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2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第四单元 正比例和反比例
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】变化的量
1、生活中存在着大量互相依存的量，如:速度、时间和路程;单价、数量和总价;工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化,这样的两个变量就叫作相关联的量。
【知识点二】正比例
1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。
2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。
【知识点三】正比例的图像
1、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。
2、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。
【知识点四】反比例
1、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。
2、判断两个量是不是成反比例。
要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
【考点一】变化的量
【典例一】单价一定，总价和（ ）是相关联的量。
A．速度 B．边长 C．数量
【分析】根据总价÷单价＝数量，解答即可。
【解答】由“总价÷单价＝数量”可知：单价一定，总价和数量是相关联的量。
故答案为：C
【点评】本题是一道基础题，主要考查对相关联量的认识。
【典例二】修路队修一条长800米的路，已修的米数和剩下的米数如下表．
已修米数（米） 50 100 150 200 250 300 ...
剩下米数（米） 750 700 650 600 550 500 ...
（1）表中反映了( )和( )这两个量的变化情况．
（2）如果修路队已修400米，剩下的米数应该是( )米．已修米数和剩下米数的( )一定，也就是( )一定．
【答案】已修米数 剩下米数 400 和 这条路的总长度
【典例三】“浪漫一身”服装厂制作一批新款女式短裙，每条用布料1.2米，制作100条、200条、300条这样的短裙各需用布料多少米？将相应的米数填在表中。
短裙数量（条） ... 100 200 300 400 500 ...
所需布料（米） ... ...
（1）服装厂制作450条这种短裙，一共需要布料多少米？
（2）用660米布料可以制作多少条这种短裙？
【解答】（1）1.2×450＝540（米）
答：一共需要布料540米。
（2）660÷1.2＝550（条）
答：可以制作550条这样的短裙。
【考点二】正比例及图像
【典例一】一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？
解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（ ）。
A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x
C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160）
【分析】根据速度＝路程÷时间，用800÷10即可求出火车的速度，然后根据时间＝路程÷速度，用160÷（800÷10）即可求出行完全程还需要多少小时；
如果列方程解决问题，则设完全程还需要x小时，速度不变，路程和时间成正比例，列比例为：800∶10＝160∶x；
也可以用800÷160求出800千米里面有几个160千米，也就是5个，5个160千米需要花10小时，则用10÷5即可求出160千米需要花多少小时；据此解答。
【解答】根据分析可知，用列算式解答可以是160÷（800÷10）和10÷（800÷160）；
如果用列方程解决问题，设还需要x小时。列方程为：10∶800＝160∶x，也就是＝。
其中解答错误的是：设还需要x小时。10∶800＝160∶x。
故答案为：B
【点评】本题主要考查了灵活解应用题的方法，掌握正比例的应用是解答本题的关键。
【典例二】一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶的时间和路程如下，把下表填完整。从表中你发现了什么规律？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8
路程/千米 90 180 270 360 ( ) ( ) ( ) ( )
分析与解答：随着时间的增加，路程也在( )，路程与时间的比值（也就是速度）相同，就是比值一定，所以路程和时间( )。
【分析】根据路程＝速度×时间即可填写表格；接下来根据若两个量的比值一定，则这两个量成正比例即可得到答案。
【解答】90×5＝450（千米）
90×6＝540（千米）
90×7＝630（千米）
90×8＝720（千米）
从表中我发现：随着时间的增加，路程也增加，路程与时间的比值相同，就是比值一定，所以路程和时间成正比例。
【点评】本题主要考查正比例的知识，解题关键要掌握正比例的定义。
【典例三】随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理多少个订单？（用比例解答）
【分析】设1台智能机器人12小时能处理x份订单，工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。
【解答】30分钟小时
解：设1台智能机器人12小时能处理x个订单。
0.5x＝40×12
0.5x＝480
0.5x÷0.5＝480÷0.5
答：1台智能机器人12小时能处理960个订单。
【典例四】购买哈密瓜的质量与应付金额如下表。
质量/kg 0 1 2 3 4 …
应付金额/元 0 12 24 36 48 …
（1）购买哈密瓜的质量和应付金额成正比例关系吗？说明理由。
（2）根据表中数据，在图中描出质量和应付金额对应的点，再把各点顺次连起来。
（3）购买3.5千克哈密瓜需要（ ）元。
【分析】（1）如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x÷y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。看哈密瓜的质量和应付金额的比值是否一定，即可判断是否成正比例关系；
（2）在图中描出质量和应付金额对应的点，纵轴表示应付金额，横轴表示质量，再把各点顺次连起来即可；
（3）因为购买哈密瓜的质量和应付金额成正比例关系，即购买1千克哈密瓜需要12元，购买3.5千克的话就用3.5×12即可。
【解答】（1）成正比例关系，理由如下：
因为1∶12＝2∶24＝3∶36＝4∶48＝（定值），所以购买哈密瓜的质量和应付金额成正比例关系。
（2）
（3）3.5×12＝42（元）
【点评】本题主要考查正比例关系的应用，作图时描点应认真、仔细。
【考点三】反比例
【典例一】下面说法正确的有（ ）。
①一个质数和一个合数的和一定是奇数；
②分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变；
③圆的周长一定，圆的半径和圆周率成反比例。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。
分数的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个数（0除外），分数大小不变。
圆的周长.两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。
【解答】①×，，6是偶数不是奇数。
②×，分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数大小不变。
③×，，周长一定，半径和圆周率都不变，不成比例。
所以说法正确的个数为0个。
故答案为：A
【点评】考查了质数、合数、奇数的含义；分数的基本性质以及圆的周长公式、反比例的辨别，熟练掌握基础知识是关键。
【典例二】有20粒糖果，平均分给一些同学，请把表填写完整。
每人分到的糖果数粒 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
人数人 1 2 4 5 10 20
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数越( )。
【分析】由题意知：每人分到的糖果数乘人数等于糖果总数20粒（一定），每人分到的糖果数与人数成反比例。用糖果总数除以人数得每人分得的糖果数。据此解答。
【解答】（粒）
（粒）
（粒）
（粒）
（粒）
填表如下：
每人分到的糖果数粒 20 10 5 4 2 1
人数人 1 2 4 5 10 20
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数越少。
【点评】明确每人分到的糖果与人数成反比例，再利用反比例中的数量关系进行解答。
【典例三】亮亮看一本故事书，平均每天看的页数和所用的时间如表。
平均每天看的页数/页 8 10 15 20 30
所用的时间/天 30 24 8
（1）将上表补充完整。
（2）平均每天看的页数与所用的时间是不是成反比例？说明理由。
（3）如果亮亮用40天看完了这本故事书，平均每天看多少页？
【分析】（1）根据“平均每天看的页数×所用的时间＝这本故事书的总页数”直接解题即可。
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（3）用总页数÷看的天数即可。
【解答】（1）总页数：8×30＝240（页）
240÷15＝16（天）
240÷20＝12（天）
填表如下：
平均每天看的页数/页 8 10 15 20 30
所用的时间/天 30 24 16 12 8
（2）因为每天看的页数和所用天数的乘积相等，所以符合反比例的意义。故平均每天看的页数与所用的时间成反比例；
（3）240÷40＝6（页）
答：如果亮亮用40天看完了这本故事书，平均每天看6页。
【点评】本题主要考查反比例的意义，明确平均每天看的页数×所用的时间＝这本故事书的总页数是解题的关键。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）一辆汽车，行驶1千米的耗油量一定，第一次行驶60千米，耗油5L；第二次行驶162千米，耗油xL，列比例为（ ），x的值为（ ）。
【答案】5∶60＝x∶162 13.5
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。耗油总量÷行驶的距离＝汽车行驶时每千米的耗油量（一定），耗油量与所行路程的商一定，它们成正比例关系。据此写出关系式；求得x的值即可。
【解答】5∶60＝x∶162
则60x＝162×5
x＝810÷60
x＝13.5
【点评】本题考查了成正比例关系的判断及根据成正比例关系解决问题，需灵活使用合适的解题方法。
2．（2分）如表中，如果x与y两个量成正比例关系，那么m的值是（ ）；如果x与y两个量成反比例关系，那么m的值是（ ）。
x 5 m
y 80 64
【答案】4 6.25
【分析】两个相关的量，若成正比例，则其比值一定；若成反比例关系，则其乘积一定，据此解答。
【解答】若x与y成正比例，则：
5∶80＝m∶64
80m＝5×64
80m＝320
m＝320÷80
m＝4
若x与y成反比例，则：
5×80＝64m
64m＝400
m＝400÷64
m＝6.25
如表中，如果x与y两个量成正比例关系，那么m的值是4；如果x与y两个量成反比例关系，那么m的值是6.25。
x 5 m
y 80 64
【点评】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据等式的性质解答。
3．（2分）如果（X，Y均不为0），那么X与Y成（ ）比例。（填“正”或“反”）
【答案】反
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。
【解答】X÷0.4＝
X÷0.4×0.4＝×0.4
XY＝6×0.4
XY＝2.4（一定），X与Y成反比例。
【点评】根据正比例意义和辨别，反比例意义和辨别进行解答。
4．（2分）下表中，如果x和y成正比例，“？”处应填（ ）；如果x和y成反比例，“？”处应填（ ）。
x 9 ？
y 40 80
【答案】18 4.5
【分析】比值一定的两个量成正比例关系；乘积一定的两个量成反比例关系。根据比例关系列出比例方程，再解比例即可。
【解答】如果x和y成正比例，则
9∶40＝x∶80
40x＝9×80
40x＝720
x＝720÷40
x＝18
如果x和y成反比例，则
9×40＝x×80
80x＝360
x＝360÷80
x＝4.5
【点评】本题考查两种比例关系的意义。根据比例关系列出正确的比例方程是解答此题的关键。
5．（2分）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动（ ）周。
【答案】1000
【分析】因为两个是相互交合的齿轮，即转动齿数相等，所以转动的周数和每周齿数成反比，由此列出比例解决问题。
【解答】3dm＝30cm
解：设小齿轮要转动x周。
100×3.14×2×30＝3.14×2×3×x
100×2×30＝2×3×x
100×30＝3×x
3000＝3x
x＝1000
【点评】答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，另外还要注意单位的统一。
6．（2分）一列火车进隧道，从车头进入到车尾进入，共用A分钟，又经过B分钟，车尾出隧道。已知A∶B＝3∶5，隧道长360米，火车长（ ）米。
【答案】216
【分析】从车头进入到车尾进入，列车所行驶的长度为列车的长度，从车尾进入隧道到车尾出遂道列车所行驶的长度是遂道的长度，又在速度相同的条件下，所用时间比等于所行路程比，由于A∶B＝3∶5，所以列车长为360×＝216（米）。
【解答】由分析可知：时间比等于所行路程比。
时间比：A∶B＝3∶5
则火车长度是隧道的3÷5＝
360×＝216（米）
【点评】明确速度相同的条件下，所用时间比等于所行路程比是完成本题的关键。
7．（2分）已知（a和b都是不为0的数），则a和b成（ ）（填“正”或“反”）比例，（ ）。
【答案】反 8
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例；求出ab的值，把ab的值代入，计算即可解答。
【解答】由分析可知，（a和b都是不为0的数），
所以ab＝4.2（一定），乘积一定，所以a和b成反比例；
把ab＝4.2代入，得：
（4.2－2.2）×4
＝2×4
＝8
【点评】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及代入求值法。
8．（2分）某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。
每天生产的个数/个 200 300 400 500
需要的天数/天 30 20 15 12
（1）每天生产的个数与需要的天数成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（2）如果该工厂每天生产250个零件，需要（ ）天。
【答案】（1）反
（2）24
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；
（2）用零件总个数÷每天生产的个数＝需要天数，代入数据，即可解答。
【解答】（1）200×30＝300×20＝400×15＝500×12＝6000（个），每天生产的个数与需要的天数乘积一定，所以每天生产的个数与需要的天数成反比例。
（2）200×30÷250
＝6000÷250
＝24（天）
【点评】根据正比例意义以及辨别和反比例意义以及辨别进行解答。
9．（2分）一份稿件，甲单独打需小时，乙单独打需小时，甲和乙的工作效率比是（ ）。
【答案】6∶5
【分析】根据工作量＝工作效率×工作时间，可得工作量一定时，工作效率和工作时间成反比例，据此解答即可。
【解答】因为工作量一定，都是一份稿件，所以甲和乙工作效率比是：∶＝6∶5
【点评】解答此题的关键是要明确：工作量一定时，工作效率和工作时间成反比例。
10．（2分）如图，描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。
（1）这个进水管每分钟的进水量是（ ）立方米。
（2）这个进水管的进水时间与进水量成（ ）比例。
【答案】（1）10
（2）正
【分析】（1）时间从0到5小时，共进水50立方米，用进水量除以时间即可；
（2）由图象可以发现，进水量除以时间是一个定值，符合正比例的判定。
（1）
50÷（5－0）
＝50÷5
＝10（立方米/分钟）
这个进水管每分钟进水量是10立方米。
（2）
由图象可以发现，进水量除以时间是一个定值，符合正比例的判定；这个进水管的进水量与时间成正比例关系。
【点评】本题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）车轮直径一定，所行驶的路程和车轮转数成正比例。（ ）
【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】因为直径一定，π是定值，所以π×直径＝周长，周长一定，即路程÷转数＝周长（一定），所以，所行路程和车轮转数成正比例。
故答案为：√
12．（2分）三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。（ ）
【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。根据三角形的面积公式去判断。
【解答】
因此，底与高的积一定，所以三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。原题说法正确。
故答案为：√
13．（2分）已知a，b是两个相关联的量，若（a，b均不为0），则a与b成正比例。（ ）
【答案】×
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
【解答】因为a∶1＝1.5∶b；所以ab＝1×1.5＝1.5（一定），a与b的乘积一定，所以a和b成反比例。
已知a，b是两个相关联的量，若a∶1＝1.5∶b（a，b均不为0），则a和b成反比例。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点评】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的意义是解答本题的关键。
14．（2分）两个互相咬合的齿轮，齿数比是5∶6，则它们的转数之比是25∶36。（ ）
【答案】×
【分析】根据互相咬合齿轮的转数与齿轮的齿数成反比，即可得出答案。
【解答】因为互相咬合齿轮的转数与齿轮的齿数成反比，所以齿数比是5∶6，则它们的转数之比是6∶5。
故答案为：×
【点评】解答本题要掌握：齿轮的齿数×转数＝转过的总齿数（一定），所以齿轮的转数与齿数成反比例。
15．（2分）下图可知道时间和路程成反比。（ ）
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/千米 120 240 360 480 600 720
【答案】×
【分析】据表格中的数据可知，速度一定，而速度＝路程÷速度，所以这两个量成正比例关系。
【解答】＝速度（一定），符合正比例的意义，所以路程与时间成正比例关系，题目描述错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了正比例和反比例的辨识。
三、选择题（满分10分）
16．（2分）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）。
A．长方形的面积一定，它的长和宽。
B．优优的年龄和爸爸的年龄。
C．全班人数一定，男生人数和女生人数。
D．正方形的周长和它的边长。
【答案】A
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析，进行解答。
【解答】A．长×宽＝长方形的面积（一定），即积一定，所以它的长和宽成反比例；
B．爸爸年龄－优优年龄＝年龄差（一定），是差一定，所以他们的年龄不成比例；
C．男生人数＋女生人数＝全班人数（一定），是和一定，所以全班人数一定，男生人数和女生人数不成比例；
D．正方形的周长÷它的边长＝4（一定），所以正方形的周长和它的边长成正比例。
故答案为：A
17．（2分）一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（ ）平方分米。
A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6
【答案】C
【分析】根据题意可知，这个圆柱的高增加2分米，表面积增加25.12平方分米，表面积增加的是高为2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π；据此可以求出圆柱的底面直径，又知高增加2分米，体积增加，因为圆柱的底面积不变，所以圆柱的体积与高成正比例，也就是圆柱高的是2分米，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积侧面积底面积×2，把数据代入公式解答。
【解答】圆柱的底面直径：
（分米）
圆柱的高：
（分米）
圆柱的表面积：3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2
＝12.56×10＋3.14×22×2
＝125.6＋3.14×4×2
＝125.6＋12.56×2
＝125.6＋25.12
＝150.72（平方分米）
一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为150.72平方分米。
故答案为：C
18．（2分）小李加工一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系如下图，下列说法错误的是（ ）。
A．加工零件的个数与工作时间成正比例关系。
B．N表示400个零件。
C．M表示3.2小时。
D．如果有一点P表示5小时做了600个零件，那么点P一定会和点E、F、G一样在射线l上。
【答案】D
【分析】根据判断两种相关联的量成正反比例的方法，两种相关联的量比值一定（且不为0），则这两种量为正比例关系；两种相关联的量积一定，则这两种量为反比例关系。还可以根据两种成正比例的量相交的点在同一条直线上判断两种量是否成正比例。再根据加工零件个数工作时间＝工作效率，代入图中相关数据，分别判断各选项是否符合图意。
【解答】A．由图可知，这两种相关联的量相交的点在同一条直线上，符合正比例关系的特征。即该说法正确。
加工1.5小时的零件个数是150个，则工作效率为（个/时）
B．由图可知，加工1.5小时的零件个数是150个，则工作效率为150÷1.5＝100（个/时），根据加工零件个数＝工作效率工作时间，则（个），所以该说法正确。
C．根据工作时间＝加工零件个数工作效率，则（小时），所以该说法正确。
D．（个/时）这两个量的比值是120，与图中的两种相关联的比值是100，比值不同，则点P不会和点E、F、G一样在射线l上。所以该说法错误。
故答案为：D
19．（2分）下面各题中的两种量，成正比例关系的有（ ）组。
①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高。
②张老师的身高和体重。
③圆的面积和半径。
④看电影所付票费与看电影的人数。
⑤等边三角形的周长与边长。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。
【解答】①圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例关系；
②张老师的身高和体重，不成比例；
③圆的面积÷半径的平方＝π，所以圆的面积和半径不成比例；
④看电影所付票费÷看电影的人数＝每张票的价格，每张票的价格一定，所以看电影所付票费与看电影的人数成正比例关系；
⑤等边三角形的周长÷边长＝3，商一定，所以等边三角形的周长与边长成正比例关系。
则上面各题中的两种量，成正比例关系的有2组。
故答案为：B
20．（2分）如图，如果x和y成正比例，那么“？”处应填写（ ）。
x 4 ？
y 8 32
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。x和y成正比例，则x和y的比值一定。设“？”处的数是x，可以列出比例，解出这个比例即可。
【解答】解：设“？”处的数是x。
8x＝4×32
8x＝128
x＝128÷8
x＝16
则“？”处应填写16。
故答案为：D
【点评】根据正比例的意义列出比例是解题的关键。
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程或比例。

【答案】；；
【分析】（1）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以；
（2）先利用等式的性质1，方程两边同时减去3.6，再利用等式的性质2，方程两边同时除以0.25；
（3）利用等式的性质2，方程两边同时乘。
【解答】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
五、解答题（满分54分）
22．（6分）工厂原计划每天生产420个零件，15天可以完成。由于改进了技术，实际比原计划提前5天完成。实际每天生产多少个零件？（用比例知识解答）
【答案】630个
【分析】根据“工厂原计划每天生产420个零件，15天可以完成”可知原计划每天生产的零件数量×时间＝零件的总数量，零件的总数量一定，则“原计划每天生产的零件数量”和“时间”成反比例关系，设实际每天生产x个零件，据此列比例解答。
【解答】解：设实际每天生产x个零件
答：实际每天生产630个零件。
【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。
23．（6分）端午节前，某工厂加工了一批粽子，原计划每箱装8包，可以装450箱，实际每箱比原来多装50%，实际可以装多少箱？（用比例解答）
【答案】300箱
【分析】根据题意，每箱装的包数与装的箱数成反比例，设实际可以装x箱，再列比例解答。
【解答】解：设实际可以装x箱
8×（1＋50%）x＝8×450
8×（1＋50%）x＝3600
8x＋4x＝3600
12x＝3600
12x÷12＝3600÷12
x＝300
答：实际可以装300箱。
【点评】本题解题关键是能够准确判断题中两种相关联的量成什么比例。
24．（6分）科学兴趣小组在操场同一时间观察实验，当竹竿高3米，测量竿影长1.2米，如果影长3.2米，竹竿的高度应该是多少米？（用比例解答）
【答案】应该是8米
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设竹竿的高度是x米
3∶1.2＝x∶3.2
1.2x＝3×3.2
1.2x＝9.6
1.2x÷1.2＝9.6÷1.2
x＝9.6÷1.2
x＝8
答：竹竿的高度应该是8米。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即。
25．（12分）购买一种皮球的数量和总价如下表。
数量/个 0 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0 6 12 18 24 30 36 ……
（1）购买皮球的总价和数量成正比例关系吗？说明理由。
（2）根据表中的数据，描出数量和总价对应的点，再按顺序连接起来。
（3）买12个皮球需要（ ）元；108元最多可以买（ ）个皮球。
【答案】（1）成正比例关系，见详解；
（2）见详解；
（3）72；18
【分析】（1）观察表格，发现表中有总价和数量两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化，且总价与相应数量的比值都是一定的，实际就是单价一定，所以购买皮球的总价和数量成正比例关系。
（2）根据表中的数据描点连线即可；
（3）根据表中数据计算可知：总价÷数量＝6，即皮球的单价是6元/个，据此计算出买12个需要的钱数，108元可以买的个数。
【解答】（1）购买皮球的总价和数量成正比例关系，理由如下：
因为6∶1＝12∶2＝18∶3＝24∶4＝30∶5＝36∶6＝定值，所以购买皮球的总价和数量成正比例关系。
（2）如图：
（3）6÷1×12
＝6×12
＝72（元）
108÷（6÷1）
＝108÷6
＝18（个）
所以买12个皮球需要72元；108元最多可以买18个皮球。
【点评】此题主要考查正比例的意义以及总价、数量和单价之间的关系，正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系是正比例关系。
26．（12分）一种花布的长度和总价如下表。
长度/m 1 2 3 4 5 6 7 …
总价/元 8 16 24 32 40 48 56 …
（1）表中的总价和长度成正比例关系吗？为什么？
（2）在下图中描出表示长度和对应总价的点，然后把它们连起来，并说说图象的特点。
（3）买2.5米花布需要多少元？68元能买多少米花布？
【答案】（1）成正比例关系；理由：总价和长度的比值一定。
（2）见详解
（3）20元；8.5米
【分析】（1）总价和长度是相关联的两个量，如果总价与长度的比值一定，那么总价与长度成正比例关系。
（2）图中，横轴代表长度，纵轴代表总价，先找准横轴上的点，再找准纵轴上相对应的点，过两点分别做横轴、纵轴的垂线，两条垂线的交点就是所要描的点，在交点处点上实心点， 用线段顺次连接所有点即可。
（3）求出每米布的单价，根据数量×单价＝总价，总价÷单价＝数量，即可解答。
【解答】（1）8÷1＝16÷2＝24÷8＝32÷4＝40÷5＝48÷6＝56÷7＝8（一定）
答：总价和长度成正比例关系，因为总价与长度的比值一定。
（2）
图像是一条射线，表示长度和对应总价的点在这条射线上。（答案不唯一）
（3）8÷1＝8（元）
2.5×8＝20（元）
68÷8＝8.5（米）
答：买2.5米花布需要20元.68元能买8.5米花布。
27．（12分）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间。
小美 小峰 小丽 小明
打字所用的时间/分 30 40 50 80
速度/（字/分） 80 30
（1）把上表补充完整。
（2）打字的速度和所用的时间有什么关系？为什么？
（3）刘老师打这份稿件用了32分，她平均每分钟打多少个字？
【答案】（1）见详解；
（2）反比例，理由见详解；
（3）75个
【分析】（1）将小美打字的时间乘速度，求出这份稿件一共有多少个字。将字的总数分别除以小峰和小丽的打字时间，求出二人的打字速度；
（2）乘积一定的两个量成反比例关系，据此解题；
（3）用这份稿件的总字数除以32分，求出刘老师平均每分钟打字多少个。
【解答】（1）30×80＝2400（字）
2400÷40＝60（字/分）
2400÷50＝48（字/分）
填表如下：
小美 小峰 小丽 小明
打字所用的时间/分 30 40 50 80
速度/（字/分） 80 60 48 30
（2）答：打字的速度和所用的时间成反比例，理由如下：
因为30×80＝40×60＝50×48＝80×30＝定值2400，所以打字的速度和所用的时间成反比例。
（3）2400÷32＝75（个）
答：她平均每分钟打75个字。
【点评】本题考查了工程问题和反比例。工作效率×工作时间＝工作总量，乘积一定的两个量成反比例关系。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第四单元 正比例和反比例
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】变化的量
1、生活中存在着大量互相依存的量，如:速度、时间和路程;单价、数量和总价;工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化,这样的两个变量就叫作相关联的量。
【知识点二】正比例
1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。
2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。
【知识点三】正比例的图像
1、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。
2、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。
【知识点四】反比例
1、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。
2、判断两个量是不是成反比例。
要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
【考点一】变化的量
【典例一】单价一定，总价和（ ）是相关联的量。
A．速度 B．边长 C．数量
【典例二】修路队修一条长800米的路，已修的米数和剩下的米数如下表．
已修米数（米） 50 100 150 200 250 300 ...
剩下米数（米） 750 700 650 600 550 500 ...
（1）表中反映了( )和( )这两个量的变化情况．
（2）如果修路队已修400米，剩下的米数应该是( )米．已修米数和剩下米数的( )一定，也就是( )一定．
【典例三】“浪漫一身”服装厂制作一批新款女式短裙，每条用布料1.2米，制作100条、200条、300条这样的短裙各需用布料多少米？将相应的米数填在表中。
短裙数量（条） ... 100 200 300 400 500 ...
所需布料（米） ... ...
（1）服装厂制作450条这种短裙，一共需要布料多少米？
（2）用660米布料可以制作多少条这种短裙？
【考点二】正比例及图像
【典例一】一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？
解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（ ）。
A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x
C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160）
【典例二】一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶的时间和路程如下，把下表填完整。从表中你发现了什么规律？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8
路程/千米 90 180 270 360 ( ) ( ) ( ) ( )
分析与解答：随着时间的增加，路程也在( )，路程与时间的比值（也就是速度）相同，就是比值一定，所以路程和时间( )。
【典例三】随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理多少个订单？（用比例解答）
【典例四】购买哈密瓜的质量与应付金额如下表。
质量/kg 0 1 2 3 4 …
应付金额/元 0 12 24 36 48 …
（1）购买哈密瓜的质量和应付金额成正比例关系吗？说明理由。
（2）根据表中数据，在图中描出质量和应付金额对应的点，再把各点顺次连起来。
（3）购买3.5千克哈密瓜需要（ ）元。
【考点三】反比例
【典例一】下面说法正确的有（ ）。
①一个质数和一个合数的和一定是奇数；
②分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变；
③圆的周长一定，圆的半径和圆周率成反比例。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【典例二】有20粒糖果，平均分给一些同学，请把表填写完整。
每人分到的糖果数粒 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
人数人 1 2 4 5 10 20
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数越( )。
【典例三】亮亮看一本故事书，平均每天看的页数和所用的时间如表。
平均每天看的页数/页 8 10 15 20 30
所用的时间/天 30 24 8
（1）将上表补充完整。
（2）平均每天看的页数与所用的时间是不是成反比例？说明理由。
（3）如果亮亮用40天看完了这本故事书，平均每天看多少页？
一、填空题（满分20分）
1．（2分）一辆汽车，行驶1千米的耗油量一定，第一次行驶60千米，耗油5L；第二次行驶162千米，耗油xL，列比例为（ ），x的值为（ ）。
2．（2分）如表中，如果x与y两个量成正比例关系，那么m的值是（ ）；如果x与y两个量成反比例关系，那么m的值是（ ）。
x 5 m
y 80 64
3．（2分）如果（X，Y均不为0），那么X与Y成（ ）比例。（填“正”或“反”）
4．（2分）下表中，如果x和y成正比例，“？”处应填（ ）；如果x和y成反比例，“？”处应填（ ）。
x 9 ？
y 40 80
5．（2分）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动（ ）周。
6．（2分）一列火车进隧道，从车头进入到车尾进入，共用A分钟，又经过B分钟，车尾出隧道。已知A∶B＝3∶5，隧道长360米，火车长（ ）米。
7．（2分）已知（a和b都是不为0的数），则a和b成（ ）（填“正”或“反”）比例，（ ）。
8．（2分）某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。
每天生产的个数/个 200 300 400 500
需要的天数/天 30 20 15 12
（1）每天生产的个数与需要的天数成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（2）如果该工厂每天生产250个零件，需要（ ）天。
9．（2分）一份稿件，甲单独打需小时，乙单独打需小时，甲和乙的工作效率比是（ ）。
10．（2分）如图，描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。
（1）这个进水管每分钟的进水量是（ ）立方米。
（2）这个进水管的进水时间与进水量成（ ）比例。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）车轮直径一定，所行驶的路程和车轮转数成正比例。（ ）
12．（2分）三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。（ ）
13．（2分）已知a，b是两个相关联的量，若（a，b均不为0），则a与b成正比例。（ ）
14．（2分）两个互相咬合的齿轮，齿数比是5∶6，则它们的转数之比是25∶36。（ ）
15．（2分）下图可知道时间和路程成反比。（ ）
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/千米 120 240 360 480 600 720
三、选择题（满分10分）
16．（2分）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）。
A．长方形的面积一定，它的长和宽。
B．优优的年龄和爸爸的年龄。
C．全班人数一定，男生人数和女生人数。
D．正方形的周长和它的边长。
17．（2分）一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（ ）平方分米。
A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6
18．（2分）小李加工一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系如下图，下列说法错误的是（ ）。
A．加工零件的个数与工作时间成正比例关系。
B．N表示400个零件。
C．M表示3.2小时。
D．如果有一点P表示5小时做了600个零件，那么点P一定会和点E、F、G一样在射线l上。
19．（2分）下面各题中的两种量，成正比例关系的有（ ）组。
①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高。
②张老师的身高和体重。
③圆的面积和半径。
④看电影所付票费与看电影的人数。
⑤等边三角形的周长与边长。
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2分）如图，如果x和y成正比例，那么“？”处应填写（ ）。
x 4 ？
y 8 32
A．6 B．8 C．12 D．16
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程或比例。

五、解答题（满分54分）
22．（6分）工厂原计划每天生产420个零件，15天可以完成。由于改进了技术，实际比原计划提前5天完成。实际每天生产多少个零件？（用比例知识解答）
23．（6分）端午节前，某工厂加工了一批粽子，原计划每箱装8包，可以装450箱，实际每箱比原来多装50%，实际可以装多少箱？（用比例解答）
24．（6分）科学兴趣小组在操场同一时间观察实验，当竹竿高3米，测量竿影长1.2米，如果影长3.2米，竹竿的高度应该是多少米？（用比例解答）
25．（12分）购买一种皮球的数量和总价如下表。
数量/个 0 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0 6 12 18 24 30 36 ……
（1）购买皮球的总价和数量成正比例关系吗？说明理由。
（2）根据表中的数据，描出数量和总价对应的点，再按顺序连接起来。
（3）买12个皮球需要（ ）元；108元最多可以买（ ）个皮球。
26．（12分）一种花布的长度和总价如下表。
长度/m 1 2 3 4 5 6 7 …
总价/元 8 16 24 32 40 48 56 …
（1）表中的总价和长度成正比例关系吗？为什么？
（2）在下图中描出表示长度和对应总价的点，然后把它们连起来，并说说图象的特点。
（3）买2.5米花布需要多少元？68元能买多少米花布？
27．（12分）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间。
小美 小峰 小丽 小明
打字所用的时间/分 30 40 50 80
速度/（字/分） 80 30
（1）把上表补充完整。
（2）打字的速度和所用的时间有什么关系？为什么？
（3）刘老师打这份稿件用了32分，她平均每分钟打多少个字？
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