资源简介

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1．1 集合
【题型归纳目录】
题型一：集合的含义与表示
题型二：元素与集合的基本关系
题型三：集合元素的特征
题型四：集合间的基本关系
题型五：集合的基本运算
题型六：集合与排列组合的综合应用
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
题型八：容斥问题
题型九：集合中的创新问题
【考点预测】
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）．
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．给定集合，可知，在该集合中，，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合应满足．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合和是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．读作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．
【典型例题】
题型一：集合的含义与表示
【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得，
所以为或或；
当时，由知，，
所以为或；
当，则，所以为综上，共有8种取值．
故选：D．
【方法技巧与总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
【变式1-1】已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，
所以方程有2个相等的实数解，
即，解得，
所以实数的取值集合为，
故选：B.
【变式1-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由方程组，解得，所以该方程组的解集为，
而.
故选：D.
【变式1-3】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】集合，则，
所以集合C的元素个数为3个.
故选：C
题型二：元素与集合的基本关系
【例2】（2025·高三·陕西西安·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得但
∴．
故选：A.
【方法技巧与总结】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
【变式2-1】设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以，时，，
解得或，即．
故选：D．
【变式2-2】设全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵全集，，
∴，
∴，，，．
故选：D．
【变式2-3】（2025·高三·云南楚雄·期末）已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得，则.
因为，所以，解得，故的取值范围为.
故选：A.
题型三：集合元素的特征
【例3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．
【答案】3
【解析】因为，所以分为以下两种情况：
①或，当时，集合满足题意；
当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；
②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，.
故答案为：3.
【方法技巧与总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性．
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系．
【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
【答案】/0.5
【解析】在中，，则且，
而，，显然，因此，解得，
所以.
故答案为：
【变式3-2】已知集合，则 .
【答案】-1
【解析】由题意得，，解得或，
当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当时，集合为，满足题意，
故答案为：-1.
【变式3-3】已知，若，则 ．
【答案】1
【解析】由已知得，则，所以，
于是，即或，
又由集合中元素的互异性知应舍去，故，
所以．
故答案为：1.
题型四：集合间的基本关系
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
【变式4-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】①当时，解得，此时，满足题意，
②当时，解得，此时，满足题意，
故选：C.
【变式4-2】（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，因为，则.
故选：A.
【变式4-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，即，解得或，
所以或，因为且，
若时，若时，不符合题意，所以，
则或，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
题型五：集合的基本运算
【例5】（多选题）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
对于B选项，，，所以，故B正确；
对于C选项，，，故C正确；
对于D选项，，
所以，，则，
其的子集的个数为，故D正确．
故选：BCD.
【方法技巧与总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
【变式5-1】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【答案】BCD
【解析】由题意知
所以，
对于 A，因为，且，所以，A 选项错误；
对于B，由于，所以，B 选项正确；
对于C，已知，这意味着既属于A又属于B，
若，当时，
此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，因为，又，所以，D选项正确；
故选：BCD.
【变式5-2】（多选题）（多选）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：由于，故，故C正确；
对于选项D：由于，故，故D错误
故选：BC
【变式5-3】（多选题）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由可得
得，
故,A错误，
,B正确，
，C正确，
，D正确，
故选：BCD
题型六：集合与排列组合的综合应用
【例6】已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（ ）
A．216 B．200 C．27 D．25
【答案】B
【解析】设初始状态为，
现将放入三个集合，
有两种放法，放在集合或不放集合；
同，有两种放法；
对于，分两种情况：放在集合或不放集合；
当放在集合，可以不放集合与集合中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合中，共3种放法；
当不放在集合，必须放在集合或集合中，共2种放法；
故对于，共有5种放法；
同，共有5种放法；
由分步乖法计数原理得，共有种.
故选：B.
【方法技巧与总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法
【变式6-1】从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（ ）
A．8 B．3 C．6 D．7
【答案】A
【解析】集合的非空子集有共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，
因为，
当时，则可为共3种，
当时，共1种，
同理当时，则可为共3种，
当时，共1种，
则符合的共有种，
故选：A.
【变式6-2】设集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．232 B．144 C．184 D．252
【答案】A
【解析】若，
则中有个为，个为或，
此时共有种；
若，
则中有个为，个为或，
此时共有种；
若，
则中有个为，个为或，
此时共有种；
即共有种不同排列，
即集合中满足的元素的个数为.
故选：A.
【变式6-3】（2025·高三·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个，
设，使得，则这样的集合有，，，共计5个，
∴若集合存在，使得时的个数有个.
故选：B.
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
【例7】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】阴影部分对应的集合为，
∵全集，集合，
∴.
故选：D.
【方法技巧与总结】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
【变式7-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，且，
则，
阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，
则阴影部分表示的集合为.
故选：D
【变式7-2】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作出Venn图，如图，
对于A，，故A错误；
对于B，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故D错误；
故选：C.
【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以如图所示的阴影部分表示的集合为.
故选：C
题型八：容斥问题
【例8】（2025·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【解析】设集合和集合的元素个数分别为，
则由有2个元素，有6个元素可知，．
即①．
又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个，
所以②．
联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3，
所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，，
所以，
故选：C．
【方法技巧与总结】
容斥原理
．
【变式8-1】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【解析】
如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，
则，即．
因为，所以．
故选：B.
【变式8-2】《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】B
【解析】如图所示，
因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，
所以只阅读过红楼梦的人数为20，
又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，
故只阅读过西游记的人数为10，
所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为.
故选：B
【变式8-3】某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】D
【解析】设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为，
作出韦恩图如下：
故，
解得，
故对A，B都赞成的学生人数为21.
故选：D
题型九：集合中的创新问题
【例9】（多选题）（2025·河南开封·二模）设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．的最大值是4
D．的最大值是5
【答案】AC
【解析】对A： ， 则 ；
， 则， 即；
， 则， 即；
， 则， 即；
，则 ，即 ，故 A 正确；
对 B：当时， 显然错误，故 B 错误；
对 CD：设，根据题意，
① ，即，
② ，则 ，即，
③，，
令，则，则在上单调递增，在上单调递减，结合②可得是所有区间左端点中的最大值，从而，
故使得 同时成立的的最大值是4.
故 C 正确，D错误，
故选：AC.
【方法技巧与总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意．读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解．
【变式9-1】（2025·山东青岛·二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定已知且 ，则中所有元素之和为奇数的概率为 .
【答案】
【解析】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成，显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，
所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：.
【变式9-2】（2025·高三·上海虹口·期中）记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于，
所以，被除余数为，
因此，集合中的元素只需满足能被整除即可，
设，从而可得,
即需取以为间隔的等间隔分布的实数，
不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值，
考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值，
设，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，
而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，
因此，只需，解得.
故答案为：.
【变式9-3】（2025·安徽·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得的定义域为，
因为，所以，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，而当时，，且，
令，则，
当时，，
则在上的图象越来越陡峭，我们作出和的图象，
结合图象可得与在上只有一个交点，
令，则，解得，而，
得到与的图象在上的交点的横坐标，
因为，
所以和，共有两个交点，
此时的取值范围为.
故答案为：
【过关测试】
1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以，
故选：B
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，
所以.
故选：A
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
7．（2025·山东·二模）对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，，故，
因为，所以，
所以，
因为集合补集中一段区间的长为，
所以当时，一定成立，
当时，时，有，
解得，所以满足的范围是，
综上所述，，
故选：B．
8．（2025·山东济宁·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
故，
所以，
故选：A.
9．（2025·湖北武汉·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，所以，所以，
对于集合，因为，所以当时，；
当时，；当时，；
.
故选：B.
10．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（ ）
A．55 B．70 C．89 D．630
【答案】A
【解析】最小元素是2的有，共10个；
最小元素是3的有，共6个；
最小元素是4的有，共3个；
最小元素是5的有，共1个，所以.
故选：A
11．（2025·河南·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故.
故选：C.
12．（2025·广东揭阳·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为或，
所以，故.
故选：D.
13．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.
故选：A.
14．（多选题）（2025·贵州黔东南·一模）已知集合，，，则（ ）
A．
B．中元素的个数为8
C．是A的一个真子集
D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
【答案】ABD
【解析】，
由条件可得，正确；
，有8个元素，正确；
，，显然C错误；
由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，
所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；
故选：ABD
15．（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【解析】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
16．（多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以A错误．
对于B，设，满足戴德金分割，则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确．
对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，所以C错误．
对于D，设，满足戴德金分割，此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确．
故选：BD
17．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
所以．
故答案为：
18．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
【答案】7
【解析】对于集合，当是，，当时，，
当时，，所以，
则其真子集的个数为.
故答案为：
19．（2025·河南·三模）有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为 ．
【答案】
【解析】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上，
则总翻动的次数之和为9个奇数之和为奇数，所以总翻动次数为为奇数，即为奇数，
当时，可分三组翻动前三张、中间三张、后三张，每张被翻动1次，
此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；
当时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动15，第二轮翻动37，第三轮翻动3、4、5、8、9），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；
当时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动17，第二轮翻动39，第三轮翻动37），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；
当时，三轮翻动后，此时9张卡片的正面全部朝下，不符合题意，
所以的取值集合为.
故答案为：.
20．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 .
【答案】19
【解析】当时，
若为二元集：如，共有15种，
若为三元集：如共有4种，
所以总共有：种；
故答案为：19.
21．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，求 .
【答案】或
【解析】，
由，
则，或，
或.
故答案为：或
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1．1 集合
【题型归纳目录】
题型一：集合的含义与表示
题型二：元素与集合的基本关系
题型三：集合元素的特征
题型四：集合间的基本关系
题型五：集合的基本运算
题型六：集合与排列组合的综合应用
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
题型八：容斥问题
题型九：集合中的创新问题
【考点预测】
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）．
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．给定集合，可知，在该集合中，，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合应满足．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合和是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．读作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．
【典型例题】
题型一：集合的含义与表示
【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【方法技巧与总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
【变式1-1】已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【变式1-3】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：元素与集合的基本关系
【例2】（2025·高三·陕西西安·期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
【变式2-1】设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】设全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2025·高三·云南楚雄·期末）已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：集合元素的特征
【例3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．
【方法技巧与总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性．
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系．
【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
【变式3-2】已知集合，则 .
【变式3-3】已知，若，则 ．
题型四：集合间的基本关系
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
【变式4-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式4-2】（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：集合的基本运算
【例5】（多选题）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
【方法技巧与总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
【变式5-1】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【变式5-2】（多选题）（多选）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（多选题）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：集合与排列组合的综合应用
【例6】已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（ ）
A．216 B．200 C．27 D．25
【方法技巧与总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法
【变式6-1】从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（ ）
A．8 B．3 C．6 D．7
【变式6-2】设集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．232 B．144 C．184 D．252
【变式6-3】（2025·高三·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
【例7】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
【变式7-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
题型八：容斥问题
【例8】（2025·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【方法技巧与总结】
容斥原理
．
【变式8-1】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【变式8-2】《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【变式8-3】某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
题型九：集合中的创新问题
【例9】（多选题）（2025·河南开封·二模）设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．的最大值是4
D．的最大值是5
【方法技巧与总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意．读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解．
【变式9-1】（2025·山东青岛·二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定已知且 ，则中所有元素之和为奇数的概率为 .
【变式9-2】（2025·高三·上海虹口·期中）记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 .
【变式9-3】（2025·安徽·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为 .
【过关测试】
1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山东·二模）对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·山东济宁·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖北武汉·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（ ）
A．55 B．70 C．89 D．630
11．（2025·河南·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·广东揭阳·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选题）（2025·贵州黔东南·一模）已知集合，，，则（ ）
A．
B．中元素的个数为8
C．是A的一个真子集
D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
15．（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
16．（多选题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
17．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则 ．
18．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
19．（2025·河南·三模）有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为 ．
20．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 .
21．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，求 .
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