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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第二单元 因数和倍数
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】因数和倍数
1、因数和倍数的意义。
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。
注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。
2、找一个数的因数的方法。
（1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、找一个数的倍数的方法
（1）找一个数的倍数的方法.
通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。
通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。
（2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
【知识点二】2、5的倍数特征
1、2的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征:个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),其他不是2的倍数的数叫做奇数。
【知识点三】3的倍数特征
1、2、5、3的倍数的特征
（1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
（2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
（3）3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2、2、5、3的倍数的特征延伸
（1）同时是2和3的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8,且各位上的数的和是3的倍数。
（2）同时是3和5的信数的特征:个位上是0或5,且各位上的数的和是3的倍数。
（3）同时是2、3和5的倍数的特征:个位上是0,且各位上的数的和是3的倍数。
【知识点四】质数和合数
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
3、1不是质数，也不是合数。
4、100以内的质数表。
制作100以内质数表的方法：（1）根据质数和合数的意义直接找出100以内的质数，然后制成表格。（2）用“筛选法”，先画去1，再画去 10以内质数的所有倍数（它们本身除外），这样就能找出100以内的质数，然后制成表格。
4、奇数与偶数的和的规律
奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
【考点一】因数和倍数
【典例一】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（ ）棵。
A．30 B．36 C．39
【分析】根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为小树苗的棵数不到40棵，结合题意即可求出这批小树苗最多有多少棵。
【解答】6的倍数有6、12、18、24、30、36、42
其中小于40的最大数是36。
即这批小树苗最多有36棵。
故答案为：B
【点评】本题考查求一个数的倍数，明确小树苗不到40棵是解题的关键。
【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。
【分析】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积数值的因素，求出42和36的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组“长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘2，即可解答。
【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7
36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9
6＋7＝4＋9＝13
13×2＝26（cm）
同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长26cm。
【典例三】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。
（1）一共有几种放法？
（2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？
【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。
【解答】（1）35
1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。
答：一共有2种放法。
（2）5个一放时放：（次）
7个一放时放：（次）
答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。
【考点二】2、5的倍数特征
【典例一】三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（ ）。
A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大
C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断
【分析】两人从三张卡片中抽取两张，卡片的数字之积可能是：2×3＝6，2×5＝10，3×5＝15。其中6和10是偶数，15是奇数。偶数的数量多，则两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大。据此解答。
【解答】通过分析可得：两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大，则这个游戏笑笑胜的可能性大。
故答案为：B
【典例二】从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。
【分析】同时是2和5的倍数的三位数要满足个位是0，当这个数是最小三位数时，百位上和十位上的数从小到大排列；当这个数是最大三位数时，百位上和十位上的数从大到小排列。据此解答。
【解答】由分析可知：
0＜3＜6＜8
所以，从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是360，最大三位数是860。
【点评】本题考查2和5的倍数的特征以及千以内的数比较大小。
【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？
【分析】观察发现，马蹄莲和郁金香的单价，以及100元都是5的倍数，所以找回的钱数也应是5的倍数。但是，题中找回的13元不是5的倍数。据此解题。
【解答】答：找回13元不对；因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几枝，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。
【点评】本题考查了5的倍数特征，个位是0或5的数是5的倍数。
【考点三】3的倍数特征
【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次3人一队，一次5人一队，并且不能有剩余。目前已经有24人选上，至少还要再选（ ）人刚好合适。
A．8 B．11 C．16 D．6
【分析】只要舞蹈队的人数既是3的倍数，也是5的倍数即可。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此找到比24大，又同时是3和5的倍数中的最小的数，减去已选上人数即可。
【解答】比24大，又是3和5的倍数，最小的是30。
30－24＝6（人）
因此至少还要再选6人刚好合适。
故答案为：D
【典例二】体育课上，30名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。
（1）老师先让所报数是2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。
（2）余下学生中所报数是3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。
【分析】（1）个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数，据此找出去跑步的人数；
（2）如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此找出跳绳的人数。
【解答】（1）在1，2，3，4，5，…30中，2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30，共15个，所以去跑步的有15人。
（2）在1，2，3，4，5，…30中，3的倍数不是2的倍数的有3、9、15、21、27，共5个，所以去跳绳的有5人。
【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有4个班，在休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了1瓶3元的饮料，请大家想一想，一共花了多少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错了。”你认为谁算对了，为什么？
【分析】已知1瓶3元，根据单价×数量＝总价，可知，总价是3的倍数， 3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此判断每个数据即可。
【解答】1＋2＋0＋8＝11
11不是3的倍数，所以1208不是3的倍数。
9＋5＋3＝17
17不是3的倍数，所以953不是3的倍数。
1＋0＋8＋9＝18
18是3的倍数，所以1089是3的倍数。
答：小琛算的对，因为1089是3的倍数，总价也是3的倍数。
【考点四】质数和合数
【典例一】1742年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于4的偶数都可以写成两个奇质数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（ ）。
A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17
【分析】自然数中，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；非零自然数中只有1和它本身两个因数的数是质数，有两个以上因数的数是合数，据此逐项分析。
【解答】A．20＝5＋15，15不是质数，原题干说法错误；
B．9＝2＋7，9不是偶数，原题干说法错误；
C．12＝7＋5，12是偶数，7和5都是质奇数，原题干说法正确；
D．18＝1＋17，1既不是质数，也不是合数，原题干说法错误。
故答案为：C
【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。
【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。
【解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。
【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？
【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数；
一个数既是它的因数，也是它的倍数；
2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数；
一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。
【解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2；
第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5；
第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6；
第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1；
第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9；
第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。
妈妈银行卡的密码是256199。
答：妈妈银行卡密码是256199。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）因为448÷16＝28，所以448是16和28的（ ），16和28是448的（ ）。
【正确答案】倍数 因数
【解题思路】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详细解答】因为448÷16＝28，所以448是16和28的倍数，16和28是448的因数。
2．（2分）老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“140。”明明：“142。”可可：“147。”乐乐：“150。”算对的同学是（ ）。这3个连续奇数中最大的是（ ）。
【正确答案】可可 51
【解题思路】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此可以判断哪位同学的答案正确；用这3个连续奇数的和除以3即可求出中间的奇数，再用该奇数加上2即可求出最大的奇数。
【详细解答】由分析可知：
3个连续奇数的和一定是奇数，上面的4个数中只有147是奇数，所以算对的同学是可可。
147÷3＋2
＝49＋2
＝51
则这3个连续奇数中最大的是51。
3．（2分）微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是（ ）。
【正确答案】691892
【解题思路】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定各数位上的数，写出这个支付密码即可。
【详细解答】最小的质数是2，个位上的数是2；10以内最大的合数是9，十位上的数是9；既是8的因数，又是8的倍数，这个数是8，百位上的数是8；1既不是质数也不是合数，千位上的数是1；最大的一位数是9，万位上的数是9；再加上十万位上的数是6，因此这个支付密码是691892。
4．（2分）一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是（ ）。
【正确答案】124
【解题思路】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。据此解答。
【详细解答】通过分析可得：这个三位数是124。
5．（2分）在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是（ ）。
【正确答案】870
【解题思路】根据2，3，5倍数的特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，所以把0放在个位就可以满足是2和5的倍数，再根据3的倍数特征：各个数位上的和是3的倍数的数就是3的倍数，要使这个三位数最多，就要选7和8，因为0＋7＋8＝15，15是3的倍数，要求最大只要把8放在百位，7放在十位即可，据此求出。
【详细解答】0放在个位就可以满足是2和5的倍数，
在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是870。
6．（2分）淘气家的门牌号既是3的倍数又是5的倍数，而且是与703相邻的奇数，淘气家的门牌号是（ ）。
【正确答案】705
【解题思路】个位是1、3、5、7、9的数都是奇数，与703邻的奇数有两个，分别是701和705，即是3的倍数又是5的倍数，数的末尾是0或5，并且各数位数字相加之和是3的倍数。根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是3、5的倍数，先根据能被5整除的数的特征，能判断出个位数是0或者5，进而根据能被3整除的数的特征，各位上的数的和是3的倍数；据此解答即可。
【详细解答】7＋0＋1
＝7＋1
＝8
8不是3和5的倍数；
7＋0＋5
＝7＋5
＝12
12÷3＝4
10÷5＝2
12既是3的倍数又是5的倍数，符合题意。
淘气家的门牌号是705。
7．（2分）3□52一定是（ ）的倍数；如果3□52也是3的倍数，那么□里最大可填（ ）；要想使3□52也是5的倍数，最少要减去（ ）。
【正确答案】2 8 2
【解题思路】（1）3□52个位上是2，一个数的个位数字是偶数（0、2、4、6、8）时，这个数就能被2整除，据此解答。
（2）要使3□52是3的倍数，□＋3＋5＋2＝□＋10，所以当□内所填数字与10的和是3的倍数时，这个数是3的倍数，据此解答。
（3）5的倍数的特征是个位是0或5，3□52要成为5的倍数，个位需变为0或5，所以需要对个位数字进行调整，据此解答。
【详细解答】因3□52个位是偶数，所以一定是2的倍数；3□52，千位、十位和个位的和是10，是3的倍数特征为：各个位数的和应为3的倍数，那么□＋10是在什么情况下是3的倍数，10＋2＝12，10＋5＝15，10＋8＝18，都是3的倍数，所以最大填8。根据5的倍数的特征，要使3□52是5的倍数，则个位需变为0或5，3□52－2＝3□50，即最少要减去2。
8．（2分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，比如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。请你再写出一对孪生质数( )。
【正确答案】5和7
【解题思路】一个数的因数只有1和它本身两个因数的数叫质数。可以尝试在20以内的质数中找到“孪生质数”，20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，找出相差2的两个质数即可求解。
【详细解答】比如20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19
7与5的差是2，则5和7一对孪生质数。（答案不唯一）
9．（2分）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经了“九九八十一难”。81的因数有（ ）个，81的最小倍数是（ ）。
【正确答案】5 81
【解题思路】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出81的所有因数，数出个数即可。
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身。
【详细解答】81＝1×81＝3×27＝9×9，81的因数有1、3、9、27、81，共5个，81的最小倍数是81。
【考点点评】关键是理解因数和倍数的意义，掌握一个数的因数和倍数的求法。
10．（2分）有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有（ ）个灯泡亮着。
【正确答案】5
【解题思路】2的倍数有2、4、6、8、10，3的倍数有3、6、9，4的倍数有4、8；开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态；编号1，没按开关，亮着，编号2、 3按了一次开关，不亮，编号4按了两次开关，亮着，编号5，没按开关，亮着，编号6，按了两次开关，不亮着，编号7，没按开关，不亮，编号8，按了两次，不亮，编号9、10按了一次开关，亮着。据此可知，一共有5个灯泡亮着；据此解答。
【详细解答】根据分析可知，第三次之后还有5个灯泡亮着。
【考点点评】明确开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态是解答本题的关键。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）一个数既是5的倍数，又是2的倍数，这个数个位上一定是0。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】个位上是0或5的数，是5的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。所以，个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
【详细解答】一个数既是5的倍数，又是2的倍数，这个数个位上一定是0。例如，20、30、50……既是5的倍数，又是2的倍数。
故答案为：√
12．（2分）在质数中，奇数的个数比偶数多。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
【详细解答】所有的质数中，只有2一个偶数，其他全是奇数。所以在质数中，奇数的个数比偶数多说法正确。
故答案为：√
13．（2分）三位数□48是3的倍数，那么□里只有3种填法。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。
【详细解答】4＋8＝12，当□48是3的倍数时，□可以是3、6、9共3种填法，所以原题说法是正确的。
故答案为：√
【考点点评】本题考查了3的倍数，掌握3的倍数特征是解题的关键。
14．（2分）一个数是6的倍数，那么它不一定是3的倍数。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】一个数是另一个数的倍数，那么这个数的倍数也一定是另一个数的倍数，据此分析。
【详细解答】6÷3＝2，6是3的倍数，一个数是6的倍数，那么它一定是3的倍数，所以原题说法错误。
故答案为：×
15．（2分）因为27÷3＝9，所以我们说27是倍数，9是因数。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】描述因数和倍数时，它们是共同存在的，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数，不能单独描述，据此解答即可。
【详细解答】因为27÷3＝9，所以我们说27是3和9倍数，9是27的因数，本题说法错误。
故答案为：×
【考点点评】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。
A．6 B．12 C．24 D．144
【正确答案】B
【解题思路】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。
【详细解答】一个数，它既是12的倍数又是12的因数，这个数是12。
故答案为：B
17．（2分）我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如：26＝3×7＋5，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子符合这个定理的是（ ）。
A．7＝2×3＋1 B．12＝2×3＋6 C．38＝5×7＋3 D．42＝5×8＋2
【正确答案】C
【解题思路】是2的倍数的数是偶数；只有1和它本身两个因数的数叫作质数。根据充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和进行选择。
【详细解答】A．在7＝2×3＋1中 ，7不是偶数，不符合要求；
B．在12＝2×3＋6中，6不是质数，不符合要求；
C．在38＝5×7＋3中，38是偶数，5，7，3都是质数，符合要求；
D．在42＝5×8＋2中，8不是质数，不符合要求。
故答案为：C
18．（2分）辉辉一家坐火车准备去上海旅行。购票时辉辉发现从北京开往上海的车次用奇数表示，从上海开往北京的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G－高速动车；D－动车：Z－直达特快；T－特快列车；K－快速列车。下面的车次有（ ）个是从北京开出的。
①D5 ②G108 ③G152 ④G111 ⑤T109
A．5 B．4 C．3 D．2
【正确答案】C
【解题思路】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此解答。
【详细解答】由分析可得：D5、G108、G152、G111、T109中，奇数有5、111、109，所以车次有3个是从北京开出的。
故答案为：C
19．（2分）用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是（ ）。
A．2和3的倍数 B．3和4的倍数 C．3和5的倍数 D．2、3和5的倍数
【正确答案】A
【解题思路】一个数个位上的数字是0、2、4、6、8， 这个数就是2的倍数。因此用6，2，4组成的任意一个三位数，这个数一定是2的倍数。
一个数个位上的数字是0或5， 这个数就是5的倍数。因此用6，2，4组成的任意一个三位数，个位上不可能是0或5，所以这个数一定不是5的倍数。
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。因为6＋2＋4＝12，12÷4＝3，所以用6，2，4组成的任意一个三位数，数字的和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。
据此判断。
【详细解答】根据分析可得：
A．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是2和3的倍数。该选项说法正确。
B．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，不一定是4的倍数，如：624÷4＝156，642÷4＝160……2，该选项说法错误。
C．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定不是5的倍数，就一定不是3和5的倍数。该选项说法错误
D．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定不是5的倍数，就一定不是2、3和5的倍数。该选项说法错误
故答案为：A
20．（2分）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（ ）。
A．12 B．14 C．18 D．36
【正确答案】B
【解题思路】根据“亏数”概念，先找出数的因数，再将本身以外的因数相加，这个数本身比和大，即为“亏数”。
【详细解答】A．12的因数有1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16＞12，所以12不是“亏数”；
B．14的因数有1、2、7、14，14＞1＋2＋7＝10，那么14是“亏数”；
C．18的因数有1、2、3、6、9、18，18＜1＋2＋3＋6＋9＝21，那么18不是“亏数”；
D．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，36＜1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，那么36不是“亏数”；
故答案为：B
四、连线题（满分6分）
21．（6分）连一连。
【正确答案】见详解
【解题思路】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数就叫作合数。
【详细解答】1既不是质数也不是合数；
7是质数；
12是2的倍数，所以12是合数；
23是质数；
49是7的倍数，所以49是合数；
85是5的倍数，所以85是合数；
97是质数。
连线如下：
【考点点评】本题的解题关键是通过质数和合数的概念，找出正确的选项，完成作图。
五、解答题（满分54分）
22．（6分）甲、乙两人的岁数之和是一个两位数的质数，这个质数各数位上的数字之和是13，甲比乙刚好大13岁，甲、乙各几岁？
【正确答案】甲40岁，乙27岁
【解题思路】13＝1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7，只有67是质数，根据和差问题，（和＋差）÷2＝较大数，较大数－差＝较小数。
【详细解答】13＝6＋7
（67＋13）÷2
＝80÷2
＝40（岁）
40－13＝27（岁）
答：甲40岁，乙27岁。
【考点点评】本题考查了质数和和差问题，（和－差）÷2＝较小数。
23．（6分）体育老师将五（甲）班的45名同学排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？说明理由。
【正确答案】理由见详解
【解题思路】根据偶算、奇数的性质，偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，奇数±奇数＝偶数，因为45是奇数，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数为偶数；据此解答。
【详细解答】全班人数45是奇数，如果第一路纵队的人数为奇数，根据偶数＋奇数＝奇数，那么第二路纵队的人数为偶数。
因为：奇数＋偶数＝奇数。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的性质及应用。
24．（6分）寒假期间，龙龙、北北、鸣鸣到电影院去看电影，根据三人的对话，你能判断他们的座位号是多少吗？
【正确答案】28、30、32
【解题思路】相邻两个偶数相差2，把最小的座位号设为未知数，表示出其它两个座位号，再根据三个偶数的和为90列方程解答。
【详细解答】解：设最小的座位号为x，中间的座位号为（x＋2），最大的座位号为（x＋4）。
x＋（x＋2）＋（x＋4）＝90
3x＋6＝90
3x＝90－6
3x＝84
x＝84÷3
x＝28
28＋2＝30
28＋4＝32
30÷5＝6，则30是5的倍数。
答：他们的座位号分别是28、30、32。
【考点点评】根据相邻偶数的差表示出其它两个偶数是解答题目的关键。
25．（6分）光明小学五年级有6个班学生去公园，门票每人3元，小明说：“一共是623元”。小红说：“一共是598元”。小刚说：“一共是705元”。老师笑着说：“他们三人只有一人算对了。”你认为谁算的对？为什么？
【正确答案】小刚说的对，因为705能被3整除。
【解题思路】门票每人3元，那么花费的总钱数一定要能被3整除，如果一个数各位上数字加起来的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此解答即可。
【详细解答】6＋2＋3＝11，11不能被3整除，所以623元不符合题意；
5＋9＋8＝22，22不能被3整除，所以598元不符合题意；
7＋0＋5＝12，12能被3整除，所以705元符合题意。
答：小刚说的对，因为705能被3整除。
【考点点评】本题主要考查3的倍数的特征：一个数各位上数字加起来的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
26．（6分）小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。摆渡17次后，船在南岸还是北岸？为什么？摆渡100次后，船在南岸还是北岸？为什么？
【正确答案】北岸；见详解；南岸；见详解
【解题思路】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸……，不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。
【详细解答】规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。
答：因为17是奇数，所以摆渡17次后，船在北岸；因为100是偶数，所以摆渡100次后，船在南岸。
【考点点评】本题考查奇数与偶数的认识及应用。
27．（6分）五（9）班有学生48人，实验课上，老师要把他们平均分组，每组多于2人，少于8人，可以怎样分组？
【正确答案】可以分为3、4、6人为一组。
【解题思路】先找出48的所有因数，只要大于2小于8的因数都可以作为每组人数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详细解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，比2大比8小的有3、4、6。
答：可以分为3、4、6人为一组。
【考点点评】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
28．（6分）猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？
【正确答案】0592－5056831
【解题思路】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。
【详细解答】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。
所以这个电话号码是0592－5056831。
【考点点评】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
29．（6分）一筐苹果，不到70个，如果4个4个的数正好数完，这筐苹果最多有多少个？
【正确答案】68个
【解题思路】4个4个的数正好数完，说明这筐苹果的个数是4的倍数，找出小于70的4的最大倍数是多少即可。
【详细解答】
（个）
答：这筐苹果最多有68个。
【考点点评】本题考查的是因数与倍数，一个非零自然数的倍数有无限个，其中最小的倍数是其自身。
30．（6分）一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？
【正确答案】65平方米；77平方米
【解题思路】根据长方形的周长求出长与宽的和，在长方形中长大于宽且长和宽是两个不同的质数据此求出所有符合条件的长与宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的面积，据此解答。
【详细解答】长与宽的和：36÷2＝18（米）
情况一：当宽为2米时，
长：18－2＝16（米）
因为16不是质数，所以不符合题意。
情况二：当宽为3米时，
长：18－3＝15（米）
因为15不是质数，所以不符合题意。
情况三：当宽为5米时，
长：18－5＝13（米）
因为5和13都是质数，所以符合题意。
面积：5×13＝65（平方米）
情况四：当宽为7米时，
长：18－7＝11（米）
因为7和11都是质数，所以符合题意。
面积7×11＝77（平方米）
由上可知，长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
答：这个长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
【考点点评】掌握长方形的周长和面积计算公式并熟记100以内质数表是解答题目的关键。
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第二单元 因数和倍数
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】因数和倍数
1、因数和倍数的意义。
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。
注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。
2、找一个数的因数的方法。
（1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、找一个数的倍数的方法
（1）找一个数的倍数的方法.
通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。
通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。
（2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
【知识点二】2、5的倍数特征
1、2的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征:个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),其他不是2的倍数的数叫做奇数。
【知识点三】3的倍数特征
1、2、5、3的倍数的特征
（1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
（2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
（3）3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2、2、5、3的倍数的特征延伸
（1）同时是2和3的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8,且各位上的数的和是3的倍数。
（2）同时是3和5的信数的特征:个位上是0或5,且各位上的数的和是3的倍数。
（3）同时是2、3和5的倍数的特征:个位上是0,且各位上的数的和是3的倍数。
【知识点四】质数和合数
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
3、1不是质数，也不是合数。
4、100以内的质数表。
制作100以内质数表的方法：（1）根据质数和合数的意义直接找出100以内的质数，然后制成表格。（2）用“筛选法”，先画去1，再画去 10以内质数的所有倍数（它们本身除外），这样就能找出100以内的质数，然后制成表格。
4、奇数与偶数的和的规律
奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
【考点一】因数和倍数
【典例一】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（ ）棵。
A．30 B．36 C．39
【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。
【典例三】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。
（1）一共有几种放法？
（2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？
【考点二】2、5的倍数特征
【典例一】三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（ ）。
A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大
C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断
【典例二】从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。
【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？
【考点三】3的倍数特征
【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次3人一队，一次5人一队，并且不能有剩余。目前已经有24人选上，至少还要再选（ ）人刚好合适。
A．8 B．11 C．16 D．6
【典例二】体育课上，30名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。
（1）老师先让所报数是2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。
（2）余下学生中所报数是3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。
【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有4个班，在休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了1瓶3元的饮料，请大家想一想，一共花了多少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错了。”你认为谁算对了，为什么？
【考点四】质数和合数
【典例一】1742年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于4的偶数都可以写成两个奇质数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（ ）。
A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17
【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。
【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？
一、填空题（满分20分）
1．（2分）因为448÷16＝28，所以448是16和28的（ ），16和28是448的（ ）。
2．（2分）老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“140。”明明：“142。”可可：“147。”乐乐：“150。”算对的同学是（ ）。这3个连续奇数中最大的是（ ）。
3．（2分）微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是（ ）。
4．（2分）一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是（ ）。
5．（2分）在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是（ ）。
6．（2分）淘气家的门牌号既是3的倍数又是5的倍数，而且是与703相邻的奇数，淘气家的门牌号是（ ）。
7．（2分）3□52一定是（ ）的倍数；如果3□52也是3的倍数，那么□里最大可填（ ）；要想使3□52也是5的倍数，最少要减去（ ）。
8．（2分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，比如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。请你再写出一对孪生质数( )。
9．（2分）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经了“九九八十一难”。81的因数有（ ）个，81的最小倍数是（ ）。
10．（2分）有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有（ ）个灯泡亮着。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）一个数既是5的倍数，又是2的倍数，这个数个位上一定是0。（ ）
12．（2分）在质数中，奇数的个数比偶数多。（ ）
13．（2分）三位数□48是3的倍数，那么□里只有3种填法。（ ）
14．（2分）一个数是6的倍数，那么它不一定是3的倍数。（ ）
15．（2分）因为27÷3＝9，所以我们说27是倍数，9是因数。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。
A．6 B．12 C．24 D．144
17．（2分）我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如：26＝3×7＋5，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子符合这个定理的是（ ）。
A．7＝2×3＋1 B．12＝2×3＋6 C．38＝5×7＋3 D．42＝5×8＋2
18．（2分）辉辉一家坐火车准备去上海旅行。购票时辉辉发现从北京开往上海的车次用奇数表示，从上海开往北京的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G－高速动车；D－动车：Z－直达特快；T－特快列车；K－快速列车。下面的车次有（ ）个是从北京开出的。
①D5 ②G108 ③G152 ④G111 ⑤T109
A．5 B．4 C．3 D．2
19．（2分）用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是（ ）。
A．2和3的倍数 B．3和4的倍数 C．3和5的倍数 D．2、3和5的倍数
20．（2分）古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（ ）。
A．12 B．14 C．18 D．36
四、连线题（满分6分）
21．（6分）连一连。
五、解答题（满分54分）
22．（6分）甲、乙两人的岁数之和是一个两位数的质数，这个质数各数位上的数字之和是13，甲比乙刚好大13岁，甲、乙各几岁？
23．（6分）体育老师将五（甲）班的45名同学排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？说明理由。
24．（6分）寒假期间，龙龙、北北、鸣鸣到电影院去看电影，根据三人的对话，你能判断他们的座位号是多少吗？
25．（6分）光明小学五年级有6个班学生去公园，门票每人3元，小明说：“一共是623元”。小红说：“一共是598元”。小刚说：“一共是705元”。老师笑着说：“他们三人只有一人算对了。”你认为谁算的对？为什么？
26．（6分）小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。摆渡17次后，船在南岸还是北岸？为什么？摆渡100次后，船在南岸还是北岸？为什么？
27．（6分）五（9）班有学生48人，实验课上，老师要把他们平均分组，每组多于2人，少于8人，可以怎样分组？
28．（6分）猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？
29．（6分）一筐苹果，不到70个，如果4个4个的数正好数完，这筐苹果最多有多少个？
30．（6分）一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？
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