长方形的周长：2（a＋b）＝2×（a＋b）＝×2（a＋b）
所以它的周长缩小到原来的。
原来长方形的面积：ab
现在长方形的面积：a×b＝ab
所以它的面积缩小到原来的。
【考点点评】把一个图形按指定的比放大或缩小，它的周长就按指定的比扩大或缩小，它的面积就按指定比的平方扩大或缩小。
9．【解题思路】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。
如果，根据比例的基本性质可得：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3），根据等式的性质得出A与B的关系即可解答。
【详细解答】
解：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3）
4.5B＋18＝6A＋18
4.5B＋18－18＝6A＋18－18
4.5B＝6A
根据比例的基本性质，由4.5B＝6A可得：A∶B＝4.5∶6＝0.75，A与B的比值一定，则A和B成正比例。
故答案为：A
【考点点评】根据比例的基本性质，得出A∶B的比值是解题的关键。
10．【解题思路】糖水的浓度＝糖的质量÷糖水的质量×100%，糖的质量＝糖水的质量×浓度，先表示出原来和现在糖水中糖的质量，再表示出现在糖水的质量，现在糖水的质量＝原来糖水的质量＋加入糖的质量＋加入水的质量，糖水浓度不变，则糖的质量与糖水的质量成正比例关系，现在糖的质量∶现在糖水的质量＝原来糖的质量∶原来糖水的质量，据此解答。
【详细解答】解：设应加入x克水。
（100×＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10
（20＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10
30∶（110＋x）＝2∶10
（110＋x）×2＝30×10
（110＋x）×2＝300
110＋x＝300÷2
110＋x＝150
x＝150－110
x＝40
所以，应加入40克水。
故答案为：C
【考点点评】本题主要考查应用正比例关系解决问题，理解糖与糖水的质量成正比例关系并准确表示出现在糖和糖水的质量是解答题目的关键。
11．【解题思路】面积是12m2和16m2的两块长方形地块，等长不等宽，可知面积之比等于宽之比，面积是15m2的地块和阴影地块，也是等长不等宽，且左右两侧的地块宽度相同，所以根据15m2与阴影面积之比等于宽之比，解比例求出阴影部分的面积。
【详细解答】宽∶比＝
阴影面积：
15×4÷3
＝60÷3
＝20（m2）
故答案为：C
【考点点评】本题考查运用比例知识解决实际问题。解比例时依据内项之积等于外项之积解得比例中的未知项。
12．【解题思路】根据题意可知：红球×＝蓝球×，按比例的基本性质，把红球和看作比例的两内项，把蓝球和看作比例的两外项，可得红球∶蓝球＝∶＝2∶3，红、蓝两色彩球共95个，按比例分配的方法，可求得红球有（95×）个，蓝球有（95×）个，用蓝球的个数减去红球的个数即可得解。
【详细解答】根据分析得，红球∶蓝球＝∶＝（×6）∶（×6）＝2∶3
95×＝95×＝38（个）
95×＝95×＝57（个）
57－38＝19（个）
故答案为：A
【考点点评】此题的解题关键是利用比例的基本性质求出红球和蓝球之间的个数比，再按比例分配的方法，分别求出红球和蓝球的个数后即可得解。
13．【解题思路】图上距离∶实际距离＝比例尺，因为实际距离不变，所以图上距离与实际距离成正比，则甲图上北京到上海的图距是乙图上这两地之间图距的几分之几，用甲图的比例尺除以乙图的比例尺即可。
【详细解答】
故答案为：B
14．【解题思路】①根据商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但余数要同时乘（或除以）这个数；
②三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；根据三边关系确定这个等腰三角形的腰长，把三条边相加即是它的周长；
③由圆的面积公式S＝πr2判断，圆的面积与半径的平方成正比例；
④假设三角形的三个内角中，只有一个锐角，那么另外两个角都大于或等于90°，则三个内角相加，和大于180°，不符合三角形的内角和是180°；
⑤一个大圆的半径等于小圆的直径，即大圆的半径是小圆半径的2倍，再由面积公式S＝πr2，得出大、小两圆的面积比。
【详细解答】①19÷6＝3……1，根据商不变的规律，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100；原题说法正确。
②假设等腰三角形的两条腰长都是2厘米；
2＋2＝4（厘米）
4＜7，不符合三角形的三边关系，2厘米、2厘米、7厘米不能组成三角形。
假设等腰三角形的两条腰长都是7厘米；
7＋2＝9（厘米）
9＞7，符合三角形的三边关系，2厘米、7厘米、7厘米可以组成三角形。
周长：
2＋7＋7
＝9＋7
＝16（厘米）
原题说法错误。
③由S＝πr2可知，S∶r2＝π（一定），比值一定，圆的面积与半径的平方成正比例；
原题说法错误。
④一个三角形至少有2个锐角；原题说法正确。
⑤大圆半径∶小圆半径＝2∶1
大圆面积∶小圆面积
＝22∶12
＝4∶1
原题说法正确。
综上所述，①④⑤的说法正确。
故答案为：C
【考点点评】掌握商不变的规律、三角形的三边关系、三角形的内角和、正比例的意义、比的意义是解题的关键。
15．【解题思路】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；则可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；条件“淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟”可以替换为“笑笑做25个纸鹤比做24个纸鹤多用2分钟”，从而可知，笑笑做一个纸鹤用时2分钟；进而求出淘气做一个纸鹤用时。
【详细解答】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；
6∶5＝30∶25
可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；
笑笑做一个纸鹤用时：2÷（25－24）
＝2÷1
＝2（分钟）
25×2÷30＝（分钟）
故答案为：A
【考点点评】根据比例转换数量关系，再解答。
16．【解题思路】根据甲队单独做完的时间要比乙队单独做完的时间多20%，先确定甲乙两队工作时间比，根据比例的意义，求出乙队10天和5天做的工作甲队需要的天数，确定甲队单独做需要的天数，进而求出乙队做5天后剩下的工作甲队需要的天数即可。
【详细解答】甲队与乙队单独做完这项工程的时间比为，设乙队10天做的工作，甲队需要做天，则，，所以甲队单独做完这项工程需要（天）设乙队5天做的工作，甲队需要做天，则，，所以乙队做5天后剩下的工作，甲队需要做（天）。
故答案为：B
【考点点评】关键是理解比和比例的意义，用比例解决问题时，左右两边的比统一即可。
17．【解题思路】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。
，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；
【详细解答】
解：
解：
18．【解题思路】本题可根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际距离，。两车3小时共行驶，则每小时行驶路程之和为，客车与货车行驶的路程比是8∶7，时间相同，速度比等于路程比，所以客车与货车的速度比是8∶7，货车每小时行驶。据此解答。
【详细解答】

答：货车每小时行驶。
【考点点评】理解掌握“实际距离＝图上距离÷比例尺”及“速度比等于路程比”是解答本题的关键。
19．【解题思路】两地的实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出、两地之间的公路长度，因为两车行驶的时间相同，两车的速度比就是两车行驶的路程之比，按比例分配，即可求出甲车比乙车多行驶的路程。
【详细解答】6÷＝30000000（厘米）
30000000厘米＝300千米
300÷（2＋3）×（3－2）
＝300÷5×1
＝60（千米）
答：甲车比乙车多行驶了60千米。
【考点点评】此题考查了比例尺与按比例分配的综合应用，先求出两地的实际距离，明确两车速度之比等于行驶的路程之比是解题关键。
20．【解题思路】正方体按缩小，就是将正方体的棱长缩小到原来的，假定原正方体边长为2，则缩小后的正方体的边长就是1。进而按题意进行计算，得以解答。
【详细解答】正方体按缩小，就是将正方体的棱长缩小到原来的，假定原正方体的边长是2，则缩小后的正方体的边长是。
棱长和的比：（1×12）∶（2×12）＝12∶24＝1∶2
表面积的比：（1×1×6）∶（2×2×6）＝6∶24＝1：4
体积的比：（1×1×1）∶（2×2×2）＝1∶8
答：缩小后正方体的棱长和与原来正方体的棱长和的比是1∶2；表面积比是1∶4；体积比是1∶8。
【考点点评】理解正方体按缩小的所表达的意思，是解题的关键。
21．【解题思路】假设甲乙两个笼子里各养着x只兔子，18只调皮的兔子从甲笼跑向了乙笼，此时甲乙两个笼子里的兔子数分别是x－18只和x＋18只，它们的比是5∶8，据此列出比例并解答即可。
【详细解答】解：设甲乙两个笼子里各养着x只兔子。
（x－18）∶（x＋18）＝5∶8
（x＋18）×5＝（x－18）×8
5x＋90＝8x－144
8x－5x＝90＋144
3x＝234
x＝78
78×2＝156（只）
答：两个笼子里共有156只兔子。
【考点点评】认真审题，弄清题意，用比例解答跟列方程一样，关键是找准等量关系。
22．【解题思路】（已加工零件数＋100）∶（未加工的零件数－100）＝4∶3，据此列出方程解答即可。
【详细解答】解：设这批零件一共有x个，
2＋5＝7
（x＋100）∶（x－100）＝4∶3
（x－100）×4＝（x＋100）×3
x－400＝x＋300
2x＝700
x＝350
答：这批零件一共有350个。
【考点点评】本题列方程的思路是依据前后两次已加工的和未加工的零件个数之比，力求在变化中寻找不变的量，再结合比例的基本性质，解答本题。
23．【解题思路】把每件玩具汽车的进价设为未知数，等量关系式：（进价＋第一天一个玩具汽车的利润）×卖出的数量＝（进价＋第二天一个玩具汽车的利润）×卖出的数量，据此解答。
【详细解答】解：设每件玩具汽车的进价是x元。
（x＋11）×10＝（x＋5）×11
10x＋110＝11x＋55
11x－10x＝110－55
x＝55
答：每件玩具汽车的进价是55元。
【考点点评】分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。
24．【解题思路】火车过桥问题，总路程＝桥长＋车长，速度一定，路程与时间成正比例。
【详细解答】解：设这列火车长x米。
（2000＋x）∶60＝（1460＋x）∶45
60x－45x＝90000－87600
x＝160
答：这列火车长160米。
【考点点评】此题考查火车过桥问题路程的特点以及正比例的应用。
25．【解题思路】（1）在数对中前面的数表示行，后面的数表示列，据此可表示出点C的位置；
（2）分别把三角形的各点向左平移3格，再连线即可得到图①；
（3）将原图与点C有关联的两条边先绕点C顺时针旋转90°，再连接第三条边可得到图②；
（4）将原图按2：1放大，即BC边长2×2＝4格，AC边长3×2＝6格，再连线即可。
（5）根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，分别求出原来三角形的面积和图③的面积，再求它们的面积之比即可。
【详细解答】（1）据分析知：点C的位置是（7，2）；
（2）（3）（4）画图如下：
（5）原来三角形的面积：2×3÷2
＝6÷2
＝3
图③的面积：4×6÷2
＝24÷2
＝12
12∶3＝4∶1
【考点点评】掌握平移和旋转知识以及三角形的面积公式是解决此题的关键。
26．【解题思路】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行。
（2）根据旋转的特征，将梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形；
轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴；据此画出旋转后的梯形的对称轴；
梯形的高是上底与下底之间的距离，即上底所在直线上的任意一点到下底所在直线的距离，所以梯形的高有无数条，任意画一条即可。
（3）根据平移的特征，将梯形ABCD的各顶点分别向下平移7格，再向右平移2格，依次连结即可得到平移后的图形。
（4）把梯形ABCD按1∶2缩小，即梯形的每一条边缩小到原来的，原梯形的上底、下底和高分别除以2，得出缩小后梯形的上底、下底和高，据此画出缩小后的图形。
根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出原梯形和缩小后梯形的面积，再求两者的面积比，并化简比。
【详细解答】（1）B点在第8列第8行，用数对表示为（8，8）；
（2）梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形如下图，并画出旋转后图形的一条对称轴（图中的虚线），以及一条高h。（高的画法不唯一）
（3）平移后的梯形如图所示。
（4）原梯形的上底是4格，缩小后梯形的上底是4÷2＝2（格）；
原梯形的下底是6格，缩小后梯形的下底是6÷2＝3（格）；
原梯形的高是4格，缩小后梯形的高是4÷2＝2（格）；
据此画出缩小后的梯形如下图。
原梯形的面积：
（4＋6）×4÷2
＝10×4÷2
＝40÷2
＝20
缩小后梯形的面积：
（2＋3）×2÷2
＝5×2÷2
＝10÷2
＝5
原梯形与缩小后梯形的面积的比是：
20∶5
＝（20÷5）∶（5÷5）
＝4∶1
【考点点评】掌握作旋转后的图形、作平移后的图形、作缩小后的图形、对称轴、梯形的高的作图方法是解题的关键；明确图形的缩小是指图形各边按比例缩小，但形状不变；掌握用数对表示位置，运用梯形的面积公式以及化简比求出缩小前后梯形的面积比。
27．【解题思路】（1）以中心广场为观测点，以它的“上北下南，左西右东”方向为准，确定广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向；
（2）先在图中量出从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，最后根据进率1km＝100000cm换算单位；
（3）先用李叔叔乘出租车的实际距离减去3km，再乘单价2.5元，求出超过3km部分的费用，再加上3km以内的费用，就是乘出租车一共的费用。
【详细解答】（1）广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向。
（2）量得从李叔叔家到中心广场的图上距离是1cm，从中心广场到达广贸大厦的图上距离是2cm；（以实际测量为准）
从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离一共是：1＋2＝3（cm）
实际距离：3÷＝600000（cm）
600000cm＝6km
答：出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了6km。
（3）（6－3）×2.5＋9
＝3×2.5＋9
＝7.5＋9
＝16.5（元）
答：李叔叔乘出租车需要16.5元车费。
【考点点评】掌握方向、角度确定位置，图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。
28．【解题思路】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可；
（2）养殖园的长＝圆柱的高，养殖园的宽＝圆柱底面直径，塑料薄膜面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，据此列式解答；
（3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长＝圆柱底面周长，底面直径×2＝圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径＋底面周长＝33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出容积即可。
【详细解答】（1）10÷＝10×1000＝10000（厘米）＝100（米）
3÷＝3×1000＝3000（厘米）＝30（米）
答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米。
（2）3.14×（30÷2）2＋3.14×30×100÷2
＝3.14×152＋4710
＝3.14×225＋4710
＝706.5＋4710
＝5416.5（平方米）
答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。
（3）解：设底面直径是x分米。
x＋3.14x＝33.12
4.14x＝33.12
4.14x÷4.14＝33.12÷4.14
x＝8
3.14×（8÷2）2×（8×2）
＝3.14×42×16
＝3.14×16×16
＝803.84（立方分米）
＝803.84（升）
答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升。
【考点点评】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。
29．【解题思路】（1）根据统计表中的数据在方格图中描出各点，再用平滑的曲线顺次连接。
（2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
（3）先根据V＝Sh，用统计表中的任意一组数据求出水的体积，水的体积不变，杯子的底面积变成50平方厘米时，根据h＝V÷S，求出此时杯子中水面的高度。
【详细解答】（1）如图：
（2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300
乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。
（3）5×60÷50
＝300÷50
＝6（厘米）
底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。
【考点点评】本题考查反比例关系的辨识方法、画反比例关系的图象以及利用反比例关系解决实际问题。
30．【解题思路】（1）因为C点（，45）也在l这条直线上，可以与A点或B点组成比例方程，并求解，求出的值。
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。
（3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点D的位置是（z，4），根据数对的知识可知，点D与点A在同一行，由此得出点D在图中的位置；
因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点A、点B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥的体积。
【详细解答】（1）＝
解：4＝8×45
4＝360
＝360÷4
＝90
如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝90。
（2）＝＝…＝2（一定）
那么直线l上的点P（，），＝2，比值一定，和成正比例。
（3）如下图，点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形ABD。
横轴的每格表示：
（20－8）÷4
＝12÷4
＝3（厘米）
纵轴的每格表示：
（10－4）÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米）
圆锥的高：3×2＝6（厘米）
×3.14×122×6
＝×3.14×144×6
＝904.32（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是904.32立方厘米。
【考点点评】（1）列出比例方程，并解比例。
（2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。
（3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到D点的位置，再判断旋转而成的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
（从课本到奥数）第四单元 比例奥数思维训练一
一、填空题
1．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。
2．甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。
3．甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0）。甲数和乙数的比是( )。
4．如图，等腰梯形ABCD被对角线分4个小三角形，已知△AOB、△BOC的面积分别是25cm2、35cm2，那么梯形的面积是( )cm2。
5．在比例尺为1∶20000000的地图上，测得西安到北京约为5.5厘米，则西安到北京的实际距离是( )千米。一辆客车和一辆货车同时从西安、北京两地相对开出，5.5小时后相遇，已知客车和货车的速度比是3∶2，则货车的速度是( )千米/时。
6．若与互为倒数，且是偶数又是质数，满足则的值为( )。
7．如图，一个平行四边形被两条直线分成四个平行四边形，其中三份的面积分别是12m2、4m2、24m2，图中阴影部分的面积是 m2。
8．把一个长方形缩小到原来的，它的周长缩小到原来的( )，面积缩小到原来的( )。
二、选择题
9．如果，那么A和B（ ）。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能判断
10．在100克的糖水中，糖与糖水的比是2∶10，如果再加入10克糖，要使得糖水浓度不变，应加入（ ）克水。
A．10克 B．20克 C．40克 D．50克
11．如图，张爷爷把自家一块长方形菜地分成四块小长方形，分别栽种不同蔬菜。已知其中三小块长方形的面积分别是12m2、15m2和16m2，则阴影部分的面积是（ ）m2。
A．13 B．19 C．20 D．23
12．小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的和蓝球的一样多。两种球相差（ ）个。
A．19 B．20 C．25 D．30
13．两张中国地图。甲图的比例尺是，乙图的比例尺是，甲图上北京到上海的图距是乙图上这两地之间图距的（ ）。
A． B． C． D．
14．下列说法中正确的个数是（ ）个。
①19÷6＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100；
②一个等腰三角形的两边分别是2厘米和7厘米，则该等腰三角形的周长是11厘米或16厘米；
③圆的面积和半径成正比例；
④一个三角形至少有2个锐角；
⑤一个大圆的半径等于小圆的直径，则大、小两圆的面积比是4∶1。
A．1 B．2 C．3
D．4 E．5
15．淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟，淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，淘气做一个纸鹤用（ ）分钟。
A． B．2 C．1 D．
16．一项工程，甲队单独做完的时间要比乙队单独做完的时间多20%。如果甲队先单独做5天，乙队再单独做10天，正好可以完成这项工程。实际工作时，乙队先单独做5天，甲队再单独做（ ）天，也可以完成这项工程。
A．10 B．11 C．12 D．13
三、计算题
17．解方程或比例。

四、解答题
18．在比例尺为1∶7500000的地图上，甲、乙两地的距离是。现有一辆客车和一辆货车分别从两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。客车与货车行驶的路程比是8∶7，货车每小时行驶多少千米？
19．在一幅比例尺为的地图上，量得、两地之间的公路长度是，甲、乙两车同时从、两地出发，相向而行。已知乙车速度与甲车速度之比是。两车相遇时，甲车比乙车多行驶了多少千米？
20．将一个正方体按缩小，缩小后正方体的棱长和与原来正方体的棱长和的比是多少？表面积呢？体积呢？
21．甲乙两个笼子里养着同样多的兔子。某天，18只调皮的兔子从甲笼跑向了乙笼，这样，两个笼子里的兔子数量比就变成了。两个笼子里共有多少只兔子？
22．李师傅要加工一批零件，已加工的和未加工的零件个数之比是2∶5。他再加工100个零件后，已加工的和未加工的零件个数之比为4∶3。这批零件一共有多少个？
23．某商店卖玩具汽车，第一天按11元的利润卖出10个，第二天正值五一假期，降价优惠，不一会儿就以5元的利润卖出了11个，结果这11个的总价钱与昨天10个的总价钱相同。每件玩具汽车的进价是多少钱？
24．一列火车通过一座长2000米的大桥要60秒，如果用同样的速度通过一座1460米的隧道则要45秒，这列火车长多少米？（利用比例知识解答）
25．按要求完成下面各题。
（1）点的位置用数对表示是（ ）。
（2）将三角形向左平移3格，得到图①。
（3）将原图绕点顺时针旋转得到图②。
（4）将原图按放大，得到图③。
（5）放大后的三角形（图③）的面积与原来的面积比是（ ）。
26．（1）下图中B点的位置是 。
（2）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形，并画出旋转后图形的一条对称轴、一条高。
（3）画出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的图形。
（4）在方格纸上按1∶2画出梯形ABCD缩小后的图形，原梯形与缩小后梯形的面积的最简比是（ ）。
27．下面是李叔叔坐出租车经过中心广场去广贸大厦的路线图，该城市出租车的计费标准是：3km以内9元，超过3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km计算）。
（1）广贸大厦在中心广场的（　　）偏（　　）50°方向；
（2）量一量，算一算，出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了多少km？
（3）李叔叔乘出租车需要多少元车费？
28．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园。
（1）养植园是个长方形，画在的图纸上，长10cm，宽3cm，这个养植园实际的长和宽各是多少米？
（2）养植园外形是一个半圆柱形（如图），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？
（3）利用如图中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？
29．把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。
底面积/cm2 5 10 20 30 60
水面高度/cm 60 30 15 10 5
（1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。
（2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成（ ）比例关系。
（3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是（ ）厘米。
30．如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米）
（1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（ ）。
（2）直线l上的点P（，），和成（ ）比例。
（3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？
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