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第三单元易错易混专项07 运用圆锥的体积容积解决问题拔高30题
答案解析
一、解答题
1．王冬用橡皮泥捏成了一个高1.5厘米，底面半径为3厘米的圆柱，捏好后爸爸拿起来观赏，可是不小心“啪”一声掉到地上摔了，王冬把弄脏的一部分丢掉后，索性把剩余的橡皮泥改捏成一个底面直径4厘米，高9厘米的圆锥。丢掉部分的体积占原来圆柱体积的百分之几？（百分号前保留一位小数）
【正确答案】11.1%
【解题思路】由题意可知，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，用圆柱橡皮泥的体积减去圆锥形橡皮泥的体积，再除以圆柱的体积即可。
【详细解答】3.14×32×1.5－×3.14×（4÷2）2×9
＝3.14×9×1.5－×3.14×4×9
＝42.39－37.68
＝4.71（立方厘米）
4.71÷（3.14×32×1.5）
＝4.71÷42.39
≈11.1%
答：丢掉部分的体积占原来圆柱体积的11.1%。
【考点点评】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
2．王老伯有一个圆锥形谷堆，他量得这个谷堆的底面周长是18.84米，高1.2米。
（1）这堆稻谷的体积是多少立方米？
（2）如果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？
【正确答案】（1）11.304立方米
（2）7912.8千克
【解题思路】（1）根据圆锥的底面周长，先求出圆锥的底面半径，高已知，然后根据圆锥的体积公式：V＝Sh，代入数据解答即可；
（2）用圆锥形谷堆的体积乘每立方米稻谷的质量即可。
【详细解答】（1）18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
×3.14×32×1.2
＝×33.912
＝11.304（立方米）
答：这堆稻谷的体积是11.304立方米。
（2）11.304×700＝7912.8（千克）
答：这堆稻谷的质量为7912.8千克。
【考点点评】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
3．城市道路提质畅通，不仅缓解了交通拥堵的状况，更为市民出行提供了便利。国花路提升改造工程工地有一个圆锥形沙堆、底面周长18.84米，高1.5米。这堆沙的体积是多少立方米？
【正确答案】14.13立方米
【解题思路】已知圆锥形沙堆的底面周长，根据r＝C÷π÷2，求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这堆沙的体积。
【详细解答】圆锥的底面半径：
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
圆锥的体积：
×3.14×32×1.5
＝×3.14×9×1.5
＝3.14×4.5
＝14.13（立方米）
答：这堆沙的体积是14.13立方米。
【考点点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，求出圆锥的底面半径是解题的关键。
4．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？
【正确答案】12.5厘米
【解题思路】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝，代入数据求出长方体铁块和圆柱形铁块的体积，再加起来，求出它们的体积之和，熔铸后，总体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝，把已知的数据代入即可求出圆锥的高。
【详细解答】12×5×3.14＋3.14×（6÷2）2×10
＝188.4＋3.14×32×10
＝188.4＋3.14×9×10
＝188.4＋282.6
＝471（立方厘米）
471÷[×3.14×（12÷2）2]
＝471÷[×3.14×62]
＝471÷[×3.14×36]
＝471÷37.68
＝12.5（厘米）
答：圆锥的高是12.5厘米。
【考点点评】此题主要考查等积变形，抓住熔铸前后体积不变，灵活运用长方体、圆柱、圆锥的体积公式求解即可。
5．一盒18色的橡皮泥，每种颜色的橡皮泥都是一个高5厘米，底面直径是2厘米的圆柱。如果把这些橡皮泥全部揉在一起，做一个底面直径是12厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？
【正确答案】7.5厘米
【解题思路】由题意知，橡皮泥的总体积不变，先根据体积公式求出一个小圆柱橡皮泥的体积，再乘18即为橡皮泥的总体积。再根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝橡皮泥的总体积×3÷圆锥的底面积。据此解答。
【详细解答】18×3.14×（2÷2）2×5
＝18×3.14×1×5
＝282.6（立方厘米）
3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
282.6×3÷113.04
＝847.8÷113.04
＝7.5（厘米）
答：圆锥的高是7.5厘米。
【考点点评】此题的解题关键是利用体积不变，通过圆柱和圆锥的体积公式，求出圆锥的高。
6．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。
（1）包装的侧面是一种环保材料，制作一个圆柱形包装至少需要多少平方厘米的环保材料？（接口处忽略不计）
（2）你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。
【正确答案】（1）301.44平方厘米；（2）不合理；见详解
【解题思路】（1）根据题意，利用圆柱的侧面积公式：S＝，代入数据，即可求出制作一个圆柱形包装至少需要多少平方厘米的环保材料。
（2）两种不同的包装，一个是底为8厘米，高为12厘米的圆柱，一个是底为8厘米，高为12厘米的圆锥，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么A包装的沙冰的价格也应该是B包装的沙冰价格的3倍，据此解答。
【详细解答】（1）3.14×8×12
＝25.12×12
＝301.44（平方厘米）
答：制作一个圆柱形包装至少需要301.44平方厘米的环保材料。
（2）3.14×（8÷2）2×12
＝3.14×42×12
＝3.14×16×12
＝602.88（立方厘米）
3.14×（8÷2）2×12×
＝3.14×42×12×
＝3.14×16×12×
＝50.24×12×
＝200.96（立方厘米）
602.88÷200.96＝3
所以A包装的沙冰的价格也应该是B包装的沙冰价格的3倍。
15÷3＝5（元）
10×3＝30（元）
定价建议，A：15元，B：5元或A：30元，B：10元
答：我认为这样定价不合理，定价建议如下：如果A包装定价为15元，则B包装定价5元；如果B包装定价为10元，则A包装定价30元。
【考点点评】此题的解题关键是灵活运用圆柱的侧面积、圆柱的体积和圆锥的体积公式解决实际的问题。
7．一个底面直径是6厘米，高10厘米的圆柱形容器中倒入水，水面高8厘米，把一个高9厘米的圆锥形铁块全部浸没在容器中，水满溢出了28.26立方厘米，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π取3.14）
【正确答案】28.26平方厘米
【解题思路】根据题意可知：圆锥形铁块的体积等于容器内升高的10－8＝2厘米的水的体积＋溢出的水的体积。先根据圆柱的体积求出容器内升高的2厘米的水的体积，再加上28.26立方厘米求出这个圆锥形铁块的体积。由圆锥的体积可知：，将圆锥的体积和高代入上式，即可求出圆锥体铁块的底面积。
【详细解答】
＝
＝
＝56.52＋28.26
＝84.78（立方厘米）
84.78÷÷9
＝84.78×3÷9
＝254.34÷9
＝28.26（平方厘米）
答：这个圆锥形铁块的底面积是28.26平方厘米。
【考点点评】解决此题的关键是求出圆锥形铁块的体积。向盛液体的容器中放入物体，且物体完全浸入液体中，液体溢出，放入的物体的体积等于容器中升高的那部分液体的体积加上溢出的液体的体积。
8．一个圆柱和一个圆锥，底面直径都是6厘米，高都是12厘米，它们的体积一共有多少立方厘米？（先画出圆柱和圆锥的草图，再解答。）（用含π的式子表示最简结果）
【正确答案】144π立方厘米
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出它们的体积和即可；因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以它们的体积和相当于圆柱体积的（1＋），把圆柱的体积看作单位“1”，根据乘法的意义，用圆柱的体积×（1＋）即可求出体积和，据此解答。
【详细解答】如图：
（1＋）×π×（6÷2）2×12
＝×π×32×12
＝×π×9×12
＝144π（立方厘米）
答：它们的体积一共有144π立方厘米。
【考点点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．中国航天航空事业的发展日新月异，2023年长征系列运载火箭累计发射次数有望突破500次。小明是个小航天迷，下面是小明制作的火箭模型，请你运用所学的知识求出它的体积。
【正确答案】1884立方厘米
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×20即可求出圆柱的体积，用3.14×（10÷2）2×12×即可求出圆锥的体积，最后把两部分相加即可。
【详细解答】3.14×（10÷2）2×20
＝3.14×52×20
＝3.14×25×20
＝1570（立方厘米）
3.14×（10÷2）2×12×
＝3.14×52×12×
＝3.14×25×12×
＝314（立方厘米）
1570＋314＝1884（立方厘米）
答：火箭模型1884立方厘米。
【考点点评】本题主要考查了圆柱体积公式和圆锥体积公式的应用。
10．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不断追求的航天梦。下面是某运载火箭整流罩的简约示意图，如果忽略厚度，该整流罩的容积是多少？
【正确答案】150.72立方米
【解题思路】该图形的容积等于下方圆柱的容积加上上方圆锥的容积，根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，圆锥的容积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。
【详细解答】3.14×（4÷2）2×10＋×3.14×（4÷2）2×（16－10）
＝3.14×4×10＋×3.14×4×6
＝125.6＋25.12
＝150.72（立方米）
答：该整流罩的容积是150.72立方米。
【考点点评】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
11．一个底面直径是40厘米的圆柱形玻璃缸中装有一些水，水中放着一个底面直径是20厘米，高是12厘米的圆锥形铅锤（如图）。当取出铅锤后，玻璃缸里的水下降了多少厘米？

【正确答案】1厘米
【解题思路】根据题意分析可知，圆锥形铅锤的体积＝水下降的高度×圆柱的底面积，先用圆锥的体积公式求出圆锥形铅锤的体积，就是水下降的体积，再根据圆柱的体积公式，用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可求出水下降的高度。
【详细解答】圆锥形铅锤的体积：3.14×（20÷2）2×12×
＝3.14×10×10×4
＝314×4
＝1256（立方厘米）
圆柱的底面积：3.14×（40÷2）2
＝3.14×20×20
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
水下降的高度：1256÷1256＝1（厘米）
答：玻璃缸里的水下降了1厘米。
【考点点评】本题考查了圆柱和圆锥体积公式的灵活应用。
12．如图，有一听装满饮料的圆柱形易拉罐和一个圆锥形酒杯。

①易拉罐的表面积约是多少平方厘米？
②每听饮料大约能倒满几杯？（四舍五入法取近似数）
【正确答案】①282.6平方厘米
②7杯
【解题思路】①根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，据此代入数值进行计算即可；
②根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，圆锥的容积公式：V＝πr2h，求出一听装满饮料和酒杯的容积，然后用一听装满饮料的容积除以酒杯的容积即可，结果运用四舍五入法保留整数。
【详细解答】①2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×12
＝2×3.14×9＋3.14×6×12
＝56.52＋226.08
＝282.6（平方厘米）
答：易拉罐的表面积约是282.6平方厘米。
②3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（立方厘米）
×3.14×（6÷2）2×5
＝×3.14×9×5
＝×9×3.14×5
＝3×3.14×5
＝9.42×5
＝47.1（立方厘米）
339.12÷47.1＝7.2≈7（杯）
答：每听饮料大约能倒满7杯。
【考点点评】本题考查圆柱的表面积、体积和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
13．蒙古包由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成。圆柱部分的底面直径是8米，高是2米，圆锥部分的高是1.2米，这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度不计）
【正确答案】120.576立方米
【解题思路】观察图形可知，蒙古包的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
【详细解答】3.14×（8÷2）2×2＋×3.14×（8÷2）2×1.2
＝3.14×16×2＋×3.14×16×1.2
＝100.48＋20.096
＝120.576（立方米）
答：这个蒙古包的容积大约是120.576立方米。
【考点点评】本题考查圆柱和圆锥的体积（容积）公式的运用。
14．数学课上，六年级的马英同学用橡皮泥捏成一个圆锥形学具，如图所示。数学王老师让同学们给这个圆锥设计一个长方体包装盒，使圆锥形橡皮泥正好能装进去，且节约用料。

①这个圆锥形橡皮泥的体积是多少立方厘米？（圆周率用表示）
②请你计算一下制作这个长方体包装纸盒至少需要多少平方厘米硬纸板（接头处忽略不计）？
【正确答案】①立方厘米
②128平方厘米
【解题思路】①圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据计算即可；
②为了节约用料，长方体的高应该等于圆锥的高，长和宽等于圆锥的底面直径；计算包装盒的面积就是计算长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。
【详细解答】①×（4÷2） ×6÷3
＝×4×6÷3
＝24÷3
＝8（立方厘米）
答：这个圆锥形橡皮泥的体积是8立方厘米。
②长＝宽＝4厘米
高＝6厘米
（4×4＋4×6＋4×6）×2
＝（16＋24＋24）×2
＝64×2
＝128（平方厘米）
答：长方体包装纸盒至少需要128平方厘米硬纸板。
【考点点评】此题主要考查圆锥的体积公式以及长方体的表面积公式。
15．实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了这个圆柱体容器的。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升。李老师拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？
【正确答案】1540毫升
【解题思路】设圆柱体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器与圆柱体容器等底等高可得圆锥体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升，列方程即可求出圆柱的容积，进而求出这瓶溶液的体积。
【详细解答】解：设圆柱体容器的容积为x毫升。
x－x＝140
x＝140
x÷＝140÷
x＝140×15
x＝2100
2100×＋2100×
＝700＋840
＝1540（毫升）
答：李老师拿来的这瓶溶液一共有1540毫升。
16．一个圆锥形麦堆，绕着麦堆的边缘走一圈是12.56米，麦堆的高是6米，每立方米麦子重750千克，这堆麦子共重多少吨？
【正确答案】18.84吨
【解题思路】由题意可知：圆锥底面圆的周长是12.56米，根据，用12.56÷3.14÷2可求出圆锥底面圆的半径（2米）；再根据圆锥的体积，用求出圆锥形麦堆的体积；最后用每立方米麦子的质量（750千克）×麦堆的体积，求出这堆子共重多少千克，并将千克换算为吨。
【详细解答】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
＝
＝
＝
＝
＝25.12（立方米）
750×25.12＝18840（千克）
18840千克＝18.84吨
答：这堆麦子共重18.84吨。
17．有一个圆锥形土堆，底面积为8平方米，高3米，每立方米土重2.5吨。甲、乙两人打算用这堆土围绕圆形水池周围铺一圈，铺好后可供植培绿化带，且要求周围一圈所铺的土宽度一致，高度也一样厚。圆形水池的底面直径是10米，所铺一圈土的宽度是5分米。已知甲每小时可以铺好2吨土，比乙多。
（1）甲、乙两人合作多少小时可以铺完？
（2）用这堆土大约可以铺多厚的一圈？（取3，结果保留两位小数）
【正确答案】（1）小时
（2）0.51米
【解题思路】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出土堆的体积，再用土堆的体积乘每立方米土的重量，即可求出这堆土的重量；已知甲每小时可以铺好2吨土坯，比乙多，据此先求出乙每小时铺的土坯质量，再用总的土坯质量除以甲和乙合作一小时铺的土坯总质量，即可得出答案；
（2）因为是在圆形水池周围铺，所以圆形水池和土坯围成的图形形成一个圆环。所以用圆锥的体积除以圆环的面积即可得出可以铺多厚一圈，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2），据此进行计算即可。
【详细解答】（1）×8×3×2.5
＝×3×8×2.5
＝1×8×2.5
＝8×2.5
＝20（吨）
2÷（1＋）
＝2÷
＝2×
＝1.5（吨）
20÷（2＋1.5）
＝20÷3.5
＝（小时）
答：甲、乙两人合作小时可以铺完。
（2）5分米＝0.5米
10÷2＝5（米）
5＋0.5＝5.5（米）
3×（5.52－52）
＝3×（30.25－25）
＝3×5.25
＝15.75（平方米）
×3×8
＝1×8
＝8（立方米）
8÷15.75≈0.51（米）
答：用这堆土大约可以铺多0.51米厚的一圈。
18．现在我们常用的稻谷储粮罐都是锥底的，虽然比以前的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，请计算出它的体积。
【正确答案】5.652立方米
【解题思路】由图可知，新型储粮罐的体积＝底面直径为2米，高0.9米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1.5米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。
【详细解答】2÷2＝1（米）
3.14×12×0.9×＋3.14×12×1＋3.14×12×1.5×
＝3.14×0.9×＋3.14＋3.14×1.5×
＝2.826×＋3.14＋4.71×
＝0.942＋3.14＋1.57
＝4.082＋1.57
＝5.652（立方米）
答：新型储粮罐的体积是5.652立方米。
19．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
【正确答案】（1）36分钟；（2）见详解
【解题思路】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。
（2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详细解答】（1）×3.14×32×6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水需要36分钟。
（2）根据分析得，6×＝2（厘米）
所以圆柱容器内水深2厘米。
作图如下：
【考点点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
20．如图，一个圆锥的底面半径是5厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【正确答案】157立方厘米
【解题思路】增加的面积为两个底为（5×2）厘米，高与圆锥的高相同的三角形面积，据此可以求出圆锥的高，圆锥的体积V＝πr2h，据此代入数据进行解答。
【详细解答】圆锥的高：
60÷2×2÷（5×2）
＝60÷10
＝6（厘米）
×3.14×52×6
＝×3.14×25×6
＝3.14×25×（6×）
＝78.5×2
＝157（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是157立方厘米。
21．一个圆锥形的黄沙堆，底面半径是4米，高3米。
（1）如果每立方米黄沙重1.5吨，这堆黄沙共有多少吨？
（2）如果将这堆沙子铺在10米宽的公路上，厚2厘米，能铺多少米？
【正确答案】（1）75.36吨
（2）251.2米
【解题思路】（1）圆锥的体积＝，先算出圆锥形的黄沙堆的体积，再乘每立方米黄沙的质量，即可算出这堆黄沙共有多少吨。
（2）将铺黄沙的公路看作一个长方体，根据黄沙的体积不变，长方体的长＝体积÷宽÷高，先将单位统一为米，然后代入数据计算即可。
【详细解答】（1）
（立方米）
（吨）
答：这堆黄沙共有75.36吨。
（2）2厘米＝0.02米
（米）
答：如果将这堆沙子铺在10米宽的公路上，厚2厘米，能铺251.2米。
22．2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。下图是实验小学科学小组制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不计，该整流罩的容积是多少立方分米？
【正确答案】175.84立方分米
【解题思路】根据圆锥的容积公式：，圆柱的容积公式：，把数据代入公式求出它们的容积和即可。
【详细解答】×3.14×（4÷2）2×（18－12）＋3.14×（4÷2）2×12
＝×3.14×4×6＋3.14×4×12
＝3.14×4×（6×）＋12.56×12
＝12.56×2＋150.72
＝25.12＋150.72
＝175.84（立方分米）
答：该整流罩的容积是175.84立方分米。
23．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？
【正确答案】1884立方米
【解题思路】观察图形可知，粮囤是由一个圆锥和一个圆柱组成，它们的底面积相等。已知粮囤的底面周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出粮囤的底面半径；
已知整个粮囤的高度是8米，圆柱的高与圆锥的高的比是5∶3，则圆柱的高占整个粮囤的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出圆柱的高；再用整个粮囤的高减去圆柱的高，求出圆锥的高；
根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的容积，再相加即是这个粮囤的最多能装多少立方米稻谷。
【详细解答】底面半径：
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
圆柱的高：
8×
＝8×
＝5（米）
圆锥的高：8－5＝3（米）
粮囤的容积：
3.14×102×5＋×3.14×102×3
＝3.14×100×5＋×3.14×100×3
＝1570＋314
＝1884（立方米）
答：这个粮囤最多能装1884立方米稻谷。
24．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【正确答案】6厘米
【解题思路】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积；
水面上升部分是一个底面半径为4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积；
已知圆锥形铅锤的底面直径是8厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铅锤的底面积；
由圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。
【详细解答】圆锥形铅锤的体积：
3.14×42×（12－10）
＝3.14×16×2
＝100.48（立方厘米）
圆锥形铅锤的底面积：
3.14×（8÷2）2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
圆锥形铅锤的高：
100.48×3÷50.24
＝301.44÷50.24
＝6（厘米）
答：这个铅锤的高是6厘米。
25．据统计，被称为“龙卷风”之乡的美国平均每年形成1000次左右的龙卷风，而根据国家气候中心1991年到2020年的统计数据，我国平均每年发生龙卷风38个，其中江苏和广东最多。某次龙卷风的高度约126米，顶部直径约80米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为多少立方米？
【正确答案】211008立方米
【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积。
【详细解答】×3.14×（80÷2）2×126
＝×3.14×402×126
＝×3.14×1600×126
＝211008（立方米）
答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为211008立方米。
26．一个圆锥形的稻谷堆，底面周长12.56米，高2.7米，把这堆稻谷装进一个圆柱形粮仓，正好装满，这个粮仓里面的底面直径为6米，高是多少米？
【正确答案】0.4米
【解题思路】将底面周长除以3.14再除以2，求出底面半径。根据圆锥体积＝×底面积×高，求出稻谷的体积。圆柱体积＝底面积×高，稻谷的体积不变，将稻谷的体积除以圆柱粮仓的底面积，求出高。圆柱和圆锥的底面均是圆，根据“圆面积＝πr2”求底面积。
【详细解答】12.56÷3.14÷2＝2（米）
×3.14×22×2.7
＝×3.14×4×2.7
＝11.304（立方米）
6÷2＝3（米）
11.304÷（3.14×32）
＝11.304÷（3.14×9）
＝11.304÷28.26
＝0.4（米）
答：高是0.4米。
27．淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。
（1）这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？
（2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积）
【正确答案】（1）235.5平方厘米；（2）3厘米
【解题思路】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是10cm，高9cm的圆锥的体积，利用公式求解即可；
（2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详细解答】（1）10÷2＝5（厘米）
×3.14××9
＝3.14×25×3
＝78.5×3
＝235.5（平方厘米）
答：这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入235.5毫升的污水。
（2）9×＝3（厘米）
答：圆柱形容器中水的高度大约是3厘米。
28．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居。如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
【正确答案】67.824立方米
【解题思路】这个蒙古包上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱。已知圆柱的底面半径是（6÷2）米，高是2米，圆锥的底面半径也是（6÷2）米，高是1.2米，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。
【详细解答】6÷2＝3（米）
3.14×32×2＋×3.14×32×1.2
＝3.14×9×2＋×9×3.14×1.2
＝28.26×2＋3×3.14×1.2
＝56.52＋11.304
＝67.824（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是67.824立方米。
29．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
【正确答案】7.5厘米
【解题思路】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。
【详细解答】
圆锥的体积为：
（立方厘米）
圆柱中水的高为：
（厘米）
答：乙容器的水深7.5厘米。
【考点点评】
本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。
30．如图，一块正方体木料的底面积是36平方厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【正确答案】56.52立方厘米
【解题思路】正方体木料的底面积是36平方厘米，6×6＝36（平方厘米），所以正方体的棱长是6厘米，正方体的棱长就是圆锥的底面直径，也是圆锥的高，根据圆锥的体积＝×h解答即可。
【详细解答】因为6×6＝36（平方厘米），所以正方体的棱长是6厘米。
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14××6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是56.52立方厘米。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三单元易错易混专项07 运用圆锥的体积容积解决问题拔高30题
一、解答题
1．王冬用橡皮泥捏成了一个高1.5厘米，底面半径为3厘米的圆柱，捏好后爸爸拿起来观赏，可是不小心“啪”一声掉到地上摔了，王冬把弄脏的一部分丢掉后，索性把剩余的橡皮泥改捏成一个底面直径4厘米，高9厘米的圆锥。丢掉部分的体积占原来圆柱体积的百分之几？（百分号前保留一位小数）
2．王老伯有一个圆锥形谷堆，他量得这个谷堆的底面周长是18.84米，高1.2米。
（1）这堆稻谷的体积是多少立方米？
（2）如果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？
3．城市道路提质畅通，不仅缓解了交通拥堵的状况，更为市民出行提供了便利。国花路提升改造工程工地有一个圆锥形沙堆、底面周长18.84米，高1.5米。这堆沙的体积是多少立方米？
4．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？
5．一盒18色的橡皮泥，每种颜色的橡皮泥都是一个高5厘米，底面直径是2厘米的圆柱。如果把这些橡皮泥全部揉在一起，做一个底面直径是12厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？
6．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。
（1）包装的侧面是一种环保材料，制作一个圆柱形包装至少需要多少平方厘米的环保材料？（接口处忽略不计）
（2）你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。
7．一个底面直径是6厘米，高10厘米的圆柱形容器中倒入水，水面高8厘米，把一个高9厘米的圆锥形铁块全部浸没在容器中，水满溢出了28.26立方厘米，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π取3.14）
8．一个圆柱和一个圆锥，底面直径都是6厘米，高都是12厘米，它们的体积一共有多少立方厘米？（先画出圆柱和圆锥的草图，再解答。）（用含π的式子表示最简结果）
9．中国航天航空事业的发展日新月异，2023年长征系列运载火箭累计发射次数有望突破500次。小明是个小航天迷，下面是小明制作的火箭模型，请你运用所学的知识求出它的体积。
10．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不断追求的航天梦。下面是某运载火箭整流罩的简约示意图，如果忽略厚度，该整流罩的容积是多少？
11．一个底面直径是40厘米的圆柱形玻璃缸中装有一些水，水中放着一个底面直径是20厘米，高是12厘米的圆锥形铅锤（如图）。当取出铅锤后，玻璃缸里的水下降了多少厘米？

12．如图，有一听装满饮料的圆柱形易拉罐和一个圆锥形酒杯。

①易拉罐的表面积约是多少平方厘米？
②每听饮料大约能倒满几杯？（四舍五入法取近似数）
13．蒙古包由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成。圆柱部分的底面直径是8米，高是2米，圆锥部分的高是1.2米，这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度不计）
14．数学课上，六年级的马英同学用橡皮泥捏成一个圆锥形学具，如图所示。数学王老师让同学们给这个圆锥设计一个长方体包装盒，使圆锥形橡皮泥正好能装进去，且节约用料。

①这个圆锥形橡皮泥的体积是多少立方厘米？（圆周率用表示）
②请你计算一下制作这个长方体包装纸盒至少需要多少平方厘米硬纸板（接头处忽略不计）？
15．实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了这个圆柱体容器的。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升。李老师拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？
16．一个圆锥形麦堆，绕着麦堆的边缘走一圈是12.56米，麦堆的高是6米，每立方米麦子重750千克，这堆麦子共重多少吨？
17．有一个圆锥形土堆，底面积为8平方米，高3米，每立方米土重2.5吨。甲、乙两人打算用这堆土围绕圆形水池周围铺一圈，铺好后可供植培绿化带，且要求周围一圈所铺的土宽度一致，高度也一样厚。圆形水池的底面直径是10米，所铺一圈土的宽度是5分米。已知甲每小时可以铺好2吨土，比乙多。
（1）甲、乙两人合作多少小时可以铺完？
（2）用这堆土大约可以铺多厚的一圈？（取3，结果保留两位小数）
18．现在我们常用的稻谷储粮罐都是锥底的，虽然比以前的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，请计算出它的体积。
19．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
20．如图，一个圆锥的底面半径是5厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？
21．一个圆锥形的黄沙堆，底面半径是4米，高3米。
（1）如果每立方米黄沙重1.5吨，这堆黄沙共有多少吨？
（2）如果将这堆沙子铺在10米宽的公路上，厚2厘米，能铺多少米？
22．2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。下图是实验小学科学小组制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不计，该整流罩的容积是多少立方分米？
23．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？
24．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
25．据统计，被称为“龙卷风”之乡的美国平均每年形成1000次左右的龙卷风，而根据国家气候中心1991年到2020年的统计数据，我国平均每年发生龙卷风38个，其中江苏和广东最多。某次龙卷风的高度约126米，顶部直径约80米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为多少立方米？
26．一个圆锥形的稻谷堆，底面周长12.56米，高2.7米，把这堆稻谷装进一个圆柱形粮仓，正好装满，这个粮仓里面的底面直径为6米，高是多少米？
27．淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。
（1）这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？
（2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积）
28．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居。如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
29．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
30．如图，一块正方体木料的底面积是36平方厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
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