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1.3　等式性质与不等式性质
【题型归纳目录】
题型一：数(式)的大小比较
题型二：不等式的性质
题型三：证明不等式
题型四：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型五：不等式的综合问题
题型六：糖水不等式
【考点预测】
1、比较大小基本方法
关系 方法
做差法 与0比较 做商法 与1比较
或
或
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向 可加性
同向同正 可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【典型例题】
题型一：数(式)的大小比较
【例1】（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【变式1-1】（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2025·北京房山·一模）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：不等式的性质
【例2】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
【变式2-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若， 则
C．若，则 D． 则
【变式2-3】（多选题）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：证明不等式
【例3】（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
【方法技巧与总结】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【变式3-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【变式3-2】（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
题型四：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
【变式4-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：不等式的综合问题
【例5】已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
【变式5-1】已知等差数列满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：糖水不等式
【例6】求证：．
【方法技巧与总结】
浓度不等式定理：若，，则一定有
【变式6-1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．当时，．
【变式6-3】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
【过关测试】
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
4．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·福建福州·模拟预测）设集合，若，，且，，则（ ）
A． B．，
C． D．，
12．（2025·高三·江西·期中）已知为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．（2025·安徽黄山·二模）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选题）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（多选题）（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 .
18．（2025·福建莆田·模拟预测）已知．若，求的最大值为 ；若且，求的最大值为 .
19．（2025·湖南·三模）已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 .
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1.3　等式性质与不等式性质
【题型归纳目录】
题型一：数(式)的大小比较
题型二：不等式的性质
题型三：证明不等式
题型四：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型五：不等式的综合问题
题型六：糖水不等式
【考点预测】
1、比较大小基本方法
关系 方法
做差法 与0比较 做商法 与1比较
或
或
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向 可加性
同向同正 可乘性
可乘方性
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【典型例题】
题型一：数(式)的大小比较
【例1】（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知当，，所以，故错误；
因为，当时，所以，故错误；
当非零实数，一正一负时，无意义，故错误；
因为在上单调递增，且，
所以，故正确.
故选：.
【方法技巧与总结】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【变式1-1】（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为均不为零的实数，且，
所以，
对于A，由，当时，得，故A错误；
对于B，由，当时，得，故B错误；
对于C，因为，所以，即，故C正确；
对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2025·北京房山·一模）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项：举反例可知不成立；
对于B选项： 举反例可知不成立；
对于C选项：，
因为，所以，而且不同时为0，
故，即，正确；
对于D选项： 举反例可知不成立；
故选：C．
【变式1-3】（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A：
举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此A不恒成立；
选项B：
举反例：取 ，，，，则 ，，显然 不成立，故B不恒成立；
选项C：
由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立；
选项D：
举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此D不恒成立.
故选：C.
题型二：不等式的性质
【例2】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件；
B.当满足，不满足，所以B不是充分条件；
C.若，又因为，所以，所以C是充分条件；
D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.
故选：C
【方法技巧与总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
【变式2-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A：因为，所以，故A正确.
选项B： 因为，所以，，则，所以，故B错误.
选项C：因为，所以，，
所以，又，所以，故C正确.
选项D： ，
当等号成立，但是，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD
【变式2-2】（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若， 则
C．若，则 D． 则
【答案】ABD
【解析】对于A：在上是增函数，故A正确；
对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式2-3】（多选题）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，故，所以，故A正确；
不妨取，，则，故B错误；
因为，，所以，即，即，故C正确；
不妨取，，则，故D错误．
故选：AC.
题型三：证明不等式
【例3】（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
【解析】（1）证明：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
（2）证明：∵，，，且，
∴
，当且仅当时取等号．
.
【方法技巧与总结】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【变式3-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【解析】（1）因为，
由余弦定理可得，
化简得，
整理得；
（2）由（1）得，
当且仅当时取得等号，与题意不符.
故，即.
（3）由（1）知，
又，
则，
解得，
故
解得，
所以.
【变式3-2】（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【解析】（1）
.
（2）证明：因为，可得，
则，又，可得．
题型四：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，得，，所以．
故选：B．
【方法技巧与总结】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
【变式4-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
故，
故选：D
【变式4-2】若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，故且，
所以，故，
由于，，所以，即，
故最小值为，此时，
故选：B.
【变式4-3】已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A：由，得，又，所以，A错误；
B：由，，所以，B错误；
C：由，则，又，所以，C正确；
D：因为，又，所以，∴D错误.
故选：C.
【变式4-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以，
故选：A．
题型五：不等式的综合问题
【例5】已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【方法技巧与总结】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
【变式5-1】已知等差数列满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，且，可设，
因为等差数列，所以，
所以，
又因为，可得，所以，
所以的取值范围为．
故选：A.
【变式5-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知及三角形三边关系得，
所以，则，两式相加得，
所以.
故选：C
【变式5-3】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，则，又，所以.
故选：C
题型六：糖水不等式
【例6】求证：．
【解析】 由浓度不等式，可得，
则有，
于是，
，
因此．
证明浓度不等式：，其中，
证明：，
所以.
【方法技巧与总结】
浓度不等式定理：若，，则一定有
【变式6-1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，，A错误；
对于B，，，则，B错误.
对于C，由，得，C正确；
对于D，，D错误；
故选：C
【变式6-2】（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．当时，．
【答案】ABC
【解析】由，则，
若，
若，则，故；
若，则，故；
由题设，结合不等式性质显然有；
故选：ABC
【变式6-3】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.
B.，故B正确.
C.，故C正确.
D.，，故D正确.
故选：BCD
【过关测试】
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
4．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，得，，所以．
故选：B．
6．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且可得，即，
则，
又，即，化简可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.
故选：A
7．已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆台和圆柱的高为，则，所以．
因为
，
所以B正确，A错误；
又，所以，所以CD错误，
故选：B．
8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当时，，所以，，
又因为，所以，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故C正确，A错误，且无证据表明BD正确.
故选：C.
9．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，不妨取，，，，则，B错；
对于C选项，取，则，C错；
对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
10．（2025·福建福州·模拟预测）设集合，若，，且，，则（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】D
【解析】由，，则，，
则
又实数，，所以，即，A选项错误；
当，，此时，B选项错误；
由A选项知，，故当时，，C选项错误；
D选项：1.当为奇数，为奇数时，为偶数．又，因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
11．当，为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数．又，且为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．故，不可能都为整数，即，，选项D正确．
故选：D.
12．（2025·高三·江西·期中）已知为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误；
对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误；
对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
13．（2025·安徽黄山·二模）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A：当，时不成立，故A错误；
对B：当，，所以，，即，故B错误；
对C：当时不成立，故C错误；
对D：因为，所以，又，
所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：D.
14．（多选题）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，因为，
所以，即，所以，故A正确；
对于B，取，此时，故B错误；
对于C，取，则，故C错误，
对于D，若，则显然成立，
若，则成立，
若，则成立，
综上所述，只要，就一定有，故D正确.
故选：AD.
15．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
对于选项D：因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
对于选项B：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
故选：ACD.
16．（多选题）（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为在为增函数，由有，
对于A：由，因为，所以，故A正确；
对于B：由，当时，，即，故B错误；
对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确；
对于D：令，则，由有，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，故D错误.
故选：AC.
17．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，
所以，整理得，
因为，
解得，
，
设，则，
令得或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，
，，
所以，，
所以的取值范围是.
故答案为：.
18．（2025·福建莆田·模拟预测）已知．若，求的最大值为 ；若且，求的最大值为 .
【答案】 3 3
【解析】设，则,
代入得,
即
令,开口向上，则,
要想在上有解，则或,
由,解得,
由，即,,
综上，，故的最大值为，此时，即.
设,由于且,故,
将代入得,
即,要在上有解，
则
解得,又，故,
当时，，即，解得,此时,符合要求，
故的最大值为.
故答案为：3；3.
19．（2025·湖南·三模）已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 .
【答案】
【解析】依题意，，
则，即，而，因此，
当时，取，不等式成立，
所以的最小值是.
故答案为：
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