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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第八单元 数学广角—找次品
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】利用天平平衡原理找次品
1、在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量,利用天平平衡的原理找出次品。
2、利用直观流程图表示数学思维的过程既清晰,又简明,这类方法应该注意掌握。
【知识点二】运用优化策略解决问题
1、用天平找次品的最优策略（称量次数最少）:
（1）把待测物品尽量平均分成3份;
（2）不能平均分时,也应使多的一份与少的一份只相差1,这样才能使称量的次数最少
2、“保证”指的是无论在什么情况下，都能把次品找出来。
【考点一】优化策略分析解决找次品问题
【典例一】有6盒饼干，其中5盒质量相同，有1盒少了几块（轻一些）。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出这盒饼干。
【答案】2
【分析】第一次，把6盒饼干平均分成3份，2盒、2盒和2盒，将其中的2份放在天平的两边称，如果一样重，那么另外的1份中有次品；如果一重一轻，那么轻的那份内有次品；
第二次，把有次品的2盒饼干分成1盒和1盒，一重一轻，那么轻的那盒内为次品。
【解答】根据分析得，要找出6盒饼干中那盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒饼干。
【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。
【答案】3
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成2份或3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【解答】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。
第一次称重：先分成两份，天平两边各放5件，次品在较重的5件中；
第二次称重：把5件分成2件，2件和1件，天平两边各放2件，①若天平平衡，则次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那2件中；
第三次称重：把较重的2件分成两份，天平两边各放1件，次品就是较重的1件。
10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称3次才能保证找出次品。
【典例三】在8个零件中找出一个次品（次品轻），其它零件的质量相同。用天平称，至少称( )次就一定能找出。
【答案】2
【分析】把8个零件分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个零件分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那1个。所以至少称2次就一定能找到这个次品。
【解答】
用天平称，至少称2次就一定能找出。
【考点二】用直观流程图表示找次品的过程
【典例一】福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程）
【答案】3次
【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。
【解答】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱；
答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示：
【点评】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。
【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
【答案】3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】
3次；
【点评】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
【答案】3次，过程见详解。
【分析】将这12袋糖果分成4、4、4共3份。
第一次称：将其中两份放在天平两端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。
第二次称：将次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平两端分别放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那两袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。
第三次称：将次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平两端分别放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。
【解答】本题一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果质量更轻，至少要称3次，过程如下图：
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
一、填空题
1．洛阳一家仪器工厂借助天平检测精密零件的质量是否合格。在12个精密零件中有一个不合格零件（不合格零件略轻些）。用天平至少称( )次，就能保证找出那个不合格零件。
【答案】3
【分析】把12个精密零件平均分成3份，每份4个，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4个，如果天平不平衡，次品就在较轻的4个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；再把有次品的4个精密零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个精密零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。至少称3次就能保证找出那个不合格的零件。
【解答】
用天平至少称3次，就能保证找出那个不合格零件。
2．有15个乒乓球，其中14个质量相同，另有一个较重一点。如果用天平称，至少称( )次保证能找出这个较重的乒乓球。
【答案】3
【分析】把15个乒乓球平均分成3份，即（5，5，5）；第一次称，天平两边各放5个，如果天平不平衡，次品就在较重的5个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；把有次品的5个乒乓球分成3份，即（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就在较重的2个中；如果天平平衡，次品就是剩下的1个；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个乒乓球成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较重的那一个。所以至少称3次保证能找出这个较重的乒乓球。
【解答】
如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较重的乒乓球。
3．1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称( )次才能保证找出这袋糖果来。
【答案】3
【分析】根据题意，本题和找次品是同类型题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将24袋糖果平均分成3份，每份8袋。
第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称；
第二次把有1袋质量不足的糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称；
第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那一袋是质量不足的，如天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出质量不足的糖果的规律为：2~3个物品，至少称1次；4~9个物品，至少称2次；10~27个物品，至少称3次；28~81个物品，至少称4次；
24在10~27这个范围内，至少称3次才能保证找出这袋糖果来。
4．用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分( )份称的方法最好。已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
【答案】3/三 10 27
【分析】解决找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分3份称的方法是最好的。因为分3份称找到次品用的次数最少。用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品轻）
要辨别的数目 保证能找出次品需要的次数
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
82~243 5
… …
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，2~3个需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次； 据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【解答】根据分析得，用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分3份称的方法最好。
3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
5．找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差( )。
【答案】3 平均 1
【解答】找次品的最优策略：把待测物品分成3份。尽量平均分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1。
如12可以分成3份（4，4，4）；
不能平均分成3份的，要使每份分得数量尽量相差最少，如11（4，4，3）。
6．如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。
【答案】轻 重 相等/一样
【解答】如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量轻的一边会翘起，质量重的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量相等时，天平才会平衡。
如图：，当左边砝码质量比长方体轻时，左边就会翘起，右边就会下沉；当左边砝码质量等于长方体质量时，天平才会平衡。
7．有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。下图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号( )。
【答案】②
【分析】把5瓶钙片分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把两份2瓶的钙片分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即是少了3片的；若不平衡，第二次：把在天平秤较高端的2瓶钙片，分别放在天平秤两端，在天平秤较高端钙片即为少3片的那瓶，据此即可解答。
【解答】根据分析得，如果只称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，说明在第一次称重的过程中，左右两边的2瓶是平衡的，则未取的那一瓶就是少了3片的那瓶钙片，图②中的实验即可表示。
【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
8．有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。
【答案】⑤
【分析】从右图可以看出，①＋④＝②＋⑥，所以这里面不存在次品，次品就是③或⑤，再看左图，图中的②和④都是正品可以忽略掉，只看③和⑤，③比⑤重，因此，由于次品轻一些，那么⑤号就是次品。
【解答】有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是⑤。
【点评】本题考查了找次品这个数学问题。根据图示进行合理的推断是解答本题的关键。
9．5个零件中有1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。

至少要称（ ）次。
【答案】剩下的没有编号零件；2
【分析】将5个零件拿出4个零件来，分别编号1、2、3、4，先将拿出来的1和2两个零件分别放在天平两端，若不平衡则向上的一端是次品；若平衡则次品不在1、2两个零件中，再将3和4两个零件放在天平两端，若平衡则次品是没有编号的零件，若不平衡则天平向上的一端是次品。据此可得出答案。
【解答】将5个零件拿出4个零件来，分别编号1、2、3、4，先将拿出来的1和2两个零件分别放在天平两端，若不平衡则向上的一端是次品；若平衡则次品不在1、2两个零件中，再将3和4两个零件放在天平两端，若平衡则次品是没有编号的零件，若不平衡则天平向上的一端是次品。
即要找到5个零件中的次品，至少要称2次。
【点评】本题主要考查的是运用天平找次品，解题的关键是熟练掌握天平的使用原理，进而得出答案。
二、选择题
10．有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，下列分组方法正确的是（ ）。
A．一定按（，，）分组
B．一定按（，，）分组
C．一定按（，，）分组
【答案】C
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【解答】有9颗钢珠，其中有一件是次品，比其它略轻。
第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3颗，①若天平平衡，则次品就在剩下的3颗中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3颗中；
第二次称重：把3颗分成（1，1，1），天平两边各放1颗，①若天平平衡，则次品就是剩下的1颗；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1颗。
有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，正确的分组方法是（，，）。
故答案为：C
11．在27个零件中有一个是次品（稍轻一些），用天平至少称（ ）次就一定能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4
【答案】B
【分析】一般情况是把物品平均分成3份，不能平均分的，使多的与少的一份只差1；每次找出有次品的那份，直到找出次品为止，看一共称了几次。据此解答。
【解答】27个分为9，9，9，把两个9放在天平上，平衡，说明剩下的9有次品，不平衡，说明轻的那个有次品；
9分为3，3，3，把两个3放在天平上，平衡，说明剩下的3有次品，不平衡，说明轻的那个有次品；
3分为1，1，1，把两个1放在天平上，平衡，说明剩下的是次品，不平衡，说明轻的那个是次品。
用天平至少称3次就一定能找出这个次品。
故答案为：B
12．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
【答案】A
【分析】观察可知，①②③和④⑤⑥一样重，由题意可知，次品轻一些，可知次品在⑦⑧里面。据此解答。
【解答】据分析可知，8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出次品在⑦⑧里面。
故答案为：A
13．有五袋糖果，其中四袋各重200克，另一袋不是200克，但不知道比200克重还是轻，下图（ ）称一次就找到了那袋不同质量的糖果。
A．B．C．
【答案】B
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右相等，那么说明剩下的那一袋是次品。
故答案为：B
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
14．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，万老师告诉大家：若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（ ）个。
A． B． C．
【答案】B
【分析】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。
【解答】分析可知，当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有个。
故答案为：B
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
三、判断题
15．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )
【答案】√
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
……
【解答】13在10～27个之间，由分析可知，10～27个物品至少称3次。
所以原题说法正确。
故答案为：√
16．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
【答案】×
【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。
【解答】由分析得：
因为①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。
故答案为：×
【点评】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。
17．有5筐梨，其中4筐的质量相等，另外1筐少1kg，只称1次就一定可以找到这筐梨。( )
【答案】×
【分析】把这5筐梨分成三份（2，2，1），在天平的两边各放2筐梨，若平衡，则剩下的那1筐就是要找的那筐梨；若不平衡，则质量少的那筐梨就在上升的那2筐里面，再秤1次即可。
【解答】由分析可知：
至少称2次就一定可以找到这筐梨。所以原题干说法错误。
故答案为：×
【点评】本题考查找次品问题，明确把待测物体尽量平均分成3份是解题的关键。
18．有3把锁，其中两把质量相同，只称一次不可能找到质量不同的那把锁。( )
【答案】×
【分析】任意称2把锁，如果天平平衡，那么剩下未称重的一把是质量不同的那把锁；如果天平不平衡，把天平一端换为剩下的一把锁，此时天平平衡，那么取下的那把是质量不同的那把锁；此时天平不平衡，那么没有取下的那把是质量不同的那把锁；据此解答。
【解答】
所以，有3把锁，其中两把质量相同，只称一次有可能找到质量不同的那把锁。
故答案为：×
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
19．找次品尽量待测物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份与少的一份尽量相差1，才能使称的次数最少。( )
【答案】√
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】找次品尽量待测物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份与少的一份尽量相差1，才能使称的次数最少，说法正确。
故答案为：√
【点评】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
20．有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。( )
【答案】√
【分析】用天平找次品时，所测物品与测试次数有以下关系：在辨别数目是2~3时，保证能找出次品的是1次；4~9时，2次；10~27时，3次；28~81时，4次，依次往后推，据此可得出答案。
【解答】现在用天平称了3次就找到了次品，被检测物品最少有10个，最多是27个。因此，若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗，这些糖果最多有27颗。故本题正确。
【点评】本题主要考查的是找次品的方法，解题时需要掌握用天平找次品的规律，进而求出答案。
四、解答题
21．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。
（2）称一次有可能找出次品吗？为什么？
【答案】（1）3次；过程见详解
（2）有可能；原因见详解
【分析】（1）找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
（2）极端情况下，称一次有可能找出次品，即次品刚好是其中的1袋的情况。
【解答】（1）将21袋分成（7、7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7袋；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。
答：至少称3次可以保证找出次品。
（2）称一次有可能找出次品。天平两端各放10袋，平衡，则剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平两端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。
22．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来）
【答案】3次；方法和过程见详解
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋；
将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中；
将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。
答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。
23．仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？
【答案】3次
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。
答：最少要称3次。
【点评】关键是掌握找次品的最优策略。
24．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？
【答案】82个；81个
【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。
【解答】第一堆零件需要称5次。
＝9×9＋1
＝81＋1
＝82（个）
＝9×9×3
＝81×3
＝243（个）
第一堆零件的个数在82个与243个之间；
第二堆零件需要称4次。
（个）
＝9×9
＝81（个）
则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。
答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。
【点评】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。
25．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
【答案】3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】
3次；
【点评】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
26．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？
【答案】10个；27个
【分析】利用找次品的公式：当物品个数最多为时，n次即可找到这个次品，所以利用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数为（3 ＋1）~3 个，据此解答即可。
【解答】3 ＋1
＝9＋1
＝10（个）；
3 ＝27（个）；
答：这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点评】熟记找次品的公式是解答本题的关键。
27．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
【答案】3次；过程见解析
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端；
第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。
答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。
【点评】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
28．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？
【答案】3次
【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。
【解答】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。
答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。
【点评】本题考查找次品问题，称n次，最多可以分辨3的n次方格物品数目。
29．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。
（1）最好的方法是先把这8副中药分成（ ），然后再称。
（2）请说明这样来分的理由。
（3）请画出称量的流程图。
【答案】（1）（3，3，2）
（2）见详解
（3）见详解
【分析】为了尽可能的缩小次品所在的范围，应该尽量把待测物品平均分成三份，也就是（3，3，2），在天平两边各放3副，若平衡，则次品在剩下的2副中，再称1次即可；若不平衡，次品在较轻的3副中，把这3副分成（1，1，1），在天平两边各放1副，若平衡，剩下的那包就是次品，若不平衡，较轻的那副就是次品。
【解答】（1）最好的方法是先把这8副中药分成（3，3，2），然后再称。
（2）尽可能的缩小次品所在的范围。
（3）流程图如下：
【点评】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第八单元 数学广角—找次品
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】利用天平平衡原理找次品
1、在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量,利用天平平衡的原理找出次品。
2、利用直观流程图表示数学思维的过程既清晰,又简明,这类方法应该注意掌握。
【知识点二】运用优化策略解决问题
1、用天平找次品的最优策略（称量次数最少）:
（1）把待测物品尽量平均分成3份;
（2）不能平均分时,也应使多的一份与少的一份只相差1,这样才能使称量的次数最少
2、“保证”指的是无论在什么情况下，都能把次品找出来。
【考点一】优化策略分析解决找次品问题
【典例一】有6盒饼干，其中5盒质量相同，有1盒少了几块（轻一些）。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出这盒饼干。
【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。
【典例三】在8个零件中找出一个次品（次品轻），其它零件的质量相同。用天平称，至少称( )次就一定能找出。
【考点二】用直观流程图表示找次品的过程
【典例一】福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程）
【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
一、填空题
1．洛阳一家仪器工厂借助天平检测精密零件的质量是否合格。在12个精密零件中有一个不合格零件（不合格零件略轻些）。用天平至少称( )次，就能保证找出那个不合格零件。
2．有15个乒乓球，其中14个质量相同，另有一个较重一点。如果用天平称，至少称( )次保证能找出这个较重的乒乓球。
3．1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称( )次才能保证找出这袋糖果来。
4．用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分( )份称的方法最好。已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
5．找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差( )。
6．如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。
7．有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。下图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号( )。
8．有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。
9．5个零件中有1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。

至少要称（ ）次。
二、选择题
10．有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有1颗比这8颗略轻，如果用一架天平最少称2次，就保证可以找到那颗较轻的钢珠，下列分组方法正确的是（ ）。
A．一定按（，，）分组
B．一定按（，，）分组
C．一定按（，，）分组
11．在27个零件中有一个是次品（稍轻一些），用天平至少称（ ）次就一定能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4
12．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
13．有五袋糖果，其中四袋各重200克，另一袋不是200克，但不知道比200克重还是轻，下图（ ）称一次就找到了那袋不同质量的糖果。
A．B．C．
14．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，万老师告诉大家：若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（ ）个。
A． B． C．
三、判断题
15．有13个乒乓球，其中有12个质量相同，另有一个较轻，如果用天平称，至少称3次保证能找出这个较轻的乒乓球。( )
16．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
17．有5筐梨，其中4筐的质量相等，另外1筐少1kg，只称1次就一定可以找到这筐梨。( )
18．有3把锁，其中两把质量相同，只称一次不可能找到质量不同的那把锁。( )
19．找次品尽量待测物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份与少的一份尽量相差1，才能使称的次数最少。( )
20．有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。( )
四、解答题
21．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。
（2）称一次有可能找出次品吗？为什么？
22．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来）
23．仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？
24．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？
25．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
26．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？
27．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
28．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？
29．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。
（1）最好的方法是先把这8副中药分成（ ），然后再称。
（2）请说明这样来分的理由。
（3）请画出称量的流程图。
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