资源简介

2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第二单元 比例
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】比例的认识
1、表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比
例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
2、在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。
【知识点二】比例的应用
1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。
2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。
3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。
4、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
【知识点三】比例尺
1、意义。
将实际图形画在纸上，为了让图形的形状不变，画在纸上的距离和对应的实际距离的比要组成比例，即按统一的比进行绘图。
图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，即：=比例尺。
比例尺是一个简单的整数比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、两种常见的比例尺。
（1）数值比例尺：一幅图的比例尺是1：1000，像这样用数字形式表示的比例尺叫数值比例尺。
（2）线段比例尺：比例尺1：1000还可以这样表示：，这种用线段表示的比例尺叫线段比例尺。
拓展：比例尺的分类。
【知识点四】图形的放大和缩小
1、图形的放大。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。
（2）图形（或图象）放大后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变大。
2、图形的缩小。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。
（2）图形（或图象）缩小后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变小。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
【考点一】比例的认识
【典例一】下面（ ）组中四个数不能组成比例。
A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20
C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3
【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，据此分别求出选项A、B、D中各比的比值，C选项根据比例的基本性质：两个内项积等于外项积，据此判断。
【规范解答】A．15∶18＝，30∶36＝，所以15∶18和30∶36能组成比例；
B．4∶8＝0.5，5∶20＝0.25，0.5≠0.25，所以4∶8和5∶20不能组成比例；
C．3×8＝24，4×6＝24，24＝24，所以3、4、8和6能组成比例；
D．∶＝，4∶3＝，所以∶和4∶3能组成比例。
所以不能组成比例的是4∶8和5∶20。
故答案为：B
【典例二】从18的因数中选出四个数组成一个比例是( )。
【分析】先找出18的因数，再根据比例的意义写出比例。比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。
【规范解答】18的因数有：1，2，3，6，9，18。
组成比例：（答案不唯一）
从18的因数中选出四个数组成一个比例是。
【典例三】丽丽为了布置教室墙报，剪了两张大小不同的长方形剪纸。经测量第一张剪纸长与宽的比是21∶14，第二张剪纸长与宽的比是9∶6，丽丽认为21∶14和9∶6能组成比例，你觉得呢？请写出理由。
理由1：
理由2：
理由1：21∶14和9∶6的比值相等；
理由2：两个内项的积等于两个外项的积。
【解题思路】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
21∶14＝，9∶6＝，因为21∶14和9∶6的比值相等，所以21∶14和9∶6能组成比例；
14×9＝126，21×6＝126，因为两个内项的积等于两个外项的积，所以21∶14和9∶6能组成比例。
【规范解答】由分析可知：
能组成比例；
理由1：21∶14和9∶6的比值相等，所以21∶14和9∶6能组成比例；
理由2：两个内项的积等于两个外项的积，所以21∶14和9∶6能组成比例。
【考察方向】本题考查如何判断两个比是否能组成比例，方法一：用比例的意义来判断，方法二：用比例的基本性质来判断。
【考点二】比例的应用
【典例一】解方程。

【解题思路】（1）先把方程左边化简为x，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解答；
（2）根据比例的基本性质可得：x＝60%×5，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解出方程。
【规范解答】
解：
x＝55
x×＝55×
x＝60
解：x＝60%×5
x＝3
x×＝3×
x＝
【典例二】相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决）
【解题思路】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。
【规范解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米
81∶＝9∶10
9＝81×10
＝81×10÷9
＝90
答：这块冰的体积是90立方分米。
【典例三】一个人的血液与体重比约为2∶25，肌肉与体重比约为2∶3，骨头与体重比约为1∶4。
（1）体重是7千克的幼儿，他体内的血液约有多少千克？（列方程解答）
（2）体重是多少千克的人，他体内的肌肉约有28千克？（列方程解答）
【解题思路】（1）根据血液与体重的比是2∶25，假设体重7kg的幼儿血液约有x千克。则可以列出比例x∶7＝2∶25，再根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化成方程，最后根据等式的性质“等式两边同时除以一个数（0除外）等式不变”解比例。
（2）根据肌肉与体重的比是2∶3，体内的肌肉约有28千克，设体重为x千克，则28∶x＝2∶3。根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化成方程，最后根据等式的性质等式两边同时除以一个数（0除外）等式不变解比例。
【规范解答】（1）解：设他体内的血液约有x千克。
x∶7＝2∶25
25x＝2×7
25x＝14
25x÷25＝14÷25
x＝0.56
答：他体内的血液约有0.56千克。
（2）解：设他的体重是x千克。
28∶x＝2∶3
2x＝28×3
2x＝84
2x÷2＝84÷2
x＝42
答：他的体重是42千克。
【考点三】比例尺
【典例一】线段比例尺 化成数值比例尺是（ ）。
A．1∶30 B．30∶1 C．1∶3000000 D．3000000∶1
【解题思路】从线段比例尺可知，图上1厘米的距离相当于实际距离30千米，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，将线段比例尺化成数值比例尺。
【规范解答】1厘米∶30千米
＝1厘米∶（30×100000）厘米
＝1∶3000000
线段比例尺 化成数值比例尺是1∶3000000。
故答案为：C
【典例二】青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所。把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形。请问该广场实际面积约是多少平方米？
【解题思路】由题可知该广场的长和宽的图上距离分别是5厘米和3厘米，根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据进行计算，可以求出该广场的长和宽的实际距离，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出该广场实际面积，据此解答。
【规范解答】（厘米）
（厘米）
25000厘米＝250米
15000厘米＝150米
250×150＝37500（平方米）
答：该广场实际面积约是37500平方米。
【典例三】如图是小英家附近几个建筑物的位置。
(1)小英家到学校的实际距离书店是900米，则这幅图的比例尺是( )。（测量时取整厘米）
(2)书店距离小英家的实际距离是( )米。
(3)体育场在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的实际距离是( )米。
【解题思路】（1）量出小英家到学校的图上距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算出比例尺；
（2）量出书店距离小英家的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算出实际距离；
（3）观察图可知，此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，以小英家为观测点，根据方向、角度确定体育场的位置即可。再量出体育场距离小英家的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算出实际距离；
【规范解答】（1）量出小英家到学校的图上距离为3厘米，900米＝90000厘米
3∶90000＝1∶30000
所以，这幅图的比例尺是1∶30000。
（2）量出书店距离小英家的图上距离是2厘米
2÷＝2×30000＝60000（厘米）
60000厘米＝600米
书店距离小英家的实际距离是600米。
（3）体育场距离小英家的图上距离为4厘米，
4÷＝4×30000＝120000（厘米）
120000厘米＝1200米
所以，体育场在小英家的东偏北30°方向，距小英家的实际距离是1200米。
【考点四】图形的放大和缩小
【典例一】把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（ ）
A．扩大到原来的4倍。 B．扩大到原来的16倍。
C．缩小到原来的。 D．周长不变。
【解题思路】根据比的意义，把原来图形周长看作1份数，那么放大后的图形的周长就为4份数，例如边长为1的正方形周长为4，放大后边长为4，正方形周长为16，也就是扩大到原来的4倍。
【规范解答】根据分析，把一个图形按4∶1放大后，周长扩大到原来的4倍。
故答案为：A
【典例二】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。
【解题思路】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。
设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。
【规范解答】1×4＝4（厘米）
（4×4）∶（1×1）
＝16∶1
12÷6＝2（厘米）
6÷6＝1（厘米）
[（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2]
＝[3×2]∶[18×2]
＝6∶36
＝1∶6
把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。
【典例三】想一想，画一画。
点A、B、C、D的数对是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。
（1）将图形①各顶点数对的第一个数乘，第二个数不变，得到图形③。
（2）将图形②按2∶1放大，得到图形④。
【解题思路】（1）将数对中的第一个数乘，求出变化后的数，进而得出图形③中各点数对，再找出各点连线即可；
（2）将图形②按2∶1放大，就是把这个平行四边形各边扩大到原来的2倍，由此画出图形④即可。
【规范解答】（1）62
124
变化后的数对为：A（2，2）、B（2，0）、C（4，0）、D（4，2）
见下图
（2）画图如下：
【考察方向】本题考查图形的放大与缩小，根据数对表示位置以及分数乘法的计算方法。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）在一个比例中，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
【正确答案】
【解题思路】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，另一个内项＝两个外项的乘积÷其中一个内项，再根据最小的质数为2，即可求得。
【详细解答】由分析可知：
2÷
＝2×
＝
所以另一个内项是。
【考点点评】掌握比例的基本性质是解答题目的关键。
2．（2分）电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按（ ）放大了。
【正确答案】5∶1
【解题思路】由题意可知：图片原来的长（实际距离）是3cm，放大后的长（图上距离）是15cm；图片原来的宽（实际距离）是2.4cm，放大后的宽（图上距离）是12cm。根据图上距离∶实际距离＝比例尺，用15∶3或者12∶2.4即可求解。
【详细解答】15∶3＝（15÷3）∶（3÷3）＝5∶1
12∶2.4＝（12×10）∶（2.4×10）＝120∶24＝（120÷24）∶（24÷24）＝5∶1
所以，相当于把这张图片按5∶1放大了。
3．（2分）把一个长6厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（ ）平方厘米。
【正确答案】96
【解题思路】根据题意，把长、宽按2∶1放大到原来的2倍，先分别求出放大后的长、宽各是多少厘米，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。
【详细解答】放大后的长：6×2＝12 （厘米）
放大后的宽：4×2＝8（厘米）
放大后的面积：12×8＝96（平方厘米）
把一个长6厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是96平方厘米。
4．（2分）从雷州到广州的实际距离大约是480千米，在一幅地图上量得这两地间的距离是12厘米。这幅地图的比例尺是（ ）。
【正确答案】1∶4000000
【解题思路】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据解答即可。
【详细解答】480千米＝48000000厘米
12厘米∶480千米
＝12厘米∶48000000厘米
＝12∶48000000
＝（12÷12）∶（48000000÷12）
＝1∶4000000
从雷州到广州的实际距离大约是480千米，在一幅地图上量得这两地间的距离是12厘米。这幅地图的比例尺是1∶4000000。
【考点点评】解答此题的关键是掌握比例尺的意义和相关公式。
5．（2分）在一幅比例尺是1∶3000000的地图上量得甲、乙两地之间的距离是2厘米，甲、乙两地之间的实际距离是（ ）千米。
【正确答案】60
【解题思路】已知一幅地图的比例尺和甲、乙两地的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离。
【详细解答】2÷
＝2×3000000
＝6000000（厘米）
6000000厘米＝60千米
甲、乙两地之间的实际距离是60千米。
6．（2分）去年6月17日我国第三艘航空母舰“福建号”成功下水，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量8万余吨。如果按照的比例尺制作“福建号”模型，长应是（ ）厘米，宽应是（ ）厘米。
【正确答案】16 3.9
【解题思路】根据图上距离实际距离比例尺，代入数据解答。同时注意答案中单位，根据1米＝100厘米，在答案中做相应变化。
【详细解答】320米＝32000厘米
78米＝7800厘米
（厘米）
（厘米）
长应是16厘米，宽应是3.9厘米。
7．（2分）学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。
【正确答案】32
【解题思路】根据题意可知，照片按比例放大后，原照片的长∶放大后照片的长＝原照片的宽∶放大后照片的宽，据此列出比例方程，并求解。
【详细解答】解：设放大后照片的长是cm。
4.8∶＝3.3∶22
3.3＝4.8×22
3.3＝105.6
＝105.6÷3.3
＝32
放大后照片的长是32cm。
8．（2分）甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。
【正确答案】4200
【解题思路】根据“甲乙两个学校图书本数比是4∶3”，可以设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书；根据“两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5”可得出等量关系：（甲校原有图书的本数－300）∶（乙校原有图书的本数－300）＝7∶5；据此列出比例方程，并求解，进而求出甲校、乙校原有图书的本数，再相加，即是两校原有图书的总本数。
【详细解答】解：设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书。
（4－300）∶（3－300）＝7∶5
7（3－300）＝5（4－300）
21－2100＝20－1500
21－20＝2100－1500
＝600
甲校原有：600×4＝2400（本）
乙校原有：600×3＝1800（本）
一共：2400＋1800＝4200（本）
那么甲乙两校原来共有4200本图书。
9．（2分）三个数15、6、9与a能组成一个比例，a＝（ ）。组成的比例是（ ）。
【正确答案】10 15∶10＝9∶6
【解题思路】表示两个比相等的式子叫做比例，比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。据此解答。
【详细解答】15×6÷9
＝90÷9
＝10
所以可以写成15∶10＝9∶6。
15×9÷6
＝135÷6
＝22.5
所以可以写成15∶6＝22.5∶9。
6×9÷15
＝54÷15
＝3.6
所以可以写成6∶15＝3.6∶9。（答案不唯一）
【考点点评】此题主要考查了比例的意义以及比例的基本性质，要熟记相关性质。
10．（2分）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有（ ）袋，乙堆水泥原来有（ ）袋。
【正确答案】150 100
【解题思路】根据“甲堆水泥比乙堆多50袋”，可以设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。
把甲堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走80%，则甲堆还剩下原有水泥的（1－80%），根据百分数乘法的意义可知，甲堆还剩下（1－80%）（＋50）袋；
把乙堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走，则乙堆还剩下原有水泥的（1－），根据分数乘法的意义可知，乙堆还剩下（1－）袋；
等量关系式：甲堆剩下的水泥袋数∶乙堆剩下的水泥袋数＝6∶5，据此列出比例方程，并求解。
【详细解答】解：设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。
（1－80%）（＋50）∶（1－）＝6∶5
0.2（＋50）∶0.25＝6∶5
（0.2＋10）∶0.25＝6∶5
0.25×6＝（0.2＋10）×5
1.5＝＋50
1.5－＝50
0.5＝50
＝50÷0.5
＝100
甲原有：100＋50＝150（袋）
甲堆水泥原来有150袋，乙堆水泥原来有100袋。
【考点点评】本题主要考查比例的应用，从题目中找出等量关系，按等量关系列出比例方程是解题的关键。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）如果11a＝6b，（a、b均不为0），则a∶b＝6∶11。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据比例的基本性质，把11a＝6b改写成比例式，一个外项是a，内项是b的比例，则和a相乘的数11就作为比例的另一个外项，和b相乘的数6就作为比例的另一个内项，据此写出比例。
【详细解答】由11a＝6b可得a∶b＝6∶11。
原题说法正确。
故答案为：√
12．（2分）王师傅8天完成了10天的工作任务，他的工作效率提高了25%。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】时间比反过来是效率比，用前后效率差÷原来工作效率＝工作效率提高了百分之几。
【详细解答】（10－8）÷8
＝2÷8
＝25%
故答案为：√
【考点点评】差÷较小数＝提高百分之几，此类问题一般用表示单位“1”的量作除数。
13．（2分）比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可知1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。据此解答。
【详细解答】根据分析可知，比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。原题干说法正确。
故答案为：√
【考点点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意前后的单位统一。
14．（2分）比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，图上距离也扩大到原来的5倍。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】比例尺＝图上距离∶实际距离，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
【详细解答】根据比例尺的意义以及比的性质可知，比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，图上距离也扩大到原来的5倍。所以原题说法正确。
故答案为：√
【考点点评】熟练掌握比例尺的意义和比的基本性质是解题的关键。
15．（2分）一个圆形放大或缩小后，其形状和大小都发生了变化。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】把一个图形按一定的比例放大或缩小后，大小发生了变化，形状没变。据此解答。
【详细解答】根据分析可知，一个圆形放大或缩小后，其形状不变，大小发生了变化。
原题干说法错误。
故答案为：×
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一幅地图的比例尺是1∶5000000，地图上的1厘米表示实际距离（ ）。
A．50千米 B．500千米 C．5000千米 D．5000000千米
【正确答案】A
【解题思路】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。根据比例尺的意义，可知比例尺1∶5000000表示图上1厘米相当于实际距离5000000厘米，再根据进率“1千米＝100000厘米”换算单位即可。
【详细解答】5000000厘米＝50千米
一幅地图的比例尺是1∶5000000，地图上的1厘米表示实际距离50千米。
故答案为：A
17．（2分）市政府要建一个长600m，宽400m的长方形广场，将广场设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下列比例尺（ ）比较合适。
A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000
【正确答案】C
【解题思路】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别计算出按照各个比例尺画的图上长度，选择合适的即可。
【详细解答】600m＝60000cm，400m＝40000cm
A．长：60000×＝24（cm），宽：40000×＝160（cm），24＞20，16＝16，不合适；
B．长：60000×＝20（cm），宽：40000×＝（cm），20＝20，＜16，但是不是整数，不合适；
C．长：60000×＝15（cm），宽：40000×＝10（cm），15＜20，10＜16，合适；
D．长：60000×＝0.015（cm），宽：40000×＝0.01（cm），0.015与0.01过于小，不合适。
故答案为：C
18．（2分）下列说法错误的是（ ）。
A．图形平移后，位置、形状都不改变 B．图形旋转后，位置变了，大小不变
C．图形放大后，大小变了，形状相似 D．图形缩小后，对应线段长的比相等
【正确答案】A
【解题思路】根据学过的平移、旋转、图形的放大与缩小的特点逐项分析。
【详细解答】A．图形平移后，形状不改变，位置改变，原说法错误；
B．图形旋转后，位置变了，大小不变，此说法正确；
C．图形放大后，大小变了，但形状相似，此说法正确；
D．图形缩小后，组成图形的线段都按照相同的比例缩小，则对应线段长的比相等，此说法正确。
故答案为：A
【考点点评】掌握平移、旋转、图形的放大与缩小的特点是解题的关键。
19．（2分）一列火车从甲地开往乙地，6小时行驶了，距离乙地还有，照这样的速度计算，行驶完全程还需要几小时？若设行驶完全程还需要小时，则下面所列比例错误的是（ ）。
A． B． C． D．
【正确答案】D
【解题思路】设行驶完全程还需要小时，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，已行驶路程∶已用时间＝还要行驶的路程∶还需要的时间，还要行驶的路程∶已行驶路程＝还需要的时间∶已用时间，或已行驶路程∶还要行驶的路程＝已用时间∶还需要的时间，都可列出比例式进行解答。
【详细解答】A．，已行驶路程∶已用时间＝还要行驶的路程∶还需要的时间，比例正确；
B．，还要行驶的路程∶已行驶路程＝还需要的时间∶已用时间，比例正确；
C．，已行驶路程∶还要行驶的路程＝已用时间∶还需要的时间，比例正确；
D．，已用时间∶已行驶路程≠还要行驶的路程∶还需要的时间，比例错误。
所列比例错误的是。
故答案为：D
20．（2分），那么a与b化简后的比是（ ）。
A． B． C．6∶5 D．5∶6
【正确答案】C
【解题思路】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此可得a∶b＝，再根据比的基本性质化简比即可。
【详细解答】根据比例的基本性质可得：
a∶b＝
＝（×15）∶（×15）
＝12∶10
＝（12÷2）∶（10÷2）
＝6∶5
则a与b化简后的比是6∶5。
故答案为：C
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程。
（1）0.3x－0.6＝1.8 （2）40%x＋26＝84 （3）
【正确答案】（1）x＝8；（2）x＝145；（3）x＝20
【解题思路】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上0.6，再同时除以0.3即可；
（2）根据等式的性质，方程两边同时减去26，再同时除以40%即可；
（3）根据比例的基本性质，把式子转化为x＝12×，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可。
【详细解答】（1）0.3x－0.6＝1.8
解：0.3x－0.6＋0.6＝1.8＋0.6
0.3x＝2.4
0.3x÷0.3＝2.4÷0.3
x＝8
（2）40%x＋26＝84
解：40%x＋26－26＝84－26
40%x＝58
40%x÷40%＝58÷40%
x＝145
（3）
解：x＝12×
x＝10
x÷＝10÷
x＝10×2
x＝20
五、作图题（满分6分）
22．（6分）已知小刚家正东方向800米是电影院，电影院东偏北65°方向600米是学校，学校南偏东40°方向500米是图书馆，在图中标出电影院、学校、图书馆的位置。
【正确答案】见详解
【解题思路】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以小刚家为观测点，即可确定电影院的方向，以电影院为观测点，即可确定学校的方向，以学校为观测点，即可确定图书馆的方向；然后根据图上1厘米表示实际200米，分别求出800米、600米、500米的图上距离，据此进行作图。
【详细解答】20000厘米＝200米
比例尺1∶20000代表图上1厘米表示实际200米，
800÷200＝4（厘米）
600÷200＝3（厘米）
500÷200＝2.5（厘米）
如图：
【考点点评】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）甲乙两地的实际距离是1600千米，在地图上，量得甲乙两地的直线距离是20厘米。“十四五”期间，宁夏至太原高铁项目列入计划，全长约600千米。画在这幅地图上，应画多少厘米？
【正确答案】7.5厘米
【解题思路】已知甲乙两地的实际距离是1600千米，图上距离是20厘米，图上距离∶实际距离＝比例尺，据此把1600千米化成160000000厘米，用20比160000000即可求出这幅地图的比例尺。实际距离×比例尺＝图上距离，据此用宁夏至太原高铁项目的全长乘比例尺，即可求出它的图上距离。
【详细解答】1600千米＝160000000厘米
20∶160000000＝1∶8000000
600千米＝60000000厘米
60000000×＝7.5（厘米）
答：应画7.5厘米。
【考点点评】本题考查比例尺的应用。在同一幅地图上，比例尺是不变的。掌握图上距离、实际距离与比例尺的关系是解题的关键。
24．（6分）在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
【正确答案】50千米
【解题思路】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B两地间的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出这辆货车的速度即可。
【详细解答】9
＝9×4000000
＝36000000（厘米）
36000000厘米＝360千米
360÷7.2＝50（千米/时）
答：这辆汽车平均每小时行驶50千米。
【考点点评】本题主要考查比例尺的应用，求出实际距离是解题的关键。
25．（6分）同学们在某一天同一时刻分成三组进行测量活动，并记录下一些数据（见表格）。学校旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识进行解答）
实际高度（米） 影子长度（米）
木棍 1 0.25
小明同学 1.6 0.4
学校旗杆 ？ 4.22
【正确答案】16.88米
【解题思路】根据题意以及表格中的数据，可得出等量关系：木棍的影子长度∶木棍的实际长度＝学校旗杆的影子长度∶学校旗杆的实际长度，据此列出比例方程，并求解。
【详细解答】解：设学校旗杆的实际高度是米。
0.25∶1＝4.22∶
0.25＝1×4.22
0.25＝4.22
＝4.22÷0.25
＝16.88
答：学校旗杆的实际高度是16.88米。
26．（6分）兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答）
【正确答案】能到。
【解题思路】耗油量∶汽车行驶的路程＝汽车每行驶1千米的耗油量（一定），因为耗油量和汽车行驶的路程的比值是一个定值，所以耗油量和汽车行驶的路程成正比例关系。设460千米耗油x升，根据这个列比例解答。
【详细解答】解：设460千米耗油x升。
100x＝8×460
100x＝3680
100x÷100＝3680÷100
x＝36.8
40＞36.8
答：能到达外婆家。
27．（12分）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。
（1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？
（2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？
（3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。
【正确答案】（1）1∶10000
（2）200米
（3）见详解
【解题思路】（1）先从图上量出A点到出发点的图上距离，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出这幅图的比例尺。注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）先从图上量出B点距离出发点的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出B户距离出发点的实际距离，再根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可。
（3）已知D户位于出发点东偏南45°方向400米处，先把400米换算成40000厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出D户距离出发点的图上距离。
以图上的“上北下南，左西右东”为准，以出发点为观测点，根据方向、角度和距离在图中画出D户的位置。
【详细解答】（1）量得A点到出发点的图上距离是3厘米。（以实际测量为准）
3厘米∶300米
＝3厘米∶（300×100）厘米
＝3∶30000
＝（3÷3）∶（30000÷3）
＝1∶10000
答：这幅图的比例尺是1∶10000。
（2）量得B点距离出发点的图上距离是2厘米。（以实际测量为准）
2÷
＝2×10000
＝20000（厘米）
2000厘米＝200米
答：B点距离出发点的实际距离是200米。
（3）400米＝40000厘米
40000×＝4（厘米）
如图：
28．（12分）操作。
（1）用数对表示三角形三个顶点的位置。
A（ ），B（ ），C（ ）。
（2）画出三角形按2∶1放大后的图形。
（3）如果原来直角三角形的斜边长是a，那么放大后的直角三角形的斜边长是（ ）。
【正确答案】（1）A（2，3）；B（2，1）；C（5，1）
（2）见详解
（3）2a
【解题思路】（1）用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。
（2）直角三角形ABC的直角边AB占2格，按2∶1放大后占2×2＝4格；直角边BC占3格，按2∶1放大后占3×2＝6格。据此画出放大后的图形。
（3）三角形的斜边按2∶1放大后的长度是原来长度a的2倍，即a×2＝2a。
【详细解答】（1）点A在第2列、第3行的交点处，用数对表示是（2，3）；
点B在第2列、第1行的交点处，用数对表示是（2，1）；
点C在第5列、第1行的交点处，用数对表示是（5，1）；
（2）如下图：
（3）a×2＝2a
所以，如果原来直角三角形的斜边长是a，那么放大后的直角三角形的斜边长是2a。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第二单元 比例
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】比例的认识
1、表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比
例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
2、在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。
【知识点二】比例的应用
1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。
2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。
3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。
4、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
【知识点三】比例尺
1、意义。
将实际图形画在纸上，为了让图形的形状不变，画在纸上的距离和对应的实际距离的比要组成比例，即按统一的比进行绘图。
图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，即：=比例尺。
比例尺是一个简单的整数比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、两种常见的比例尺。
（1）数值比例尺：一幅图的比例尺是1：1000，像这样用数字形式表示的比例尺叫数值比例尺。
（2）线段比例尺：比例尺1：1000还可以这样表示：，这种用线段表示的比例尺叫线段比例尺。
拓展：比例尺的分类。
【知识点四】图形的放大和缩小
1、图形的放大。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。
（2）图形（或图象）放大后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变大。
2、图形的缩小。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。
（2）图形（或图象）缩小后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变小。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
【考点一】比例的认识
【典例一】下面（ ）组中四个数不能组成比例。
A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20
C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3
【典例二】从18的因数中选出四个数组成一个比例是( )。
【典例三】丽丽为了布置教室墙报，剪了两张大小不同的长方形剪纸。经测量第一张剪纸长与宽的比是21∶14，第二张剪纸长与宽的比是9∶6，丽丽认为21∶14和9∶6能组成比例，你觉得呢？请写出理由。
理由1：
理由2：
理由1：21∶14和9∶6的比值相等；
理由2：两个内项的积等于两个外项的积。
【考点二】比例的应用
【典例一】解方程。

【典例二】相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决）
【典例三】一个人的血液与体重比约为2∶25，肌肉与体重比约为2∶3，骨头与体重比约为1∶4。
（1）体重是7千克的幼儿，他体内的血液约有多少千克？（列方程解答）
（2）体重是多少千克的人，他体内的肌肉约有28千克？（列方程解答）
【考点三】比例尺
【典例一】线段比例尺 化成数值比例尺是（ ）。
A．1∶30 B．30∶1 C．1∶3000000 D．3000000∶1
【典例二】青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所。把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形。请问该广场实际面积约是多少平方米？
【典例三】如图是小英家附近几个建筑物的位置。
(1)小英家到学校的实际距离书店是900米，则这幅图的比例尺是( )。（测量时取整厘米）
(2)书店距离小英家的实际距离是( )米。
(3)体育场在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的实际距离是( )米。
【考点四】图形的放大和缩小
【典例一】把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（ ）
A．扩大到原来的4倍。 B．扩大到原来的16倍。
C．缩小到原来的。 D．周长不变。
【典例二】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。
【典例三】想一想，画一画。
点A、B、C、D的数对是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。
（1）将图形①各顶点数对的第一个数乘，第二个数不变，得到图形③。
（2）将图形②按2∶1放大，得到图形④。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）在一个比例中，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
2．（2分）电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按（ ）放大了。
3．（2分）把一个长6厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（ ）平方厘米。
4．（2分）从雷州到广州的实际距离大约是480千米，在一幅地图上量得这两地间的距离是12厘米。这幅地图的比例尺是（ ）。
5．（2分）在一幅比例尺是1∶3000000的地图上量得甲、乙两地之间的距离是2厘米，甲、乙两地之间的实际距离是（ ）千米。
6．（2分）去年6月17日我国第三艘航空母舰“福建号”成功下水，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量8万余吨。如果按照的比例尺制作“福建号”模型，长应是（ ）厘米，宽应是（ ）厘米。
7．（2分）学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。
8．（2分）甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。
9．（2分）三个数15、6、9与a能组成一个比例，a＝（ ）。组成的比例是（ ）。
10．（2分）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有（ ）袋，乙堆水泥原来有（ ）袋。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）如果11a＝6b，（a、b均不为0），则a∶b＝6∶11。（ ）
12．（2分）王师傅8天完成了10天的工作任务，他的工作效率提高了25%。（ ）
13．（2分）比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。（ ）
14．（2分）比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，图上距离也扩大到原来的5倍。（ ）
15．（2分）一个圆形放大或缩小后，其形状和大小都发生了变化。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一幅地图的比例尺是1∶5000000，地图上的1厘米表示实际距离（ ）。
A．50千米 B．500千米 C．5000千米 D．5000000千米
17．（2分）市政府要建一个长600m，宽400m的长方形广场，将广场设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下列比例尺（ ）比较合适。
A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000
18．（2分）下列说法错误的是（ ）。
A．图形平移后，位置、形状都不改变 B．图形旋转后，位置变了，大小不变
C．图形放大后，大小变了，形状相似 D．图形缩小后，对应线段长的比相等
19．（2分）一列火车从甲地开往乙地，6小时行驶了，距离乙地还有，照这样的速度计算，行驶完全程还需要几小时？若设行驶完全程还需要小时，则下面所列比例错误的是（ ）。
A． B． C． D．
20．（2分），那么a与b化简后的比是（ ）。
A． B． C．6∶5 D．5∶6
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程。
（1）0.3x－0.6＝1.8 （2）40%x＋26＝84 （3）
五、作图题（满分6分）
22．（6分）已知小刚家正东方向800米是电影院，电影院东偏北65°方向600米是学校，学校南偏东40°方向500米是图书馆，在图中标出电影院、学校、图书馆的位置。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）甲乙两地的实际距离是1600千米，在地图上，量得甲乙两地的直线距离是20厘米。“十四五”期间，宁夏至太原高铁项目列入计划，全长约600千米。画在这幅地图上，应画多少厘米？
24．（6分）在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
25．（6分）同学们在某一天同一时刻分成三组进行测量活动，并记录下一些数据（见表格）。学校旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识进行解答）
实际高度（米） 影子长度（米）
木棍 1 0.25
小明同学 1.6 0.4
学校旗杆 ？ 4.22
26．（6分）兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答）
27．（12分）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。
（1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？
（2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？
（3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。
28．（12分）操作。
（1）用数对表示三角形三个顶点的位置。
A（ ），B（ ），C（ ）。
（2）画出三角形按2∶1放大后的图形。
（3）如果原来直角三角形的斜边长是a，那么放大后的直角三角形的斜边长是（ ）。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑