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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第三单元 长方体和正方体
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】长方体和正方体的认识
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下由2个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。
2、相交与一个顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的12条棱中有4条长、4条宽和4调高。
3、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方形有12条棱，每条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。
4、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。
5、认识长方体和正方体的展开图。
【知识点二】长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。
用字母表示:S=6a2。
【知识点三】长方体和正方体的体积
1、体积单位
（1）物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
棱长是1cm的正方体，体积是1cm3;
棱长是1dm的正方体，体积是1dm3;
棱长是1m的正方体，体积是1m3。
2、体积计算公式
（1）长方体的体积=长×宽×高。
用字母表示:V=abh。
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
用字母表示:V=a3。
【知识点四】体积单位间的进率
体积单位换算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
【知识点五】容积单位
1、容积单位
（1）容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（2）计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。
（3）容积单位的换算:1升=1000毫升
容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
【考点一】长方体和正方体的认识
【典例一】图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添（ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。
【分析】
第一层有1个小正方体，第二层有5个小正方体，把每层的小正方体个数加起来，可知图中一共有6个小正方体。题中的组合体一共由3列小正方体搭成，不改变小正方体的位置，要想搭成一个大正方体，至少需要27个小正方体。已有6个小正方体，所以至少还需要再添（个）。
【解答】
图中一共有6个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添21个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。
【点评】
数小正方形个数时，注意不要忘记隐藏的小正方体。一个正方体的一条棱上有3个小正方形，则这个正方形应是由3×3×3个小正方体组成的。
【典例二】用一根长为132厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米．
【分析】由题意可知长方体和正方体的棱长总和都是132厘米，根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，棱长=棱长总和÷12；长方体的特征是：12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，由此解答．
【解答】132×12=11（厘米）；
132÷4=33（厘米）；
答：正方体的棱长是11厘米，长方体的长、宽、高的和是33厘米．
故答案为11，33．
【典例三】心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？
【分析】先求出一个礼盒需要的长度＝长方体的两条长＋两条宽＋四条高＋结头处长度，再用总长度除以一个礼盒需要的长度即可计算出结果。
【解答】10米＝1000厘米
15×2＋2×10＋4×6＋30
＝30＋20＋24＋30
＝104（厘米）
1000÷104＝9（个）……64（厘米）
答：这根绳子最多可捆扎9个这样的礼盒。
【点评】主要利用长方体棱长解决实际问题，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
【考点二】长方体和正方体的表面积
【典例一】一根钢管，它的横截面面积是20平方厘米，把它截成4段，表面积增加了（ ）。
A． B． C． D．
【分析】
钢管截成4段，增加了6个横截面，用横截面积×6即可。
【解答】
20×6＝120（平方厘米）
故答案为：C
【点评】
关键是理解截成4段只需要截3次，每截一次增加两个横截面。
【典例二】用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。
【分析】
要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面对着合起来，减少了2个最大的面，此时的长方体显然是最小的表面积；同理，要使拼成的长方体的表面积最大，就要把最小面拼在一起，据此即可解答。
【解答】
最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2
＝27×4－36
＝108－36
＝72（平方厘米）
最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2
＝27×4－6
＝108－6
＝102（平方厘米）
【点评】
掌握将两个长方体最大的两个面相粘合在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小；将两个最小面相粘合，新长方体的表面积最大。这是解决此题的关键。
【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长5米，宽4米，高2.7米，卧室有一扇门与客厅相通，门高2米，宽1米，在另一面墙上距地面1米处有一个长1.5米，高1米的窗子。现在要对卧室进行如下装修。
（1）给地面铺上的地砖，每块地砖的价格是16元，买地砖需多少元？
（2）从地面向上给四周的墙壁贴上1米高的木板，需木板多少平方米？
【分析】
（1）先求出长方体底面积，用底面积÷一块地砖面积，求出地砖块数，用块数×每块价格即可；
（2）将木板展开是一个长方形，求出底面周长，减去门的宽度，再乘木板高度即可；
【解答】
（1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米）
200000÷（50×50）
＝200000÷2500
＝80（块）
80×16＝1280（元）
答：买地砖需1280元。
（2）（5＋4）×2－1
＝9×2－1
＝18－1
＝17（米）
17×1＝17（平方米）
答：需木板17平方米。
【点评】本题考查了长方体表面积，关键是想清楚需要求的是哪些部分的面积，完整的长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【考点三】体积和体积单位
【典例一】一段长为2米的长方体木料，底面是边长3cm的正方形，这段木料的体积是（ ）dm3。
A．600 B．18 C．1.8 D．1800
【分析】
木料的体积＝底面积×高（木料的长度），据此解答。
【解答】
2米＝20分米，3厘米＝0.3分米
0.3×0.3×20
＝0.09×20
＝1.8（立方分米）
故选择：C
【点评】
此题考查长方体的体积计算，牢记公式，找准对应的底面积和高是解题关键。注意换算单位。
【典例二】如图：在棱长是1分米的正方体中挖下一个棱长4厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。
【分析】
挖下一个棱长4厘米的小正方体，表面积增加了两个小正方形；剩下部分的体积用大正方体的体积减去小正方体的体积即可。
【解答】
4厘米＝0.4分米
（平方分米）
（立方分米）
【点评】
在大正方体的顶点处挖去一个小正方体，表面积不变；在棱上挖去一个小正方体，表面积增加两个小正方形；在面上去一个小正方体，表面积增加四个小正方形。
【典例三】游泳池的长为225米，宽为10米，深为1.6米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？
（3）游泳池的体积是多少立方米？
【分析】
（1）求游泳池的占地面积即是求泳池的底面积；
（2）贴瓷砖的面积为泳池的四个侧面的面积加1个底面积；
（3）泳池的体积＝225×10×1.6＝3600（立方米）；据此解答。
【解答】
（1）225×10＝2250（平方米）
答：这个游泳池的占地面积是2250平方米。
（2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250
＝360×2＋16×2＋2250
＝720＋32＋2250
＝3002（平方米）
答：贴瓷砖部分的面积是3002平方米。
（3）225×10×1.6
＝2250×1.6
＝3600（立方米）
答：游泳池的体积是3600立方米。
【点评】
本题考查了长方体的表面积以及体积的应用，关键是要掌握长方体的表面积与体积公式，并灵活运用。
【考点四】体积单位间的进率
【典例一】一根长方体方木，横截面积是40平方厘米，长6.5米，它的体积是（ ） 立方厘米．
A．260 B．26000 C．0.26
【分析】
长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，题目中给的长是6.5米，单位是米，最后体积是多少，单位是立方厘米，所以先需要把6.5米转化成650厘米，再计算。
【解答】
6.5米＝650（厘米）
40×650＝26000（立方厘米）
故选择：B
【点评】
此题考查了长方体体积的计算，牢记公式并能灵活运用。
【典例二】有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？
【分析】
把买的西瓜完全浸入在水里，西瓜占据了水缸内水的一部分空间，因此水面上升，已知水面上升了3厘米，西瓜的体积就是水面上升3厘米的水的体积，根据长方体的体积公式V=abh列式解答即可。
【解答】
60×50×3＝9000（立方厘米）
9000立方厘米＝9立方分米
答：这个西瓜的体积是9立方分米。
【点评】
此题属于长方体体积的实际应用，直接根据长方体的体积公式解决问题，解答时要注意题干单位。
【典例三】一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？
【答案】1.2m=12dm
80cm=8dm
V=abh
=12×8×6
=576（dm3）
答：这个鱼缸可以放576dm3的水。
【考点五】容积和容积单位
【典例一】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。
A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米
【分析】
体积指物体所占空间的大小，而容积指容器所能容纳物体体积的大小，据此解答。
【解答】
一个鱼缸最多能容纳100升的水，100升指鱼缸的容积，鱼缸的体积要大于它的容积，故大于100升，也就是大于100立方分米。只有D符合题意。
故选择：D。
【点评】
掌握物体的体积和容积概念是解题关键，一般情况下物体的体积大于它的容积。
【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。做这个水箱至少需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁皮厚度不计）
【分析】
已知长方体的长、宽、高，求无盖长方体的表面积，用公式：无盖长方体的表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积＝长×宽×高，据此求出体积，然后用体积乘每升水的质量即可求出总质量。
【解答】
（0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65
＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65
＝0.87×2＋0.8×0.65
＝1.74＋0.52
＝2.26（平方米）；
0.8×0.65×0.6
＝0.52×0.6
＝0.312（立方米）
＝312（升）；
312×1＝312（千克）；
【点评】
熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。
【典例三】要挖一个长9米，宽5米，深3米的蓄水池。
（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？
（2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）这个水池能蓄水多少升？
【分析】
（1）求蓄水池的占地面积面积就是求底面积，用长乘宽即可；
（2）根据题意可知，就是给前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它们的面积再相加即可；
（3）长方体的容积＝长×宽×高，据此解答即可。
【解答】
（1）5×9＝45（平方米）；
答：这个蓄水池的占地面积是45平方米；
（2）5×9＋2×（9×3＋5×3）
＝45＋84
＝129（平方米）；
答：抹水泥部分的面积是129平方米；
（3）5×9×3
＝45×3
＝135（立方米）；
135立方米＝135000升；
答：这个水池能蓄水135000升。
【点评】
熟记长方体表面积和容积的计算公式是解答本题的关键。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图，一根长12dm的长方体木料，把它锯成4个大小不等的长方体后，总表面积比原来增加了9dm2，这根木料的原体积是( )dm3。
【答案】18
【分析】看图可知，将长方体木料锯成4个大小不等的长方体后，表面积增加了6个截面面积，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可。
【解答】9÷6×12＝18（dm3）
这根木料的原体积是18dm3。
2．（2分）包装一个棱长是9cm的正方体礼品盒，实际用纸是表面积的1.2倍，包装好这个礼品盒实际用纸( )平方厘米，这个礼品盒的体积是 ( )立方分米。
【答案】583.2 0.729
【分析】正方体的表面积＝边长×边长×6，据此求出棱长是9cm的正方体的表面积，再根据求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数求出包装好这个礼品盒实际用纸的面积；根据正方体的体积＝边长×边长×边长，代入数据解答即可。
【解答】9×9×6×1.2
＝81×6×1.2
＝486×1.2
＝583.2（平方厘米）
9×9×9
＝81×9
＝729（立方厘米）
729立方厘米＝0.729立方分米
所以包装好这个礼品盒实际用纸583.2平方厘米，这个礼品盒的体积是0.729立方分米。
3．（2分）一个无盖的正方体蓄水箱，棱长0.8m（厚度忽略不计）。这个蓄水箱的占地面积是( )m2，它的容积是( )m3。
【答案】0.64 0.512
【分析】占地面积指的是底面积，根据正方体底面积＝棱长×棱长，求出占地面积；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出蓄水池的容积。
【解答】0.8×0.8＝0.64（m2）
0.8×0.8×0.8＝0.512（m3）
这个蓄水箱的占地面积是0.64m2，它的容积是0.512m3。
4．（2分）一种长方体饼干盒的长20cm，宽10cm，高5cm，把3个这样的饼干盒包装在一起，至少需要( )cm2的包装纸。（拼接处不计）
【答案】1300
【分析】如下图，把3个这样的饼干盒包装在一起有3种情况。把同样多的物体包装成长方体，长、宽、高越接近，表面积越小，即包装纸的面积越少。图一的包装长、宽、高最接近，所以图一的表面积最小，即图一最省包装纸。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出图一的表面积即可。
【解答】5×3＝15（cm）
（20×10＋20×15＋10×15）×2
＝（200＋300＋150）×2
＝650×2
＝1300（cm2）
所以至少需要1300cm2的包装纸。
【点评】此题考查了怎样设计包装箱能使材料最节省。把同样多的物体包装成长方体，长、宽、高越接近，表面积越小；这些物体重合的面积越大，包装箱的用料越少。
5．（2分）如图，小涵把三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少( )平方厘米。
【答案】100
【分析】把三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，减少了4个边长为5厘米的正方形面。先根据正方形的面积＝边长×边长求出1个正方形面的面积，再乘4即可求出减少的表面积。
【解答】5×5×4
＝25×4
＝100（平方厘米）
所以表面积比原来减少100平方厘米。
【点评】此题考查了正方体的拼组问题。解决此类题关键是明确减少了几个面。
6．（2分）用2个长5分米，宽3分米，高2分米的长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少( )平方分米，最少减少( )平方分米。
【答案】30 12
【分析】2个长方体拼成一个大长方体，减少了2个面。将长方体最大的两个面拼起来，表面积减少的最多；将长方体最小的两个面拼起来，表面积减少的最少，据此分析。
【解答】5×3×2＝30（平方分米）
3×2×2＝12（平方分米）
表面积最多减少30平方分米，最少减少12平方分米。
7．（2分）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。至少添加( )个这样的正方体，才能把它补成一个大正方体，大正方体的表面积是( )平方厘米。
【答案】17 54
【分析】观察这个物体可知，这个物体的最长边是3厘米，如果添加同样的正方体，把这个物体补成一个大正方体，则大正方体的棱长至少是3厘米；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此求出正方体的表面积。
【解答】图形要摆成一个最小的正方体，需要：个小正方体；
图中已经有个小正方体；
所以至少还需添加个小正方体，把它补成一个大正方体。
大正方体表面积：
（平方厘米）
所以至少添加17个这样的正方体，才能把它补成一个大正方体，大正方体的表面积是54平方厘米。
【点评】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的特征。
8．（2分）一个正方体的六个面上分别标上了数字1～6，下面是从三个不同角度观察到的情况，“5”这一面相对的面是数字( )。
【答案】2
【分析】正方体相对的面：前面对后面，左面对右面，上面对下面；
从某一个角度观察正方体时最多能够观察到正方体的三个面，而且我们这三个面一定是两两相邻的，不会出现相对面，因此在找相对面时我们可以采用排除法：
如在找“5”相对的面时，图①中可以排除1和3，图②中可以排除4和6，再排除本身的5，就能确定5的对面是2。
【解答】找“5”相对的面时，图①中可以排除1和3，图②中可以排除4和6，再排除本身的5，就能确定5的对面是2。
故“5”这一面相对的面是数字2。
【点评】本题考查推理能力，解决问题关键是运用排除法进行分析。
9．（2分）王老师坐飞机从重庆——成都出差，在机场遇到如下规定：自带行李总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，若超出航空公司规定的重量或尺寸，需要办理托运并支付额外的行李费用。
王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，需要办理托运吗？( )。（选填“需要”或“不需要”）
【答案】需要
【分析】由于随身登机行李箱的总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，因为60＞55，37＜40，24＞20，所以王老师的行李需要办理托运。
【解答】根据分析可知，王老师的行李需要办理托运。
【点评】本题考查长方体，解答本题的关键是掌握长方体的特征。
10．（2分）一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。
【答案】60 4
【分析】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和，正方体有12条棱长，且每条棱长都相等，用棱长乘12即可得解；如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，则根据长方体的特征，长方体的4条长、4条宽、4条高，且每条长相等，每条宽相等，每条高相等，用铁丝的长度除以4，减一条长与一条宽的和，即可得解。
【解答】（cm）
（cm）
一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长60cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是4cm。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）用长6厘米、宽5厘米、高3厘米做长方体框架，至少要一根长56厘米的铁丝。( )
【答案】√
【分析】用一根铁丝做成长方体的框架，这根铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出这根铁丝的长度，据此解答。
【解答】（6＋5＋3）×4
＝14×4
＝56（厘米）
做长方体框架，至少要一根长56厘米的铁丝。
故答案为：√
12．（2分）甲乙两个立体图形（如图），体积不同，但是表面积一样大。( )
【答案】√
【分析】观察图形，甲乙原来的表面积一样大，甲乙原来的体积一样大；乙图在顶点上挖去小正方体后，减少3个正方形的面积，又增加3个正方形的面积，则剩下的图形的表面积与原来正方体的表面积相等；乙图挖去一个小正方体后，剩下的体积比原来的体积小；据此判断。
【解答】由分析得：
甲乙两个立体图形的体积不同，但是表面积一样大，原题干的说法是正确的。
故答案为：√
13．（2分）把一块体积为50立方厘米球形橡皮泥捏成一个正方体，那么这个正方体的体积也等于50立方厘米。( )
【答案】√
【分析】体积表示物体所占空间的大小，不管怎么捏，橡皮泥是不会变少的，也就是说它的体积不会变小，于是捏成正方体后，体积依旧是原来的50立方厘米。
【解答】球形橡皮泥捏成一个正方体，形状虽然发生了变化，但它所占空间的大小一样，也就是体积没有发生变化，仍就是50立方厘米。原题干说法正确。
故答案为：√
【点评】本题考查了体积的等积变形，明确同一个物体，形状无论怎么变化，体积始终保持不变。
14．（2分）正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的9倍。( )
【答案】×
【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体棱长扩大到原来的几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。
【解答】3×3＝9
3×3×3＝27
正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍，所以原题说法错误。
故答案为：×
15．（2分）棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。( )
【答案】×
【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积；体积是指物体所占空间的大小；正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析解答。
【解答】表面积：
6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
体积：
6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
棱长是6厘米的正方体，虽然它的体积和表面积的数值相等，但是表面积和体积是两种不同的量，无法进行比较，所以棱长是6厘米的正方体的表面积和体积无法比较。
原题干说法错误。
故答案为：×
三、选择题（满分10分）
16．（2分）用四个同样的小长方体拼成不同的大长方体（如下图）。甲体积（ ）乙体积；甲表面积（ ）乙表面积。
A．大于；小于 B．等于；小于 C．等于；大于 D．不确定
【答案】B
【分析】根据数量相同的小长方体拼成的大长方体体积相等，数量相同的小长方体拼成的大长方体的表面积与拼接面的数量和大小有关即可解答。
【解答】因为四个小长方体完全相同，拼接甲长方体的小长方体的个数与乙长方体的个数相等，
所以甲长方体的体积等于乙长方体的体积；
因为乙的重合面面积小于甲的重合面面积，因此乙的表面积大于甲的表面积，
所以甲的表面积小于乙的表面积；
故答案为：。
【点评】本题考查了体积和表面积的概念，理解体积和表面积的概念是解题的关键。
17．（2分）琪琪有一个长方体，把它分割成如图的几个小正方体，原来长方体的表面积是162平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．40.5 B．81 C．108 D．162
【答案】C
【分析】观察可知，这个长方体的表面可以分成（4×4＋2）个小正方形，长方体的宽和高都等于小正方形的边长，长方体表面积÷小正方形个数＝每个小正方形的面积，根据正方形面积＝边长×边长，确定长方体的宽和高，小正方形边长×4＝长方体的宽，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出这个长方体的体积。
【解答】162÷（4×4＋2）
＝162÷（16＋2）
＝162÷18
＝9（平方厘米）
9＝3×3
3×4＝12（厘米）
12×3×3＝108（立方厘米）
这个长方体的体积是108立方厘米。
故答案为：C
18．（2分）一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（ ）立方厘米。
A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2）
【答案】B
【分析】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。
【解答】a×b×2＝2ab（立方厘米）
所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。
故答案为：B
19．（2分）下列各图中，不能折成正方体的是（ ）。
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】正方体展开图一共有11种。
（1）“1－4－1”型： 中间4个一连串，两边各一随便放。
（2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。
（3）“2－2－2”型：两两相连各错一。
（4）“3－3”型：三个两排一对齐。
据此解答。
【解答】A．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体；
B．符合正方体展开图“2－3－1”型的特点，能折成正方体；
C．不符合正方体展开图的特点，不能折成正方体；
D．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体。
故答案为：C
20．（2分）把一个棱长为1分米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方分米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
【答案】B
【分析】一个棱长为1分米的正方体体积是1立方分米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，故可以切1000个这样的正方体小木块，边长l厘米的正方形面积是1平方厘米，1000个这样的小正方体占地1000平方厘米，1平方分米＝100平方厘米，将1000平方厘米换算成平方米即可解答。
【解答】由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000平方厘米，
1平方分米＝100平方厘米
1000÷100＝10
1000平方厘米＝10平方分米
即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地10平方分米。
故答案为：B
四、计算题（满分6分）
21．（6分）计算下列图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】（1）1312平方厘米；2688立方厘米
（2）312平方厘米；304立方厘米
【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可；
（2）组合体的表面积等于下面长方体的表面积加上面正方体的侧面积，组合体的体积等于下面长方体的体积加上面正方体的体积，正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，结合长方体的表面积和体积公式，代入数据计算即可。
【解答】（1）
（平方厘米）
（立方厘米）
长方体的表面积是1312平方厘米，体积是2688立方厘米。
（2）
（平方厘米）
（立方厘米）
组合体的表面积是312平方厘米，体积是304立方厘米。
五、作图题（满分6分）
22．（6分）如图，在一个正方体的上面涂满了颜色，前、后、左、右面涂了颜色，底面不涂颜色，在下面方格纸里画出正方体展开图的涂色部分。
【答案】见详解
【分析】由正方体的展开图可知，涂满了颜色的为上面，则中间一行左起第一个为底面，不涂色，最下面一个正方形是前面、要涂色，中间左起第二个是右面，要涂色，最右一列下面的小正方形是左面，要涂色，最右一列上面是后面，要涂色，（前、后、左、右面涂了颜色，但没说图多少，只要涂色就对）。所以本题画法不唯一。
【解答】作图如下：
六、解答题（满分48分）
23．（6分）妈妈给奶奶准备了一件母亲节的礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要50厘米丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？
【答案】250厘米
【分析】观察图形可知，丝带的长度＝两条长的长度＋两条宽的长度＋四条高的长度＋打结处的长度，据此进行计算即可。
【解答】50×2＋30×2＋10×4＋50
＝100＋60＋40＋50
＝160＋40＋50
＝200＋50
＝250（厘米）
答：捆绑这个礼物一共需要250厘米丝带。
24．（6分）在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？
【答案】30平方分米；9立方分米
【分析】1分米＝10厘米＝100毫米，据此先将套装的长、宽、高单位换算到分米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。根据长方体的表面积公式，列式求出这个套装的表面积。根据长方体的体积公式，列式求出这个套装的体积。
【解答】300毫米＝3分米，100毫米＝1分米
（3×1＋3×3＋1×3）×2
＝（3＋9＋3）×2
＝15×2
＝30（平方分米）
3×1×3＝9（立方分米）
答：这个材料套装的表面积是30平方分米，体积是9立方分米。
25．（6分）普安红茶是黔西南州普安县特产，中国国家地理标志产品。李阿姨购买了一盒普安红茶，盒子近似于一个长34厘米，宽15厘米，高7厘米的长方体。做一个这样的盒子至少需要材料多少平方厘米，合多少平方分米？（接头处忽略不计）
【答案】1706平方厘米；17.06平方分米
【分析】长方体表面积＝（长×高＋宽×高＋长×宽）×2，据此列式计算出这个盒子的表面积，即需要材料多少平方厘米，再根据“1平方分米＝100平方厘米”进行单位换算。
【解答】（34×7＋15×7＋34×15）×2
＝（238＋105＋510）×2
＝853×2
＝1706（平方厘米）
1706平方厘米＝17.06平方分米
答：做一个这样的盒子至少需要材料1706平方厘米，合17.06平方分米。
26．（6分）春游结束后，学校给每名学生准备了一个长方体形状的大礼包，现在需要把这些礼包用丝带绑扎起来，打结处需要15厘米，10个大礼包至少需要多长的丝带？如果用彩纸包装，1个大礼包至少需要多少平方厘米的彩纸？
【答案】1290厘米；1340平方厘米
【分析】观察图形可知，1个礼品盒用的丝带含2个长，2个宽，4个高，再加上打结处用的部分长度，计算出1个礼品盒需要彩带的长度，再乘10，即可解答；
求1个大礼包至少需要彩纸的面积，就是求这个礼品盒的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【解答】（25×2＋12×2＋10×4＋15）×10
＝（50＋24＋40＋15）×10
＝（74＋40＋15）×10
＝（114＋15）×10
＝129×10
＝1290（厘米）
（25×12＋25×10＋12×10）×2
＝（300＋250＋120）×2
＝（550＋120）×2
＝670×2
＝1340（平方厘米）
答：10个大礼包至少需要1290厘米长的丝带，1个大礼包至少需要1340平方厘米的彩纸。
27．（6分）学校要粉刷会议室。已知会议室的长是20米，宽是15米，高是4米，门窗的面积是31.5平方米。如果每平方米需要花7元涂料费，粉刷这个会议室需要多少涂料费？
【答案】3839.5元
【分析】粉刷会议室时，地面不用刷，那么需要粉刷的是会议室的上面、前面、后面、左面、右面。根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这五个面的面积和，再减去门窗的面积，求出需要粉刷的总面积。将需要粉刷的总面积乘7，求出涂料费。
【解答】20×15＋20×4×2＋15×4×2－31.5
＝300＋160＋120－31.5
＝580－31.5
＝548.5（平方米）
548.5×7＝3839.5（元）
答：粉刷这个会议室需要3839.5元涂料费。
28．（6分）“冰立方”是长和宽均为177米，高为31米的长方体建筑。国家游泳中心从“水立方”到“冰立方”的自由转换高度切合了绿色共享的办奥理念，是世界上唯一水上项目和冰上项目均可运行的“双奥”场馆。
小亮想利用一根长56.6厘米的铁丝搭建出一个长6.5厘米、宽6.5厘米的“冰立方”的模型，这个“冰立方”的高为多少厘米？
【答案】1.15厘米
【分析】“冰立方”是一个长方体，根据题意可知，小亮想利用一根长56.6厘米的铁丝做一个长方体，即长方体的棱长和为56.6厘米，已知长方体的长6.5厘米、宽6.5厘米，根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，所以长方体的高＝棱长和÷4－长－宽，由此可计算出这个“冰立方”模型的高。
【解答】56.6÷4－6.5－6.5
＝14.15－6.5－6.5
＝7.65－6.5
＝1.15（厘米）
答：这个“冰立方”模型的高为1.15厘米。
29．（6分）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。
现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？
【答案】4分钟
【分析】根据题意，要将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山完全淹没，那么要向长方体鱼缸内注入14厘米高的水；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出将假石山完全浸没水和假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是需注入水的体积；然后根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位；
已知水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，用注入水的体积除以水的流速，即可求出时间。
【解答】50×30×14
＝1500×14
＝21000（立方厘米）
21000－1000＝20000（立方厘米）
20000立方厘米＝20000毫升
20000÷5000＝4（分钟）
答：至少需要4分钟才能将假石山完全淹没。
30．（6分）（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？
【答案】396立方厘米
【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少120平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；
减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，然后除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2）厘米，得到原来长方体的高；
最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。
【解答】原来长方体的长、宽：
120÷4÷（3＋2）
＝120÷4÷5
＝6（厘米）
原来长方体的高：
3＋2＋6＝11（厘米）
原来长方体的体积：
6×6×11
＝36×11
＝396（立方厘米）
答：原来长方体体积是396立方厘米。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第三单元 长方体和正方体
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】长方体和正方体的认识
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下由2个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。
2、相交与一个顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的12条棱中有4条长、4条宽和4调高。
3、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方形有12条棱，每条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。
4、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。
5、认识长方体和正方体的展开图。
【知识点二】长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。
用字母表示:S=6a2。
【知识点三】长方体和正方体的体积
1、体积单位
（1）物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
棱长是1cm的正方体，体积是1cm3;
棱长是1dm的正方体，体积是1dm3;
棱长是1m的正方体，体积是1m3。
2、体积计算公式
（1）长方体的体积=长×宽×高。
用字母表示:V=abh。
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
用字母表示:V=a3。
【知识点四】体积单位间的进率
体积单位换算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
【知识点五】容积单位
1、容积单位
（1）容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（2）计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。
（3）容积单位的换算:1升=1000毫升
容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
【考点一】长方体和正方体的认识
【典例一】图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添（ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。
【典例二】用一根长为132厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米．
【典例三】心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？
【考点二】长方体和正方体的表面积
【典例一】一根钢管，它的横截面面积是20平方厘米，把它截成4段，表面积增加了（ ）。
A． B． C． D．
【典例二】用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。
【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长5米，宽4米，高2.7米，卧室有一扇门与客厅相通，门高2米，宽1米，在另一面墙上距地面1米处有一个长1.5米，高1米的窗子。现在要对卧室进行如下装修。
（1）给地面铺上的地砖，每块地砖的价格是16元，买地砖需多少元？
（2）从地面向上给四周的墙壁贴上1米高的木板，需木板多少平方米？
【考点三】体积和体积单位
【典例一】一段长为2米的长方体木料，底面是边长3cm的正方形，这段木料的体积是（ ）dm3。
A．600 B．18 C．1.8 D．1800
【分析】
木料的体积＝底面积×高（木料的长度），据此解答。
【详解】
2米＝20分米，3厘米＝0.3分米
0.3×0.3×20
＝0.09×20
＝1.8（立方分米）
故选择：C
【点睛】
此题考查长方体的体积计算，牢记公式，找准对应的底面积和高是解题关键。注意换算单位。
【典例二】如图：在棱长是1分米的正方体中挖下一个棱长4厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。
【典例三】游泳池的长为225米，宽为10米，深为1.6米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？
（3）游泳池的体积是多少立方米？
【考点四】体积单位间的进率
【典例一】一根长方体方木，横截面积是40平方厘米，长6.5米，它的体积是（ ） 立方厘米．
A．260 B．26000 C．0.26
【典例二】有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？
【典例三】一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？
【考点五】容积和容积单位
【典例一】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。
A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米
【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。做这个水箱至少需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁皮厚度不计）
【典例三】要挖一个长9米，宽5米，深3米的蓄水池。
（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？
（2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）这个水池能蓄水多少升？
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图，一根长12dm的长方体木料，把它锯成4个大小不等的长方体后，总表面积比原来增加了9dm2，这根木料的原体积是( )dm3。
2．（2分）包装一个棱长是9cm的正方体礼品盒，实际用纸是表面积的1.2倍，包装好这个礼品盒实际用纸( )平方厘米，这个礼品盒的体积是 ( )立方分米。
3．（2分）一个无盖的正方体蓄水箱，棱长0.8m（厚度忽略不计）。这个蓄水箱的占地面积是( )m2，它的容积是( )m3。
4．（2分）一种长方体饼干盒的长20cm，宽10cm，高5cm，把3个这样的饼干盒包装在一起，至少需要( )cm2的包装纸。（拼接处不计）
5．（2分）如图，小涵把三个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少( )平方厘米。
6．（2分）用2个长5分米，宽3分米，高2分米的长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少( )平方分米，最少减少( )平方分米。
7．（2分）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。至少添加( )个这样的正方体，才能把它补成一个大正方体，大正方体的表面积是( )平方厘米。
8．（2分）一个正方体的六个面上分别标上了数字1～6，下面是从三个不同角度观察到的情况，“5”这一面相对的面是数字( )。
9．（2分）王老师坐飞机从重庆——成都出差，在机场遇到如下规定：自带行李总重量不超过5公斤，行李箱体积不超过20×40×55厘米，若超出航空公司规定的重量或尺寸，需要办理托运并支付额外的行李费用。
王老师的行李箱长37cm，宽24cm，高60cm，行李总重量4.5kg，需要办理托运吗？( )。（选填“需要”或“不需要”）
10．（2分）一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）用长6厘米、宽5厘米、高3厘米做长方体框架，至少要一根长56厘米的铁丝。( )
12．（2分）甲乙两个立体图形（如图），体积不同，但是表面积一样大。( )
13．（2分）把一块体积为50立方厘米球形橡皮泥捏成一个正方体，那么这个正方体的体积也等于50立方厘米。( )
14．（2分）正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的9倍。( )
15．（2分）棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。( )
三、选择题（满分10分）
16．（2分）用四个同样的小长方体拼成不同的大长方体（如下图）。甲体积（ ）乙体积；甲表面积（ ）乙表面积。
A．大于；小于 B．等于；小于 C．等于；大于 D．不确定
17．（2分）琪琪有一个长方体，把它分割成如图的几个小正方体，原来长方体的表面积是162平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．40.5 B．81 C．108 D．162
18．（2分）一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（ ）立方厘米。
A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2）
19．（2分）下列各图中，不能折成正方体的是（ ）。
A．B． C． D．
20．（2分）把一个棱长为1分米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方分米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
四、计算题（满分6分）
21．（6分）计算下列图形的表面积和体积。（单位：厘米）
五、作图题（满分6分）
22．（6分）如图，在一个正方体的上面涂满了颜色，前、后、左、右面涂了颜色，底面不涂颜色，在下面方格纸里画出正方体展开图的涂色部分。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）妈妈给奶奶准备了一件母亲节的礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要50厘米丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？
24．（6分）在气象兴趣小组的一次活动中，老师为每位同学准备了一套“太空气象站”材料套装（如图所示），这个材料套装的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？
25．（6分）普安红茶是黔西南州普安县特产，中国国家地理标志产品。李阿姨购买了一盒普安红茶，盒子近似于一个长34厘米，宽15厘米，高7厘米的长方体。做一个这样的盒子至少需要材料多少平方厘米，合多少平方分米？（接头处忽略不计）
26．（6分）春游结束后，学校给每名学生准备了一个长方体形状的大礼包，现在需要把这些礼包用丝带绑扎起来，打结处需要15厘米，10个大礼包至少需要多长的丝带？如果用彩纸包装，1个大礼包至少需要多少平方厘米的彩纸？
27．（6分）学校要粉刷会议室。已知会议室的长是20米，宽是15米，高是4米，门窗的面积是31.5平方米。如果每平方米需要花7元涂料费，粉刷这个会议室需要多少涂料费？
28．（6分）“冰立方”是长和宽均为177米，高为31米的长方体建筑。国家游泳中心从“水立方”到“冰立方”的自由转换高度切合了绿色共享的办奥理念，是世界上唯一水上项目和冰上项目均可运行的“双奥”场馆。
小亮想利用一根长56.6厘米的铁丝搭建出一个长6.5厘米、宽6.5厘米的“冰立方”的模型，这个“冰立方”的高为多少厘米？
29．（6分）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。
现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？
30．（6分）（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？
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