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模型2 过角平分线上的点向角两边作垂线 精准作业设计
课前诊断
1.如图，在 ABCD中，E为CD边上一点，连接BE，F为BE上一点，且BF＝CE，EF＝CD，连接AC，AF，CF.
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠AFC的平分线交AC于点G；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：FG⊥AC.
精准作业
必做题
2. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且BE＝BC.
(1)用直尺和圆规在BC上方作∠BCF，使∠BCF＝∠ABE，CF交BE于点F；
(2)在(1)的条件下，为了证明CF＝CD，小才的思路是：先证明△ABE≌△FCB，再结合平行四边形的性质，证明结论.请根据小才的思路完成证明.
3. 学习了正方形的相关知识后，小新进行了拓展性研究，她发现，分别连接正方形的两个顶点与它们的对边，所得两条相交线段，若垂直，则相等.她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论.根据她的想法与思路，完成以下作图和填空.
(1)如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点(点E不与点B，C重合)，连接AE，用直尺和圆规过点B作AE的垂线，垂足为O，交DC于点F；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)已知：四边形ABCD是正方形，点E在BC上(点E不与点B，C重合)，连接AE，BF⊥AE，垂足为O，交DC于点F.求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴①____________，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF＋∠ABF＝90°.
∵BF⊥AE，∴∠AOB＝90°，
∴②___________________________，
∴∠EAB＝③__________，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.
4.小李在学行线的相关性质后，认为两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线具有某种关系，小李计划通过证明三角形全等对此问题进行探究.根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在四边形ABCD中，直线EF分别与AD，BC交于点E，F，与AC交于点O，AB∥DC，∠B＝∠D，EM平分∠DEF.用尺规作∠BFE的平分线FN，交AB于点N；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中，求证：EM∥FN.
证明：∵AB∥DC.
∴①____________________.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴②____________________，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.
5.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶3，且三角板的周长为16 cm，则投影三角板的对应边长为(　　)
A. cm　 B.24 cm
C.36 cm　 D.cm
6.用3个同样的小正方体摆出的几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　)
精准作业答案
解：（1）如图所示
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵EF＝CD，∴AB＝EF.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又∵BF＝CE，
∴△ABF≌△FEC(SAS)，∴AF＝CF.
∵FG平分∠AFC，∴FG⊥AC.
2.解：（1）如图所示
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.
在△ABE和△FCB中，
∴△ABE≌△FCB(ASA)，∴AB＝FC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴CF＝CD.
3.解：（1）如图所示
（2）①AB＝BC
②∠EAB＋∠ABF＝90 °
③∠CBF
④线段MN与线段AE的长相等
4.解：（1）如图所示
（2）①∠BAC＝∠DCA
②∠ACB＝∠CAD
③∠MEF＝∠NFE
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行
B
C(共17张PPT)
课题30 尺规作图、视图与投影
人教版数学九年级下册
基本作图 图示及依据 作法
作一条线段等于已知线段 OA＝a 依据：圆上的点到圆心的距离都等于半径 用途：作等长线段，整数倍长线段 (1)作射线OP；
(2)以点O为圆心，
①_______的长为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求线段
线段a
知识梳理一：尺规作图
基本作图 图示及依据 作法
作一个角等于已知角(掌握) ∠A'O'B'＝∠AOB 依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 用途：作等角 (1)作射线O'A'；
(2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
(3)以点O '为圆心，OC长为半径作弧，交O'A'于点C'；
(4)以点C '为圆心，CD长为半径作弧，交(3)中的弧于点D'；
(5)过点D'作射线O'B'，
②___________即为所求角
∠A 'O 'B '
基本作图 图示及依据 作法
作一个角的平分线(掌握) ∠AOP＝∠BOP 依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线 用途：作等角，平分角 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
(2)分别以点M，N为圆
心，大于③____
MN
基本作图 图示及依据 作法
作一条线段的垂直平分线(掌握) MN垂直平分AB 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 用途：作直角(垂直)，平分线段 (1)分别以点A，B为圆心，大于
④____
AB
基本作图 图示及依据 作法
过一点作已知直线的垂线 (掌握) 过直线上一点O作已知直线l的垂线 MN⊥l 依据：等腰三角形“三线合一” 用途：作直角(垂直) (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
(2)分别以点A，B为圆心，
大于⑤____的长为半径在直线l两侧作弧，所作弧分别交于点M，N，作直线MN，则⑥______即为所求垂线
AB
MN
基本作图 图示及依据 作法
过一点作 已知直线 的垂线 (掌握) 过直线外一点P作已知直线l的垂线 PN⊥l 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 用途：作直角(垂直) (1)在直线l异于点P的一侧取点M；
(2)以点P为圆心，PM的长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
(3)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，在点M的同侧交于点N；
(4)作直线PN，则PN即为所求垂线
1.(2024·重庆A，B卷21题10分)在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现：过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点.
用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，
F，连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹).
直击中考
(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中点，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④____________________________________________.
∠CFO＝∠AEO
OC＝OA
OF＝OE
过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
2.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹).
(2)证明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
∠A＝∠EFB
∠AEB＝∠FBE
BE＝EB
△EDC≌△CFE(AAS)
知识梳理二：投影与视图
投影
平行投影
中心投影
正投影
三视图
主视图
左视图
俯视图
直击中考
3.如图，一块面积为18 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，则△A1B1C1的面积是(　 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
B
4.如图，该纸杯的主视图是(　 　)
A B C D
A
5.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“热”的对面的字是(　 　)
A.热 B.爱
C.中 D.国
D
课堂小结
本节课，你学到了什么？还有哪些困惑？
布置作业
见精准作业单！
谢谢大家！课题30 尺规作图、视图与投影导学案
学习目标：
1.梳理尺规作图、视图与投影相关知识．
2．熟悉中考题型．
3.动手能力的培养
教学重难点：
重点：会做相关中考题型.
难点：培养数学思维．
一、知识梳理
1.有哪几种常规基本尺规作图？
2.视图与投影
二、直击中考
1.(2024·重庆A，B卷21题10分)在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现：过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点.
用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，
连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹).
(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中点，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④____________________________________________.
2.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹).
(2)证明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
3.如图，一块面积为18 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，则△A1B1C1的面积是(　 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
4.如图，该纸杯的主视图是(　 　)
A B C D
5.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“热”的对面的字是(　 　)
A.热 B.爱
C.中 D.国
三、课堂小结
本节课，你学到了什么？
悟到了 什么数学思想方法？
四、布置作业
见精准作业单课题30 尺规作图、视图与投影教学设计
学习目标：
1.梳理尺规作图、视图与投影相关知识．
2．熟悉中考题型．
3.动手能力的培养
教学重难点：
重点：会做相关中考题型.
难点：培养数学思维．
一、知识梳理
1.有哪几种常规基本尺规作图？
2.视图与投影
二、直击中考
1.(2024·重庆A，B卷21题10分)在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现：过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点.
用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，
连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹).
(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中点，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④____________________________________________.
解：（1）如图所示
（2）①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
2.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图痕迹).
(2)证明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
解：（1）如图所示
（2）①∠A＝∠EFB
②∠AEB＝∠FBE
③BE＝EB
④△EDC≌△CFE(AAS)
3.如图，一块面积为18 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，则△A1B1C1的面积是(　B 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
4.如图，该纸杯的主视图是(　A 　)
A B C D
5.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“热”的对面的字是(　D 　)
A.热 B.爱
C.中 D.国
三、课堂小结
本节课，你学到了什么？
悟到了 什么数学思想方法？
四、布置作业
见精准作业单
五、板书设计
课题30 尺规作图、视图与投影教学设计
尺规的5个基本作图 例
投影、三视图

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