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2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第一单元 圆柱与圆锥
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】面的旋转
1、点动成线，线动成面，面动成体。
2、将一个长方形以长(宽)为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。
圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。
3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。
圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。
【知识点二】圆柱的表面积
1、圆柱的侧面积。
圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。
圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示:S侧=Ch
2、圆柱的表面积。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
圆柱的表面积公式：S表=2πr +2πrh。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S表=S侧+2S底）；
圆柱的底面积=圆的面积，也就是S底=πr 。
【知识点三】圆柱的体积
1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2、圆柱的体积的计算公式。
圆柱的体积=底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圆柱体积公式的应用。
圆柱的体积=底面积×高。
①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。
②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
4、圆柱形容器的容积。
圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。
5、不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。
【知识点四】圆锥的体积
1、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2、圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积×
用字母表示为V=Sh
V=πr2h×
3、求圆锥体积时，方法如下：
（1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。
（2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。
（3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。
【考点一】面的旋转
【典例一】下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（ ）。
A． B． C． D．
【典例二】测量圆锥的高，正确的方法是（ ）。
A． B． C．
【典例三】某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是( )厘米，宽至少是( )厘米，高至少是( )厘米。（厚度忽略不计）
【考点二】圆柱的表面积
【典例一】把一张长方形的铁皮按下图裁剪，正好做成一个圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米。
【典例二】笑笑手工课上做了一个圆柱形笔筒，给笔筒的侧面贴一张图案纸，笔筒底面半径是4厘米，高是12厘米，这张图案纸的面积最少是（ ）。
【典例三】用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是2分米，高与底面半径的比是3∶1，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？
【考点三】圆柱的体积
【典例一】把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，削去部分的体积是（ ）立方分米。
【典例二】做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮（ ）平方分米，这个水桶的容积是（ ）升。
【典例三】如图（单位：cm），图中一个小球的体积是（ ）cm3，一个大球的体积是（ ）cm3。
【考点四】圆锥的体积
【典例一】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm3。
【典例二】如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。
（1）圆柱形容器的高是多少厘米？
（2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？
【典例三】把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米）
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图，一个帐篷从前面看到的是图1，从上面看到的是图2，这个帐篷的占地面积是( )平方米，帐篷里面的空间有( )立方米。
2．（2分）如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。
3．（2分）乐乐把一块底面半径2厘米、高15厘米的圆锥形橡皮泥，捏成一个底面积与圆锥底面积相等的圆柱，圆柱的高是( )，体积是( )。
4．（2分）把一个圆柱形木料（如下图）加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的( )，是削去废料体积的( )。
5．（2分）在一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满( )个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是16cm3，则这个圆柱的容积是( )cm3。
6．（2分）如果把一个圆柱的高截短3cm，表面积就减少了94.2cm2这个圆柱的底面积是( )cm2，如果这个圆柱高5cm，体积是( )cm3。
7．（2分）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。
8．（2分）一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方厘米；材料的利用率大约为( )。（百分号前保留一位小数）
9．（2分）如图，长方形ABCD中，AB长2厘米，BC长1厘米，这个长方形分别绕AB和BC所在直线旋转一周，各能得到一个圆柱，两个圆柱中体积较大的圆柱体积是( )立方厘米。（圆周率取3.14）
10．（2分）一个装满巧克力的圆柱形塑料桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面直径为，高是这张商标纸展开后是一个长方形，这个长方形的面积是( )。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）一个圆柱的高是12.56分米，把它的侧面沿高展开后是一个正方形，这个圆柱的底面半径是2分米。( )
12．（2分）底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开一定是正方形。( )
13．（2分）一个圆柱的高扩大到原来的2倍，底面积缩小到原来的，体积不变。( )
14．（2分）圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高也同时扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的4倍。( )
15．（2分）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( )
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A．50π B．75π C．100π D．200π
17．（2分）如果正方体、圆柱、圆锥的底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（ ）。
A．正方体的体积最大 B．圆柱的体积是圆锥的
C．圆锥的体积是正方体的 D．圆柱和正方体的表面积相同
18．（2分）下面这些图形是圆柱展开图的有（ ）个。（单位：cm）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2分）如图，两位同学分别对同一个圆柱平均切分成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了（ ）；乙同学切分后，表面积比原来增加了（ ）。
A．2πr2；4rh； B．2rh；πr2 C．πr2；4rh D．4rh；2πr2
20．（2分）把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20立方分米，这段木料原来的体积是（ ）立方分米。
A．30 B．40 C．60 D．120
四、计算题（满分6分）
21．（6分）求图中的体积。

五、作图题（满分6分）
22．（6分）在方格图中，画出左边圆柱的侧面沿高展开后的图形（π取3）。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）蚁狮会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，主要以蚂蚁为食，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮，如果蚁狮挖一个深9厘米，口部宽8厘米的陷阱，至少需要挖出多少立方厘米的土？
24．（6分）将一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在底面半径是5厘米，高是25厘米的圆柱形容器中（水未溢出）。容器中水面会升高多少厘米？（容器厚度忽略不计）
25．（6分）在“3·15消费者权益日”到来之际，工商部门进行检查时发现：一种饮料采用圆柱形易拉罐包装，从外面量，易拉罐的底面直径是6厘米，高是12厘米。易拉罐侧面标有“净含量330毫升”的字样。这家生产商是否欺瞒了消费者？请计算说明理由。（易拉罐厚度忽略不计）
26．（6分）假日里，小宁和家人奔赴了一场草原之旅。小宁对入住的蒙古包非常感兴趣，他看到蒙古包整体上由一个圆柱和一个圆锥组成。经了解。蒙古包从里面量得的数据如图所示。这个蒙古包内部的空间有多少立方米？
27．（6分）把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？
28．（6分）如图，从一张长方形纸上剪下两个圆和一个小长方形，正好拼成一个圆柱形包装盒。求包装盒的表面积和体积分别是多少？
29．（6分）林叔叔是环保卫士，他为树林中的小鸟们修建了一个露天饮水器，即圆柱形的蓄水池，从蓄水池里面量得底面直径是20分米，高是5分米。在水池的内部四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方分米？
30．（6分）每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？
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第一单元 圆柱与圆锥
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】面的旋转
1、点动成线，线动成面，面动成体。
2、将一个长方形以长(宽)为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。
圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。
3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。
圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。
【知识点二】圆柱的表面积
1、圆柱的侧面积。
圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。
圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示:S侧=Ch
2、圆柱的表面积。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
圆柱的表面积公式：S表=2πr +2πrh。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S表=S侧+2S底）；
圆柱的底面积=圆的面积，也就是S底=πr 。
【知识点三】圆柱的体积
1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2、圆柱的体积的计算公式。
圆柱的体积=底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圆柱体积公式的应用。
圆柱的体积=底面积×高。
①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。
②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
4、圆柱形容器的容积。
圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。
5、不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。
【知识点四】圆锥的体积
1、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2、圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积×
用字母表示为V=Sh
V=πr2h×
3、求圆锥体积时，方法如下：
（1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。
（2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。
（3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。
【考点一】面的旋转
【典例一】下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（ ）。
A． B． C． D．
【分析】以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，由于长方形或正方形的特征，它的上、下两个面是以长方形或正方形的另一条边为半径的两个完全一样的圆，与轴平行的一边通过旋转形成一个曲面，这样就得到一个圆柱，据此解答。
【解答】
根据分析可知，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是。
故答案为：C
【典例二】测量圆锥的高，正确的方法是（ ）。
A． B． C．
【分析】根据圆锥高的意义：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，结合选项进行解答。
【解答】A．根据圆锥高的意义以及测量方法，测量的不是圆锥的高，不符合题意；
B．根据圆锥高的意义以及测量方法，测量的不是圆锥的高，不符合题意；
C，根据圆锥高的意义以及测量放法，测量的是圆锥的高，符合题意。
故答案为：C
【点评】根据考查圆锥的高意义有以及圆锥高的测量，选择圆锥高的测量方法，是解答本题的关键。
【典例三】某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是( )厘米，宽至少是( )厘米，高至少是( )厘米。（厚度忽略不计）
【分析】根据题意可知，这个箱子的长是6个6厘米的和，宽是2个6厘米的和，高至少是10厘米，依此即可求解。
【解答】长：6×6＝36（厘米）
宽：6×2＝12（厘米）
高：10厘米
某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是36厘米，宽至少是12厘米，高至少10厘米。
【点评】本题认真观察图所示的放置方式，根据行数及列数进行解答即可。
【考点二】圆柱的表面积
【典例一】把一张长方形的铁皮按下图裁剪，正好做成一个圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米。
【分析】由图可知，该圆柱的形状为圆柱体，24.84厘米是圆柱形的底面周长与底面直径的和，设底面直径为x厘米，则可依据此关系列方程，求出底面半径。然后根据圆柱的高是底面直径的2倍，求出高。
【解答】解：设底面直径为x厘米。
3.14x＋x＝24.84
4.14x＝24.84
4.14x÷4.14＝24.84÷4.14
x＝6
6×2＝12（厘米）
这个圆柱的高是12厘米。
【典例二】笑笑手工课上做了一个圆柱形笔筒，给笔筒的侧面贴一张图案纸，笔筒底面半径是4厘米，高是12厘米，这张图案纸的面积最少是（ ）。
【分析】根据题意，这张图案纸的面积就是这个圆柱形笔筒的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。
【解答】3.14×4×2×12
＝12.56×2×12
＝25.12×12
＝301.44（平方厘米）
笑笑手工课上做了一个圆柱形笔筒，给笔筒的侧面贴一张图案纸，笔筒底面半径是4厘米，高是12厘米，这张图案纸的面积最少是301.44平方厘米。
【点评】本题考查圆柱的侧面积公式的灵活运用。
【典例三】用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是2分米，高与底面半径的比是3∶1，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？
【分析】根据题意可知，高与底面半径的比是3∶1，即高是底面半径的3倍，用底面半径×3，求出圆柱形油桶的高，求制作这个油桶至少需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形油桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。
【解答】2×3＝6（分米）
3.14×22×2＋3.14×2×2×6
＝3.14×4×2＋6.28×2×6
＝12.56×2＋12.56×6
＝25.12＋75.36
＝100.48（平方分米）
答：制作这个油桶至少需要100.48平方分米的铁皮。
【考点三】圆柱的体积
【典例一】把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，削去部分的体积是（ ）立方分米。
【分析】（1）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长4分米。圆柱体积：先求出圆柱底面半径，半径＝直径÷2＝4÷2＝2分米，根据圆柱体积公式：圆柱体积＝底面积×高，底面积＝3.14×半径2，据此解答。
（2）削去部分体积：用正方体体积－圆柱体积，。据此解答。
【解答】（1）圆柱体积：
底面半径＝4÷2＝2（分米）
底面积＝3.14×22＝12.56（平方分米）
圆柱体积＝12.56×4＝50.24（立方分米）
这个圆柱的体积是50.24立方分米。
（2）削去部分的体积：
正方体体积＝4×4×4＝64（立方分米）
削去部分体积＝64－50.24＝13.76（立方分米）
削去部分的体积是13.76立方分米。
【典例二】做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮（ ）平方分米，这个水桶的容积是（ ）升。
【分析】将底面周长除以3.14再除以2，求出底面半径。根据“圆面积＝πr2”求出圆柱形水桶的底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出圆柱的侧面积。将底面积和侧面积相加，求出需要的铁皮面积。圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶的容积。
【解答】12.56÷3.14÷2＝2（分米）
3.14×22＋12.56×4
＝3.14×4＋50.24
＝12.56＋50.24
＝62.8（平方分米）
3.14×22×4
＝3.14×4×4
＝50.24（立方分米）
50.24立方分米＝50.24升
所以，至少需要铁皮62.8平方分米，这个水桶的容积是50.24升。
【典例三】如图（单位：cm），图中一个小球的体积是（ ）cm3，一个大球的体积是（ ）cm3。
【分析】从左往右，图一的长方体容器中没有水；图二，往装有水的圆柱体容器中放入4个小球，此时长方体容器中水深为4cm；则长方体容器中4cm高的水的体积就是4个小球的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出4个小球的体积，再除以4，即是一个小球的体积；
图三，继续往圆柱体容器中放入2个大球，此时长方体容器中水深为10cm；则长方体容器中（10－4）cm高的水的体积就是2个大球的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出2个大球的体积，再除以2，即是一个大球的体积。
【解答】4个小球的体积：
5×3×4＝60（cm3）
一个小球的体积：
60÷4＝15（cm3）
2个大球的体积：
5×3×10－60
＝150－60
＝90（cm3）
一个大球的体积：
90÷2＝45（cm3）
图中一个小球的体积是15cm3，一个大球的体积是45cm3。
【考点四】圆锥的体积
【典例一】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm3。
【分析】由图可知圆柱与圆锥等底，因此把圆柱和圆锥分开后，增加的表面积就是圆柱的一个底面面积和圆锥的底面面积的和，所以圆柱的底面积与圆锥的底面积均是50.24÷2＝25.12cm2；圆柱的高是6cm2，则圆锥的高是（12－6）cm，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加，即可解答。
【解答】50.24÷2＝25.12（cm）
25.12×6＋25.12×（12－6）×
＝150.72＋25.12×6×
＝150.72＋150.72×
＝150.72＋50.24
＝200.96（cm3）
一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm ，那么原来这个组合零件的体积是200.96cm 。
【典例二】如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。
（1）圆柱形容器的高是多少厘米？
（2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？
【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可；
（2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。
【解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米
452.16÷（1－60%）
＝452.16÷40%
＝1130.4（立方厘米）
1130.4÷（12÷2）2÷3.14
＝1130.4÷62÷3.14
＝1130.4÷36÷3.14
＝31.4÷3.14
＝10（厘米）
答：圆柱形容器的高是10厘米。
（2）（12÷2）2×0.5×3.14
＝62×0.5×3.14
＝36×0.5×3.14
＝18×3.14
＝56.52（立方厘米）
56.52×＝42.39（立方厘米）
56.52－42.39＝14.13（立方厘米）
42.39÷6＝7.065（平方厘米）
答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。
【典例三】把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米）
【分析】首先要理解把正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变了，但体积不变。因此根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可求出高。由此列式解答。
【解答】（5×5×5）÷（×3.14×52）
＝（5×5×5）÷（×3.14×25）
≈125÷26.17
≈5（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高约是5厘米。
【点评】此题主要考查正方体和圆锥的体积计算方法，理解体积没有发生变化是解答本题的关键。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图，一个帐篷从前面看到的是图1，从上面看到的是图2，这个帐篷的占地面积是( )平方米，帐篷里面的空间有( )立方米。
【正确答案】12.56 12.56
【解题思路】根据题意可知，这个帐篷就是一个底面半径是2米，高是3米的圆锥；求这个帐篷的占地面积，就是求这个圆锥的底面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出占地面积；这帐篷里面的空间，就是求这个圆锥形帐篷的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详细解答】3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
3.14×22×3×
＝3.14×4×3×
＝12.56×3×
＝37.68×
＝12.56（立方米）
这个帐篷的占地面积是12.56平方米，帐篷里面的空间有12.56立方米。
2．（2分）如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。
【正确答案】4
【解题思路】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等时，把圆锥容器装满水倒入圆柱形容器中，这时圆柱形容器中水面的高是圆锥高的。据此解答即可。
【详细解答】（厘米）
圆柱形容器中水的高度是4厘米。
3．（2分）乐乐把一块底面半径2厘米、高15厘米的圆锥形橡皮泥，捏成一个底面积与圆锥底面积相等的圆柱，圆柱的高是( )，体积是( )。
【正确答案】5厘米/5cm 62.8立方厘米/62.8cm3
【解题思路】根据题意可知，圆锥和圆柱的体积相等，根据“”求出圆锥的体积，再除以圆柱的底面积即可解答。
【详细解答】
（立方厘米）
＝62.8÷12.56
（厘米）
所以圆柱的高是5厘米，体积是62.8立方厘米。
4．（2分）把一个圆柱形木料（如下图）加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的( )，是削去废料体积的( )。
【正确答案】
【解题思路】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；把圆柱的体积看作单位“1”，则圆锥的体积，削去废料的体积是1－，求出削去废料的体积，再用圆锥的体积除以削去废料的体积，即可求出圆锥的体积是削去废料体积的几分之几，据此解答。
【详细解答】把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的。
÷（1－）
＝÷
＝×
＝
把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的，是削去废料体积的。
5．（2分）在一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满( )个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是16cm3，则这个圆柱的容积是( )cm3。
【正确答案】3 48
【解题思路】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以一个圆柱体容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥体容器，可以倒满3个这样的圆锥体容器。已知一个圆锥体容器的容积，求这个圆柱的容积，用圆锥的容积乘3即可解答。
【详细解答】（个）
（cm3）
可以倒满3个这样的圆锥体容器。如果一个圆锥体容器的容积是cm3，则这个圆柱的容积是48cm3。
6．（2分）如果把一个圆柱的高截短3cm，表面积就减少了94.2cm2这个圆柱的底面积是( )cm2，如果这个圆柱高5cm，体积是( )cm3。
【正确答案】78.5 392.5
【解题思路】减少的表面积是侧面积，减少的表面积÷截短的高＝底面周长，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×半径的平方，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。
【详细解答】底面周长：94.2÷3＝31.4（cm）
底面半径：31.4÷3.14÷2＝5（cm）
底面积：3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（cm2）
体积：78.5×5＝392.5（cm3）
这个圆柱的底面积是78.5cm2，如果这个圆柱高5cm，体积是392.5cm3。
7．（2分）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。
【正确答案】201.68
【解题思路】由图可知圆柱与圆锥等底，因此把圆柱和圆锥分开后，增加的表面积就是圆柱的一个底面面积和圆锥的底面面积的和，所以圆柱的底面积与圆锥的底面积均是50.42÷2＝25.21cm2；圆柱的高是6cm2，则圆锥的高是（12－6）cm，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加，即可解答。
【详细解答】50.42÷2＝25.21（cm）
25.21×6＋25.21×（12－6）×
＝151.26＋25.21×6×
＝151.26＋151.26×
＝151.26＋50.42
＝201.68（cm3）
一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm ，那么原来这个组合零件的体积是201.68cm 。
8．（2分）一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方厘米；材料的利用率大约为( )。（百分号前保留一位小数）
【正确答案】159.48 26.2%
【解题思路】一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积，圆锥的底面直径是6厘米，圆锥的高也是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝÷3，据此求出圆锥的体积，再用正方体的体积减去圆锥的体积即可求出消去部分的体积；求一个数的是另一个数的百分之几，用除法解答，据此用圆锥的体积除以正方体的体积即可解答。
【详细解答】6×6×6－3.14××6÷3
＝36×6－3.14×9×6÷3
＝216－28.26×2
＝216－56.52
＝159.48（立方厘米）
3.14××6÷3÷（6×6×6）
＝3.14×9×6÷3÷216
＝28.26×2÷216
＝56.52÷216
≈26.2％
所以削去部分的体积是159.48立方厘米，材料的利用率大约为26.2％。
9．（2分）如图，长方形ABCD中，AB长2厘米，BC长1厘米，这个长方形分别绕AB和BC所在直线旋转一周，各能得到一个圆柱，两个圆柱中体积较大的圆柱体积是( )立方厘米。（圆周率取3.14）
【正确答案】12.56
【解题思路】根据题意，长方形绕AB所在直线旋转一周，得到的圆柱的底面半径是1厘米，高是2厘米；长方形绕BC所在直线旋转一周，得到的圆柱的底面半径是2厘米，高是1厘米。根据圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，代入数据分别求出两个圆柱的体积，再进行比较即可解答。
【详细解答】3.14×12×2
＝3.14×1×2
＝6.28（立方厘米）
3.14×22×1
＝3.14×4×1
＝12.56（立方厘米）
12.56＞6.28，则两个圆柱中体积较大的圆柱体积是12.56立方厘米。
10．（2分）一个装满巧克力的圆柱形塑料桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面直径为，高是这张商标纸展开后是一个长方形，这个长方形的面积是( )。
【正确答案】942
【解题思路】圆柱的底面周长是长方形的长，根据圆周长的计算公式即可求出长方形的长，圆柱的高是长方形的宽，根据圆柱的侧面积底面周长高＝，据此求出这个长方形的面积。
【详细解答】
（cm2）
则这个长方形的面积942cm2。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）一个圆柱的高是12.56分米，把它的侧面沿高展开后是一个正方形，这个圆柱的底面半径是2分米。( )
【正确答案】√
【解题思路】因为该圆柱的侧面展开后是正方形，根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”可知：该圆柱的底面周长和高相等，因为圆柱的底面是圆形，根据“C＝2πr”求出圆柱底面半径。
【详细解答】12.56÷2÷3.14
＝6.28÷3.14
＝2（分米）
这个圆柱体的底面半径是2分米。
题干说法正确。
故答案为：√
【考点点评】解答此题应根据圆柱的侧面展开图进行分析，得出圆柱的底面周长和圆柱的高相等是解决本题的关键。
12．（2分）底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开一定是正方形。( )
【正确答案】×
【解题思路】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。
已知圆柱的底面直径是2分米，根据公式C＝πd，求出圆柱的底面周长，再与高比较，即可判断。
【详细解答】3.14×2＝6.28（分米）
6.28≠2
所以，底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开不是正方形。
原题说法错误。
故答案为：×
13．（2分）一个圆柱的高扩大到原来的2倍，底面积缩小到原来的，体积不变。( )
【正确答案】√
【解题思路】根据圆柱的体积公式可知，当一个圆柱的高扩大到原来的2倍，体积会扩大到原来的2倍，当它的底面积缩小到原来的，体积会缩小到原来的，据此分析。
【详细解答】2×＝1
所以一个圆柱的高扩大到原来的2倍，底面积缩小到原来的，体积不变，原题说法正确。
故答案为：√
14．（2分）圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高也同时扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的4倍。( )
【正确答案】×
【解题思路】首先根据圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，可得圆柱的底面积扩大到原来的4倍，然后根据高也扩大到原来的2倍，圆柱的体积＝底面积×高，判断出体积扩大到原来的多少倍即可。
【详细解答】解：设圆柱的底面半径、高分别是r、h，则圆柱的底面积S＝πr2，
圆柱的体积＝Sh；
圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，可得圆柱的底面积扩大到原来的4倍，变成4S，高也扩大到原来的2倍，此时圆柱的体积是：4S×2h＝8Sh
8Sh÷Sh＝8
因此圆柱的体积扩大到原来的8倍，原题说法错误。
故答案为：×
15．（2分）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( )
【正确答案】√
【解题思路】根据圆柱与圆锥的体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，据此可计算得出答案。
【详细解答】等地等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，体积和是251.2立方米，则圆锥体积为：251.2÷4＝62.8（立方米）。题干表述正确。
故答案为：√
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A．50π B．75π C．100π D．200π
【正确答案】B
【解题思路】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加18厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据公式：圆锥的体积＝×底面积×高，算出原来圆锥的体积，据此解答。
【详细解答】18÷2＝9（厘米）
×π×52×9
＝×π×25×9
＝75π（立方厘米）
即原来圆锥的体积是75π立方厘米。
故答案为：B
17．（2分）如果正方体、圆柱、圆锥的底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（ ）。
A．正方体的体积最大 B．圆柱的体积是圆锥的
C．圆锥的体积是正方体的 D．圆柱和正方体的表面积相同
【正确答案】C
【解题思路】正方体与圆柱的体积都是底面积乘高，因此，等底等高的情况下，圆柱与正方体的体积相等；圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的；据此解答。
【详细解答】A．正方体和圆柱的体积相等，选项说法错误；
B．圆锥的体积是圆柱的体积的，选项说法错误；
C．圆锥的体积是正方体体积的，选项说法正确；
D．圆柱和正方体的体积相同，表面积不一定相同，选项说法错误；
故答案为：C
18．（2分）下面这些图形是圆柱展开图的有（ ）个。（单位：cm）
A．1 B．2 C．3 D．4
【正确答案】B
【解题思路】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形或正方形；如果圆柱的侧面不是沿高展开，斜着切得到的图形就是平行四边形；如果沿折线或曲线展开，展开后两端的部分必须能够完全重合；长方形的长、平行四边形的底等于圆柱底面的周长，根据圆的周长：C＝πd，据此进行判断即可。
【详细解答】A．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于长方形的长，所以此选项是圆柱的展开图；
B．底面圆的周长3.14×3＝9.42（cm），不等于长方形的长和宽，所以此选项不是圆柱的展开图；
C．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于平行四边形的底，所以此选项是圆柱的展开图；
D．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于梯形的下底，但是不等于梯形的上底，所以此选项不是圆柱的展开图；
所以下面这些图形是圆柱展开图的有2个。
故答案为：B
19．（2分）如图，两位同学分别对同一个圆柱平均切分成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了（ ）；乙同学切分后，表面积比原来增加了（ ）。
A．2πr2；4rh； B．2rh；πr2 C．πr2；4rh D．4rh；2πr2
【正确答案】A
【解题思路】第一种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个圆柱的底面积，根据圆的面积公式即可得解；
第二种切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个以圆柱的高为长，直径为宽的长方形的面积；由此即可解决问题。
【详细解答】πr2×2＝2πr2
2×2rh＝4rh
甲同学切分后，表面积比原来增加了2πr2；乙同学切分后，表面积比原来增加了4rh。
故答案为：A
20．（2分）把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20立方分米，这段木料原来的体积是（ ）立方分米。
A．30 B．40 C．60 D．120
【正确答案】A
【解题思路】把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，圆柱与圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削掉部分是圆锥体积的2倍，削掉部分÷2＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此分析。
【详细解答】20÷2×3
＝10×3
＝30（立方分米）
这段木料原来的体积是30立方分米。
故答案为：A
四、计算题（满分6分）
21．（6分）求图中的体积。

【正确答案】84.78cm3；215.22cm3
【解题思路】（1）观察图形可知，组合体是由两个底面半径都是6cm的圆锥组成，那么它们体积等于一个底面半径是6cm、高是（3.5＋5.5）cm的大圆锥的体积；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个组合体的体积。
（2）观察图形可知，组合体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
【详细解答】（1）×3.14×（6÷2）2×（3.5＋5.5）
＝×3.14×32×9
＝×3.14×9×9
＝84.78（cm3）
组合体的体积是84.78cm3。
（2）10×10×3－3.14×（6÷2）2×3
＝300－3.14×32×3
＝300－3.14×9×3
＝300－84.78
＝215.22（cm3）
组合体的体积是215.22cm3。
五、作图题（满分6分）
22．（6分）在方格图中，画出左边圆柱的侧面沿高展开后的图形（π取3）。
【正确答案】见详解
【解题思路】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，根据圆柱底面周长＝圆周率×底面直径，计算出长方形的长，作图即可。
【详细解答】3×2＝6（cm）
圆柱的侧面沿高展开后是长6cm，宽2cm的长方形，作图如下：
六、解答题（满分48分）
23．（6分）蚁狮会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，主要以蚂蚁为食，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮，如果蚁狮挖一个深9厘米，口部宽8厘米的陷阱，至少需要挖出多少立方厘米的土？
【正确答案】150.72立方厘米
【解题思路】已知洞穴看作一个高9厘米，直径为8厘米的圆锥形，求需要挖出多少立方厘米的土就是求这个圆锥形洞穴的体积，根据圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。
【详细解答】3.14×（8÷2）2×9×
＝3.14×42×9×
＝3.14×16×9×
＝50.24×9×
＝452.16×
＝150.72（立方厘米）
答：至少需要挖出150.72立方厘米的土。
24．（6分）将一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在底面半径是5厘米，高是25厘米的圆柱形容器中（水未溢出）。容器中水面会升高多少厘米？（容器厚度忽略不计）
【正确答案】1.2厘米
【解题思路】根据题意，把一个圆锥形铁块完全浸没在装有水的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积；
根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积，也就是水上升部分的体积；
水上升部分是一个底面半径为5厘米的圆柱，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积；再根据圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面上升的高度。
【详细解答】圆锥的体积（水上升部分的体积）：
×3.14×（6÷2）2×10
＝×3.14×32×10
＝×3.14×9×10
＝94.2（立方厘米）
圆柱形容器的底面积：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
水面上升：
94.2÷78.5＝1.2（厘米）
答：容器中水面会升高1.2厘米。
25．（6分）在“3·15消费者权益日”到来之际，工商部门进行检查时发现：一种饮料采用圆柱形易拉罐包装，从外面量，易拉罐的底面直径是6厘米，高是12厘米。易拉罐侧面标有“净含量330毫升”的字样。这家生产商是否欺瞒了消费者？请计算说明理由。（易拉罐厚度忽略不计）
【正确答案】没有
【解题思路】已知圆柱形易拉罐的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方厘米＝1毫升”，求出易拉罐的容积，再与“净含量330毫升”比较，得出结论。
【详细解答】3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×32×12
＝3.14×9×12
＝339.12（立方厘米）
339.12立方厘米＝339.12毫升
339.12＞330
答：这家生产商没有欺瞒了消费者。
26．（6分）假日里，小宁和家人奔赴了一场草原之旅。小宁对入住的蒙古包非常感兴趣，他看到蒙古包整体上由一个圆柱和一个圆锥组成。经了解。蒙古包从里面量得的数据如图所示。这个蒙古包内部的空间有多少立方米？
【正确答案】125.6立方米
【解题思路】求蒙古包内部的空间，就是求底面直径是8米，高是2米的圆柱的体积加上底面直径是8米，高是1.5米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详细解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×1.5×
＝3.14×42×2＋3.14×42×1.5×
＝3.14×16×2＋3.14×16×1.5×
＝50.24×2＋50.24×1.5×
＝100.48＋75.36×
＝100.48＋25.12
＝125.6（立方米）
答：这个蒙古包内部的空间有125.6立方米。
27．（6分）把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？
【正确答案】565.2立方厘米
【解题思路】根据题意，磁铁的体积就等于上升的水的体积（水未溢出），上升的水的体积就相当于一个底面半径是6厘米高是5厘米的圆柱的体积，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算即可。
【详细解答】3.14×62×5
＝3.14×36×5
＝113.04×5
＝565.2（立方厘米）
答：这块磁铁的体积是565.2立方厘米。
28．（6分）如图，从一张长方形纸上剪下两个圆和一个小长方形，正好拼成一个圆柱形包装盒。求包装盒的表面积和体积分别是多少？
【正确答案】125.6平方厘米；100.48立方厘米
【解题思路】根据图意可知，圆柱的高为厘米，根据圆柱的表面积公式：，圆柱的体积公式：，代入数据计算即可。
【详细解答】圆柱的高：
（厘米）
表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：包装盒的表面积是125.6平方厘米，体积是100.48立方厘米。
29．（6分）林叔叔是环保卫士，他为树林中的小鸟们修建了一个露天饮水器，即圆柱形的蓄水池，从蓄水池里面量得底面直径是20分米，高是5分米。在水池的内部四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方分米？
【正确答案】628平方分米
【解题思路】由于蓄水池无盖，剩余只求这个圆柱的一个底面和侧面积的总和，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详细解答】20×3.14×5＋3.14×（20÷2）2
＝62.8×5＋3.14×100
＝314＋314
＝628（平方分米）
答：抹水泥的面积是628平方分米。
30．（6分）每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？
【正确答案】550平方厘米
【解题思路】根据题意，六节电池一组放在一个长方体包装盒里，那么这个长方体包装盒的长等于三节电池的直径和，宽等于两节电池的直径和，高等于一节电池的直径；
求做这个包装盒至少需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。
【详细解答】长： 2.5×2×3＝15（厘米）
宽： 2.5×2×2＝10（厘米）
（15×10＋15×5＋10×5）×2
＝（150＋75＋50）×2
＝275×2
＝550（平方厘米）
答：做这个包装盒至少需要550平方厘米硬纸板。
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