资源简介

第二章 二元一次方程组
一．二元一次方程的定义
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣y2＝1 B．2x﹣y＝1 C． D．xy﹣1＝0
【解答】解：A．x﹣y2＝1不是二元一次方程；
B．2x﹣y＝1是二元一次方程；
C．不是二元一次方程；
D．xy﹣1＝0不是二元一次方程；
故选：B．
2．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C． D．
【解答】解：∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，
∴，
解得：，
故选：A．
3．已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：A．
4．若（m﹣2）x﹣2y|m﹣1|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m＝　0　 ．
【解答】解：根据题意，得
m﹣2≠0，|m﹣1|＝1，
解得：m＝0．
故答案为：0．
5．方程xm﹣2﹣3y2n+1＝6是关于x，y的二元一次方程，则m+2n的值为 　3　 ．
【解答】解：根据题意，得m﹣2＝1，2n+1＝1，
解得：m＝3，n＝0，
所以m+2n＝3+2×0＝3．
故答案为：3．
二．二元一次方程的解
6．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、将x＝1，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝1+3＝4，右边为4，本选项正确；
B、将x＝2，y＝1代入方程左边得：x﹣3y＝2﹣3＝﹣1，右边为4，本选项错误；
C、将x＝﹣1，y＝﹣2代入方程左边得：x﹣3y＝﹣1+6＝5，右边为4，本选项错误；
D、将x＝4，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝4+3＝7，右边为4，本选项错误．
故选：A．
7．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　）
A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，
∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．
故选：B．
8．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、当x＝0，y时，x﹣2y＝0﹣2×（）＝1，是方程的解；
B、当x＝1，y＝1时，x﹣2y＝1﹣2×1＝﹣1，不是方程的解；
C、当x＝1，y＝0时，x﹣2y＝1﹣2×0＝1，是方程的解；
D、当x＝﹣1，y＝﹣1时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1，是方程的解；
故选：B．
9．关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【解答】解：当x＝0时，y＝7﹣2×0＝7，符合题意；
当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5，符合题意；
当x＝2时，y＝7﹣2×2＝3，符合题意；
当x＝3时，y＝7﹣2×3＝1，符合题意；
当x＝4时，y＝7﹣2×4＝﹣1，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
10．二元一次方程3x+2y＝15在自然数范围内的解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：二元一次方程3x+2y＝15在自然数范围内的解是：，
即二元一次方程3x+2y＝15在自然数范围内的解的个数是3个．
故选：C．
11．已知关于x，y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+2﹣m＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 　　 ．
【解答】解：方程整理得：mx+x+2my﹣y+2﹣m＝0，
整理得：（x+2y﹣1）m+x﹣y+2＝0，
由无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
得到x+2y﹣1＝0，x﹣y+2＝0，
解得：，
故答案为：．
三．由实际问题抽象出二元一次方程组
12．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
列方程组为．
故选：A．
13．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
14．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得．
故选：A．
15．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
16．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
故选：C．
17．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可得，顺水速度＝x+y，逆水速度＝x﹣y，
∴根据所走的路程可列方程组为，
故选：A．
18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为 　　 （列出方程组即可，不求解）．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：
．
故答案为．
四．二元一次方程组的解
19．若是关于x、y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
【解答】解：∵是关于x、y的方程组的解，
∴，
解得，
∴（a+b）（a﹣b）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣4）＝﹣15．
故选：B．
20．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【解答】解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，
再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10，
故选：A．
21．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
①+②得：2x＝14k，即x＝7k，
将x＝7k代入①得：7k+y＝5k，即y＝﹣2k，
将x＝7k，y＝﹣2k代入2x+3y＝6得：14k﹣6k＝6，
解得：k．
故选：B．
22．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
【解答】解：联立得：，
①×5+②×3得：29x＝58，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
代入得：，
解得：，
则原式＝（﹣2+2）2021＝0．
故选：A．
23．方程组的解中x与y的值相等，则k等于（　　）
A．2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：根据题意得：y＝x，
代入方程组得：，
解得：，
故选：B．
24．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程组的解为，
故选：C．
25．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①﹣3＜a≤1；
②当时，x＝y；
③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；
④若x≤1，则y≥2．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【解答】解：
①+②得，x＝3+a，
①﹣②得，y＝﹣2a﹣2，
①由题意得，3+a＞0，a＞﹣3，
﹣2a﹣2≥0，a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1，①不正确；
②3+a＝﹣2a﹣2，a，②正确；
③a＝﹣2时，x+y＝1﹣a＝3，5+a＝3，③正确；
④x≤1时，﹣3＜a≤﹣2，则4＞﹣2a﹣2≥2，④错．
故选：B．
26．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
【解答】解：由方程组，
有y﹣5＝m
∴将上式代入x+m＝4，
得到x+（y﹣5）＝4，
∴x+y＝9．
故选：C．
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是　﹣1　 ．
【解答】解：解方程组得：，
因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
可得：2k+3﹣2﹣k＝0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
28．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　 ．
【解答】解：将方程组变形为，
根据题意，可得：，
解得：．
故答案为：．
29．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，
∴y＝3x，
又因为x，y为正整数，
∴3x＞0，
即：x只能取2或4；
∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，解得
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m；
（3）∵方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，
∴x＝0，
把x＝0代入x﹣2y+mx+5＝0中得：y＝2.5，
∴x＝0，y＝2.5．
30．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，小明由于看错了系数c，因而得到的解为，试求a+b+c的值．
【解答】解：将x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分别代入方程组第一个方程得：，
①+②×2得：a＝4，
将a＝4代入②得：b＝5，
将x＝3，y＝﹣2代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，
则a+b+c＝7．
五．解二元一次方程组
31．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
【解答】解：，
把①代入②得，x﹣2（1﹣x）＝4，
去括号得，x﹣2+2x＝4．
故选：C．
32．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【解答】解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
33．用加减消元法解方程组时，下列结果正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×3﹣②×5
B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×3+②×2
【解答】解：用加减消元法解方程组时，要消去x，可以将①×5﹣②×2．
故选：C．
34．用加减法解方程组时，若要求消去y，则应（　　）
A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①×5+②×3 D．①×5﹣②×3
【解答】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应①×5+②×3，
故选：C．
35．若﹣3xy2m与5x2n﹣3y8的和是单项式，则m、n的值分别是（　　）
A．m＝2，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝4，n＝2 D．m＝2，n＝3
【解答】解：由题意，得，
解得．
故选：C．
36．已知方程组，那么x与y的关系是（　　）
A．4x+2y＝5 B．2x﹣2y＝5 C．x+y＝1 D．5x+7y＝5
【解答】解：，
①+②×2得：5x+5y＝5，
整理得：x+y＝1．
故选：C．
37．已知关于x，y的方程组，甲看错a得到的解为，乙看错了b得到的解为，他们分别把a、b错看成的值为（　　）
A．a＝5，b＝﹣1 B．a＝5，b C．a＝﹣1，b D．a＝﹣1，b＝﹣1
【解答】解：把代入ax+2y＝1得：a﹣4＝1，
解得：a＝5，
把代入x﹣by＝2得：1﹣b＝2，
解得：b＝﹣1，
则把a、b错看成的值为a＝5，b＝﹣1．
故选：A．
38．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，则a2019﹣（）2020的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3
【解答】解：把代入②得：8＝b﹣2，即b＝10，
把代入①得：5a+20＝15，即a＝﹣1，
则原式＝﹣1﹣1＝﹣2．
故选：B．
39．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：，
②﹣①得：2x﹣2y＝﹣2，
则x﹣y＝﹣1，
故选：A．
40．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k＝　﹣1　 ．
【解答】解：∵（a是常数），
∴4x+8y+x﹣3y＝﹣4a+4+4a+6，
即x+y＝2，
∴﹣x﹣y＝﹣2，
故答案为：﹣1．
41．甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是 　　 ．
【解答】解：由题意，将代入2x﹣by＝1中，
2×1﹣2b＝1，解得：b；
将代入ax+y＝2中，
a×1+1＝2，解得：a＝1，
∴原方程组为，
②×2，得：4x﹣y＝2③，
①+③，得：5x＝4，
解得：x，
把x代入①，得y＝2，
解得：y，
∴方程组的解为，
故答案为：．
42．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则原方程组的解是：．
（2），
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
解得：y，
所以方程组的解．
43．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
②×3﹣①，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入②，得9﹣y＝7，解得y＝2，
故方程组的解；
（2）方程组整理得：，
②﹣①，得3y＝﹣3，解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得x+1＝6，解得x＝5，
故方程组的解．
六．二元一次方程组的应用
44．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（　　）
A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm
【解答】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得：，
两式相加得：2a＝150，
解得：a＝75，
故选：B．
45．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
46．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故选：B．
47．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【解答】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
由题意得：，
两式相加得，m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020，
故选：C．
48．如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　）
A．143 B．99 C．44 D．53
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：
，
解得：，
小长方形的面积为5×2＝10，
大长方形的面积为AB×BC＝（3y+x）（x+4y）＝11×13＝143，
空白部分面积为143﹣9×10＝53，
故选：D．
49．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻 12：00 13：00 14：00
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（　　）
A．16 B．25 C．34 D．52
【解答】解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴10x+y＝16．
故选：A．
50．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是　95　 ．
【解答】解：设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，
由题意得，，
解得：，
故这个两位数为95．
故答案为：95．
51．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 　10　 ．
【解答】解：设“△”的质量为x，“□”的质量为y，
由题意得：，
解得：，
∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；
故答案为：10．
52．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？
【解答】解：（1）解分三种情况计算：
①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台．
解得．
②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台．
则，
解得：．
③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台．
则
解得：（不合题意，舍去）；
（2）方案一：25×150+25×200＝8750．
方案二：35×150+15×250＝9000元．
答：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台．
购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．
53．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
54．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得
，
解得．
答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．
（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得
5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，
化简得5a+2b＝20，
即a＝4b，
∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，
∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）．
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．
55．某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【解答】解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种服装40件，购进B种服装20件．
（2）40×100×（1﹣0.9）+20×160×（1﹣0.8）＝1040（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1040元．
七．解三元一次方程组
56．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．
故选：C．
57．下列四组数值中，为方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：，
①+②得：3x+y＝1④，
①+③得：4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：x＝1，
将x＝1代入④得：y＝﹣2，
将x＝1，y＝﹣2代入①得：z＝3，
则方程组的解为．
故选：D．
58．如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7＝0的一个解，那么a值是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，
可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7
故选：C．
59．若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4
【解答】解：①×3+②，得x＝2，
代入①，得y＝﹣1，
把x＝2，y＝﹣1代入方程2x+y﹣m＝0，
得2×2﹣1﹣m＝0，
m＝3．
故选：C．
60．若方程组，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（　　）
A．2：3：1 B．1：2：3 C．1：4：1 D．3：2：1
【解答】解：由，可得，
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故选：A．
(
1
)第二章 二元一次方程组
考点分布
一．二元一次方程的定义
二．二元一次方程的解
三．由实际问题抽象出二元一次方程组
四．二元一次方程组的解
五．解二元一次方程组
六．二元一次方程组的应用
七．解三元一次方程组
一．二元一次方程的定义
知识点梳理：
二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
例题讲解：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣y2＝1 B．2x﹣y＝1 C． D．xy﹣1＝0
2．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C． D．
3．已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
4．若（m﹣2）x﹣2y|m﹣1|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ．
5．方程xm﹣2﹣3y2n+1＝6是关于x，y的二元一次方程，则m+2n的值为 　 　 ．
二．二元一次方程的解
知识点梳理：
二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
例题讲解：
6．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
7．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　）
A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2
8．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
9．关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
10．二元一次方程3x+2y＝15在自然数范围内的解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知关于x，y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+2﹣m＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 　 　 ．
三．由实际问题抽象出二元一次方程组
知识点梳理：
由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
例题讲解：
12．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
13．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
14．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
15．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
17．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为 　 　 （列出方程组即可，不求解）．
四．二元一次方程组的解
知识点梳理：
二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
例题讲解：
19．若是关于x、y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
20．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
21．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
22．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
23．方程组的解中x与y的值相等，则k等于（　　）
A．2 B．1 C．3 D．4
24．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
25．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
①﹣3＜a≤1；
②当时，x＝y；
③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；
④若x≤1，则y≥2．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
26．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是　 　 ．
28．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　 　 ．
29．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
30．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，小明由于看错了系数c，因而得到的解为，试求a+b+c的值．
五．解二元一次方程组
知识点梳理：
解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
例题讲解：
31．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
32．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
33．用加减消元法解方程组时，下列结果正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×3﹣②×5
B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×3+②×2
34．用加减法解方程组时，若要求消去y，则应（　　）
A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①×5+②×3 D．①×5﹣②×3
35．若﹣3xy2m与5x2n﹣3y8的和是单项式，则m、n的值分别是（　　）
A．m＝2，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝4，n＝2 D．m＝2，n＝3
36．已知方程组，那么x与y的关系是（　　）
A．4x+2y＝5 B．2x﹣2y＝5 C．x+y＝1 D．5x+7y＝5
37．已知关于x，y的方程组，甲看错a得到的解为，乙看错了b得到的解为，他们分别把a、b错看成的值为（　　）
A．a＝5，b＝﹣1 B．a＝5，b C．a＝﹣1，b D．a＝﹣1，b＝﹣1
38．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，则a2019﹣（）2020的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3
39．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
40．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k＝　 　 ．
41．甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是 　 　 ．
42．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）； （2）（加减法）．
43．解下列方程组：
（1）； （2）．
六．二元一次方程组的应用
知识点梳理：
二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
例题讲解：
44．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（　　）
A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm
45．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
46．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
47．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
48．如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　）
A．143 B．99 C．44 D．53
49．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻 12：00 13：00 14：00
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（　　）
A．16 B．25 C．34 D．52
50．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是　 　 ．
51．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 　 　 ．
52．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？
53．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
54．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
55．某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
七．解三元一次方程组
知识点梳理：
解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
例题讲解：
56．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
57．下列四组数值中，为方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
58．如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7＝0的一个解，那么a值是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
59．若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4
60．若方程组，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（　　）
A．2：3：1 B．1：2：3 C．1：4：1 D．3：2：1
(
1
)

展开更多......

收起↑