资源简介

2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第三单元 长方体和正方体的体积
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：四大易错知识点 2
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：误以为表面积和体积之间可以比较大小。 3
易错点二：计算时,不要盲目代入数据，要注意查看单位是否统一。 要充分理解a3 所表示的意义。 3
易错点三：不是任意两个体积单位间的进率都是1000, 要抓住“相邻”两字。 3
易错点四：混淆体积和容积的概念,对于同一个物体来说，两者的大小是不同的。 4
第三部分：十六种易错题型突破 4
突破题型一体积和容积的认识 4
突破题型二体积单位的认识 5
突破题型三容积单位的认识 6
突破题型四体积单位间的换算 7
突破题型五容积单位间的换算 9
突破题型六体积单位及容积单位的选择 10
突破题型七体积（容积）大小的比较 11
突破题型八长方体的体积计算 12
突破题型九正方体的体积计算 13
突破题型十组合体的体积计算 15
突破题型十一体积的等级变形 17
突破题型十二立体图形的切拼 18
突破题型十三体积与容积单位间的换算 20
突破题型十四长方体或正方体的容积 22
突破题型十五测量不规则物体的体积 23
突破题型十六解决体积有关的复杂问题 25
1、混淆体积和表面积。表面积是指各个面的面积之和,体积是物体所占空间的大小。
2、误认为体积只与底面积有关。底面积和高的积相等的长方体,体积才相等。
3、对体积公式理解错误。在计算a3时,不要把a3当作3×a,a3正确的计算应是a×a×a。
4、没有掌握任意两个体积单位之间的进率。熟练掌握任意两个体积单位之间的进率是解决问题的关键。
易错点一：误以为表面积和体积之间可以比较大小。
判断:一个物体的表面积比体积大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】因为体积是指物体所占空间的大小,表面积是物体表面的面积之和，它们是两种不同的概念,所以一个物体的表面积和体积是无法进行大小比较的。
一个物体的体积和表面积有着本质的区别,不能进行大小比较。
【正确答案】错误
易错点二：计算时,不要盲目代入数据，要注意查看单位是否统一。 要充分理解a3 所表示的意义。
一个正方体的木箱，棱长是0.5 m。这个木箱的体积是多少立方分米
【错误答案】0.53=0.125(dm3 )
【错解分析】已知条件中棱长的单位是“m”,而所求问题的单位是“dm”,前后单位不统一,要先把0.5 m换算成5 dm,再计算。在计算a3时,不要把a看作3×a,应是a×a×a,还要注意题中单位是否统一。
【正确答案】0.5 m=5dm 53=125(dm2 )
易错点三：不是任意两个体积单位间的进率都是1000, 要抓住“相邻”两字。
判断:两个体积单位间的进率是1000。 ( )
【错误答案】正确
【错解分析】两个体积单位之间的进率不都是1000,如1m3 = 1000000 cm3。
要熟记相邻的两个体积单位之间的进率是1000。
【正确答案】错误
易错点四：混淆体积和容积的概念,对于同一个物体来说，两者的大小是不同的。
判断:物体的体积就是它的容积。( )
【错误答案】正确
【错解分析】容积指的是物体内部空间的大小,也就是容器所能容纳物体的体积;体积指的是物体自身所占空间的大小。
计算容积时,数据要从物体里面测量;计算体积时,数据要从物体外面测量。
【正确答案】错误
突破题型一体积和容积的认识
1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间（ ），物体小的占据的空间（ ），物体占据空间的大小叫做物体的（ ）。
【答案】大 小 体积
【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。如：一台冰箱比一个电饭煲大，所以冰箱占据的空间大，电饭煲占据的空间小。
【解答】物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间大，物体小的占据的空间小，物体占据空间的大小叫做物体的体积。
2．如下图所示，小球的体积是（ ）立方厘米，大球的体积是（ ）立方厘米。
【答案】2 5
【分析】先看第2个图可知，放入1个大球和1个小球后水溢出了7立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和1个小球的体积和是7立方厘米；再看第3个图可知，放入了1个大球和4个小球后水溢出了13立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和4个小球的体积和是13立方厘米，那么3个小球的体积就是（13－7）立方厘米，再用除法求出1个小球的体积，最后用7立方厘米减去1个小球的体积求出1个大球的体积。
【解答】13－7＝6（立方厘米）
6÷（4－1）
＝6÷3
＝2（立方厘米）
7－2＝5（立方厘米）
小球的体积是2立方厘米，大球的体积是5立方厘米。
【点评】解题的关键是分析出溢出水的体积就是放入球的体积。
3．容器所能容纳的（ ），通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装的（ ）就是瓶子的容积。
【答案】物体的体积 水的体积
【解答】由容积的意义可知，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装水的体积就是瓶子的容积。
突破题型二体积单位的认识
4．常用的体积单位有立方米、（ ）、立方厘米；（ ）的体积大约就是1立方米。
【答案】立方分米 一个讲桌
【分析】物体所占空间的大小就是体积，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米；一粒花生米的体积约1立方厘米，一个粉笔盒的体积约1立方分米，一个讲桌的体积约1立方米；据此解答即可。
【解答】由分析可知：
常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米；一个讲桌的体积大约就是1立方米。
5．下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，请将它们的体积填在（ ）里。
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】5cm3 4cm3 3cm3 6cm3
【分析】棱长1cm正方体，体积是1cm3，分别数出小正方体的个数，有几个小正方体，体积就是几立方厘米，据此填空。
【解答】1×1×1＝1（cm3）
如图所示，正方体的个数分别是：5个、4个、3个、6个，所以体积依次是：5cm3、4cm3、3cm3、6cm3。
5cm3 4cm3 3cm3 6cm3
6．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。
【答案】①④ ②③
【分析】1cm3相当于棱长为1cm的正方体体积大小，根据实际生活中判断得出答案。
【解答】下面物体中体积比1cm3小的有①黄豆、④大米，比1cm3大的有②草莓、③乒乓球。
【点评】本题主要考查的是体积单位的应用，解题的关键是熟练掌握体积单位的大小，进而得出答案。
突破题型三容积单位的认识
7．一瓶儿童止咳糖浆的规格和用法用量如下：
【规格】每瓶120毫升；
【用法用量】口服，每日2次。
7岁以上儿童：每次15毫升；3～7岁儿童：每次10毫升。
这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用（ ）天。
【答案】4
【分析】根据题意可知，一个8岁儿童每次服用15毫升，每日2次，用每次服用的量乘每日服用的次数，求出8岁儿童每日服用止咳糖浆的量；再用这瓶儿童止咳糖浆的总量除以8岁儿童每日的服用量，即可求出这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用的天数。
【解答】120÷（15×2）
＝120÷30
＝4（天）
这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用4天。
8．在括号里填上合适的容积单位。

一个电饭煲的容积 一瓶橙汁的容积 一个集装箱的容积
约是10（ ）。 约是450（ ）。 约是40（ ）。
【答案】升/L 毫升/mL 立方米/m3
【分析】根据生活经验、数据大小及对单位的认识可知：计量一个电饭煲的容积用“升”作单位，计量一瓶橙汁的容积用“毫升”作单位，计量一个集装箱的容积用“立方米”作单位；据此解答。
【解答】
9．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位）
【答案】升/L 毫升/mL
【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大约是1升，毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
【解答】根据实际情况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
突破题型四体积单位间的换算
10．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
【答案】0.729
【分析】根据题意，将一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积，最后把结果根据1立方分米＝1000立方厘米换算成立方分米为单位即可。
【解答】9×9×9
＝81×9
＝729（立方厘米）
729立方厘米＝0.729立方分米
这个正方体的体积是0.729立方分米。
11．8立方米＝（ ）立方分米 2800立方厘米＝（ ）立方分米
【答案】8000 2.8
【分析】①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率；
②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。
【解答】①8×1000＝8000（立方分米）
②2800÷1000＝2.8（立方分米）
【点评】本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。
12．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为（ ）。
【答案】252
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这款空调外机的体积，也就是外机占据的空间，即可解答，注意单位名数的换算。
【解答】90×40×70
＝3600×70
＝252000（cm3）
252000cm3＝252dm3
某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为252dm3。
突破题型五容积单位间的换算
13．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。
【答案】6.25 6.05
【分析】根据进率：1时＝60分，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。
【解答】（1）15÷60＝0.25（时）
6＋0.25＝6.25（时）
6小时15分＝6.25时
（2）50÷1000＝0.05（升）
6＋0.05＝6.05（升）
6升50毫升＝6.05升
14．将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是（ ）L。
【答案】1
【分析】将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，那么这个容器的容量大约是500mL的2倍，用乘法计算，即（mL）。再根据1L＝1000 mL，把1000 mL换算成以“L”为单位的数即可。
【解答】（mL）
1000mL＝1L
将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是1L。
15．把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（ ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（ ）杯。
【答案】2 4
【分析】根据题意，先把1升换算成毫升作单位的数，再用1000毫升除以500毫升，即可求出可以倒满几瓶；用1000毫升除以250毫升，即可求出可以倒满几杯。据此列式解答即可。
【解答】1升＝1000毫升
1000÷500＝2（瓶）
1000÷250＝4（杯）
把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（ 2 ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（ 4 ）杯。
突破题型六体积单位及容积单位的选择
16．填上合适的单位。
一块橡皮体积大约是5（ ）；一个雪碧瓶的容积大约是1.5（ ）。
【答案】立方厘米/cm3 升/L
【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升。据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。
【解答】一块橡皮体积大约是5立方厘米；一个雪碧瓶的容积大约是1.5升。
17．填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4（ ），一台电冰箱的容积是540（ ）。
【答案】平方米/m2 升/L
【分析】边长1米的正方形，面积是1平方米，大约是1个家庭餐桌面的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升，据此根据面积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。
【解答】教室中黑板的面积约是4平方米，一台电冰箱的容积是540升。
18．在下面的括号里填上合适的单位名称。
小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300（ ），他们买门票共花了600（ ）钱，动物园里的长颈鹿高约6（ ），大象重约5（ ），游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550（ ）的矿泉水。
【答案】公顷/h 元 米/m 吨/t 毫升/mL
【分析】计算较大的土地面积比如省市、海洋、国家面积用平方千米作单位，计算土地面积常用平方米（教室大小）和公顷（公园、广场大小）作单位；表示货币的单位有元、角、分，购买很便宜的物品用分作单位，其次用角作单位，一般的物品用元作单位；表示长度的单位一般有千米、米，分米、厘米、毫米，表述很长的长度用千米作单位，一般用米作单位，描述长颈鹿的高用米作单位；表示很重的重量用吨作单位，一般用千克作单位，表示大象的重量用吨作单位；表示容积的单位一般有升和毫升，1升＝1000毫升，矿泉水的容积一般用毫升作单位。
【解答】小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300公顷，他们买门票共花了600元钱，动物园里的长颈鹿高约6米，大象重约5吨；游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550毫升的矿泉水。
突破题型七体积（容积）大小的比较
19．把你的拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积（ ）。
A．小于10毫升 B．小于1升 C．等于1升 D．大于1升
【答案】B
【分析】根据题意，溢出来的水的体积等于拳头的体积；根据实际情况，小朋友的拳头的体积小于1立方分米，1立方分米＝1升，据此解答即可。
【解答】由分析可知，拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积小于1立方分米，即小于1升。
故答案为：B
【点评】知道溢出来的水的体积等于拳头的体积是解答本题的关键。
20．观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（ ）。

A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定
【答案】B
【分析】水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。
【解答】放入小球水面升高：9.5－8＝1.5
放入珊瑚水面升高：12－9.5＝2.5
2.5＞1.5，珊瑚大。
故答案为：B
【点评】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行分析。
21．一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积（ ）40升。
A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
【答案】A
【分析】容积是从油箱的里面进行测量的，体积是从油箱的外面进行测量的，油箱是有厚度的，所以油箱的体积大于容积。据此选择即可。
【解答】由分析可知：
一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积大于40升。
故答案为：A
【点评】本题考查体积和容积，明确体积和容积的定义是解题的关键。
突破题型八长方体的体积计算
22．计算如图长方体的表面积和体积。
【答案】118dm2；84dm3
【分析】已知长方体的长是6dm、宽是4dm、高是3.5dm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出它的表面积和体积。
【解答】（6×4＋6×3.5＋4×3.5）×2
＝（24＋21＋14）×2
＝59×2
＝118（dm2）
6×4×3.5
＝24×3.5
＝84（dm3）
长方体的表面积是118dm2，体积是84dm3。
23．计算下面长方体的体积。
【答案】320m3
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。
【解答】16×4×5＝320（m3）
长方体的体积是320m3。
24．计算长方体的表面积和体积。（单位：分米）
【答案】98平方分米；60立方分米
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。
【解答】（6×2.5＋6×4＋2.5×4）×2
＝（15＋24＋10）×2
＝49×2
＝98（平方分米）
6×2.5×4＝60（立方分米）
长方体的表面积和体积分别是98平方分米、60立方分米。
突破题型九正方体的体积计算
25．求下面正方体、长方体表面积和体积。
【答案】正方体：表面积：96平方分米；体积：64立方分米
长方体：表面积：368平方米；体积：64立方厘米
【分析】第一个图形：根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可求出正方体表面积、体积。
第二个图形：根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【解答】正方体表面积：
4×4×6
＝16×6
＝96（平方分米）
正方体体积：
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
长方体表面积：
（6×4＋6×16＋4×16）×2
＝（24＋96＋64）×2
＝（120＋64）×2
＝184×2
＝368（平方厘米）
长方体体积：
6×4×16
＝24×16
＝384（平方厘米）
正方体表面积是96平方分米，体积是64立方分米；长方体表面积：368平方厘米，体积384立方厘米。
26．计算下面图形的体积。
【答案】60cm3；64cm3
【分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出长方体的体积；
（2）根据正方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出正方体的体积。
【解答】（1）5×3×4
＝15×4
＝60（cm3）
长方体的体积是60cm3。
（2）16×4＝64（cm3）
正方体的体积是64cm3。
27．计算下面图形的表面积和体积。
【答案】294cm2；343cm3
【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。
【解答】7×7×6＝294（cm2）
7×7×7＝343（cm3）
这个正方体的表面积是294cm2，体积是343cm3。
突破题型十组合体的体积计算
28．求下列组合图形的体积。（单位：cm）
【答案】27cm3；232cm3
【分析】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可；
右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。
【解答】5×3×1＋2×2×3
＝15＋4×3
＝15＋12
＝27（cm3）
8×6×5－2×2×2
＝48×5－4×2
＝240－8
＝232（cm3）
左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。
29．计算下列图形的体积。

【答案】100cm3；848dm3
【分析】左图根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可；
右图＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。
【解答】25×4＝100（cm3）
15×8×7＋23
＝120×7＋8
＝840＋8
＝848（dm3）
左图的体积是100cm3，右图的体积是848dm3。
30．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）
【答案】3750cm2；13500cm3
【分析】根据对图的观察，该组合图形的表面积为上面长方体的表面积加上下面长方体的表面积，再减去它们的接触面，即两个长方形的面积，该长方形长为20cm，宽为15cm；
该组合图形的体积为上面长方体的体积加上下面长方体的体积；
根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体体积公式：V＝abh，长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此将数据代入计算即可。
【解答】由分析可得：
（20×15＋20×15＋15×15）×2＋（30×20＋30×15＋15×20）×2－15×20×2
＝（300＋300＋225）×2＋（600＋450＋300）×2－300×2
＝825×2＋1350×2－600
＝1650＋2700－600
＝4350－600
＝3750（cm2）
15×15×20＋30×20×15
＝225×20＋600×15
＝4500＋9000
＝13500（cm3）
所以该组合图形表面积为3750cm2；体积为13500cm3。
突破题型十一体积的等级变形
31．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？
【答案】16厘米
【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方体的高。
【解答】8×8×8÷32
＝512÷32
＝16（厘米）
答：这个长方体的高是16厘米。
32．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？
【答案】大约2.66分米
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×5×4即可求出水的体积，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变，根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积，进而用除法求出现在的高度。
【解答】8×5×4＝160（立方分米）
8×5＝40（平方分米）
5×4＝20（平方分米）
160÷（40＋20）
＝160÷60
≈2.66（分米）
答：水面高大约2.66分米。
【点评】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题的关键。
33．有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长16厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？
【答案】1600厘米
【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。
【解答】（立方厘米）
512000÷（16×20）
=512000÷320
=1600（厘米）
答：这个长方体的高是1600厘米。
突破题型十二立体图形的切拼
34．有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？
【答案】375立方厘米
【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。
【解答】小正方体一个面的面积是：
（平方厘米）
小正方体的棱长：
因为，所以小正方体的棱长是5厘米；
长方体体积为：
（立方厘米）
答：原木料的体积是375立方厘米。
【点评】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题。
35．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？
【答案】0.6立方米
【分析】将左右侧面看作长方体的上下底面，则长3米，即为长方体的高是3米。长方体的体积＝底面积×高＝截面面积×高。锯开后增加的表面积是2个截面的面积。代入数据即可求出长方体体积。
【解答】截面面积为40÷2＝20（平方分米）
3米＝30分米
其体积为30×20＝600（立方分米）
600立方分米＝0.6立方米
答：这根木材原来的体积是0.6立方米。
36．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？
【答案】158平方分米
【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米）
如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔
如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）；
然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。
【解答】由分析可知：
宽×高：60÷4＝15（平方分米）
长×高：72÷3＝24（平方分米）
长×宽：80÷2＝40（平方分米）
（15＋24＋40）×2
＝（39＋40）×2
＝79×2
＝158（平方分米）
答：原来长方体的表面积是158平方分米。
突破题型十三体积与容积单位间的换算
37．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？
【答案】24升
【分析】求缸里的水会溢出多少，就是求正方体铁块的体积比长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积多多少，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出正方体铁块的体积和长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，再用正方体铁块的体积减去长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，求出缸里的水溢出多少立方分米，再根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升即可解答。
【解答】4×4×4－8×5×（5－4）
＝16×4－40×1
＝64－40
＝24（立方分米）
24立方分米＝24升
答：缸里的水会溢出24升。
38．暑假期间玲玲一家准备到西藏自驾游，西昌到西藏拉萨全程两千多千米。玲玲家的越野车油箱从里面量长1米，宽0.4米，高0.2米，油价为7.86元/升，加满一箱油要用多少钱？
【答案】628.8元
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出油箱的容积，进而根据1立方米＝1000升换算成升，再根据单价×数量＝总价，用油箱的升数乘7.86即可求出加满这箱油要多少钱。
【解答】1×0.4×0.2＝0.08（立方米）
0.08立方米＝80升
80×7.86＝628.8（元）
答：加满一箱油要用628.8元。
39．一辆小汽车的油箱从里面量是一个棱长为5分米的正方体，这个油箱最多可以装多少千克汽油？（每升汽油重0.75千克）
【答案】93.75千克
【分析】根据正方体容积公式：容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出小汽车的油箱的容积，再用油箱的容积×0.75，即可解答，注意单位名数的换算。
【解答】5×5×5
＝25×5
＝125（立方分米）
125立方分米＝125升
125×0.75＝93.75（千克）
答：这个油箱最多可以装93.75千克汽油。
突破题型十四长方体或正方体的容积
40．殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？
【答案】864立方米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出一个水池的容积，再乘2即可，注意统一单位。
【解答】20厘米＝0.2米
90×24×0.2×2
＝432×2
＝864（立方米）
答：需要注入864立方米的水。
41．一个长方体包装盒，从里面量长25厘米，宽18厘米，体积为8550立方厘米。爸爸想用它包装一件长22厘米、宽14厘米、高16厘米的玻璃器皿，是否可以装得下？
【答案】可以
【分析】根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，已知体积和长、宽，可计算求出长方体包装盒的高，再将玻璃器皿的长与包装盒的长、宽和宽、高和高相比较，可得出答案。
【解答】长方体包装盒的高为：8550÷25÷18＝19（厘米）。
已知玻璃器皿长22厘米、宽14厘米、高16厘米，长方体包装盒的长25厘米、宽18厘米、高19厘米；则22＜25，14＜18，16＜19，玻璃器皿的三边都比包装盒短，则可以装得下。
答：长方体包装盒可以装下这个玻璃器皿。
42．一个长方体的游泳池，长为26米，宽为21米，深为1.6米。它的占地面积是多少平方米？如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？这个游泳池最多能蓄水多少升？
【答案】546平方米；696.4平方米；873600升
【分析】根据题意可知，游泳池的占地面积＝长×宽，贴瓷砖的面积相当于无盖的长方体的表面积，无盖的长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，游泳池的体积（容积）＝长×宽×高，据此代入数据解答；根据1立方米＝1000升，要将结果换算成升。
【解答】26×21＝546（平方米）
26×21＋26×1.6×2＋21×1.6×2
＝546＋83.2＋67.2
＝696.4（平方米）
26×21×1.6＝873.6（立方米）
873.6立方米＝873600升
答：游泳池的占地面积是546平方米；如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要696.4平方米的瓷砖；这个游泳池最多能蓄水873600升。
突破题型十五测量不规则物体的体积
43．做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。
（1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？
（2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出）
【答案】（1）1.11平方米
（2）3立方分米
【分析】（1）求做这个鱼缸至少需要多少平方米玻璃就是求除上底面之外的其他5个面的面积，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2解答即可；
（2）根据“不规则物体的体积＝鱼缸底面积×水面上升的高度”解答即可。
【解答】（1）5×3＋3×6×2＋5×6×2
＝15＋18×2＋30×2
＝15＋36＋60
＝111（平方分米）
111平方分米＝1.11平方米
答：制作这个鱼缸至少需要1.11平方米的玻璃。
（2）2厘米＝0.2分米
5×3×0.2
＝15×0.2
＝3（立方分米）
答：这块假山石的体积是3立方分米。
44．明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？
【答案】7800立方厘米
【分析】这个亚当牛尊工艺品的体积等于上升的这部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体容器的底面积乘水上升的高度，计算出上升这部分水的体积，也就是这个亚当牛尊工艺品的体积。
【解答】65×40×（15－12）
＝2600×3
＝7800（立方厘米）
答：亚当牛尊工艺品的体积是7800立方厘米。
45．笑笑、乐乐、洛洛和阳阳四人学习了有趣的测量后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行的实验步骤如下：
①笑笑准备了一个长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸；
②乐乐往缸里倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口5厘米；
③洛洛把一个红薯完全浸没入水中，此时水面高度是14立方厘米；
④阳阳把红薯取出，这时水面高度是10厘米。
你能根据以上信息，计算这个红薯的体积是多少吗？
【答案】256立方厘米
【分析】红薯的体积等于红薯取出前后水变化的体积，水的体积相当于长8厘米、宽为8厘米，高为（14－10）厘米的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。
【解答】8×8×（14－10）
＝64×4
＝256（立方厘米）
答：红薯的体积是256立方厘米。
突破题型十六解决体积有关的复杂问题
46．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？
【答案】20立方厘米
【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。
【解答】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2
＝27－9＋2
＝20（立方厘米）
答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。
【点评】在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会减少，外表面减少，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的情况。
47．小明学习了体积这个单元，他想做这样一个实验一个长方体的玻璃缸，长5分米，宽3分米，高3分米，水深2分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块（如下图）他在想：缸里的水会溢出来吗？请你帮他找到答案。
（1）铁块的体积是多少？
（2）缸里的水会溢出来吗？请你说明理由（可列式说明）。
【答案】（1）27立方分米
（2）会；理由见详解
【分析】（1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出铁块的体积即可；
（2）根据题意，要想知道把正方体铁块放入玻璃缸中，水会不会溢出， 也就是把玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积进行比较，如果铁块的体积小于或等于玻璃缸无水部分的体积，说明水不会溢出，如果铁块的体积大于玻璃缸无水部分的体积，说明水会溢出，据此解答即可。
【解答】（1）3×3×3＝27（立方分米）；
答：铁块的体积是27立方分米；
（2）5×3×（3－2）
＝15×1
＝15（立方分米）；
15＜27；
玻璃缸无水部分的体积小于正方体铁块的体积，所以缸里的水会溢出来。
【点评】明确“水会不会溢出，就是比较玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积”是解答本题的关键。
48．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。
（1）画出示意图并标注条件中的数据。
（2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？
（3）原大正方体的体积是多少cm3？
【答案】（1）见详解
（2）长2cm，宽6cm，高6cm
（3）216cm3
【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一）
（2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长；
（3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【解答】（1）如图：
（答案不唯一）
（2）144÷4＝36（cm2）
36＝6×6
所以大正方体的棱长是6cm。
小长方体的长是：6÷3＝2（cm）
小长方体的宽和高都是6cm。
答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。
（3）6×6×6
＝36×6
＝216（cm3）
答：原大正方体的体积是216cm3。
【点评】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第三单元 长方体和正方体的体积
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：四大易错知识点 2
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：误以为表面积和体积之间可以比较大小。 3
易错点二：计算时,不要盲目代入数据，要注意查看单位是否统一。 要充分理解a3 所表示的意义。 3
易错点三：不是任意两个体积单位间的进率都是1000, 要抓住“相邻”两字。 4
易错点四：混淆体积和容积的概念,对于同一个物体来说，两者的大小是不同的。 4
第三部分：十六种易错题型突破 4
突破题型一体积和容积的认识 4
突破题型二体积单位的认识 5
突破题型三容积单位的认识 5
突破题型四体积单位间的换算 6
突破题型五容积单位间的换算 7
突破题型六体积单位及容积单位的选择 7
突破题型七体积（容积）大小的比较 8
突破题型八长方体的体积计算 9
突破题型九正方体的体积计算 9
突破题型十组合体的体积计算 10
突破题型十一体积的等级变形 11
突破题型十二立体图形的切拼 12
突破题型十三体积与容积单位间的换算 13
突破题型十四长方体或正方体的容积 14
突破题型十五测量不规则物体的体积 15
突破题型十六解决体积有关的复杂问题 16
1、混淆体积和表面积。表面积是指各个面的面积之和,体积是物体所占空间的大小。
2、误认为体积只与底面积有关。底面积和高的积相等的长方体,体积才相等。
3、对体积公式理解错误。在计算a3时,不要把a3当作3×a,a3正确的计算应是a×a×a。
4、没有掌握任意两个体积单位之间的进率。熟练掌握任意两个体积单位之间的进率是解决问题的关键。
易错点一：误以为表面积和体积之间可以比较大小。
判断:一个物体的表面积比体积大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】因为体积是指物体所占空间的大小,表面积是物体表面的面积之和，它们是两种不同的概念,所以一个物体的表面积和体积是无法进行大小比较的。
一个物体的体积和表面积有着本质的区别,不能进行大小比较。
【正确答案】错误
易错点二：计算时,不要盲目代入数据，要注意查看单位是否统一。 要充分理解a3 所表示的意义。
一个正方体的木箱，棱长是0.5 m。这个木箱的体积是多少立方分米
【错误答案】0.53=0.125(dm3 )
【错解分析】已知条件中棱长的单位是“m”,而所求问题的单位是“dm”,前后单位不统一,要先把0.5 m换算成5 dm,再计算。在计算a3时,不要把a看作3×a,应是a×a×a,还要注意题中单位是否统一。
【正确答案】0.5 m=5dm 53=125(dm2 )
易错点三：不是任意两个体积单位间的进率都是1000, 要抓住“相邻”两字。
判断:两个体积单位间的进率是1000。 ( )
【错误答案】正确
【错解分析】两个体积单位之间的进率不都是1000,如1m3 = 1000000 cm3。
要熟记相邻的两个体积单位之间的进率是1000。
【正确答案】错误
易错点四：混淆体积和容积的概念,对于同一个物体来说，两者的大小是不同的。
判断:物体的体积就是它的容积。( )
【错误答案】正确
【错解分析】容积指的是物体内部空间的大小,也就是容器所能容纳物体的体积;体积指的是物体自身所占空间的大小。
计算容积时,数据要从物体里面测量;计算体积时,数据要从物体外面测量。
【正确答案】错误
突破题型一体积和容积的认识
1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间（ ），物体小的占据的空间（ ），物体占据空间的大小叫做物体的（ ）。
2．如下图所示，小球的体积是（ ）立方厘米，大球的体积是（ ）立方厘米。
3．容器所能容纳的（ ），通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装的（ ）就是瓶子的容积。
突破题型二体积单位的认识
4．常用的体积单位有立方米、（ ）、立方厘米；（ ）的体积大约就是1立方米。
5．下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，请将它们的体积填在（ ）里。
（ ） （ ） （ ） （ ）
6．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。
突破题型三容积单位的认识
7．一瓶儿童止咳糖浆的规格和用法用量如下：
【规格】每瓶120毫升；
【用法用量】口服，每日2次。
7岁以上儿童：每次15毫升；3～7岁儿童：每次10毫升。
这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用（ ）天。
8．在括号里填上合适的容积单位。

一个电饭煲的容积 一瓶橙汁的容积 一个集装箱的容积
约是10（ ）。 约是450（ ）。 约是40（ ）。
9．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位）
突破题型四体积单位间的换算
10．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
11．8立方米＝（ ）立方分米 2800立方厘米＝（ ）立方分米
12．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为（ ）。
突破题型五容积单位间的换算
13．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。
14．将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是（ ）L。
15．把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（ ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（ ）杯。
突破题型六体积单位及容积单位的选择
16．填上合适的单位。
一块橡皮体积大约是5（ ）；一个雪碧瓶的容积大约是1.5（ ）。
17．填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4（ ），一台电冰箱的容积是540（ ）。
18．在下面的括号里填上合适的单位名称。
小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300（ ），他们买门票共花了600（ ）钱，动物园里的长颈鹿高约6（ ），大象重约5（ ），游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550（ ）的矿泉水。
突破题型七体积（容积）大小的比较
19．把你的拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积（ ）。
A．小于10毫升 B．小于1升 C．等于1升 D．大于1升
20．观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（ ）。

A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定
21．一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积（ ）40升。
A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
突破题型八长方体的体积计算
22．计算如图长方体的表面积和体积。
23．计算下面长方体的体积。
24．计算长方体的表面积和体积。（单位：分米）
突破题型九正方体的体积计算
25．求下面正方体、长方体表面积和体积。
26．计算下面图形的体积。
27．计算下面图形的表面积和体积。
突破题型十组合体的体积计算
28．求下列组合图形的体积。（单位：cm）
29．计算下列图形的体积。

30．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）
突破题型十一体积的等级变形
31．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？
32．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？
33．有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长16厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？
突破题型十二立体图形的切拼
34．有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？
35．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？
36．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？
突破题型十三体积与容积单位间的换算
37．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？
38．暑假期间玲玲一家准备到西藏自驾游，西昌到西藏拉萨全程两千多千米。玲玲家的越野车油箱从里面量长1米，宽0.4米，高0.2米，油价为7.86元/升，加满一箱油要用多少钱？
39．一辆小汽车的油箱从里面量是一个棱长为5分米的正方体，这个油箱最多可以装多少千克汽油？（每升汽油重0.75千克）
突破题型十四长方体或正方体的容积
40．殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？
41．一个长方体包装盒，从里面量长25厘米，宽18厘米，体积为8550立方厘米。爸爸想用它包装一件长22厘米、宽14厘米、高16厘米的玻璃器皿，是否可以装得下？
42．一个长方体的游泳池，长为26米，宽为21米，深为1.6米。它的占地面积是多少平方米？如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？这个游泳池最多能蓄水多少升？
突破题型十五测量不规则物体的体积
43．做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。
（1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？
（2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出）
44．明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？
45．笑笑、乐乐、洛洛和阳阳四人学习了有趣的测量后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行的实验步骤如下：
①笑笑准备了一个长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸；
②乐乐往缸里倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口5厘米；
③洛洛把一个红薯完全浸没入水中，此时水面高度是14立方厘米；
④阳阳把红薯取出，这时水面高度是10厘米。
你能根据以上信息，计算这个红薯的体积是多少吗？
突破题型十六解决体积有关的复杂问题
46．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？
47．小明学习了体积这个单元，他想做这样一个实验一个长方体的玻璃缸，长5分米，宽3分米，高3分米，水深2分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块（如下图）他在想：缸里的水会溢出来吗？请你帮他找到答案。
（1）铁块的体积是多少？
（2）缸里的水会溢出来吗？请你说明理由（可列式说明）。
48．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。
（1）画出示意图并标注条件中的数据。
（2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？
（3）原大正方体的体积是多少cm3？
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