资源简介

作者的话
当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养：
对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下
册数学易错讲义》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！
《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》打破各种小学辅导书局限于教材基础、
忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。
《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为：
1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。
2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。
3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。
4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。
5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。
6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！
中小学数学教研
2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
第四单元 比例
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：十大易错知识点 2
第二部分：八大常考易错点 4
易错点一：对扇形统计图中各部分量占总量的百分比的大小判断错误。 4
易错点一：没有正确理解比例的意义。 4
易错点二：对比例的基本性质理解不透彻。 4
易错点三：没有正确运用比例的基本性质解比例。 4
易错点四：不能正确判断正比例关系。 5
易错点五：不能正确判断反比例关系。 5
易错点六：没有理解比例尺的意义。 5
易错点七：把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。 6
易错点八：用比例解决问题时没有理清数据间的关系。 6
第三部分：二十种易错题型突破 6
突破题型一比与比例的区别和联系 7
突破题型二比例的意义 8
突破题型三比例的基本性质 9
突破题型四正比例的认识和辨认 9
突破题型五反比例的认识和辨认 10
突破题型六根据正反比例填表 10
突破题型七正比例的图形及简单应用 11
突破题型八比例尺的意义 13
突破题型九比例尺应用之求图上距离 13
突破题型十比例尺应用之求实际距离 14
突破题型十一图上距离和实际距离的换算 15
突破题型十二图形的放大和缩小 16
突破题型十三比例的应用 16
突破题型十四解比例 17
突破题型十五应用比例尺作图 18
突破题型十六作放大或缩小后的图形 19
突破题型十七应用比例尺解决实际问题 20
突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 21
突破题型十九应用正比例解决实际问题 23
突破题型二十应用反比例解决实际问题 25
1、没有正确理解比例的意义。在比例中等号的两侧必须都是一个比。
2、对比例的基本性质理解不透彻。
把等式ax =by(a,b,x ,y均不为0)改写成比例时,相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。
3、没有正确运用比例的基本性质解比例。
解分数形式比例时,分子与分母交叉相乘即可。
4、不能正确判断正比例关系。
判断两种量是否成正比例关系,首先要看这两种量是否相关联,即一种量变化,另一种量也随着变化;再看这两种量是否比值一定,若比值一定,则可判断这两种量成正比例关系。
5、不能正确判断反比例关系。
牢记并理解反比例关系的判断方法：两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量中对应的两个数的积一定.两种量是成反比例的量,.它们成反比例关系。
6、没有理解比例尺的意义。
比例尺是一个比,表示图上距离与实际距离的倍比关系,不能加单位名称。
7、用比例尺解决实际问题时,单位不统一。
在用比例尺解决实际问题时,一定要将图上距离和实际距离的单位统一。
8、对比例尺的意义理解不准确。
规避策略：比例尺表示图上棱长与实际棱长的比,要求实际的体积或面积,应先求出实际的棱长是多少,再运用公式求体积或面积。
9、把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。
规避策略：把一个图形放大或缩小时,只改变大小,不改变形状。
10、没有理清数据间的关系。
两个相关联的量之间的关系,比值一定的是正比例关系,乘积一定的是反比例关系。找准两种量中相对应的两个数,才能正确地解决问题。
易错点一：对扇形统计图中各部分量占总量的百分比的大小判断错误。
判断：下图是某超市各种商品存放率的统计图,存放食品类的商品最多。（ ）
易错点一：没有正确理解比例的意义。
判断:10:2=5是比例。( )
【错误答案】正确
【错解分析】此题错在没有正确理解比例的意义,5是一个数而不是一个比,它不能与10:2组成比例。
【正确答案】错误
易错点二：对比例的基本性质理解不透彻。
判断:若5x=6y,则x :y=5∶6。( )
【错误答案】正确
【错解分析】这道题错在没有理解比例的基本性质。在改写比例时,x作外项,和x相乘的5一定也作外项。
【正确答案】错误
易错点三：没有正确运用比例的基本性质解比例。
解比例
【错误答案】
【错解分析】解分数形式的比例时,没有分清楚哪两个数是外项,哪两个数是内项。
【正确答案】
易错点四：不能正确判断正比例关系。
判断:正方形的面积与边长成正比例关系。( )
【错误答案】正确
【错解分析】虽然正方形的面积与边长是两种相关联的量，但是正方形面积=边长,边长不是一个常量,所以正方形面积与边长不成正比例关边长系,应与边长的平方成正比例关系。
【正确答案】判断
易错点五：不能正确判断反比例关系。
判断:把一条20 m长的绳子,剪去一部分,剪去的和剩下的成反比例关系。( )
【错误答案】正确
【错解分析】此题错在对剪去的和剩下的关系不清楚,两者是和一定、积不一定。
【正确答案】错误
易错点六：没有理解比例尺的意义。
判断:一幅图的比例尺是1:5000 m。( )
【错误答案】正确
【错解分析】比例尺是一个比,是没有单位的。
【正确答案】错误
易错点七：把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。
把下面图形按1:2缩小画在方格纸上。
【错误答案】
【错解分析】此题错在按1:2缩小时改变了原图形的形状。
【正确答案】
易错点八：用比例解决问题时没有理清数据间的关系。
某工程队修一条公路,6天铺了228 m。照这样计算,还要用12天完成全部的工程,这条公路一共长多少米
【错误答案】
【错解分析】解法一错在两个相关联的量中,错把12天看成总天数。解法二错在不理解等量关系,把天数和铺的米数看成反比例关系。
【正确答案】
突破题型一比与比例的区别和联系
1．一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是（ ）。
A． B． C．
2．在8∶32，，这三个比中，能与16∶12组成比例的是（ ）。
A．8∶32 B． C． D．都不能
3．下面（ ）中的两个比可以组成比例。
A．9∶12和6∶10 B．∶和∶
C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16
突破题型二比例的意义
4．用3、8、15、40四个数组成一个比例是（ ）。
5．红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜（g） 12 12 15 18
水（g） 48 60 50 90
第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是（ ）。
6．下图中小红身高与小树高的比是（ ），小红影长与小树影长的比是（ ），组成比例是（ ），还可以组成比例（ ）。
突破题型三比例的基本性质
7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（ ）；16的因数有（ ）个，选取其中的四个组成比例是（ ）。
8．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。
9．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
突破题型四正比例的认识和辨认
10．已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。
11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。
12．若则x和y成 比例关系，x和y的大小关系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”）
突破题型五反比例的认识和辨认
13．如果和互为倒数，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例关系。
14．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”）
15．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是（ ），a和b成（ ）比例关系。
突破题型六根据正反比例填表
16．表中，如果x和y成正比例，则？是（ ）；如果x和y成反比例，则？是（ ）。
x 3 4
y 2.4 ？
17．填空。
x 27 ？
y 3 9
（1）如果x和y成正比例，“？”处填 。
（2）如果x和y成反比例，“？”处填 。
18．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表：
底面积/cm2 10 15 20 25 …
水高度/cm 45 30 22.5 18 …
如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。
突破题型七正比例的图形及简单应用
19．某汽车行驶路程和耗油量的关系如图。
（1）该汽车的耗油量与（ ）成正比例关系，因为：（ ）。
（2）利用图像估计一下，该汽车行驶60千米的耗油量是（ ）。
20．在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。
（1）如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是（ ）cm。
（2）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（3）当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是（ ）kg。
21．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修长750米公路需要（ ）天。
突破题型八比例尺的意义
22．一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是（ ）。
23．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是（ ）。
24．把地面12千米的距离用6厘米的线段画在地图上。那么，这幅地图的比例尺是（ ）。
突破题型九比例尺应用之求图上距离
25．在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（ ）米，实际距离180米在图上要画（ ）厘米。
26．比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（ ）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（ ）厘米长的线段表示。
27．在比例尺的地图上，表示图上距离与实际距离的比是（ ），实际距离96km，在这幅图上用（ ）cm表示。
突破题型十比例尺应用之求实际距离
28．丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）km。
29．把线段比例尺写成数值比例尺是（ ）。如果甲、乙两地图上距离是5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。
30．“商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。
突破题型十一图上距离和实际距离的换算
31．填写下表。
图上距离 4.5cm 15cm
实际距离 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1
32．根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系填写下表。
图上距离 3.4cm 42dm 42dm
实际距离 150km
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
33．填表。
比例尺 图上距离 实际距离
1.8km
450km
15cm
突破题型十二图形的放大和缩小
34．把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是（ ）cm2。
35．将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数）
36．学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。
突破题型十三比例的应用
37．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。
38．成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。
39．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。
突破题型十四解比例
40．解方程或解比例。
2－＝1.5 ∶＝∶
41．求未知数。

42．解比例。

突破题型十五应用比例尺作图
43．小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000）
44．根据信息画一画。（比例尺1∶50000）
（1）新华书店在广场北偏西60°方向1500米处，请在图上标出新华书店的位置。
（2）若要从新华书店修一条小路到新开路，画出新华书店到新开路最近的路线。
45．为与新冠病毒竞速，武汉市火速建设了雷神山、火神山医院，以集中收治肺炎患者。火神山医院的建成，可大大缓解北偏东50 方向30千米处的金银潭医院的就诊压力，请在图中标出金银潭医院的位置。

突破题型十六作放大或缩小后的图形
46．
（1）画出把正方形按1∶2的比缩小后的图形。
（2）画出把平行四边形按3∶1的比扩大后的图形。
47．（1）按1∶2画出三角形缩小后的图形A。
（2）按2∶1画出梯形扩大后的图形B，并画出图形B的对称轴。
48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按2∶1放大，得到三角形C。
突破题型十七应用比例尺解决实际问题
49．智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。
（1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？
（2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？
50．“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。
（1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。
（2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？
51．下面是小红家的平面示意图。
（1）这幅图的比例尺是1∶（ ）。
（2）小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了（ ）米。
（3）小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买钢笔，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点（ ）最有可能是文具店的位置。
突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图
52．按要求完成三幅图，并填空。
①画出圆向右平移3格，再向上平移4格后的图形，移动后圆心O的位置用数对表示为（ ， ）。
②画出平行四边形绕A点顺时针旋转90°后的图形。
③画出正方形按2∶1扩大后的图形，扩大后的正方形面积是原来的（ ）倍。
53．按要求画图并回答问题。
（1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。
（2）画出三角形ABC按2∶1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是（ ）。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是（ ），它的体积是（ ）。
54．想一想，在方格中画一画。
（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四边形就变成了长方形。
（2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（ ）。
（3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。
突破题型十九应用正比例解决实际问题
55．一种新型笔芯每支售价是0.8元。
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 0 0.8 1.6 …
（1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。
（2）买11支笔芯需要（ ）元。
（3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（ ）倍。
56．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下：
行驶路程（千米） 100 120 130 140 150
耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5
（1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（ ）比例关系。
（2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答）
答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。
57．C919是中国首款按照国际通行适航标准，自行研制、具有自主知识产权的客机。下面是C919飞行时间和所行路程的变化情况。
飞行时间/时 0 1 3 5 6
所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400
（1）因为（ ），所以所行路程和飞行时间成（ ）比例关系。
（2）根据上表，在下图中描出它的图像。
（3）利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时（ ）小时；4小时行驶（ ）千米。
突破题型二十应用反比例解决实际问题
58．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。
方案 一 二 三
每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5
瓶数 800 1000 400
（1）这批牛奶的总量是（ ）升。
（2）（ ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（ ）比例。
（3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解）
59．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。
每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 …
所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 …
（1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（ ）比例关系。
（2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答）
60．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表：
每张照片的面积/ 4 9 16 …
所贴照片的数量/张 216 96 54 …
（1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（ ）比例。
（2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》打破各种小学辅导书局限于教材基础、
忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。
《2024-2025学年六年级下册数学易错讲义》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为：
1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。
2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。
3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。
4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。
5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。
6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！
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2024-2025学年六年级下册数学易错讲义
第四单元 比例
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：十大易错知识点 2
第二部分：八大常考易错点 4
易错点一：对扇形统计图中各部分量占总量的百分比的大小判断错误。 4
易错点一：没有正确理解比例的意义。 4
易错点二：对比例的基本性质理解不透彻。 4
易错点三：没有正确运用比例的基本性质解比例。 4
易错点四：不能正确判断正比例关系。 5
易错点五：不能正确判断反比例关系。 5
易错点六：没有理解比例尺的意义。 5
易错点七：把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。 5
易错点八：用比例解决问题时没有理清数据间的关系。 6
第三部分：二十种易错题型突破 6
突破题型一比与比例的区别和联系 7
突破题型二比例的意义 9
突破题型三比例的基本性质 11
突破题型四正比例的认识和辨认 12
突破题型五反比例的认识和辨认 14
突破题型六根据正反比例填表 15
突破题型七正比例的图形及简单应用 17
突破题型八比例尺的意义 19
突破题型九比例尺应用之求图上距离 20
突破题型十比例尺应用之求实际距离 22
突破题型十一图上距离和实际距离的换算 23
突破题型十二图形的放大和缩小 25
突破题型十三比例的应用 27
突破题型十四解比例 29
突破题型十五应用比例尺作图 31
突破题型十六作放大或缩小后的图形 34
突破题型十七应用比例尺解决实际问题 36
突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 39
突破题型十九应用正比例解决实际问题 43
突破题型二十应用反比例解决实际问题 47
1、没有正确理解比例的意义。在比例中等号的两侧必须都是一个比。
2、对比例的基本性质理解不透彻。
把等式ax =by(a,b,x ,y均不为0)改写成比例时,相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。
3、没有正确运用比例的基本性质解比例。
解分数形式比例时,分子与分母交叉相乘即可。
4、不能正确判断正比例关系。
判断两种量是否成正比例关系,首先要看这两种量是否相关联,即一种量变化,另一种量也随着变化;再看这两种量是否比值一定,若比值一定,则可判断这两种量成正比例关系。
5、不能正确判断反比例关系。
牢记并理解反比例关系的判断方法：两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量中对应的两个数的积一定.两种量是成反比例的量,.它们成反比例关系。
6、没有理解比例尺的意义。
比例尺是一个比,表示图上距离与实际距离的倍比关系,不能加单位名称。
7、用比例尺解决实际问题时,单位不统一。
在用比例尺解决实际问题时,一定要将图上距离和实际距离的单位统一。
8、对比例尺的意义理解不准确。
规避策略：比例尺表示图上棱长与实际棱长的比,要求实际的体积或面积,应先求出实际的棱长是多少,再运用公式求体积或面积。
9、把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。
规避策略：把一个图形放大或缩小时,只改变大小,不改变形状。
10、没有理清数据间的关系。
两个相关联的量之间的关系,比值一定的是正比例关系,乘积一定的是反比例关系。找准两种量中相对应的两个数,才能正确地解决问题。
易错点一：对扇形统计图中各部分量占总量的百分比的大小判断错误。
判断：下图是某超市各种商品存放率的统计图,存放食品类的商品最多。（ ）
易错点一：没有正确理解比例的意义。
判断:10:2=5是比例。( )
【错误答案】正确
【错解分析】此题错在没有正确理解比例的意义,5是一个数而不是一个比,它不能与10:2组成比例。
【正确答案】错误
易错点二：对比例的基本性质理解不透彻。
判断:若5x=6y,则x :y=5∶6。( )
【错误答案】正确
【错解分析】这道题错在没有理解比例的基本性质。在改写比例时,x作外项,和x相乘的5一定也作外项。
【正确答案】错误
易错点三：没有正确运用比例的基本性质解比例。
解比例
【错误答案】
【错解分析】解分数形式的比例时,没有分清楚哪两个数是外项,哪两个数是内项。
【正确答案】
易错点四：不能正确判断正比例关系。
判断:正方形的面积与边长成正比例关系。( )
【错误答案】正确
【错解分析】虽然正方形的面积与边长是两种相关联的量，但是正方形面积=边长,边长不是一个常量,所以正方形面积与边长不成正比例关边长系,应与边长的平方成正比例关系。
【正确答案】判断
易错点五：不能正确判断反比例关系。
判断:把一条20 m长的绳子,剪去一部分,剪去的和剩下的成反比例关系。( )
【错误答案】正确
【错解分析】此题错在对剪去的和剩下的关系不清楚,两者是和一定、积不一定。
【正确答案】错误
易错点六：没有理解比例尺的意义。
判断:一幅图的比例尺是1:5000 m。( )
【错误答案】正确
【错解分析】比例尺是一个比,是没有单位的。
【正确答案】错误
易错点七：把图形放大或缩小时,改变了原图形的形状。
把下面图形按1:2缩小画在方格纸上。
【错误答案】
【错解分析】此题错在按1:2缩小时改变了原图形的形状。
【正确答案】
易错点八：用比例解决问题时没有理清数据间的关系。
某工程队修一条公路,6天铺了228 m。照这样计算,还要用12天完成全部的工程,这条公路一共长多少米
【错误答案】
【错解分析】解法一错在两个相关联的量中,错把12天看成总天数。解法二错在不理解等量关系,把天数和铺的米数看成反比例关系。
【正确答案】
突破题型一比与比例的区别和联系
1．一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【分析】在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比的前项除以后项所得商，叫做比值。据此解答即可。
【解答】A．在中，8和6是内项，16∶8＝16÷8＝2，2≠。所以A选项不符合题意。
B．在中，8是内项，6是外项，所以B选项不符合题意。
C．在中，8和6是内项，4∶8＝4÷8＝＝，6∶12＝6÷12＝＝，所以C选项符合题意。
故答案为：C
【点评】明确比例的各部分名称及比值的意义是解决此题的关键。
2．在8∶32，，这三个比中，能与16∶12组成比例的是（ ）。
A．8∶32 B． C． D．都不能
【答案】C
【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，求出16∶12与选项中的各比的比值，据此解答。
【解答】16∶12＝
A．8∶32＝，与16∶12的比值不相等，所以16∶12和8∶32不能组成比例；
B．＝4，与16∶12的比值不相等，所以16∶12和不能组成比例；
C．＝，与16∶12的比值相等，能组成比例。
故答案为：C
【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例。
3．下面（ ）中的两个比可以组成比例。
A．9∶12和6∶10 B．∶和∶
C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16
【答案】B
【分析】比的前项除以后项所得的商，叫做比值；表示两个比相等的式子叫做比例；比值相等的两个比可以组成比例。
分别算出四个选项中两个比的比值，比值相等的即可组成比例。
【解答】A．9∶12＝9÷12＝
6∶10＝6÷10＝
比值不相等，不能组成比例；
B．∶＝÷＝×5＝
∶＝÷＝×2＝
比值相等，可以组成比例；
C．1.5∶3.5＝1.5÷3.5＝
0.9∶2.4＝0.9÷2.4＝
比值不相等，不能组成比例；
D．3.8∶2＝3.8÷2＝
19∶16＝19÷16＝
比值不相等，不能组成比例。
故答案为：B
【点评】本题考查判断两个比能否组成比例的方法，关键是掌握求比值的方法。
突破题型二比例的意义
4．用3、8、15、40四个数组成一个比例是（ ）。
【答案】3∶8＝15∶40（答案不唯一）
【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，最小数和最大数作为比例的外项，中间的两个数作为比例的内项，据此解答。
【解答】3∶8
＝3÷8
＝
15∶40
＝15÷40
＝
所以，用3、8、15、40四个数组成一个比例是3∶8＝15∶40。（答案不唯一）
5．红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜（g） 12 12 15 18
水（g） 48 60 50 90
第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是（ ）。
【答案】二 四 12∶60＝18∶90/18∶90＝12∶60
【分析】求比值：比的前项除以后项得到的商就是比值。可以是整数、小数或分数。
根据蜂蜜和水的配比情况及求比值的方法，分别求出蜂蜜与水的比值，再找出相同的，列出比例即可。
【解答】
12∶60＝18∶90或18∶90＝12∶60
第二杯和第四杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是12∶60＝18∶90（或18∶90＝12∶60）。
6．下图中小红身高与小树高的比是（ ），小红影长与小树影长的比是（ ），组成比例是（ ），还可以组成比例（ ）。
【答案】3∶4 3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2
【分析】根据比的意义：两个量相除，叫做两个量的比。用小红的身高∶小树的高，小红影长∶小树影长，化简即可；
再根据比例的意义：表示两个比值相等的比，叫做比例，用小红的身高∶小树的高＝小红的影长∶小树的影长，也可以用小红的身高∶小红的影长＝小树的高∶小树的影长，据此解答（答案不唯一）。
【解答】1.5∶2
＝（1.5×10）∶（2×10）
＝15∶20
＝（15÷5）∶（20÷5）
＝3∶4
0.9∶1.2
＝（0.9×10）∶（1.2×10）
＝9∶12
＝（9÷3）∶（12÷3）
＝3∶4
0.9∶1.2＝1.5∶2
1.5∶0.9＝2∶1.2
小红身高与小树高的比是3∶4，小红影长与小树影长的比是3∶4，组成比例是0.9∶1.2＝1.5∶2，还可以组成比例1.5∶0.9＝2∶1.2。
突破题型三比例的基本性质
7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（ ）；16的因数有（ ）个，选取其中的四个组成比例是（ ）。
【答案】/0.4 5 2∶1＝16∶8
【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。
先列举出16所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值相等的数，即可组成比例。
【解答】另一个外项是：2÷5＝
16的因数：1，2，4，8，16；有5个。
2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以组成比例2∶1＝16∶8。
填空如下：
在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（）；16的因数有（5）个，选取其中的四个组成比例是（2∶1＝16∶8）。
（比例不唯一）
8．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。
【答案】8 7 8 7
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此用比例的逆运算进行解答。
【解答】7x＝8y
x∶y＝8∶7
＝
m×6＝n×7
若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于8∶7，若＝，则m×6＝n×7。
9．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
【答案】/0.4
【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，则两个外项的乘积为1，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则两个内项的乘积为1，所求内项＝1÷已知内项，据此解答。
【解答】分析可知，两个内项的乘积为1。
1÷
＝1÷
＝1×
＝
所以，另一个内项是。
突破题型四正比例的认识和辨认
10．已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。
【答案】/0.05 正
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
先根据比例的基本性质把5＝改写成比例式∶＝∶5，再根据求比值的方法求出∶的比值。因为和的比值一定，根据正比例意义的辨识方法，得出和成正比例。
正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。
【解答】由5＝可得：
∶＝∶5＝÷5＝×＝
比值一定，则和成正比例。
填空如下：
已知5＝（、均不为0），∶＝（），和成（正）比例。
11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。
【答案】正 底面积
【分析】可根据正比例的定义 “两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量” 来进行分析。圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积；
【解答】已知A÷5＝B（A、B都不等于0），可变形为A÷B＝5，也就是A和B相对应的比值一定，所以A和B成正比例关系。
根据圆柱的体积公式V＝S×h（其中V是体积，S是底面积，h是高），当圆柱的高h一定时，V÷S＝h（一定），即体积V和底面积S相对应的比值一定，所以它的体积和底面积成正比例。
即A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成正比例关系。圆柱高一定，它的体积和底面积成正比例。
12．若则x和y成 比例关系，x和y的大小关系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】正 ＞
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；根据上一步求出的x、y的关系判断x、y的大小。
【解答】因为，所以，，（一定），商一定，所以x和y成正比例关系；
因为，所以x＞y。
突破题型五反比例的认识和辨认
13．如果和互为倒数，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例关系。
【答案】 反
【分析】根据倒数的意义可知，和互为倒数，则＝1；根据比例的基本性质把＝改写成两数相乘的形式，即＝6a，再把＝1代入式子中，计算出a的值。
判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此得出和成什么比例关系。
【解答】由和互为倒数，可知＝1；
由＝可得出：＝6a；
把＝1代入＝6a中，即1＝6a，那么a＝。
因为＝1（一定），即乘积一定，所以和成反比例关系。
填空如下：
如果和互为倒数，且＝，那么a＝（）。和成（反）比例关系。
14．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”）
【答案】反 正
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
【解答】从家到学校的路程不变，车轮的直径××转动的圈数＝从家到学校的距离，则车轮的直径×转动的圈数＝从家到学校的距离÷（一定），因为乘积一定，所以从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成反比例关系；前项∶后项＝比值（一定），所以比值一定，比的前项和后项成正比例关系。
15．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是（ ），a和b成（ ）比例关系。
【答案】a×70%＝b 正
【分析】用现价÷原价×100%，求出打几折；把原价看作单位“1”，用原价×折扣＝现价，据此用式子表示a和b之间的数量关系。判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】140÷200×100%
＝0.7×100%
＝70%
70%就是七折。
a×70%＝b
＝70%（一定），则a和b成正比例。
某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是a×70%＝b，a和b成正比例关系。
突破题型六根据正反比例填表
16．表中，如果x和y成正比例，则？是（ ）；如果x和y成反比例，则？是（ ）。
x 3 4
y 2.4 ？
【答案】3.2 1.8
【分析】乘积一定的两个量成反比例关系，比值（或商）一定的两个量成正比例关系。如果x和y成正比例，那么用2.4除以3，求出商，再将商乘4，即可求出第一空；如果x和y成反比例，那么先求出3和2.4的积，再除以4，即可求出第二空。
【解答】2.4÷3×4
＝0.8×4
＝3.2
3×2.4÷4
＝7.2÷4
＝1.8
所以如果x和y成正比例，则？是3.2；如果x和y成反比例，则？是1.8。
17．填空。
x 27 ？
y 3 9
（1）如果x和y成正比例，“？”处填 。
（2）如果x和y成反比例，“？”处填 。
【答案】（1）81
（2）9
【分析】（1）两个相关的量，如果它们的比值（商）一定，它们成正比例关系；
（2）两个相关的量，如果它们的乘积一定，它们成反比例关系；据此解答。
【解答】（1）如果x和y成正比例，x和y的比值一定。
27∶3＝9，所以，x＝9×9＝81
x 27 81
y 3 9
即如果x和y成正比例，“？”处填81。
（2）如果x和y成反比例，x和y的乘积一定。
27×3＝81，所以，x＝81÷9＝9
x 27 9
y 3 9
即如果x和y成反比例，“？”处填9。
18．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表：
底面积/cm2 10 15 20 25 …
水高度/cm 45 30 22.5 18 …
如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。
【答案】反 15
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。
先从表格中任意选取一组数据，根据V＝Sh求出水的体积，再根据h＝V÷S，求出底面积是30cm2时水的高度。
【解答】V＝Sh，体积一定，即乘积一定，则底面积S与高h成反比例；
10×45÷30
＝450÷30
＝15（cm）
如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成反比例；如果底面积30cm2，水高度是15cm。
突破题型七正比例的图形及简单应用
19．某汽车行驶路程和耗油量的关系如图。
（1）该汽车的耗油量与（ ）成正比例关系，因为：（ ）。
（2）利用图像估计一下，该汽车行驶60千米的耗油量是（ ）。
【答案】（1）路程 耗油量与路程是两个相关联的量且比值一定
（2）8升/8L
【分析】（1）判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。
耗油量÷路程＝每千米的耗油量（一定），所以该汽车的耗油量与路程成正比例关系；据此作答。
（2）根据统计图找出60千米对应的耗油量即可做出估计。
【解答】（1）该汽车的耗油量与路程成正比例关系，因为：耗油量与路程是两个相关联的量且比值一定。
（2）由图像可知，该汽车行驶60千米的耗油量是8升。
20．在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。
（1）如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是（ ）cm。
（2）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（3）当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是（ ）kg。
【答案】（1）1.6
（2）正
（3）1.75
【分析】（1）挂上4kg的物体，弹簧长度会成比例伸长，那么弹簧伸长的长度＝物体的质量÷（1÷0.4），据此代入数据解答；
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；
（3）由（2）可知，物体的质量＝弹簧伸长的长度×2.5，据此代入数据解答。
【解答】（1）1÷0.4＝2.5
4÷2.5＝1.6（cm）
如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是1.6cm。
（2）1∶0.4＝2∶0.8＝2.5（一定），即物体的质量∶弹簧伸长的长度＝2.5（一定），所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例；
（3）0.7×2.5＝1.75（kg）
当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是1.75kg。
21．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修长750米公路需要（ ）天。
【答案】正 7.5
【分析】横轴代表时间，纵轴代表修路长度，如果修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系；如果修路长度与所用时间的乘积一定，它们成反比例关系，据此解答即可。
【解答】100÷1＝100（米/天）
200÷2＝100（米/天）
300÷3＝100（米/天）
400÷4＝100（米/天）
500÷5＝100（米/天）
……
所以修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系。
修路的效率是平均每天修100米，则修长750米公路需要：750÷100＝7.5（天）
突破题型八比例尺的意义
22．一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是（ ）。
【答案】20∶1
【分析】分析题目，先根据1厘米＝10毫米把4厘米换算成毫米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离写出比例尺，最后根据比的基本性质化简成最简整数比即可。
【解答】4厘米＝40毫米
图上距离∶实际距离
＝40毫米∶2毫米
＝40∶2
＝（40÷2）∶（2÷2）
＝20∶1
一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是20∶1。
23．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是（ ）。
【答案】1∶3000000
【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，转化成数值比例尺即可。要注意把30千米转化为以厘米为单位。
【解答】1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶3000000
一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是1∶3000000。
24．把地面12千米的距离用6厘米的线段画在地图上。那么，这幅地图的比例尺是（ ）。
【答案】1∶200000/
【分析】1千米＝100000厘米，据此先统一单位。比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅地图的比例尺。
【解答】12千米＝1200000厘米
6∶1200000
＝（6÷6）∶（1200000÷6）
＝1∶200000
所以这幅地图的比例尺是1∶200000。
突破题型九比例尺应用之求图上距离
25．在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（ ）米，实际距离180米在图上要画（ ）厘米。
【答案】20 9
【分析】根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，可知比例尺1∶2000表示图上1厘米相当于实际距离2000厘米，再根据进率“1米＝100厘米”换算成以米作单位的数；
已知实际距离180米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出在图上要画的长度。
【解答】2000厘米＝20米
180米＝18000厘米
18000×＝9（厘米）
在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（20）米，实际距离180米在图上要画（9）厘米。
26．比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（ ）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（ ）厘米长的线段表示。
【答案】40 0.5/
【分析】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
根据比例尺的意义可知，比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际4000000厘米，根据进率“1千米＝100000厘米”将4000000厘米换算成以“千米”作单位的数即可。
已知实际距离20千米，先根据进率将20千米换算成以“厘米”作单位的数，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出20千米在图上对应的线段长度。
【解答】4000000厘米＝40千米
20千米＝2000000厘米
2000000×＝0.5（厘米）
比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（40）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（0.5）厘米长的线段表示。
27．在比例尺的地图上，表示图上距离与实际距离的比是（ ），实际距离96km，在这幅图上用（ ）cm表示。
【答案】1∶800000 12
【分析】观察线段比例尺，可知图上1cm表示实际8km，据此写出图上距离与实际距离的比，化简即可；根据图上距离＝实际距离×比例尺，进行换算。
【解答】1cm∶8km＝1cm∶800000cm＝1∶800000
96km＝9600000cm
9600000×＝12（cm）
图上距离与实际距离的比是1∶800000，实际距离96km，在这幅图上用12cm表示。
突破题型十比例尺应用之求实际距离
28．丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）km。
【答案】1∶8000000 360
【分析】由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km，根据比例尺＝图上距离÷实际距离，根据1km＝100000cm，把80km转化为以cm为单位，再代入数据计算比例尺即可；图上4.5cm即表示有4.5个80km，用乘法计算即可得解。
【解答】由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km
80km＝8000000cm
（km）
丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是1∶8000000；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是360km。
29．把线段比例尺写成数值比例尺是（ ）。如果甲、乙两地图上距离是5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。
【答案】1∶5000000/ 250
【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离50千米，即5000000厘米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，即可写出数值比例尺；根据乘法的意义，用50乘5即可求出甲、乙两地的实际距离。
【解答】50千米＝5000000厘米，则这个线段比例尺写成数值比例尺是1∶5000000；
50×5＝250（千米），甲、乙两地的实际距离是250千米。
30．“商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。
【答案】1∶5000000 110
【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此写出图上距离与实际距离的比，化简；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。
【解答】3.4cm∶170km
＝3.4cm∶17000000cm
＝34∶170000000
＝（34÷34）∶（170000000÷34）
＝1∶5000000
2.2÷＝2.2×5000000＝11000000（cm）＝110（km）
这幅地图的比例尺是1∶5000000。郑州到洛阳的实际距离是110km。
突破题型十一图上距离和实际距离的换算
31．填写下表。
图上距离 4.5cm 15cm
实际距离 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1
【答案】2.7km；26cm；1∶2000000；3.2cm
【分析】
根据比例尺的意义作答，即比例尺＝图上距离：实际距离，图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数据即可求解。
【解答】4.5÷
＝4.5×60000
＝270000（cm）
＝2.7（km）
130km＝13000000（cm）
1300000×＝26（cm）
300km＝30000000cm
15÷30000000＝＝＝1∶2000000
2mm＝0.2cm
0.2×16＝3.2（cm）
如图：
图上距离 4.5cm 26cm 15cm 3.2cm
实际距离 2.7km 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 1∶2000000 16∶1
32．根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系填写下表。
图上距离 3.4cm 42dm 42dm
实际距离 150km
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
【答案】5cm；
102km；252dm；7dm
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺＝图上距离：实际距离，图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数据即可求解。
【解答】3.4cm＝0.000034km
0.000034÷＝0.000034×3000000＝102（km）
15km＝1500000cm
15000000×＝5（cm）
42÷＝252（dm）
42÷6＝7（dm）
图上距离 3.4cm 5cm 42dm 42dm
实际距离 102km 150km 252dm 7dm
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
33．填表。
比例尺 图上距离 实际距离
1.8km
450km
15cm
【答案】见详解
【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离；图上距离＝实际距离×比例尺；实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。
【解答】1.8km＝180000m
180000×＝3.6（cm）
450km＝45000000cm
45000000×＝22.5（cm）
15÷
＝15×60000000
＝900000000（cm）
900000000cm＝9000km
比例尺 图上距离 实际距离
3.6cm 1.8km
22.5cm 450km
15cm 9000km
突破题型十二图形的放大和缩小
34．把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是（ ）cm2。
【答案】10
【分析】一个长2dm，宽8cm的长方形按1∶4缩小，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，求出缩小后的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出缩小后的图形面积。
【解答】2dm＝20cm
（20×）×（8×）
＝5×2
＝10（cm2）
所以，把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是10 cm2。
35．将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数）
【答案】
【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。
【解答】假设正方体的棱长是9厘米。
9×＝3（厘米）
（3×3×6）÷（9×9×6）
＝54÷486
＝
＝
（3×3×3）÷（9×9×9）
＝27÷729
＝
＝
它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。
36．学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。
【答案】32
【分析】根据题意可知，照片按比例放大后，原照片的长∶放大后照片的长＝原照片的宽∶放大后照片的宽，据此列出比例方程，并求解。
【解答】解：设放大后照片的长是cm。
4.8∶＝3.3∶22
3.3＝4.8×22
3.3＝105.6
＝105.6÷3.3
＝32
放大后照片的长是32cm。
突破题型十三比例的应用
37．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。
【答案】6.2
【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把爸爸和王丹阳的实际身高都换算成以厘米为单位，再把照片上爸爸的身高设为x厘米，根据爸爸照片上的身高∶爸爸实际的身高＝王丹阳照片上的身高∶王丹阳实际的身高列出比例，最后根据比例的基本性质解出比例即可。
【解答】1.65米＝165厘米
1.86米＝186厘米
解：设照片上爸爸的身高是x厘米。
x∶186＝5.5∶165
165x＝186×5.5
165x＝1023
x＝1023÷165
x＝6.2
王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是6.2厘米。
38．成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。
【答案】1.2//
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度成正比例，设妹妹的身高是x米，根据题意，聪聪的高度∶聪聪的影长＝妹妹的高度∶妹妹的影长，由此列比例解答即可。
【解答】设妹妹的身高是x米。
1.6∶2.8＝x∶2.1
2.8x＝2.1×1.6
2.8x＝3.36
2.8x÷2.8＝3.36÷2.8
x＝1.2
妹妹的身高是1.2米。
39．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。
【答案】4200
【分析】根据“甲乙两个学校图书本数比是4∶3”，可以设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书；根据“两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5”可得出等量关系：（甲校原有图书的本数－300）∶（乙校原有图书的本数－300）＝7∶5；据此列出比例方程，并求解，进而求出甲校、乙校原有图书的本数，再相加，即是两校原有图书的总本数。
【解答】解：设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书。
（4－300）∶（3－300）＝7∶5
7（3－300）＝5（4－300）
21－2100＝20－1500
21－20＝2100－1500
＝600
甲校原有：600×4＝2400（本）
乙校原有：600×3＝1800（本）
一共：2400＋1800＝4200（本）
那么甲乙两校原来共有4200本图书。
突破题型十四解比例
40．解方程或解比例。
2－＝1.5 ∶＝∶
【答案】＝1.2；＝2
【分析】（1）先把方程化简成＝1.5，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝×，然后方程两边同时除以，求出方程的解。
【解答】（1）2－＝1.5
解：＝1.5
÷＝1.5÷
＝1.5×
＝1.2
（2）∶＝∶
解：＝×
÷＝÷
＝×6
＝2
41．求未知数。

【答案】；；
【分析】（1）先把化成，根据等式的性质，方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解；
（2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。
【解答】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
42．解比例。

【答案】；
【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可；
，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷3即可。
【解答】
解：
解：
突破题型十五应用比例尺作图
43．小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000）
【答案】见详解
【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，比例尺是1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。
在小明家正北方向上画300÷100＝3厘米长的线段即是科技馆；
在科技馆正东方向上画600÷100＝6厘米长的线段即是动物园；
在动物园南偏西30°方向上画400÷100＝4厘米长的线段即是书店。
【解答】10000厘米＝100米
比例尺1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。
300÷100＝3（厘米）
600÷100＝6（厘米）
400÷100＝4（厘米）
如图：
44．根据信息画一画。（比例尺1∶50000）
（1）新华书店在广场北偏西60°方向1500米处，请在图上标出新华书店的位置。
（2）若要从新华书店修一条小路到新开路，画出新华书店到新开路最近的路线。
【答案】（1）（2）图见详解
【分析】（1）根据图上距离＝实际距离×比例尺，将新华书店与广场的实际距离按1∶50000换算成图上距离。再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以广场为观测点，确定新华书店的位置即可。
（2）直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要做出新华书店到新开路的垂线段即可。
【解答】（1）1∶50000＝ 1500米＝150000厘米
150000×＝3（厘米）
新华书店与广场的图上距离是3厘米。作图如下：
（2）作出新华书店到新开路的垂线段就是最短路线，作图如下：
45．为与新冠病毒竞速，武汉市火速建设了雷神山、火神山医院，以集中收治肺炎患者。火神山医院的建成，可大大缓解北偏东50 方向30千米处的金银潭医院的就诊压力，请在图中标出金银潭医院的位置。

【答案】见详解
【分析】根据图中线段比例尺，在火神山医院北偏东50 方向截取30÷10＝3个单位长度，标出角度，终点处标注出金银潭医院的位置即可。
【解答】由分析可得：

【点评】本题考查比例尺，掌握根据方向、角度、距离确定位置的方法是解题的关键。
突破题型十六作放大或缩小后的图形
46．
（1）画出把正方形按1∶2的比缩小后的图形。
（2）画出把平行四边形按3∶1的比扩大后的图形。
【答案】见详解
【分析】（1）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n；
（2）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。
【解答】（1）4×＝2（格）
缩小后的正方形边长2格，作图如下：
（2）3×3＝9（格）
2×3＝6（格）
扩大后的平行四边形底9格，高6格，作图如下：
47．（1）按1∶2画出三角形缩小后的图形A。
（2）按2∶1画出梯形扩大后的图形B，并画出图形B的对称轴。
【答案】图见详解
【分析】三角形按1∶2缩小，也就是把三角形的底和高缩小到原来的，已知原来的三角形的底是6格，高是4格，分别用6÷2和4÷2即可求出缩小后的底和高；梯形按2∶1放大，也就是把梯形的上底、下底和高扩大到原来的2倍，已知原来的梯形的上底是4格，下底是2格，高是2格，分别用4×2、2×2和2×2即可求出放大后的上底、下底和高；据此作图。
【解答】作图如下：
48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按2∶1放大，得到三角形C。
【答案】见详解
【分析】根据平移的特征：把三角形A的各个顶点分别向右平移5格，依次连接，即可得到平移后的图形B；
再根据图形放大与缩小的特征，把三角形B的各边分别扩大到原来的2倍，即可画出将三角形B按2∶1扩大得到三角形C。
【解答】如图：
突破题型十七应用比例尺解决实际问题
49．智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。
（1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？
（2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？
【答案】（1）21千米；
（2）25.2千米
【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算，再把单位转化为千米即可得解。
（2）根据，代入数据计算警车的速度，再根据比的意义，把警车的速度看作5份，救护车速度看作6份，用警车速度除以5再乘6即可得救护车的速度，再根据，代入数据计算即可得解。
【解答】（1）（厘米）
2100000厘米＝21千米
答：事故现场与最近的派出所实际相距21千米。
（2）
（千米）
答：事故现场与最近的医院实际相距25.2千米。
50．“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。
（1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。
（2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？
【答案】（1）实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样。
（2）1∶15000000
【分析】（1）比例尺是地图上的距离与实际地理距离之间的比例关系。比例尺的计算公式为：，实际距离相同的情况下，如果两张地图的比例尺不同，那么图上距离就会不同。据此解答。
（2）根据比例尺的计算公式为：，代入数据计算，根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，先把450千米转化为以厘米为单位再计算。
【解答】（1）答：实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样，所以老师说他量的数据都对。
（2））3厘米∶450千米＝3厘米∶45000000厘米＝3∶45000000＝（3÷3）∶（45000000÷3）＝1∶15000000
答：第一张地图的比例尺是1∶15000000。
51．下面是小红家的平面示意图。
（1）这幅图的比例尺是1∶（ ）。
（2）小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了（ ）米。
（3）小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买钢笔，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点（ ）最有可能是文具店的位置。
【答案】（1）10000
（2）700
（3）A
【分析】（1）图中的线段比例尺的意义是图上1厘米表示实际的100米，根据1米＝100厘米，把100米化成10000厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，得出数值比例尺；
（2）首先量出图上虚线的长度是7厘米（以实际测量为准），然后根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的路程；
（3）根据地图上的方向：上北下南左西右东，以及描述的路线，找出文具店的大体位置，从而解决问题。
【解答】（1）100米＝10000厘米
1厘米∶10000厘米＝1∶10000
所以这幅图的比例尺是1∶10000。
（2）图上虚线的长度是7厘米；
7÷
＝7×10000
＝70000（厘米）
70000厘米＝700米
所以她从学校到书店实际走了700米。
（3）如图：她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点A最有可能是文具店的位置。
突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图
52．按要求完成三幅图，并填空。
①画出圆向右平移3格，再向上平移4格后的图形，移动后圆心O的位置用数对表示为（ ， ）。
②画出平行四边形绕A点顺时针旋转90°后的图形。
③画出正方形按2∶1扩大后的图形，扩大后的正方形面积是原来的（ ）倍。
【答案】见详解
【分析】①将圆心先向右平移3格，再向上平移4格，确定好圆心的位置，以半径为2个格子画圆；依据用数对表示位置的方法，括号内先写列再写行，中间用“，”隔开表示圆心的位置；
②将各个关键点按顺时针方旋转90°作出它们的对应点，再将对应点顺次连接即可；
③将正方形按照2∶1放大，就是将正方形的边放大到原来的2倍；正方形的面积＝边长×边长，用放大后的面积除以放大前的面积，求出扩大后的正方形面积是原来的几倍。
【解答】①移动后圆心0的位置用数对表示为（6，7）；
③扩大后的边长＝2×2＝4
扩大前的面积＝2×2＝4
扩大后的面积＝4×4＝16
16÷4＝4
扩大后的正方形面积是原来的4倍；
①②③图：
。
53．按要求画图并回答问题。
（1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。
（2）画出三角形ABC按2∶1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是（ ）。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是（ ），它的体积是（ ）。
【答案】（1）、（2）图见详解；4∶1；
（3）圆锥；78.5立方厘米
【分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形；
（2）根据放大和缩小的意义：把三角形各个边分别扩大到原来的2倍，据此画出扩大后的三角形（位置不唯一）；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，分别求出扩大后的三角形面积和原来三角形面积，再根据比的意义，用放大后三角形的面积∶原来三角形面积，即可解答；
（3）根据圆锥的特征可知，AB边所在直线为轴快速旋转一周，得到一个圆锥，圆锥的高是3厘米，底面半径是5厘米，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的以及；
【解答】（1）如图：
（2）如图：
原来三角形底是5厘米，高是3厘米；扩大后三角形底是5×2＝10（厘米），高是3×2＝6（厘米）
（10×6÷2）∶（5×3÷2）
＝（60÷2）∶（15÷2）
＝30∶7.5
＝（30÷7.5）∶（7.5÷7.5）
＝4∶1
放大后的图形与原图的面积之比是4∶1。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是圆锥。
底面半径：5厘米，高：3厘米。
3.14×52×3×
＝3.14×25×3×
＝78.5×3×
＝78.5（立方厘米）
如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是圆锥，它的体积是78.5立方厘米。
54．想一想，在方格中画一画。
（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四边形就变成了长方形。
（2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（ ）。
（3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。
【答案】（1）右；7
（2）画图见详解；（16，4）
（3）见详解
【分析】
（1）决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。如图，确定平移方向，数出平移的格数即可；
（2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（3）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。
把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n
【解答】（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向右平移7格，平行四边形就变成了长方形。
（2）作图如下；旋转后，点B的新位置用数对表示是（16，4）。
（3）
突破题型十九应用正比例解决实际问题
55．一种新型笔芯每支售价是0.8元。
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 0 0.8 1.6 …
（1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。
（2）买11支笔芯需要（ ）元。
（3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（ ）倍。
【答案】2.4；3.2；4.0；4.8；5.6；6.4
（1）图见详解
（2）8.8
（3）3
【分析】已知一种新型笔芯每支售价是0.8元，根据“单价×数量＝总价”，求出买不同数量的笔芯对应的总价，据此把表格补充完整。
（1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。
（2）根据“单价×数量＝总价”，求出买11支笔芯需要的钱数。
（3）根据总价÷数量＝单价，单价一定，则总价与数量成正比例关系，据此解答。
【解答】0.8×3＝2.4（元）
0.8×4＝3.2（元）
0.8×5＝4.0（元）
0.8×6＝4.8（元）
0.8×7＝5.6（元）
0.8×8＝6.4（元）
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 …
（1）如下图：
（2）0.8×11＝8.8（元）
买11支笔芯需要8.8元。
（3）因为单价一定，总价与数量成正比例关系，所以小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的3倍。
56．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下：
行驶路程（千米） 100 120 130 140 150
耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5
（1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（ ）比例关系。
（2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答）
【答案】（1）正
（2）90千瓦时
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
（2）已知行驶路程与耗电量成正比例关系。设行驶 600千米时消耗x千瓦时的电。因为两者成正比例，所以它们的比值相等。即＝，这个比例方程可以求出消耗的电量的值。
【解答】（1）观察表格中行驶路程和耗电量的数据。计算它们的比值：
＝
＝
＝
＝
＝
可以看出，无论行驶路程和耗电量如何变化，其比值始终为，保持恒定。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，这两个量成正比例关系。所以，电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。
（2）解：设电动汽车将消耗x千瓦时的电。
＝
解：100x＝15×600
100x＝9000
100x＝9000
100x÷100＝9000÷100
x＝90
答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。
57．C919是中国首款按照国际通行适航标准，自行研制、具有自主知识产权的客机。下面是C919飞行时间和所行路程的变化情况。
飞行时间/时 0 1 3 5 6
所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400
（1）因为（ ），所以所行路程和飞行时间成（ ）比例关系。
（2）根据上表，在下图中描出它的图像。
（3）利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时（ ）小时；4小时行驶（ ）千米。
【答案】（1）所行路程：飞行时间＝速度（一定）；正
（2）见详解
（3）2；3600
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；
（2）根据表中数据，先描点再连线；
（3）根据图像可知，当飞机行驶1800千米，所对应的时间是2小时；当飞机飞行时间是4小时，所对应的路程是3600千米。
【解答】（1），即所行路程和飞行时间的比值一定。
因为所行路程：飞行时间＝速度（一定），所以所行路程和飞行时间成正比例关系。
（2）
（3）由分析可知：
利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时2小时；4小时行驶3600千米。
突破题型二十应用反比例解决实际问题
58．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。
方案 一 二 三
每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5
瓶数 800 1000 400
（1）这批牛奶的总量是（ ）升。
（2）（ ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（ ）比例。
（3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解）
【答案】（1）200
（2）这批牛奶的总量；反
（3）0.8升
【分析】（1）通过每瓶容量与瓶数的乘积可求出牛奶总量；
（2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此判断每瓶容量和灌装瓶数的关系；
（3）利用牛奶总量不变，每瓶容量和灌装瓶数成反比例这一性质列方程求解。
【解答】（1）0.25×800＝200（升）
所以这批牛奶的总量是200升。
（2）这批牛奶的总量没有变，每瓶容量和灌装的瓶数成反比例。
（3）解：设每瓶要装x升。
250x＝0.25×800
250x＝200
250x÷250＝200÷250
x＝0.8
答：每瓶要装0.8升。
59．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。
每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 …
所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 …
（1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（ ）比例关系。
（2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答）
【答案】（1）反
（2）0.24平方米
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。
（2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。
【解答】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米）
因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。
（2）解：设所用地砖的面积为x平方米。
500x＝0.2×600
500x＝120
500x÷500＝120÷500
x＝0.24
答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。
60．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表：
每张照片的面积/ 4 9 16 …
所贴照片的数量/张 216 96 54 …
（1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（ ）比例。
（2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答）
【答案】（1）反
（2）36
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；
（2）根据题意可知，照片墙的面积一定；所以每张照片的面积×所贴照片的数量＝24×所贴照片的数量，设需要x张照片；列比例：4×216＝24x，解比例，即可解答。
【解答】（1）4×216＝9×96＝16×54＝864（一定），每张照片的面积和所贴照片的数量成反比例。
（2）解：设需要x张照片。
4×216＝24x
24x＝864
24x÷24＝864÷24
x＝36
答：需要36张照片。
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