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1．2　常用逻辑用语
【题型归纳目录】
题型一：充分、必要条件的判定
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
题型三：含量词的命题的否定
题型四：含量词的命题的真假判断
题型五：利用命题的真假求参
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
【例1】定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
【变式1-1】从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【方法技巧与总结】
【变式1-2】从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
【变式1-3】常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．
【典型例题】
题型一：充分、必要条件的判定
【例2】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，，则可能有，或者与相交，不能推出，
若，，则有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
【方法技巧与总结】
充分、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：根据，是否成立进行判断．
（2）集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
【变式2-1】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件；
B.当满足，不满足，所以B不是充分条件；
C.若，又因为，所以，所以C是充分条件；
D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.
故选：C
【变式2-2】（2025·湖南长沙·二模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，，则，又，则，即充分性成立；
若，，，则或，则，异面，相交均有可能，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件，
故选：B
【变式2-3】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
【例3】（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由解得，故，
因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以 ，所以有，解得，
故选：A.
【方法技巧与总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
【变式3-1】“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，在上能成立，
即在上能成立，
因为时，；
所以为使在上能成立，只需；
因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件；
B选项，是“，”成立的充分不必要条件；
C选项，是“，”成立的充要条件；
D选项，是“，”成立的必要不充分条件；
故选：D
【变式3-2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是的必要不充分条件，则是的子集，
又因为，或，所以.
故选：C.
【变式3-3】“函数在区间上单调递增”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，定义域为，
，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增”的充要条件是，
故选：C.
题型三：含量词的命题的否定
【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：C
【方法技巧与总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论．
【变式4-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，．
故选：C．
【变式4-2】（2025·四川·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定为.
故选：D
【变式4-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是.
故选：C
题型四：含量词的命题的真假判断
【例5】（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【解析】对于命题，时，，
所以，为假命题，为真命题，
对于命题，，解得，或，
所以，，为真命题，为假命题，
所以和都是真命题.
故选：C
【方法技巧与总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
【变式5-1】（2025·高三·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】取易得命题为假命题，故命题为真命题；
构造函数，其中，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，则，
所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题.
因此，和都是真命题.
故选：B.
【变式5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】因为，所以，恒成立，
所以命题为假命题，则为真命题；
令，，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以对任意的恒成立，所以在上单调递增，
所以，即对任意的恒成立，故命题为真命题，则为假命题；
所以和都是真命题.
故选：B
【变式5-3】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】D
【解析】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题；
对于q，，则，故q是假命题，是真命题.
综上，和都是真命题.
故选：D.
题型五：利用命题的真假求参
【例6】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：，，而函数的值域为，
由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，
所以的取值范围是.
故选：C
【方法技巧与总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
【变式6-1】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
【变式6-2】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，令，则，
作出函数的图象如图所示，
若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知,
所以的取值范围为.
故选：D.
【变式6-3】（2025·高三·浙江·期中）若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，成立，
所以，解得，
故选：B
【过关测试】
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
5．（2025·全国·模拟预测）已知数列为首项为1的正项等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】当等比数列的公比时，，若，则，此时，
充分性不成立，
当等比数列的公比时，，则，此时，必要性也不成立，
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①；
②．
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
【答案】A
【解析】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为，
摸5次甲获胜概率为，…,
摸甲获胜概率为，
所以，
所以，①正确；
第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，
则，②正确；
故选：A.
7．（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得且，
因为“”“且”，“”“且”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若曲线表示椭圆，则，解得或，
则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
9．（2025·河南·二模）设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由可得，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由也推不出，即必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选:D.
10．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于函数在R上单调递增，由，，知，
由函数在上单调递增，则，故充分性成立；
由上，有，进而有，故必要性也成立；
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
11．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：A
12．（2025·江西·模拟预测）已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故选：A
13．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】由题意得，解得，则BC符合题意.
故选：BC.
14．（多选题）下列命题是真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【解析】对于A，B，当时，，故A正确，B错误；
对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，，故D正确.
故选：AD
15．（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】BD
【解析】对于A：，，，也可能平行，故错误；
对于B：若，，则，正确；
对于C：，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故错误；
对于D：由，，可得：，再由，可证，故正确.
故选：BD
16．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 .
【答案】
【解析】因为函数，要使，
则周期，即，
因为，所以一个充分条件是，
故答案为：
17．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，得，解得，
又在上单调，所以，
即，解得，
当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意；
当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意；
当时，当时，，，此时在上不单调，不符合题意；
同理可继续验证，其中符合题意.
因此“的图象关于直线对称，且在上单调”的充要条件为“”.
故答案为：（答案不唯一）
18．（2025·四川·二模）已知设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数在R上单调递减
不等式的解集为R在R上恒大于1.
可知的最小值为所以
即因为P和Q有且仅有一个正确，
所以当P正确，Q错误，则所以.
当P错误，Q正确，则,则
所以的取值范围为
故答案为：
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1．2　常用逻辑用语
【题型归纳目录】
题型一：充分、必要条件的判定
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
题型三：含量词的命题的否定
题型四：含量词的命题的真假判断
题型五：利用命题的真假求参
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
【例1】定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
【变式1-1】从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【方法技巧与总结】
【变式1-2】从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
【变式1-3】常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．
【典型例题】
题型一：充分、必要条件的判定
【例2】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
充分、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：根据，是否成立进行判断．
（2）集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
【变式2-1】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2025·湖南长沙·二模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参
【例3】（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
【变式3-1】“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】“函数在区间上单调递增”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：含量词的命题的否定
【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧与总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论．
【变式4-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-2】（2025·四川·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：含量词的命题的真假判断
【例5】（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【方法技巧与总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
【变式5-1】（2025·高三·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【变式5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【变式5-3】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
题型五：利用命题的真假求参
【例6】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
【变式6-1】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2025·高三·浙江·期中）若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【过关测试】
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．（2025·全国·模拟预测）已知数列为首项为1的正项等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①；
②．
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
7．（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025·河南·二模）设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·江西·模拟预测）已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
14．（多选题）下列命题是真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
16．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 .
17．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： .
18．（2025·四川·二模）已知设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则的取值范围为 .
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