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2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第二单元 比例
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：九大易错知识点 2
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。 3
易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 4
易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。 4
易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。 5
第三部分：十二种易错题型突破 5
突破题型一判断是否能组成比例 5
突破题型二比例的意义 6
突破题型三比例的基本性质 6
突破题型四解比例 7
突破题型五求比例尺 7
突破题型六求图上距离 8
突破题型七求实际距离 9
突破题型八图形的放大和缩小 10
突破题型九比例的应用 10
突破题型十比例尺的应用 11
突破题型十一应用比例尺作图 13
突破题型十二作放大或缩小后的图形 14
1、比例中等号的两侧必须都是一个比。
2、把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。
3、根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。
4、如果(b，d均不为0)，那么ad=bc。
5、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。
6、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。
7、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。
8、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
9、求一个图形放大到原来的n倍或缩小到原来的（m，n均不为0）后的面积，是指把这个图形的各边分别放大到原来的n倍或缩小到原来的后求出的面积。
易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。
填空:如果4x=5y(x、y均不为0),那么x:y=( )。
【错误答案】4：5
【错解分析】解答此类题要正确掌握比例的基本性质。在改写比例时,如果将x作为外项,4x就表示外项的积,4也应作为比例的外项。
如果ax=by(a、b、x、y均不为0),那么x: y=b: a(原来相乘的两个数同时作为比例的外项或内项)。
【正确答案】5：4
易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。
解比例：12:x=2:1.8。
【错误答案】
12:x=2:1.8
解:2×12=x×1.8
x=12×2÷1.8
x=
【错解分析】将比例转化成方程时,容易错将比例的外项与内项相乘。解比例是根据比例的基本性质进行的,也就是两个外项的积等于两个内项的积，应该将12和1.8相乘,x与2相乘。
【正确答案】
12:x=2:1.8
解:2x=12×1.8
x=12×1.8÷2
x=10.8
易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。
在一幅精密零件的设计图上,用15厘米的线段长度表示实际长度2.5厘米,求这幅设计图的比例尺。
【错误答案】2.5:15 =1:16
【错解分析】本题容易混淆比例尺的意义。求比例尺应该用图上距离:实际距离,不要颠倒了
比的前项与后项。
【正确答案】
15:2.5=6:1
答:这幅设计图的比例尺是6: 1。
易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。
判断:把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边扩大到原来的3倍,这个长方形的面积也扩大到原来的3倍。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】这个长方形的面积是5×3=15(平方厘米),把这个长方形各边扩大到原来的3倍，
长为5×3=15(厘米),宽为3×3=9(厘米),面积就为15×9= 135(平方厘米),135÷15=9,所以这个长方形的面积扩大到原来的9倍。
【正确答案】错误
突破题型一判断是否能组成比例
1．下面每组的4个数中，不能组成比例的是（ ）。
A．2、3、20和30 B．、、和 C．0.3、0.4、5和6
2．下面能组成比例的是（ ）。
A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3
C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18
3．下列各组比中，不能组成比例的是（ ）。
A．6∶10和9∶15 B．6∶4和∶
C．0.6∶0.2和∶ D．5∶20和4∶1
4．从24的因数中选取其中的4个组成比例，下面组成的比例错误的是（ ）。
A．2:4 = 6:12 B．2：3 = 8：12 C．12:2 = 6:4
突破题型二比例的意义
5．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。
6．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。
7．用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是( )。
8．在比例＝中，内项是( )，外项是( )。
突破题型三比例的基本性质
9．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。
10．在比例里，两个内项之积为最小的质数，其中一个外项是0.75，另一个外项是( )。
11．比例4∶7＝12∶21的内项7增加14，要使比例仍然成立，在4和12不变的情况下外项21应该增加( )。
12．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是( )。
突破题型四解比例
13．给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。
14．如果a×3＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝( )。
15．当x＝( )时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是( )。
16．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。
突破题型五求比例尺
17．北京到天津的实际距离是120km，在一幅地图上量得两地的图上距离是3cm，这幅地图的比例尺是( )。
18．将一个手表的零件画在图纸上长15cm，而它的实际长度只有0.6cm。图纸的比例尺是( )。
19．李叔叔设计的一种微型零件实际长度是9mm，画到图纸上是9dm，这幅图的比例尺是( )。
20．我国首艘国产航母山东舰的长度约是315m，相当于三个足球场的长度，其宽度约为75m。在一幅平面图上量得它的长度是63cm，这幅平面图的比例尺是( )。
突破题型六求图上距离
21．陕西的南水北调工程——引汉济渭工程，其中的秦岭隧道是世界上最长的隧道，全长98千米。在比例尺为1∶4900000的地图中，这条隧道长( )厘米。
22．建水到昆明的距离大约是240km，在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，两地之间的距离是( )cm。
23．一幅地图，用图上5厘米的长度表示实际300米的长度，这幅地图的比例尺是( )。如果两地的实际距离是1200米，那么在这幅地图上应画( )厘米。
24．一个钟表零件长是0.6毫米，如果把它画在比例尺为10∶1的图纸上，应该画( )厘米长。
突破题型七求实际距离
25．在比例尺是1∶25000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是16cm，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。
26．在一幅比例尺1∶4000000的中国地图上量得A、B两地相距5.5厘米，A、B两地实际相距( )千米。
27．在一幅地图上，用3厘米的线段表示地面上实际距离240千米，这幅地图的比例尺是( )；如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是( )千米。
28．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为12cm、宽为10cm、深为2cm。这个水池的占地面积是( )平方米。
突破题型八图形的放大和缩小
29．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比放大，得到长方形的周长是( )，面积是( )。
30．把边长为3cm的正方形按3∶1放大，放大后的正方形边长为( )cm，周长为( )cm。
31．一个正方形的边长为，如果把它按缩小，边长变为( )；如果把它按放大，边长变为( )m。
32．把直径是4厘米的圆按4∶1的比放大，放大后圆的周长是原来的( )倍，原来的面积与变化后圆面积的比是( )。
突破题型九比例的应用
33．甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？
34．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答）
35．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解）
36．六年（1）班在开展“垃圾回收，保护地球”活动中，第一小组和第二小组回收矿泉水瓶的数量比是5∶6。第一小组回收了80个，第二小组回收了多少个？（用方程解答）
突破题型十比例尺的应用
37．在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？
38．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？
39．如图是甲、乙、丙三地的公路交通图，王师傅早上7时驾车从甲地出发沿①号公路开往乙地，每时行驶50km，到达乙地时正好是上午10时。于是他又立即沿②号公路开往丙地，每时行驶62.5km。
（1）这幅图的比例尺是多少？
（2）到达丙地需要多少时间？
40．从一幅比例尺为1∶2000000的地图上量得广州到深圳的距离为7.5厘米，王叔叔以每小时100千米的速度开车从广州前往深圳，多长时间可以到达？
突破题型十一应用比例尺作图
41．实验小学要建一个长240m、宽160m的长方形运动场，请在图中画出运动场的平面图。（比例尺
42．用的比例尺，画出长20m，宽15m的长方形会议室的平面图。
43．李叔叔骑自行车去观看第十四届全运会比赛。他从家出家，先向东偏北20°方向骑行3km，再向南偏东45°方向骑行4km后到达体育馆。你能画出李叔叔骑行的路线吗？
44．在下面的平面图中，少年宫在人民广场正西方向1600m处，学校在人民广场南偏东30°方向1200m处。在图上分别标出少年宫和学校的位置。
突破题型十二作放大或缩小后的图形
45．按2∶1画出下面图形放大后的图形。
46．如图的每个方格表示1cm2。将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶2。
47．请先把方格纸中的正方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，再将缩小后得到的图形向右平移4格。
48．按要求画一画。
（1）将图形①按1∶3缩小。
（2）将图形②按2∶1放大。
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第二单元 比例
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：九大易错知识点 2
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。 3
易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 3
易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。 4
易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。 4
第三部分：十二种易错题型突破 5
突破题型一判断是否能组成比例 5
突破题型二比例的意义 6
突破题型三比例的基本性质 8
突破题型四解比例 9
突破题型五求比例尺 12
突破题型六求图上距离 13
突破题型七求实际距离 15
突破题型八图形的放大和缩小 16
突破题型九比例的应用 18
突破题型十比例尺的应用 20
突破题型十一应用比例尺作图 22
突破题型十二作放大或缩小后的图形 25
1、比例中等号的两侧必须都是一个比。
2、把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。
3、根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。
4、如果(b，d均不为0)，那么ad=bc。
5、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。
6、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。
7、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。
8、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
9、求一个图形放大到原来的n倍或缩小到原来的（m，n均不为0）后的面积，是指把这个图形的各边分别放大到原来的n倍或缩小到原来的后求出的面积。
易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。
填空:如果4x=5y(x、y均不为0),那么x:y=( )。
【错误答案】4：5
【错解分析】解答此类题要正确掌握比例的基本性质。在改写比例时,如果将x作为外项,4x就表示外项的积,4也应作为比例的外项。
如果ax=by(a、b、x、y均不为0),那么x: y=b: a(原来相乘的两个数同时作为比例的外项或内项)。
【正确答案】5：4
易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。
解比例：12:x=2:1.8。
【错误答案】
12:x=2:1.8
解:2×12=x×1.8
x=12×2÷1.8
x=
【错解分析】将比例转化成方程时,容易错将比例的外项与内项相乘。解比例是根据比例的基本性质进行的,也就是两个外项的积等于两个内项的积，应该将12和1.8相乘,x与2相乘。
【正确答案】
12:x=2:1.8
解:2x=12×1.8
x=12×1.8÷2
x=10.8
易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。
在一幅精密零件的设计图上,用15厘米的线段长度表示实际长度2.5厘米,求这幅设计图的比例尺。
【错误答案】2.5:15 =1:16
【错解分析】本题容易混淆比例尺的意义。求比例尺应该用图上距离:实际距离,不要颠倒了
比的前项与后项。
【正确答案】
15:2.5=6:1
答:这幅设计图的比例尺是6: 1。
易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。
判断:把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边扩大到原来的3倍,这个长方形的面积也扩大到原来的3倍。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】这个长方形的面积是5×3=15(平方厘米),把这个长方形各边扩大到原来的3倍，
长为5×3=15(厘米),宽为3×3=9(厘米),面积就为15×9= 135(平方厘米),135÷15=9,所以这个长方形的面积扩大到原来的9倍。
【正确答案】错误
突破题型一判断是否能组成比例
1．下面每组的4个数中，不能组成比例的是（ ）。
A．2、3、20和30 B．、、和 C．0.3、0.4、5和6
【答案】C
【分析】根据比例的基本性质可知，每组中的四个数，选择最大数与最小数相乘，中间两个数相乘，若乘积相等，则可以组成比例，反之则不能。
【解答】A．2×30＝60，3×20＝60，能组成比例；
B．×＝，×＝，能组成比例；
C．0.3×6＝1.8，0.4×5＝2，不能组成比例；
故答案为：C
2．下面能组成比例的是（ ）。
A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3
C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18
【答案】C
【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各选项中比的比值，找到比值相等的一组即可。
【解答】A．、3∶4＝3÷4＝，和3∶4比值不相等，不能组成比例；
B．8∶3＝8÷3＝、0.6∶0.3＝0.6÷0.3＝2，8∶3和0.6∶0.3比值不相等，不能组成比例；
C．7∶8＝7÷8＝、14∶16＝14÷16＝＝，7∶8和14∶16比值相等，能组成比例7∶8＝14∶16；
D．∶6＝÷6＝×＝、∶18＝÷18＝×＝，∶6和∶18比值不相等，不能组成比例。
能组成比例的是7∶8和14∶16。
故答案为：C
3．下列各组比中，不能组成比例的是（ ）。
A．6∶10和9∶15 B．6∶4和∶
C．0.6∶0.2和∶ D．5∶20和4∶1
【答案】D
【解析】判断两个比能否组成比例的方法是∶根据比例的意义判断两个比的比值是否相同。当两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例，据此解答。
【解答】选项A，因为6∶10＝，9∶15＝，所以6∶10和9∶15能组成比例；
选项B，因为6∶4＝1.5，∶＝1.5，所以6：4和∶能组成比例；
选项C，因为0.6∶0.2＝3，∶＝3，所以0.6∶0.2和∶能组成比例；
选项D，因为5∶20＝25，4∶1＝4，所以5∶20和4∶1不能组成比例。
故答案为：D
【点评】此题主要考查根据比例的意义判断哪两个比可以组成比例的能力。也可根据比例的性质来判断
4．从24的因数中选取其中的4个组成比例，下面组成的比例错误的是（ ）。
A．2:4 = 6:12 B．2：3 = 8：12 C．12:2 = 6:4
【答案】C
【解析】首先24的因数先列出来，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。再根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积进行检验。
【解答】选项A：因为6×4=12×2，所以2：4=6：12。
选项B：因为2×12=3×8，所以2：3=8：12。
选项C：因为12×4≠2×6，所以12：2≠6：4。
故答案为：C
【点评】本题考查的是比例的基本性质。答题之前需要先求出24的因数。因数的定义是一个数被另一个数字整除，那么后面的数叫做前面数的因数。
突破题型二比例的意义
5．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。
【答案】3 15
【分析】在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；据此解答。
【解答】根据对比例的认识可知：在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是3和15。
6．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。
【答案】6 5∶2＝15∶6
【分析】已知5颗星星可换2根棒棒糖，求15颗星星可换多少根棒棒糖，先用除法求出15里面有几个5，再乘2即可。
表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，求出两个比的比值，相等即可组成比例。
【解答】15÷5×2
＝3×2
＝6（根）
可换6根棒棒糖。
5∶2＝5÷2＝
15∶6＝15÷6＝
比值相等，可以组成比例。
写成比例是5∶2＝15∶6。（答案不唯一）
7．用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是( )。
【答案】2∶3＝4∶6
【分析】根据表示两个比相等的式子叫做比例，比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此写出比例式即可。
【解答】2×6＝3×4
用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是2∶3＝4∶6。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了比例的意义以及基本性质，掌握相应的知识点是解答本题的关键。
8．在比例＝中，内项是( )，外项是( )。
【答案】5和21 3和35
【分析】根据分数和比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，即＝3∶5；＝21∶35；由此即可知道这个比例是：3∶5＝21∶35；在比例中有两个外项和两个内项。如：a∶b＝c∶d ， a和d就是两个外项，b和c就是两个内项。据此解答。
【解答】由分析可知：
＝写成比例是：3∶5＝21∶35
则3∶5＝21∶35，外项是3和35，内项是5和21。
【点评】熟练掌握比例的基本性质是解答此题的关键。
突破题型三比例的基本性质
9．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。
【答案】1∶4＝3∶12
【分析】先从已知的1、4、12三个数中任选两个数作为比例的两个外项，如1和12，那么4就是这个比例的一个内项；
根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，用1和12的乘积除以4，即可求出另一个内项，据此组成比例。
【解答】1×12÷4
＝12÷4
＝3
所组成的比例是1∶4＝3∶12。（答案不唯一）
10．在比例里，两个内项之积为最小的质数，其中一个外项是0.75，另一个外项是( )。
【答案】/
【分析】
比例的两内项积＝两外项积，两个内项之积为最小的质数，则两个外项之积也是最小的质数，最小的质数是2，根据积÷因数＝另一个因数，列式计算即可。
【解答】2÷0.75＝2÷＝2×＝
另一个外项是。
11．比例4∶7＝12∶21的内项7增加14，要使比例仍然成立，在4和12不变的情况下外项21应该增加( )。
【答案】42
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比例的基本性质：内项积等于外项积。4∶7＝12∶21的内项7增加14就是21，在4和12不变的情况下，可以将比例写成4∶21＝12∶（ ），设括号里面的数为x。再根据比例的基本性质解比例，再与21对比。
【解答】4∶21＝12∶（ ）
设：括号里面的数为x。
4∶21＝12∶x
4x＝12×21
4x＝252
x＝252÷4
x＝63
63－21＝42
则外项21应该增加42。
12．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是( )。
【答案】
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；由此可知，一个比例的两个外项互为倒数，即两个外项之积等于1，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；两个内项之积也等于1，其中一个内项是，求另一个内项，用1÷解答。
【解答】1÷
＝1×
＝
一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是。
【点评】利用倒数的意义和比例的基本性质进行解答。
突破题型四解比例
13．给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。
【答案】1.5
【分析】根据题意，0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，设0.5应该增加，可得出比例方程（0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36，解比例即可得解。
【解答】解：设0.5应该增加。
（0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36
36（0.5＋）＝6×（3＋9）
18＋36＝6×12
18＋36＝72
36＝72－18
36＝54
＝54÷36
＝1.5
给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加1.5。
14．如果a×3＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝( )。
【答案】5 3 0.16/
【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，把a×3＝b×5可以写成比例的形式，b和5作内项，a和3作外项。根据比例的基本性质，得到5a＝4×0.2，等式两边同时除以5就可以求出a的值，据此解答。
【解答】根据分析，a∶b＝5∶3。
a∶4 ＝0.2∶5
5a＝4×0.2
5a＝0.8
5a÷5＝0.8÷5
a＝0.16
故如果a×3＝b×5，那么a∶b＝5∶3；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝0.16。
15．当x＝( )时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是( )。
【答案】1.2
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；求比值用比的前项除以后项即可。
【解答】0.9∶x＝3∶4
解：3x＝0.9×4
3x＝3.6
x＝3.6÷3
x＝1.2
0.5÷
＝0.5×
＝
当x＝1.2时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是。
【点评】此题主要考查了比例的意义、比例的基本性质以及求比值的方法，注意求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
16．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。
【答案】8 15
【分析】根据题意，甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，求出甲和乙的最简比；再利用方程计算出当甲数是0.8时，乙数的值。
【解答】甲×＝乙×
甲∶乙＝∶
＝（×20）∶（×20）
＝8∶15
当甲数等于0.8时，
解：设乙数为x。
0.8∶x＝8∶15
8x＝0.8×15
8x＝12
x＝12÷8
x＝
甲的和乙的相等，甲∶乙＝8∶15，当甲数是0.8时，乙数是。
【点评】熟练掌握比例的基本性质以及解比例的方法是解答本题的关键。
突破题型五求比例尺
17．北京到天津的实际距离是120km，在一幅地图上量得两地的图上距离是3cm，这幅地图的比例尺是( )。
【答案】1∶4000000
【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答。
【解答】比例尺：3cm∶120km
＝3cm∶12000000cm
＝3∶120000000
＝1∶4000000
所以这幅地图的比例尺是：1∶4000000。
【点评】本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的计算方法。
18．将一个手表的零件画在图纸上长15cm，而它的实际长度只有0.6cm。图纸的比例尺是( )。
【答案】25∶1
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可。
【解答】15cm∶0.6cm
＝（15÷0.6）∶（0.6÷0.6）
＝25∶1
图纸的比例尺是25∶1。
19．李叔叔设计的一种微型零件实际长度是9mm，画到图纸上是9dm，这幅图的比例尺是( )。
【答案】100∶1
【分析】
已知一种零件的实际长度和图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1dm＝100mm”，求出这幅图的比例尺。
【解答】9dm∶9mm
＝（9×100）mm∶9mm
＝900∶9
＝（900÷9）∶（9÷9）
＝100∶1
这幅图的比例尺是100∶1。
20．我国首艘国产航母山东舰的长度约是315m，相当于三个足球场的长度，其宽度约为75m。在一幅平面图上量得它的长度是63cm，这幅平面图的比例尺是( )。
【答案】1∶500
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时，先将单位统一，然后再化简比，结果要是最简整数比；据此解答。
【解答】315m＝31500cm
63∶31500
＝（63÷63）∶（31500÷63）
＝1∶500
这幅平面图的比例尺是1∶500。
突破题型六求图上距离
21．陕西的南水北调工程——引汉济渭工程，其中的秦岭隧道是世界上最长的隧道，全长98千米。在比例尺为1∶4900000的地图中，这条隧道长( )厘米。
【答案】2
【分析】已知秦岭隧道的全长和地图的比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，代入数据计算，即可求出这条隧道在地图上的长度。注意单位的换算：1千米＝100000厘米。
【解答】98千米＝9800000厘米
9800000×＝2（厘米）
这条隧道长2厘米。
【点评】本题考查比例尺的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。
22．建水到昆明的距离大约是240km，在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，两地之间的距离是( )cm。
【答案】8
【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。
【解答】240km＝24000000cm
24000000×＝8（cm）
【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。
23．一幅地图，用图上5厘米的长度表示实际300米的长度，这幅地图的比例尺是( )。如果两地的实际距离是1200米，那么在这幅地图上应画( )厘米。
【答案】1∶6000 20
【分析】（1）先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出比后再化简即可。
（2）先统一单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出结果即可。
【解答】（1）300米＝30000厘米
5∶30000＝1∶6000
（2）1200米＝120000厘米
120000×＝20（厘米）
故答案为：1∶6000；20
【点评】比例尺＝图上距离∶实际距离，注意单位要统一。
24．一个钟表零件长是0.6毫米，如果把它画在比例尺为10∶1的图纸上，应该画( )厘米长。
【答案】0.6
【分析】要求画在图纸上的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可。
【解答】0.6×＝6（毫米）
6毫米＝0.6厘米
长应画0.6厘米。
【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；注意要求问题的单位是“厘米”。
突破题型七求实际距离
25．在比例尺是1∶25000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是16cm，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。
【答案】4
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。
【解答】16÷
＝16×25000
＝400000（厘米）
400000厘米＝4千米
【点评】本题考查图上距离与实际距离的换算，注意单位名数的换算。
26．在一幅比例尺1∶4000000的中国地图上量得A、B两地相距5.5厘米，A、B两地实际相距( )千米。
【答案】220
【分析】要求甲、乙两城市的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。
【解答】5.5÷＝22000000（厘米）
22000000厘米＝220千米
【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
27．在一幅地图上，用3厘米的线段表示地面上实际距离240千米，这幅地图的比例尺是( )；如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是( )千米。
【答案】1∶8000000 1960
【分析】根据公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，先求出比例尺，求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离∶比例尺”代入数值，计算即可。
【解答】比例尺：
3厘米∶240千米
＝3∶24000000
＝1∶8000000
实际距离：
24.5÷＝196000000（厘米）
196000000厘米＝1960千米
【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，灵活变形列式解决问题。
28．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为12cm、宽为10cm、深为2cm。这个水池的占地面积是( )平方米。
【答案】480
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这个游泳池的长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式S＝ab，即可求出其占地面积。
【解答】12÷＝2400（厘米）
2400厘米＝24米
10÷＝200（厘米）
2000厘米＝20米
24×20＝480（平方米）
【点评】解答此题的关键是：利用图上距离、实际距离和比例尺的关系，先求出这个水池的长和宽的实际值，进而求其面积。
突破题型八图形的放大和缩小
29．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比放大，得到长方形的周长是( )，面积是( )。
【答案】30厘米 54平方厘米
【分析】把长方形按3∶1放大，也就是把长和宽放大到原来的3倍，已知长3厘米，宽2厘米，则用3×3和2×3即可求出放大后的长和宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2和长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。注意最后的结果加上单位。
【解答】3×3＝9（厘米）
2×3＝6（厘米）
（9＋6）×2
＝15×2
＝30（厘米）
9×6＝54（平方厘米）
得到的长方形周长是30厘米，面积是54平方厘米。
30．把边长为3cm的正方形按3∶1放大，放大后的正方形边长为( )cm，周长为( )cm。
【答案】9 36
【分析】根据题意可知，边长3cm正方形按3∶1放大，就是把原来正方形边长扩大3倍，边长为：3×3＝9cm，再根据正方形周长公式：边长×4，求出扩大后的周长，即可解答。
【解答】边长：3×3＝9（cm）
周长：9×4＝36（cm）
【点评】本题考查正方形周长公式的应用以及图形的放大与缩小。
31．一个正方形的边长为，如果把它按缩小，边长变为( )；如果把它按放大，边长变为( )m。
【答案】5 1
【分析】根据题意知：将正方形的边长按缩小，就是边长缩小到原来的；将正方形的边长按放大，就是边长扩大到原来的4倍。
【解答】将正方形的边长按缩小，边长为；将正方形的边长按放大，边长为，。
【点评】本题考查学生对图形放大与缩小中的比例理解与应用。明确放大与缩小的比例所表达的意思，是本题得解的关键。
32．把直径是4厘米的圆按4∶1的比放大，放大后圆的周长是原来的( )倍，原来的面积与变化后圆面积的比是( )。
【答案】4 1∶16
【分析】先依据圆的周长公式分别计算出两个圆的周长，即可解答；依据圆的面积公式即可求解。
【解答】（1）（π×4×4）÷4π
＝16π÷4π
＝4
（2）π（4÷2）∶π（4×4÷2）
＝4∶64
＝1∶16
【点评】此题主要考查的是图形放大后，圆的周长和面积与变化前的倍数关系的变化。
突破题型九比例的应用
33．甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？
【答案】4小时
【分析】根据路程＝速度×时间，一辆货车行完全程需要10小时，用600除以10计算出货车的速度；已知客车和货车的速度比，计算出客车的速度；最后要求相遇时间，根据相遇时间＝路程÷速度之和，代入数值计算，所得结果即为经过多少小时两车能相遇。
【解答】解：设客车的速度为x。
货车的速度：600÷10＝60（千米/小时）
x∶60＝3∶2
2x＝60×3
2x＝180
2x÷2＝180÷2
x＝90
客车每小时行驶90千米。
相遇时间：600÷（60＋90）
＝600÷150
＝4（小时）
答：经过4小时能在途中相遇。
34．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答）
【答案】30人
【分析】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。
【解答】解：设女职工有x人。
2∶5＝12∶x
2x＝5×12
2x＝60
2x÷2＝60÷2
x＝30
答：女职工有30人。
35．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解）
【答案】3只
【分析】由题意可知：2只羊可以换8把斧头，那么一只羊可以换4把斧头，所以羊的只数与斧头的把数的比值相等，设需要x只羊，根据羊的只数与斧头的把数的比值相等列出比例求解即可。
【解答】解：设需要x只羊。
x∶12＝2∶8
8x＝12×2
8x＝24
8x÷8＝24÷8
x＝3
答：需要3只羊。
36．六年（1）班在开展“垃圾回收，保护地球”活动中，第一小组和第二小组回收矿泉水瓶的数量比是5∶6。第一小组回收了80个，第二小组回收了多少个？（用方程解答）
【答案】96个
【分析】根据题意可知，第一小组回收矿泉水瓶的数量∶第二小组回收矿泉水瓶的数量＝5∶6，据此列出比例方程，并求解。
【解答】解：设第二小组回收了个。
80∶＝5∶6
5＝80×6
5＝480
＝480÷5
＝96
答：第二小组回收了96个。
突破题型十比例尺的应用
37．在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？
【答案】能走完
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲乙两地的实际距离。再根据路程＝速度×时间，用90×1.5，求出杨叔叔开车1.5小时行驶的路程；再用甲乙两地的实际距离－杨叔叔开车1.5小时行驶的路程，求出剩下的路程；再把原来杨叔叔开车的速度看作单位“1”，速度提高后的速度是原来速度的（1＋30%），用原来速度×（1＋30%），求出提高后的速度，再根据路程＝速度×时间，求出1小时行驶的路程，再和剩下的路程比较，大于剩下的路程，就能走完；小于剩下的路程，就不能走完，据此解答，注意单位名数的统一。
【解答】4.1÷
＝4.1×6000000
＝24600000（厘米）
24600000厘米＝246千米
246－90×1.5
＝246－135
＝111（千米）
90×（1＋30%）×1
＝90×1.3×1
＝117×1
＝117（千米）
111＜117，剩下的路程他1小时能走完。
答：剩下的路程他1小时能走完。
38．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？
【答案】75千米
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，再减甲车的速度，即可求出乙车的速度，据此解答。
【解答】6÷＝48000000（厘米）
48000000厘米＝480千米
480÷3＝160（千米/时）
160－85＝75（千米/时）
答：乙车平均每小时行驶75千米。
39．如图是甲、乙、丙三地的公路交通图，王师傅早上7时驾车从甲地出发沿①号公路开往乙地，每时行驶50km，到达乙地时正好是上午10时。于是他又立即沿②号公路开往丙地，每时行驶62.5km。
（1）这幅图的比例尺是多少？
（2）到达丙地需要多少时间？
【答案】（1）这幅图的比例尺是1∶5000000
（2）4小时
【分析】（1）先根据速度×时间＝路程，求出甲乙两地的实际距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出比例尺；
（2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出乙丙两地的路程，再用路程÷速度＝时间，求出王师傅从乙地到达丙地需要多少时间。
【解答】（1）甲乙两地距离：
（千米）
（厘米）
比例尺：3∶15000000＝1∶5000000
答：这幅图的比例尺是1∶5000000。
（2）乙丙两地距离：（厘米）＝250（千米）
时间：250÷62.5＝4（小时）
答：到达丙地需要4小时。
【点评】本题考查行程问题、比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的概念。
40．从一幅比例尺为1∶2000000的地图上量得广州到深圳的距离为7.5厘米，王叔叔以每小时100千米的速度开车从广州前往深圳，多长时间可以到达？
【答案】1.5小时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出广州到深圳的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。
【解答】7.5÷＝7.5×2000000＝15000000（厘米）＝150（千米）
150÷100＝1.5（小时）
答：1.5小时可以到达。
突破题型十一应用比例尺作图
41．实验小学要建一个长240m、宽160m的长方形运动场，请在图中画出运动场的平面图。（比例尺
【答案】见详解。
【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可分别求出长方形运动场的长、宽，然后即可画出这个长方形运动场的平面图。
【解答】240m＝24000cm
160m＝16000cm
24000÷8000＝3（cm）
16000÷8000＝2（cm）
即画长方形运动场的长是3cm，宽是2cm。
画图如下：
【点评】画平面图的关键一是根据实际距离及比例尺求出图上距离；二是方向的确定。
42．用的比例尺，画出长20m，宽15m的长方形会议室的平面图。
【答案】见详解
【分析】1m＝100cm，则20m＝2000cm，15m＝1500cm，根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，即图上的长是：2000×＝4（cm），实际的宽是：1500×＝3（cm），据此即可画图。
【解答】20m＝2000cm
15m＝1500cm
2000×＝4（cm）
1500×＝3（cm）
如下图所示：
【点评】本题主要考查图上距离和实际距离的换算，熟练掌握它的公式并灵活运用。
43．李叔叔骑自行车去观看第十四届全运会比赛。他从家出家，先向东偏北20°方向骑行3km，再向南偏东45°方向骑行4km后到达体育馆。你能画出李叔叔骑行的路线吗？
【答案】见详解
【分析】图上距离表示实际距离1千米，则可以得出各个地点之间的图上距离，再据各个地点之间的方向关系，即可画出画出李叔叔骑行的路线即可。
【解答】
【点评】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。
44．在下面的平面图中，少年宫在人民广场正西方向1600m处，学校在人民广场南偏东30°方向1200m处。在图上分别标出少年宫和学校的位置。
【答案】
【分析】用东、西、南、北、东南、东北、西南、西北等方向来确定位置，或用方向和距离相结合来确定位置，它们既可以用来确定现实空间中物体的位置，也可以用来确定平面图上的物体的位置。
【解答】线段比例尺化为数值比例尺：1厘米∶800米＝1∶80000；
1600米＝160000厘米；1200米＝120000厘米；
图上距离：160000×＝2厘米；
图上距离：120000×＝1.5厘米；
故在地图上，少年宫位于人民广场以西2厘米处，学校位于人民广场南偏东30°方向1.5厘米处。
【点评】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。
突破题型十二作放大或缩小后的图形
45．按2∶1画出下面图形放大后的图形。
【答案】见详解
【分析】按2∶1放大图形，即将图形扩大2倍，放大后的长为6个格，宽为4个格。据此作图即可。
【解答】根据分析画图如下：
【点评】本题考查了比的应用，明确2∶1放大就是放大两倍是解题的关键。
46．如图的每个方格表示1cm2。将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶2。
【答案】见详解
【分析】图中长方形的长是6格，宽是4格，根据图形放大或缩小的意义，按1∶2缩小后的长方形的长为3格，宽为2格，据此画图即可。
【解答】根据要求，作图如下：
【点评】解答此题的关键是掌握图形放大或缩小的方法及比的意义。
47．请先把方格纸中的正方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，再将缩小后得到的图形向右平移4格。
【答案】见详解
【分析】将正方形按1∶2缩小，就是正方形的边长缩小到原来的，画出缩小后的正方形；再根据平移的特征：把缩小后的正方形的四个顶点分别向右平移4格，再首尾连接各点即可画出平移后的图形。
【解答】6×＝3
见下图：
【点评】根据图形的放大和缩小、作平移后的图形，进行解答。
48．按要求画一画。
（1）将图形①按1∶3缩小。
（2）将图形②按2∶1放大。
【答案】见详解
【分析】假设每个方格的边长为1，
（1）原梯形的上底、下底、高分别是6、3、6，缩小后是2、1、2。
（2）原三角形的两条直角边是2和4，扩大后分别是4和8。
【解答】（1）（2）如图：
【点评】理解缩小与扩大的意义与方法是解决本题的关键。
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