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第三单元易错易混专项06 运用圆柱的体积容积解决问题拔高30题
答案解析
一、解答题
1．一根圆木的尺寸如图。
（1）这根圆木的体积有多少立方米？（得数保留三位小数）
（2）已知每立方米柳木重450千克，这个柳木晾干后大约重多少千克？（结果保留整数）
【正确答案】（1）0.123立方米；（2）47千克
【解题思路】（1）先把28厘米化为0.28米，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（0.28÷2）2×2即可求出这根圆木的体积；
（2）用这根圆木的体积乘450即可求出这个湿木头的重量，已知湿木头的含水率是15%，则晾干后的重量是湿木头的（1－15%），把湿木头的重量看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用湿木头的重量×（1－15%）即可求出晾干后的重量。
【详细解答】（1）28厘米＝0.28米
3.14×（0.28÷2）2×2
＝3.14×0.142×2
＝3.14×0.0196×2
≈0.123（立方米）
答：这根圆木的体积有0.123立方米。
（2）0.123×450×（1－15%）
＝0.123×450×0.85
≈47（千克）
答：这个柳木晾干后大约重47千克。
【考点点评】本题主要考查了圆柱的体积公式的应用，要熟练掌握公式。
2．妈妈的茶杯，这样放在桌子上。（如下图）
（1）这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？
（2）这只茶杯装满水后的体积是多少？
【正确答案】（1）28.26平方厘米；
（2）423.9立方厘米
【解题思路】（1）求茶杯占据桌面的大小就是求圆柱的底面积，利用“”求出茶杯的底面积；
（2）求茶杯装满水后的体积就是求圆柱的体积，利用“”求出茶杯的体积，据此解答。
【详细解答】（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
答：这只茶杯占据桌面的大小是28.26平方厘米。
（2）28.26×15＝423.9（立方厘米）
答：这只茶杯装满水后的体积是423.9立方厘米。
【考点点评】掌握圆的面积和圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
3．一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为18厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中，玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至15厘米，这时长方体容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数）

【正确答案】1.4升
【解题思路】根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此求出圆柱形玻璃杯中果汁的体积，此果汁的体积就是高18－15＝3厘米长方体的容积。然后根据长方体的容积公式：V＝Sh求出长方体容器的底面积，进而求出此时长方体容器中剩下的果汁的升数。
【详细解答】3.14×（6÷2）2×10
＝3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
282.6÷（18－15）
＝282.6÷3
＝94.2（平方厘米）
94.2×15＝1413（立方厘米）＝1.413（升）≈1.4（升）
答：这时长方体容器中的果汁大约还有1.4升。
【考点点评】本题考查圆柱和长方体的容积，熟记公式是解题的关键。
4．如图，加工一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。
（1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）。
（2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）。
【正确答案】（1）45立方厘米
（2）118平方厘米
【解题思路】（1）零件体积＝长方体体积－圆柱体积，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高，看图可知，圆柱的高＝长方体的长，据此列式解答；
（2）看图可知，喷油漆的面积＝长方体表面积－圆柱底面积×2＋圆柱侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。
【详细解答】（1）2÷2＝1（厘米）
5×3×4－3×12×5
＝60－3×1×5
＝60－15
＝45（立方厘米）
答：这个零件的体积是45立方厘米。
（2）（5×3＋5×4＋3×4）×2－3×12×2＋3×2×5
＝（15＋20＋12）×2－3×1×2＋30
＝47×2－6＋30
＝94－6＋30
＝118（平方厘米）
答：喷油漆的面积是118平方厘米。
5．一个圆柱形水桶，高是8分米。水桶底部的铁箍长25.12分米。（木板厚度忽略不计）
（1）做这个水桶至少要用多少平方分米木板？
（2）这个水桶能盛400L升吗？
【正确答案】（1）251.2平方分米
（2）能
【解题思路】（1）本题的实质是求水桶的表面积，水桶的表面积由水桶的侧面积加一个底面面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积＝,将数值代入公式计算即可。
（2）根据圆柱形容器的容积＝底面积×高，求得水桶的容积，再与400升比较即可。
【详细解答】
（1）25.12÷3.14÷2
＝
＝4（分米）
3.14×42＋25.12×8
＝50.24＋200.96
＝251.2（平方分米)
答：做这个水桶至少要用251.2平方分米木板。
（2）3.14×42×8
＝50.24×8
＝401.92(立方分米）
＝401.92升
401.92＞400
答：这个水桶能盛400升水。
6．为了测量一个小铁球的体积，乐乐先把一个棱长为3厘米的正方体铁块浸没在一个盛有水的圆柱形水槽中，水面上升了1.5厘米，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了2厘米。这个小铁球的体积是多少立方厘米？（浸没过程中，水均没有溢出）
【正确答案】36立方厘米
【解题思路】
水面上升的体积就是铁块和铁球的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积，即水面上升的体积，正方体铁块的体积÷水面上升的高度＝水槽底面积，水槽底面积×水面又上升的高度＝小铁球的体积。
【详细解答】3×3×3÷1.5
＝27÷1.5
＝18（平方厘米）
18×2＝36（立方厘米）
答：这个小铁球的体积是36立方厘米。
7．王师傅计划用一张长方形铁皮做侧面（如图），再给它配上一个底，做成一个无盖的圆柱形水桶。
（1）要尽量使水桶的容积大，王师傅制成的水桶的容积是多少升？
（2）盛满水后，水与桶接触的面一共有多少平方分米？
【正确答案】（1）401.92升
（2）251.2平方分米
【解题思路】（1）求水桶的容积就是求底面周长是25.12分米，高是8分米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，列式解答即可。
（2））盛满水后，水与桶接触的面是水桶的底面和侧面，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详细解答】（1）3.14×（25.12÷3.14÷2）2×8
＝3.14×（8÷2）2×8
＝3.14×42×8
＝3.14×16×8
＝50.24×8
＝401.92（平方分米）
401.92平方分米＝401.92升
答：这个水桶的容积是401.92升。
（2）25.12×8＋3.14×（25.12÷3.14÷2）2
＝25.12×8＋3.14×（8÷2）2
＝25.12×8＋3.14×42
＝25.12×8＋3.14×16
＝200.96＋50.24
＝251.2（平方分米）
答：水与桶接触的面一共有251.2平方分米。
8．网红食品“爆浆蛋糕”也可以叫做“泥石流蛋糕”，蛋糕上面部分是一层厚厚的奶油，揭开包装之后奶油滑落，覆盖整个蛋糕。一个圆柱形“爆浆蛋糕”的底面直径是10厘米，其中面包层厚6厘米，奶油层厚4厘米。
（1）1毫升奶油约重0.8克，制作这样一个“爆浆蛋糕”需要多少克奶油？
（2）揭开外包装后，被奶油覆盖的面包的面积是多少平方厘米？
【正确答案】（1）251.2克
（2）266.9平方厘米
【解题思路】（1）奶油层厚相当于圆柱的高，根据圆柱体积公式，底面积×奶油层厚度＝奶油体积，奶油体积×1毫升奶油重量＝需要的奶油质量。
（2）被奶油覆盖的部分包括面包上面和侧面，被奶油覆盖的面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。
【详细解答】（1）3.14×（10÷2）2×4
＝3.14×52×4
＝3.14×25×4
＝314（立方厘米）
＝314（毫升）
314×0.8＝251.2（克）
答：制作这样一个“爆浆蛋糕”需要251.2克奶油。
（2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×6
＝3.14×52＋188.4
＝3.14×25＋188.4
＝78.5＋188.4
＝266.9（平方厘米）
答：被奶油覆盖的面包的面积是266.9平方厘米。
9．爸爸买了一瓶葡萄酒，喝了一些后，芸芸量了量剩下葡萄酒的高度是7厘米，她把瓶盖拧紧倒置放平，又量得无酒部分的高度是18厘米，已知葡萄酒瓶的内直径是8厘米。芸芸算出这个葡萄酒瓶的容积是多少毫升？
【正确答案】1256毫升
【解题思路】无论是正放还是倒放，瓶子里酒的体积不变，因此瓶子的容积相当于底面直径是8厘米，高是（7＋18）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。
【详细解答】
（立方厘米）
1256立方厘米＝1256毫升
答：这个葡萄酒瓶的容积是1256毫升。
10．（1）一名儿童每天水的需求量约1500毫升。乐乐用如图的圆柱形水杯，每天喝满3杯，能达到需求的量吗（杯子的厚度忽略不计）？
（2）妈妈要为水杯贴上一圈宽5厘米的防烫纸，需要多大的防烫纸（接头处忽略不计）？
【正确答案】（1）能达到需求的量
（2）125.6平方厘米
【解题思路】（1）根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个水杯的容积，然后与1500毫升进行比较，即可得到答案。
（2）分析可知防烫纸的面积就是底面直径是8厘米，高为5厘米的圆柱的侧面积，计算即可。
【详细解答】（1）3.14×（8÷2）2×10×3
＝3.14×16×10×3
＝50.24×10×3
＝502.4×3
＝1507.2（立方厘米）
1507.2立方厘米＝1507.2毫升
1507.2毫升＞1500毫升
答：能达到需求的量。
（2）3.14×8×5
＝25.12×5
＝125.6（平方厘米）
答：需要125.6平方厘米的防烫纸。
11．刘老师买了一套新房，最近正在装修，客厅长8米，宽6米，高3米。请同学们帮刘老师算一算装修时所需的部分材料。
（1）准备把客厅的四周墙壁和顶面刷乳胶漆，门窗、电视墙等有25平方米不粉刷，实际刷乳胶漆的面积是多少平方米？
（2）装修新房时，所选的木料是半径3分米、长4米的圆木，木工师傅自己加工，大约需要10根，请你帮刘老师算算所需木料的总体积。
【正确答案】（1）107平方米；（2）11.304立方米
【解题思路】（1）由于把客厅的四周墙壁和顶面刷乳胶漆，则相当于求长方体的5个面的表面积；根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据即可求解，再减去25平方米不粉刷的面积即可。
（2）由于圆木是圆柱形，根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入求出一根圆木的体积，再乘圆木的个数即可求出所需木料的总体积。要注意单位换算。
【详细解答】（1）8×6＋（8×3＋6×3）×2－25
＝48＋（24＋18）×2－25
＝48＋42×2－25
＝48＋84－25
＝107（平方米）
答：实际刷乳胶漆的面积是107平方米。
（2）3分米＝0.3米
3.14×0.32×4×10
＝3.14×0.09×4×10
＝0.2826×4×10
＝11.304（立方米）
答：刘老师所需木料的总体积是11.304立方米。
12．如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？
【正确答案】565.2立方米
【解题思路】由题意可知：整个大棚的空间等于底面直径是6米，高是40米的圆柱体积的一半，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出体积再除以2即可得解。
【详细解答】3.14×（6÷2）2×40÷2
＝3.14×32×40÷2
＝3.14×9×40÷2
＝28.26×40÷2
＝1130.4÷2
＝565.2（立方米）
答：整个大棚的空间是565.2立方米。
13．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计）
（1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？
（2）鱼缸的容积是多少立方厘米？
【正确答案】（1）35168立方厘米
（2）43960立方厘米
【解题思路】（1）当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米，这时鱼缸的水面是30厘米下降了2厘米，则此时的水面的高度是28厘米。鱼缸中水的体积就是一个高度为28厘米的圆柱的体积：。
（2）鱼缸的容积就是求这个圆柱形的体积，利用圆柱体积的公式解答即可。
【详细解答】（1）30－2＝28（厘米）
3.14×（40÷2）2×28
＝3.14×202×28
＝3.14×400×28
＝35168（立方厘米）
答：鱼缸中水的体积是35168立方厘米。
（2）3.14×（40÷2）2×35
＝3.14×202×35
＝3.14×400×35
＝43960（立方厘米）
答：鱼缸的容积是43960立方厘米。
14．太和殿是我国现存规制最高的古代宫殿建筑。太和殿中有72根圆柱形大柱，每一根柱子都是珍贵的楠木，其中最大的柱子高12.7米，直径约是1米。
（1）若要给这根最大的柱子侧面刷漆，刷漆的面积约是多少平方米？（得数保留一位小数）
（2）这根柱子约重多少吨？（若1立方米楠木重600千克）（得数保留两位小数）
【正确答案】（1）39.9平方米
（2）5.98吨
【解题思路】（1）求刷漆的面积，就是求这样柱子的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答；
（2）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出柱子的体积，再乘600，即可解答；保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答，注意单位名数的换算。
【详细解答】（1）3.14×1×12.7
＝3.14×12.7
≈39.9（平方米）
答：刷漆的面积约39.9平方米。
（2）3.14×（1÷2）2×12.7×600
＝3.14×0.52×12.7×600
＝3.14×0.25×12.7×600
＝0.785×12.7×600
＝9.9695×600
＝5981.7（千克）
5981.7千克≈5.98吨
答：这根柱子约重5.98吨。
15．桌子上有一个茶杯，底面直径6厘米，（如图）。
（1）为了不烫手，在这个茶杯中部贴一圈装饰带，这条装饰带宽7厘米，它的面积是多少？
（2）这个茶杯最多能装多少毫升水？合多少升？
【正确答案】（1）131.88平方厘米
（2）452.16毫升水；0.45216升
【解题思路】（1）求装饰带的面积，就是求一个底面直径为6厘米、高为7厘米的圆柱的侧面积；
根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，即可求出装饰带的面积。
（2）求这个茶杯最多能装水的量，就是求圆柱的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升。
【详细解答】（1）3.14×6×7
＝18.84×7
＝131.88（平方厘米）
答：它的面积是131.88平方厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×16
＝3.14×32×16
＝3.14×9×16
＝452.16（立方厘米）
452.16立方厘米＝452.16毫升
452.16毫升＝0.45216升
答：这个茶杯最多能装452.16毫升水，合0.45216升。
16．一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，可以完全浸没在水中，水深2厘米（如图1）。如果把这个容器如图2放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？
【正确答案】40立方厘米
【解题思路】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出图1水与圆柱形铁块的体积；再求出图2圆柱形铁块的（1－）的体积与水的体积；再用图1的体积－图2的体积，求出圆柱形铁块的的体积，由于圆柱形铁块的得量已知，求单位“1”，用除法，用圆柱形铁块的的体积÷，即可解答。
【详细解答】12×5×2－4×5×5.5
＝60×2－20×5.5
＝120－110
＝10（立方厘米）
10÷
＝10×4
＝40（立方厘米）
答：这个铁块的体积是40立方厘米。
17．如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14）
【正确答案】62.8立方厘米
【解题思路】如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米，将25.12平方厘米除以2，即可求出圆柱的底面积。将圆柱底面积除以3.14，求出圆柱的底面直径。如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，增加的两个面每个面都是长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面直径。那么，将40平方厘米除以2，再除以底面直径即可求出圆柱的高。根据“圆柱体积＝底面积×高”列式求出原圆柱体的体积。
【详细解答】底面积：25.12÷2＝12.56（平方厘米）
底面直径：12.56÷3.14＝4（厘米）
高：40÷2÷4＝5（厘米）
体积：12.56×5＝62.8（立方厘米）
答：原圆柱体的体积是62.8立方厘米。
18．一个长方体容器，底面是边长为15厘米的正方形，高为20厘米，里面放有水，测得水面高为7.5厘米。现将一个圆柱体冰柱放入容器中，冰柱完全浸没水中（冰未融化），这时水面升高到9.26厘米。
（1）圆柱体冰柱的体积是多少？
（2）已知冰融化成水，体积减少了原来的，当圆柱体冰柱全部融化在容器中后，容器中水面高度是多少？
【正确答案】（1）396立方厘米
（2）9.1厘米
【解题思路】（1）水面上升的体积就是冰柱的体积，根据长方体体积公式，长方体容器底面积×水面上升的高度＝冰柱体积，据此列式解答；
（2）将冰柱体积看作单位“1”，冰融化成水后，体积是冰柱的（1－），冰柱体积×（1－）＝冰柱化成水的体积，冰柱化成水的体积÷长方体容器底面积＝冰柱化成水的高度，再加上放入冰柱前水面高度即可。
【详细解答】（1）15×15×（9.26－7.5）
＝225×1.76
＝396（立方厘米）
答：圆柱体冰柱的体积是396立方厘米。
（2）396×（1－）
＝396×
＝360（立方厘米）
360÷（15×15）＋7.5
＝360÷225＋7.5
＝1.6＋7.5
＝9.1（厘米）
答：容器中水面高度是9.1厘米。
19．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图：
（1）建设时至少需要准备多大的空地？
（2）这个沼气池占用了多大的空间？
【正确答案】（1）200.96平方米
（2）1607.68立方米
【解题思路】（1）求建设时至少需要准备多大的空地，就是求底面直径是16米的圆柱的底面积，根据圆的面积＝解答即可；
（2）求这个沼气池占用了多大的空间，就是求沼气池的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高解答即可。
【详细解答】（1）16÷2＝8（米）
3.14×＝200.96（平方米）
答：建设时至少需要准备200.96平方米的空地。
（2）（立方米）
答：这个沼气池占用了1607.68立方米。
20．一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。
（1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？
（2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？
【正确答案】（1）62.8升
（2）75.36平方分米
【解题思路】（1）π×底面半径的平方×桶口距底面最小高度＝最多能装水的体积；
（2）圆柱的底面积＋高是5分米的侧面积＝水跟桶的接触面积。据此代入数据计算即可。
【详细解答】（1）底面半径：4÷2＝2（分米）
3.14×22×5
＝3.14×4×5
＝12.56×5
＝62.8（立方分米）
62.8立方分米＝62.8升
答：最多能装62.8升的水。
（2）3.14×22＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：装满水后，水跟桶的接触面积是75.36平方分米。
21．周六，小勇邀请了两位好朋友到家里做客，妈妈煮了1升热咖啡，用高为10厘米，底面直径为6厘米的圆柱形杯子来盛咖啡（杯壁厚度忽略不计）。（π取3.14）
（1）要给3个杯子的侧面都包上一层纸皮防烫，至少需要多少平方厘米的纸皮？（纸皮连接处忽略不计）
（2）试着算一下，妈妈煮的咖啡够小勇和他的好朋友每人一杯吗？
【正确答案】（1）565.2平方厘米
（2）够
【解题思路】（1）根据题意，结合圆柱的侧面积公式：底面周长×高，代入数据求出一杯需要的纸皮，再乘上3，计算即可；
（2）根据题意，结合圆柱的体积公式：底面面积×高，代入数据计算出一杯的体积，再乘上3，最后换算成容积单位，再与1升比较即可。
【详细解答】（1）6×3.14×10×3
＝18.84×10×3
＝188.4×3
＝565.2（平方厘米）
答：至少需要565.2平方厘米的纸皮。
（2）3.14××10
＝3.14××10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
282.6×（2＋1）
＝282.6×3
＝847.8（立方厘米）
847.8立方厘米＝0.8478立方分米＝0.8478升
0.8478升＜1升，够
答：妈妈煮的咖啡够小勇和他的好朋友每人一杯。
22．李叔叔的酒窖里有一个底面内直径和高都是6分米的圆柱形酒桶，如果每升高粱酒重0.83千克，这个酒桶可装高粱酒多少千克？（得数保留整数）
【正确答案】140千克
【解题思路】已知圆柱形酒桶的底面内直径和高都是6分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出酒桶的容积；
再用每升高粱酒的重量乘酒桶的容积，即是这个酒桶可装高粱酒的总重量，得数应采用“去尾法”取值。
【详细解答】3.14×（6÷2）2×6
＝3.14×32×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方分米）
169.56立方分米＝169.56升
0.83×169.56≈140（千克）
答：这个酒桶可装高粱酒140千克。
23．王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？
【正确答案】能达到
【解题思路】水杯高12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米，则水的高度是12－2＝10（厘米）。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此求出王叔叔喝一杯水喝了多少毫升，再乘8即可求出喝8杯水喝了多少毫升，据此解答。
【详细解答】3.14×（6÷2）2×（12－2）×8
＝3.14×32×10×8
＝3.14×9×10×8
＝2260.8（立方厘米）
＝2260.8（毫升）
2260.8毫升在2000~2500毫升之间。
答：能达到健身教练的要求。
24．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？
【正确答案】1.94升
【解题思路】根据题意，作图如下：
先将长方体倒卧在圆柱形容器内，注入防锈油，当容器内防锈油的高度是10厘米时，就能完全将零件浸没，此时防锈油的体积＝10厘米高的圆柱体积－长方体的体积。根据圆柱的体积：V＝πr2h，长方体的体积：V＝abh，代入数据，分别求出体积，再相减即可。
【详细解答】3.14×（20÷2）2×10－10×10×12
＝3.14×100×10－1200
＝3140－1200
＝1940（立方厘米）
1940立方厘米＝1940毫升＝1.94升
答：容器内至少需要注入1.94升防锈沺才能完全将零件浸没。
25．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
【正确答案】62.8立方厘米
【解题思路】长方体表面积比原来圆柱表面积增加20平方厘米，20平方厘米实际上是长方体的左右两个侧面的面积，沿直径把圆柱切开拼成一个体积相等的长方体后，这个长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。用这个长方体的一个侧面面积乘这个长方体的长就可以求出它的体积．
【详细解答】20÷2＝10（平方厘米）
4×3.14÷2＝6.28（平方厘米）
6.28×10＝62.8（立方厘米）
答：这个长方体的体积是62.8立方厘米。
26．把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克）
【正确答案】6.25厘米；2449.2克
【解题思路】根据长方体的体积计算公式，，分别计算出出长方体铁块、正方体铁块的体积，二者体积之和就是铸成的这个圆柱的体积；根据圆柱的体积计算公式即可求出这个圆柱的高；
这个圆柱的克数＝这个圆柱的体积（立方厘米数）×7.8。
【详细解答】9×7×3＋5×5×5
＝189＋125
＝314（立方厘米）
314÷（3.14×42）
＝314÷3.14÷42
＝100÷16
＝6.25（厘米）
314×7.8＝2449.2（克）
答：圆柱的高是6.25厘米，这个圆柱重2449.2克．
27．用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。
（1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。
（2）这个水桶的底面直径是（ ）分米，高是（ ）分米。
（3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖）
【正确答案】（1）见详解
（2）2；2；
（3）15.7平方分米
【解题思路】（1）要做一个容积最大的圆柱形无盖水桶，这个圆柱的底面直径和高都应等于长方形铁皮的宽，即都是2分米。据此先以2分米为直径（即1分米为半径）画出水桶的底面。圆的周长＝πd，则这个圆柱的底面周长＝3.14×2＝6.28（分米），而8.28－2＝6.28（分米），说明剩下的小长方形铁皮正好是圆柱的侧面展开图。据此解答。
（2）由（1）的分析可知：这个水桶的底面直径和高都是2分米。
（3）这个水桶的表面积＝侧面积＋底面积＝Ch＋πr2，据此代入数据计算即可解答。
【详细解答】通过分析可得：
（1）8.28－2＝6.28（分米）
作图如下：
（2）这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。
（3）6.28×2＋3.14×（2÷2）2
＝12.56＋3.14×12
＝12.56＋3.14×1
＝12.56＋3.14
＝15.7（平方分米）
答：这个水桶的表面积是15.7平方分米。
28．如下图，一个内直径10厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径5厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是。
（1）圆柱形铁块高多少？
（2）从里面量，量杯高多少？
（3）乐乐通过实验发现：继续往量杯内竖直浸没同样的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。请你通过计算证明实验结果。
【正确答案】（1）4厘米
（2）20厘米
（3）计算证明见详解
【解题思路】（1）水面上升的体积就是圆柱形铁块的体积，圆柱形量杯的底面积×水面上升的高度＝圆柱形铁块的体积，根据圆柱体积÷底面积＝高，求出圆柱形铁块的高。
（2）将量杯高看作单位“1”，圆柱形量杯内有杯水，则水面高度是量杯高的，水面上升1厘米后，水面与杯底和杯口的高度比是，由此可知，水面上升1厘米后，水面高度是量杯高的，水面上升高度是量杯高的（－），水面上升高度÷对应分率＝量杯高，据此列式解答。
（3）根据圆柱体积＝底面积×高，求出量杯容积，将量杯容积看作单位“1”，量杯内有杯水，量杯容积×水的对应分率＝水的体积，圆柱形量杯内直径10厘米，圆柱形铁块直径5厘米，说明量杯内一层可以放（10÷5）个圆柱形铁块。量杯底面积－铁块底面积＝放入铁块后水的底面积，水的体积÷水的底面积＝放入铁块后水的高度，水的高度÷铁块高＝能放的层数，能放得层数×每层块数＝放的总块数，求出的总块数是8即可。
【详细解答】（1）
（立方厘米）
（厘米）
（厘米）
答：圆柱形铁块高4厘米。
（2）
（厘米）
答：从里面量，量杯高20厘米。
（3）
（立方厘米）
（个）
每层可以放两个
（平方厘米）
（厘米）
（层）
（个）
答：通过以上计算，可以证明最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。
【考点点评】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解比和分数除法的意义。
29．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。
（1）与水接触的玻璃面积有多大？
（2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数）
【正确答案】（1）1140平方厘米
（2）18厘米
【解题思路】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。
（2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。
【详细解答】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2
＝300＋480＋360
＝1140（平方厘米）
答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。
（2）水的体积：
20×15×12
＝300×12
＝3600（立方厘米）
圆柱的底面积：
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
水面高度：
3600÷200.96≈18（厘米）
答：水面高约18厘米。
【考点点评】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
（2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。
30．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积）
（1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。
（2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？
【正确答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解
（2）342克
【解题思路】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。
（2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。
【详细解答】（1）950÷19＝50（立方厘米）
50立方厘米＝50毫升
因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。
（2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19
（950－x）÷19＋x÷9＝70
9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171
8550－9x＋19x ＝ 11970
8550－10x－8550＝11970－8550
10x＝3420
x＝342
答：皇冠被掺了342克铜。
【考点点评】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三单元易错易混专项06 运用圆柱的体积容积解决问题拔高30题
一、解答题
1．一根圆木的尺寸如图。
（1）这根圆木的体积有多少立方米？（得数保留三位小数）
（2）已知每立方米柳木重450千克，这个柳木晾干后大约重多少千克？（结果保留整数）
2．妈妈的茶杯，这样放在桌子上。（如下图）
（1）这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？
（2）这只茶杯装满水后的体积是多少？
3．一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为18厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中，玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至15厘米，这时长方体容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数）

4．如图，加工一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。
（1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）。
（2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）。
5．一个圆柱形水桶，高是8分米。水桶底部的铁箍长25.12分米。（木板厚度忽略不计）
（1）做这个水桶至少要用多少平方分米木板？
（2）这个水桶能盛400L升吗？
6．为了测量一个小铁球的体积，乐乐先把一个棱长为3厘米的正方体铁块浸没在一个盛有水的圆柱形水槽中，水面上升了1.5厘米，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了2厘米。这个小铁球的体积是多少立方厘米？（浸没过程中，水均没有溢出）
7．王师傅计划用一张长方形铁皮做侧面（如图），再给它配上一个底，做成一个无盖的圆柱形水桶。
（1）要尽量使水桶的容积大，王师傅制成的水桶的容积是多少升？
（2）盛满水后，水与桶接触的面一共有多少平方分米？
8．网红食品“爆浆蛋糕”也可以叫做“泥石流蛋糕”，蛋糕上面部分是一层厚厚的奶油，揭开包装之后奶油滑落，覆盖整个蛋糕。一个圆柱形“爆浆蛋糕”的底面直径是10厘米，其中面包层厚6厘米，奶油层厚4厘米。
（1）1毫升奶油约重0.8克，制作这样一个“爆浆蛋糕”需要多少克奶油？
（2）揭开外包装后，被奶油覆盖的面包的面积是多少平方厘米？
9．爸爸买了一瓶葡萄酒，喝了一些后，芸芸量了量剩下葡萄酒的高度是7厘米，她把瓶盖拧紧倒置放平，又量得无酒部分的高度是18厘米，已知葡萄酒瓶的内直径是8厘米。芸芸算出这个葡萄酒瓶的容积是多少毫升？
10．（1）一名儿童每天水的需求量约1500毫升。乐乐用如图的圆柱形水杯，每天喝满3杯，能达到需求的量吗（杯子的厚度忽略不计）？
（2）妈妈要为水杯贴上一圈宽5厘米的防烫纸，需要多大的防烫纸（接头处忽略不计）？
11．刘老师买了一套新房，最近正在装修，客厅长8米，宽6米，高3米。请同学们帮刘老师算一算装修时所需的部分材料。
（1）准备把客厅的四周墙壁和顶面刷乳胶漆，门窗、电视墙等有25平方米不粉刷，实际刷乳胶漆的面积是多少平方米？
（2）装修新房时，所选的木料是半径3分米、长4米的圆木，木工师傅自己加工，大约需要10根，请你帮刘老师算算所需木料的总体积。
12．如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？
13．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计）
（1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？
（2）鱼缸的容积是多少立方厘米？
14．太和殿是我国现存规制最高的古代宫殿建筑。太和殿中有72根圆柱形大柱，每一根柱子都是珍贵的楠木，其中最大的柱子高12.7米，直径约是1米。
（1）若要给这根最大的柱子侧面刷漆，刷漆的面积约是多少平方米？（得数保留一位小数）
（2）这根柱子约重多少吨？（若1立方米楠木重600千克）（得数保留两位小数）
15．桌子上有一个茶杯，底面直径6厘米，（如图）。
（1）为了不烫手，在这个茶杯中部贴一圈装饰带，这条装饰带宽7厘米，它的面积是多少？
（2）这个茶杯最多能装多少毫升水？合多少升？
16．一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，可以完全浸没在水中，水深2厘米（如图1）。如果把这个容器如图2放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？
17．如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14）
18．一个长方体容器，底面是边长为15厘米的正方形，高为20厘米，里面放有水，测得水面高为7.5厘米。现将一个圆柱体冰柱放入容器中，冰柱完全浸没水中（冰未融化），这时水面升高到9.26厘米。
（1）圆柱体冰柱的体积是多少？
（2）已知冰融化成水，体积减少了原来的，当圆柱体冰柱全部融化在容器中后，容器中水面高度是多少？
19．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图：
（1）建设时至少需要准备多大的空地？
（2）这个沼气池占用了多大的空间？
20．一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。
（1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？
（2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？
21．周六，小勇邀请了两位好朋友到家里做客，妈妈煮了1升热咖啡，用高为10厘米，底面直径为6厘米的圆柱形杯子来盛咖啡（杯壁厚度忽略不计）。（π取3.14）
（1）要给3个杯子的侧面都包上一层纸皮防烫，至少需要多少平方厘米的纸皮？（纸皮连接处忽略不计）
（2）试着算一下，妈妈煮的咖啡够小勇和他的好朋友每人一杯吗？
22．李叔叔的酒窖里有一个底面内直径和高都是6分米的圆柱形酒桶，如果每升高粱酒重0.83千克，这个酒桶可装高粱酒多少千克？（得数保留整数）
23．王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？
24．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？
25．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
26．把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克）
27．用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。
（1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。
（2）这个水桶的底面直径是（ ）分米，高是（ ）分米。
（3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖）
28．如下图，一个内直径10厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径5厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是。
（1）圆柱形铁块高多少？
（2）从里面量，量杯高多少？
（3）乐乐通过实验发现：继续往量杯内竖直浸没同样的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。请你通过计算证明实验结果。
29．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。
（1）与水接触的玻璃面积有多大？
（2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数）
30．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积）
（1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。
（2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？
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