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第三章 整式的乘除
考点分布
一．同底数幂乘法
二．幂的乘方与积的乘方
三．单项式乘单项式
四．单项式乘多项式
五．多项式乘多项式
一．同底数幂乘法
知识点梳理：
同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
例题讲解：
1．计算a3 a2正确的是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
2．若am＝4，an＝6，则am+n＝（　　）
A． B． C．10 D．24
3．若3x＝4，3y＝6，则3x+y的值是（　　）
A．24 B．10 C．3 D．2
4．计算：（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6
5．在等式x2 （﹣x） （　　）＝x11中，括号内的代数式为（　　）
A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
6．若2n×2m＝26，则m+n＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知2x+3y﹣3＝0，则9x 27y＝　 　 ．
8．（1）已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
（2）已知2x+2＝6，求2x+5的值．
9．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M N）＝logaM+logaN．
请解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 　 　 ；
（2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　 ．
二．幂的乘方与积的乘方
知识点梳理：
幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
例题讲解：
10．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　）
A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12
11．已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
12．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
13．42020×（﹣0.25）2021＝　 　 ．
14．计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　 　 ．
15．计算：（﹣2xy2）3＝　 　 ．
16．若x，y均为正整数，且2x+1 4y＝128，则x+y的值为（　　）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
17．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
18．已知a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
19．（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
20．已知：am＝3，an＝5，求：
（1）am+n的值．
（2）a3m+2n的值．
三．单项式乘单项式
知识点梳理：
单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
例题讲解：
21．计算（﹣2x2y3） 3xy2结果正确的是（　　）
A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5
22．在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（　　）
A．﹣y3 ____＝﹣y4 B．2y3 ____＝﹣2y4
C．（﹣2y）3 ____＝﹣8y4 D．（﹣y）12 ____＝﹣3y13
23．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，那么m﹣n＝（　　）
A．﹣11 B．5 C．1 D．﹣1
24．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　）
A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
25．计算：
（1）（﹣2x2y3）2 xy； （2）a﹣2b2 （ab﹣1）．
四．单项式乘多项式
知识点梳理：
单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
例题讲解：
26．计算：x（x2﹣1）＝（　　）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
27．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
28．已知x（x﹣2）＝3，则代数式2x2﹣4x﹣7的值为（　　）
A．6 B．﹣4 C．13 D．﹣1
29．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　）
A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1
30．若﹣x2y＝2，则﹣xy（x5y2﹣x3y+2x）的值为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．0
31．已知x2﹣2＝y，则x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
32．计算： ab＝　 　 ．
33．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 　 　 ．
34．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
35．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
五．多项式乘多项式
知识点梳理：
多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
例题讲解：
36．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
37．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（　　）
A．p＝5，q＝18 B．p＝﹣5，q＝18
C．p＝﹣5，q＝﹣18 D．p＝5，q＝﹣18
38．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为 　 　 ．
39．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式4a﹣2b+c的值为　 　 ．
40．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．（2）计算这道乘法题的正确结果．
41．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　 　 ）＝a3+b3；
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
42．小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）请计算出原题的答案．
(
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)第三章 整式的乘除
一．同底数幂乘法（共9小题）
1．计算a3 a2正确的是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【解答】解：a3 a2＝a3+2＝a5．
故选：B．
2．若am＝4，an＝6，则am+n＝（　　）
A． B． C．10 D．24
【解答】解：∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am an＝4×6＝24，
故选：D．
3．若3x＝4，3y＝6，则3x+y的值是（　　）
A．24 B．10 C．3 D．2
【解答】解：∵3x＝4，3y＝6，
∴3x+y＝3x 3y＝4×6＝24．
故选：A．
4．计算：（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6
【解答】解：（﹣a）2 a4＝a2 a4＝a6．
故选：B．
5．在等式x2 （﹣x） （　　）＝x11中，括号内的代数式为（　　）
A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
【解答】解：x2 （﹣x） （﹣x8）＝x2+1+8＝x11，
故选：D．
6．若2n×2m＝26，则m+n＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵2n×2m＝2n+m＝26，
∴m+n＝6．
故选：D．
7．已知2x+3y﹣3＝0，则9x 27y＝　27　 ．
【解答】解：由2x+3y﹣3＝0，得
2x+3y＝3．
9x 27y＝32x 33y＝32x+3y＝33＝27，
故答案为：27．
8．（1）已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
（2）已知2x+2＝6，求2x+5的值．
【解答】解：（1）∵xm﹣n x2n+1＝x11，ym﹣1 y4﹣n＝y5，
∴xm﹣n+2n+1＝x11，ym﹣1+4﹣n＝y5，
∴，
解得：；
（2）当2x+2＝6时，
2x+5
＝2x+2+3
＝2x+2×23
＝6×8
＝48．
9．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M N）＝logaM+logaN．
请解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 　4＝log381　 ；
（2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　2　 ．
【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log381．
故答案为：4＝log381．
（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴am÷an＝am﹣n．
∴logalogaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣logaN．
∴logalogaM﹣logaN．
（3）原式＝log6（9×8÷2）
＝log636
＝2．
故答案为：2．
二．幂的乘方与积的乘方（共11小题）
10．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　）
A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12
【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，
∴a3mb3n＝a9b15，
∴3m＝9，3n＝15，
∴m＝3，n＝5，
故选：B．
11．已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
【解答】解：102x+3y＝102x 103y＝（10x）2 （10y）3＝m2n3．
故选：D．
12．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故选：D．
13．42020×（﹣0.25）2021＝　　 ．
【解答】解：42020×（﹣0.25）2021
＝42020×（﹣0.25）2020×（）
＝42020×（）2020×（）
＝1
．
故答案为：．
14．计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　﹣0.125　 ．
【解答】解：﹣82005×（﹣0.125）2006，
＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），
＝（8×0.125）2005（﹣0.125），
＝﹣0.125．
15．计算：（﹣2xy2）3＝　﹣8x3y6　 ．
【解答】解：（﹣2xy2）3，
＝（﹣2）3x3（y2）3，
＝﹣8x3y6．
故填﹣8x3y6．
16．若x，y均为正整数，且2x+1 4y＝128，则x+y的值为（　　）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【解答】解：∵2x+1 4y＝2x+1+2y，27＝128，
∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6
∵x，y均为正整数，
∴或
∴x+y＝5或4，
故选：C．
17．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
18．已知a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解答】解：∵a＝（25）11＝3211，b＝（34）11＝8111，c＝（43）11＝6411，
∴b＞c＞a．
故选：C．
19．（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【解答】解：（1）因为2x+5y﹣3＝0，
所以2x+5y＝3，
所以4x 32y＝22x 25y＝22x+5y＝23＝8；
（2）因为2×8x×16＝2×23x×24＝223，
所以1+3x+4＝23，
解得x＝6．
20．已知：am＝3，an＝5，求：
（1）am+n的值．
（2）a3m+2n的值．
【解答】解：（1）原式＝am an＝3×5＝15．
（2）原式＝a3m a2n＝（am）3 （an）2＝33×52＝675．
三．单项式乘单项式（共5小题）
21．计算（﹣2x2y3） 3xy2结果正确的是（　　）
A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5
【解答】解：（﹣2x2y3） 3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5．
故选：B．
22．在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（　　）
A．﹣y3 ____＝﹣y4 B．2y3 ____＝﹣2y4
C．（﹣2y）3 ____＝﹣8y4 D．（﹣y）12 ____＝﹣3y13
【解答】解：2y3 （﹣y）＝﹣2y3+1＝﹣2y4，
故选：B．
23．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，那么m﹣n＝（　　）
A．﹣11 B．5 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵3x2y3 （﹣2xy2）＝mx3yn，
∴﹣6x3y5＝mx3yn．
∴m＝﹣6，n＝5．
∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11．
故选：A．
24．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　）
A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
【解答】解：∵长方形的长为6x2y，宽为3xy，
∴长方形的面积＝6x2y 3xy＝18x3y2，
故选：B．
25．计算：
（1）（﹣2x2y3）2 xy；
（2）a﹣2b2 （ab﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝4x4y6 xy
＝4x5y7：
（2）原式．
四．单项式乘多项式（共10小题）
26．计算：x（x2﹣1）＝（　　）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
【解答】解：x（x2﹣1）＝x3﹣x；
故选：B．
27．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．
28．已知x（x﹣2）＝3，则代数式2x2﹣4x﹣7的值为（　　）
A．6 B．﹣4 C．13 D．﹣1
【解答】解：当x（x﹣2）＝3时，
原式＝2x（x﹣2）﹣7
＝2×3﹣7
＝6﹣7
＝﹣1，
故选：D．
29．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　）
A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1
【解答】解：由题意知，
这个多项式为x2+x﹣1，
∴正确的计算结果为﹣3x+（﹣x2+x﹣1）＝﹣x2﹣2x﹣1．
故选：A．
30．若﹣x2y＝2，则﹣xy（x5y2﹣x3y+2x）的值为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．0
【解答】解：原式＝﹣x6y3+x4y2﹣2x2y，
当﹣x2y＝2时，原式＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝16，
故选：A．
31．已知x2﹣2＝y，则x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【解答】解：∵x2﹣2＝y，
∴x2﹣y＝2，
∴x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）
＝x2﹣2023xy﹣y+2023xy
＝x2﹣y
＝2，
故选：A．
32．计算： ab＝　a2b3﹣a2b2　 ．
【解答】解： ab
ab2 ab﹣2ab ab
a2b3﹣a2b2．
故答案为：a2b3﹣a2b2．
33．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 　﹣3　 ．
【解答】解：∵M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，
∴M N+P
＝（x2﹣ax+3） （﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+ax2﹣3x+x3+3x2+5
＝（a+3）x2﹣3x+5，
∵M N+P的值与x2的取值无关，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
34．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
35．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【解答】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1） （﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2．
五．多项式乘多项式（共7小题）
36．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
37．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（　　）
A．p＝5，q＝18 B．p＝﹣5，q＝18
C．p＝﹣5，q＝﹣18 D．p＝5，q＝﹣18
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）＝x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7p﹣5q）x+7q，
又∵展开式中不含x2与x3项，
∴p﹣5＝0，7﹣5p+q＝0，
解得p＝5，q＝18．
故选：A．
38．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为 　﹣8　 ．
【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次项，
∴8+m＝0，
解得：m＝﹣8．
故答案为﹣8．
39．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式4a﹣2b+c的值为　0　 ．
【解答】解：（x﹣1）（x+2）
＝x2﹣x+2x﹣2
＝x2+x﹣2
＝ax2+bx+c，
则a＝1，b＝1，c＝﹣2．
故原式＝4﹣2﹣2＝0．
故答案为：0．
40．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
41．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　a2﹣ab+b2　 ）＝a3+b3；
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
42．小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）请计算出原题的答案．
【解答】解：（1）∵（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
∴2b﹣3a＝﹣13①，
∵（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
∴2b+a＝﹣1②，
联立方程①②，
可得，
解得：；
（2）（2x+a）（3x+b）＝（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6．
(
1
)第三章 整式的乘除
一．完全平方公式（共18小题）
1．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，
∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，
∴，
∴．
故选：D．
2．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵a2+b2＝7，
∴7+2ab＝9，
∴ab＝1．
故选：B．
3．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝（　　）
A．25 B．22 C．19 D．13
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣2×3＝19，
故选：C．
4．若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　90　 ．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案为：90．
5．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝　38　 ．
【解答】解：∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，
∵36＝m2+n2﹣2，
∴m2+n2＝38，
故答案为38．
6．已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝　5　 ．
【解答】解：∵m2+n2＝7，m+n＝3，
∴（m+n）2＝9，
即m2+2mn+n2＝9，
∴2mn＝9﹣（m2+n2）
＝9﹣7
＝2，
∴（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2
＝m2+n2﹣2mn
＝7﹣2
＝5．
故答案为：5．
7．若m+n＝7，mn＝12，则m2﹣mn+n2的值是（　　）
A．11 B．13 C．37 D．61
【解答】解：m2﹣mn+n2，
＝m2+2mn+n2﹣3mn，
＝（m+n）2﹣3mn，
＝49﹣36，
＝13．
故选：B．
8．已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（　　）
A．8 B．18 C．19 D．25
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝52﹣3×2
＝19．
故选：C．
9．已知：x3，则x2　7　 ．
【解答】解：∵x3，
∴（x）2＝x2+29，
∴x27，
故答案为：7．
10．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
【解答】解：∵a＝5+4b，
∴a﹣4b＝5，
∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．
故选：C．
11．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故选：A．
13．若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣11）
＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+11
＝x2﹣2x+y2﹣6y+11
＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9+1
＝（x﹣1）2+（y﹣3）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣3）2+1≥1，
即A﹣B≥1，
∴A＞B．
故选：A．
14．已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m　39　 ．
【解答】解：由m2﹣6m﹣1＝0得；2m2﹣6m＝1+m2，，
∴2m2﹣6m1+m212＝1+62+2＝39．
故答案为：39．
15．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为 　39　 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为 　5　 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为 　5　 ．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝72﹣2×5
＝49﹣10
＝39；
故答案为：39；
（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，
∴x2+2xy+y2＝49，
即27+2xy＝49，
∴xy＝11，
∴（x﹣y）2
＝x2﹣2xy+y2
＝27﹣2×11
＝27﹣22
＝5；
故答案为：5；
（3）设x﹣2023＝a，
∵x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，
化简整理得：a2＝5，
∴（x﹣2023）2的值为5．
故答案为：5．
16．（1）已知a的值；
（2）已知xy＝9，x﹣y＝3，求x2+3xy+y2的值．
【解答】解：（1）将a3两边同时平方得：，
∴9．
∴7；
（2）将x﹣y＝3两边同时平方得：x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝9+2xy＝9+2×9＝27．
∴x2+3xy+y2＝27+3×9＝54．
17．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴，即．
∴32+2＝11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
【解答】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，
整理得：a2﹣2a﹣1＝0
∴，
∴；
（2）解：的倒数为，
∵，
∴．
18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴xy[（x+y）2﹣（x﹣y）2][25﹣9]＝4；
x2+y2[（x+y）2+（x﹣y）2][25+9]＝17．
二．完全平方公式的几何背景（共7小题）
19．如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）
A．a2﹣b2＝a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积＝4个小图形的面积和＝a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：C．
20．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　13　 ．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故答案为：13．
22．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 　　 ．
【解答】解：设（1）中长方形的长为a，宽为b，（2）中长方形的长为y，宽为x．
则AD＝3b+2y＝a+x．
第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．
第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．
∵两种方式周长相同．
∴2a+2DC＝2DC+4y．
∴a＝2y．
∵3b+2y＝a+x．
∴x＝3b．
∴S1：S2＝ab：xy＝2y：（xy）．
故答案为：．
23．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为　（4a+16）　 cm．（用含a的代数式表示）
【解答】解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）﹣（a+1）＝3，
则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝（4a+16）cm．
故答案为（4a+16）．
24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝　±3　 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，
∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，
∴2a﹣b＝±±3，
故答案为：±3；
②根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，
（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分mn，
答：阴影部分的面积为．
25．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：　（a+b）2　 ，
方法2：　a2+b2+2ab　 ；
（2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值；
②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值．
【解答】解：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①∵a+b＝7，a2+b2＝33，且 （a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴49＝33+2ab，
解得：ab＝8；
②设2023﹣a＝m，a﹣2021＝n，可得 m2+n2＝8，m+n＝2023﹣a+a﹣2021＝2，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn，即4＝8+2mn，
解得：mn＝﹣2，
则（2023﹣a）（a﹣2021）的值为﹣2．
三．平方差公式（共10小题）
26．下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2y）（2x﹣y） B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x） D．（x﹣2y）（2y﹣x）
【解答】解：A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
C、（x+2y）（2y﹣x）＝﹣（x+2y）（x﹣2y）＝﹣x2+4y2，正确；
D、（x﹣2y）（2y﹣x）＝﹣（x﹣2y）2，故本选项错误．
故选：C．
27．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，
故选：A．
28．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（　　）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a4﹣b4）2，
＝a8﹣2a4b4+b8．
故选：B．
29．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]
＝x2﹣（2y﹣3）2
故选：C．
30．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
31．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
32．若x2﹣y2＝12，x+y＝6，则x﹣y＝　2　 ．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，x+y＝6，
∴x﹣y＝2，
故答案为：2
33．计算：20232﹣2022×2024＝　1　 ．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
34．若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　1　 ．
【解答】解：因为a﹣b＝1，
a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1，
故答案为：1．
35．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，
则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：整理得t2﹣9＝27，
∴t2＝36，
解得t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）∵x2+y2＝3，xy＝1，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5，
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1，
∴x﹣y＝±1．
四．平方差公式的几何背景（共7小题）
36．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
37．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2﹣（a+1）2
＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
＝3（2a+5）
＝6a+15（cm2）．
答：矩形的面积是（6a+15）cm2．
故选：D．
38．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是 　14　 ．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AB＝a﹣b，
由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即a2﹣b2＝28，
S阴影部分＝S△ACB+S△ADB
＝14．
故答案为：14．
39．如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 　15　 ．
【解答】解：设大正方形和小正方形的边长各为a，b，
由题意可得a2﹣b2＝30，
∴阴影部分的面积为：
＝15，
故答案为：15．
40．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有　①②③④　 （填序号）
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b）．可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积（2b+2a） （a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b） （a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．
故答案为：①②③④．
41．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
（1）分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　A　 ．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用这个公式完成下列各题．
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为a2﹣b2，图②阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A；
（2）①∵4m2﹣n2＝12，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又∵2m+n＝4，
∴2m﹣n＝12÷4＝3；
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1．
42．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　②　 （只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1 的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：②；
（2）①，是（1）得x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18，
∵x+2y＝4，
∴4（x﹣2y）＝18，
∴；
②原式
．
五．整式的混合运算—化简求值（共6小题）
43．已知：a+b＝m，ab＝﹣4，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是（　　）
A．6 B．2m﹣8 C．2m D．﹣2m
【解答】解：（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣4﹣2m+4＝﹣2m．
故选：D．
44．若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
【解答】解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2
将a﹣b＝3，ab＝1代入，
原式＝1×32＝9，
故选：C．
45．如果a2+4a﹣4＝0，那么代数式（a﹣2）2+4（2a﹣3）+1的值为（　　）
A．13 B．﹣11 C．3 D．﹣3
【解答】解：原式＝a2﹣4a+4+8a﹣12+1
＝a2+4a﹣7，
由a2+4a﹣4＝0，得到a2+4a＝4，
则原式＝4﹣7＝﹣3．
故选：D．
46．已知（2023﹣a）2+（a﹣2022）2＝7，则代数式（2023﹣a）（a﹣2022）的值是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵[（2023﹣a）+（a﹣2022）]2
＝（2023﹣a）2+（a﹣2022）2+2（2023﹣a）（a﹣2022），
∴1＝7+2（2023﹣a）（a﹣2022），
∴（2023﹣a）（a﹣2022）＝﹣3，
故选：D．
47．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　）
A．4 B．10 C．16 D．20
【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，
∴（a2+b2）2﹣9＝7，
∴a2+b2＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+6＝10．
故选：B．
48．先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2＝﹣8ab﹣3b2．
当a＝1、b＝﹣3时，
原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2
＝24﹣27
＝﹣3．
六．同底数幂的除法（共7小题）
49．计算：a5÷a3＝　a2　 ．
【解答】解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．
故填a2．
50．若3x﹣5y﹣1＝0，则103x÷105y＝　10　 ．
【解答】解：因为3x﹣5y﹣1＝0，
所以3x﹣5y＝1，
所以103x÷105y＝103x﹣5y＝10．
故答案为：10．
51．已知am＝3，an＝2，则a2m﹣n的值为 　4.5　 ．
【解答】解：∵am＝3，
∴a2m＝32＝9，
∴a2m﹣n4.5．
故答案为：4.5．
52．若2m＝3，4n＝8，则23m﹣2n+3的值是　27　 ．
【解答】解：∵2m＝3，4n＝8，
∴23m﹣2n+3＝（2m）3÷（2n）2×23，
＝（2m）3÷4n×23，
＝33÷8×8，
＝27．
故答案为：27．
53．若，则a2m﹣3n＝　﹣32　 ．
【解答】解：a2m＝（am）2＝4，\;a4{3n}＝（{a}^{n}）^{3}＝﹣\frac{1}{8}，＜br/＞a＜sup＞2m﹣3n＜/sup＞＝4÷（﹣\frac{1}{8}）$＝﹣32，
故答案为：﹣32．
54．已知，3m＝2，3n＝5，求
（1）33m+2n；
（2）34m﹣3n．
【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；
（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125．
55．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 　c＝2a+b　 ．
【解答】解：（1）∵5a＝3，
∴（5a）2＝32＝9；
（2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，
∴5a﹣b+c27；
（3）c＝2a+b；
故答案为：c＝2a+b．
七．零指数幂（共5小题）
56．（﹣4）0的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣40 C．0 D．1
【解答】解：（﹣4）0＝1．
故选：D．
57．关于代数式（a+1）0，下列说法正确的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．当a≠0时，（a+1）0有意义
D．当a≠﹣1时，（a+1）0有意义
【解答】解：（a+1）0有意义的条件是：a+1≠0，
解得a≠﹣1，
即当a≠﹣1时（a+1）0＝1，
故选：D．
58．等式（x﹣3）0＝1成立的条件是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠3
【解答】解：等式（x﹣3）0＝1成立的条件是：x≠3．
故选：D．
59．若（x+2）|x|﹣2＝1，则x的值为　2或﹣1　 ．
【解答】解：①当|x|﹣2＝0时，x＝2或x＝﹣2（不符合，舍去），
②当x+2＝1时，x＝﹣1，此时，|x|﹣2＝|﹣1|﹣2＝﹣1，
∴1﹣1＝1，
③当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，|x|﹣2＝|﹣3|﹣2＝1，
∴（﹣1）1＝﹣1（不符合，舍去），
综上所述，x的值为2或﹣1．
故答案为：2或﹣1
60．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是　a　 ．
【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1成立，
∴2a﹣1≠0，
∴a，
故答案为：a．
(
1
)第三章 整式的乘除
考点分布
一．完全平方公式
二．完全平方公式的几何背景
三．平方差公式
四．平方差公式的几何背景
五．整式的混合运算—化简求值
六．同底数幂的除法
七．零指数幂
一．完全平方公式
知识点梳理：
完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
例题讲解：
1．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
2．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝（　　）
A．25 B．22 C．19 D．13
4．若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 　 ．
5．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝　 　 ．
6．已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝　 　 ．
7．若m+n＝7，mn＝12，则m2﹣mn+n2的值是（　　）
A．11 B．13 C．37 D．61
8．已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（　　）
A．8 B．18 C．19 D．25
9．已知：x3，则x2　 　 ．
10．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
11．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
13．若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
14．已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m　 　 ．
15．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为 　 　 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为 　 　 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为 　 　 ．
16．（1）已知a的值；
（2）已知xy＝9，x﹣y＝3，求x2+3xy+y2的值．
17．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴，即．
∴32+2＝11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．
二．完全平方公式的几何背景
知识点梳理：
完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
例题讲解：
19．如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）
A．a2﹣b2＝a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
20．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　 　 ．
22．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 　 　 ．
23．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为　 　 cm．（用含a的代数式表示）
24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝　 　 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
25．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：　 　 ，
方法2：　 　 ；
（2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　 　 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值；
②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值．
三．平方差公式
知识点梳理：
平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
例题讲解：
26．下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2y）（2x﹣y） B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x） D．（x﹣2y）（2y﹣x）
27．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
28．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（　　）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
29．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
30．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
31．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
32．若x2﹣y2＝12，x+y＝6，则x﹣y＝　 　 ．
33．计算：20232﹣2022×2024＝　 　 ．
34．若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　 　 ．
35．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
四．平方差公式的几何背景
知识点梳理：
平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
例题讲解：
36．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
37．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
38．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．
39．如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 　 　 ．
40．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有　 　 （填序号）
41．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
（1）分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　 　 ．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用这个公式完成下列各题．
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
42．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　 （只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
五．整式的混合运算—化简求值
知识点梳理：
整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
例题讲解：
43．已知：a+b＝m，ab＝﹣4，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是（　　）
A．6 B．2m﹣8 C．2m D．﹣2m
44．若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
45．如果a2+4a﹣4＝0，那么代数式（a﹣2）2+4（2a﹣3）+1的值为（　　）
A．13 B．﹣11 C．3 D．﹣3
46．已知（2023﹣a）2+（a﹣2022）2＝7，则代数式（2023﹣a）（a﹣2022）的值是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．﹣3
47．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　）
A．4 B．10 C．16 D．20
48．先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
六．同底数幂的除法
知识点梳理：
同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
例题讲解：
49．计算：a5÷a3＝　 　 ．
50．若3x﹣5y﹣1＝0，则103x÷105y＝　 　 ．
51．已知am＝3，an＝2，则a2m﹣n的值为 　 　 ．
52．若2m＝3，4n＝8，则23m﹣2n+3的值是　 　 ．
53．若，则a2m﹣3n＝　 　 ．
54．已知，3m＝2，3n＝5，求
（1）33m+2n；
（2）34m﹣3n．
55．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 　 　 ．
七．零指数幂
知识点梳理：
零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
例题讲解：
56．（﹣4）0的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣40 C．0 D．1
57．关于代数式（a+1）0，下列说法正确的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．当a≠0时，（a+1）0有意义
D．当a≠﹣1时，（a+1）0有意义
58．等式（x﹣3）0＝1成立的条件是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠3
59．若（x+2）|x|﹣2＝1，则x的值为　 　 ．
60．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是　 　
(
1
)第三章 整式的乘除
一．负整数指数幂（共4小题）
1．化简2﹣1的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：2﹣1，
故选：C．
2．若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意义，则x取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠3且x≠﹣2 D．x≠3且x≠2
【解答】解：若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意义，
则x﹣3≠0且2x﹣4≠0，
解得：x≠3且x≠2．
故选：D．
3．将代数式3x﹣2y3化为只含有正整数指数幂的形式是　　 ．
【解答】解：3x﹣2y3＝3y3，
故答案为：．
4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值．
【解答】解：∵10﹣2α3，10﹣β，
∴102α，10β＝﹣5，
∴106α+2β＝（102α）3 （10β）2，
＝（）3×（﹣5）2，
25，
．
二．整式的除法（共6小题）
5．计算3a6÷a的结果是（　　）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
【解答】解：3a6÷a＝3a5．
故选：D．
6．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（　　）
A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
【解答】解：（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）
＝1﹣3ab．
故选：A．
7．已知长方形的面积是6a3+9a2﹣3ab，一边长是3a，则它的邻边长是（　　）
A．3a2﹣b+2a2 B．2a2+3a﹣b C．b+3a+2a2 D．3a2﹣b+2a
【解答】解：由题意得：（6a3+9a2﹣3ab）÷3a
＝6a3÷3a+9a2÷3a﹣3ab÷3a
＝2a2+3a﹣b．
故选：B．
8．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（　　）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
【解答】解：根据题意，得
纸盒底部长方形的宽为4a，
∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．
故选：D．
9．计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　﹣8x2+4x﹣2　 ．
【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）
＝﹣8x2+4x﹣2．
故答案为：﹣8x2+4x﹣2．
10．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x
＝（﹣x2）÷2x
x，
当x＝1，y＝﹣2时，原式．
三．整式的混合运算（共12小题）
11．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【解答】解：（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项A错误；
2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项D错误；
故选：C．
12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．
13．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（　　）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①④
【解答】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y﹣3×5＝（y﹣15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y﹣15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x﹣2×5＝（x﹣10）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣10+x﹣y+15＝（2x+5﹣y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y﹣15+x﹣10）＝2（x+y﹣25），阴影B的周长为2（15+x﹣y+15）＝2（x﹣y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y﹣25）+2（x﹣y+30）＝2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）＝（xy﹣15x﹣10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）＝（15x﹣15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣15x﹣10y+150+15x﹣15y+225＝（xy﹣25y+375）cm2，
当x＝15时，xy﹣25y+375＝（375﹣10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：C．
14．将一张边长为a的正方形纸片按图1方式放置于长方形ABCD内，再将长为b（b＜a），宽为的长方形纸片按图2，图3两种方式放置，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为S1，图3中阴影部分的面积为S2，且S2﹣S1＝2b，则AD﹣AB的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
【解答】解：∵S1＝（CD﹣a） a+（ABb）（BC﹣a）＝（AB﹣a） a+（ABb）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a）（AB﹣a），
∴S1﹣S2＝（AB﹣a） a+（AB）（AD﹣a）﹣AB（AD﹣a）﹣（a）（AB﹣a）
＝（AD﹣a）（ABAB）+（AB﹣a）（a﹣a）
（AD﹣a）（AB﹣a）
（AB﹣AD），
∵S2﹣S1＝2b，
∴（AD﹣AB）＝2b，
∴AD﹣AB＝4．
故选：C．
15．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（　　）
A．m B．m2 C．m+1 D．m﹣1
【解答】解：根据题意可列出代数式：（m2﹣m）÷m+2＝m﹣1+2＝m+1．
故选：C．
16．定义运算a b＝a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：
①2 （﹣2）＝6；
②a b＝b a；
③若a+b＝0，则（a a）+（b b）＝2ab；
④若a b＝0，则a＝0．
其中正确结论的序号是　①③　 ．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
【解答】解：∵a b＝a（1﹣b），
①2 （﹣2）＝6
＝2×[1﹣（﹣2）]
＝2×3
＝6
故本选项正确；
②a b
＝a×（1﹣b）
＝a﹣ab
b a
＝b（1﹣a）
＝b﹣ab，
故本选项错误；
③∵（a a）+（b b）
＝[a（1﹣a）]+[b（1﹣b）]
＝a﹣a2+b﹣b2，
∵a+b＝0，
∴原式＝（a+b）﹣（a2+b2）
＝0﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝2ab，
故本选项正确；
④∵a b
＝a（1﹣b）＝0，
∴a＝0错误．
故答案为：①③
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x）2016展开式中含x2014项的系数是　﹣4032　 ．
【解答】解：（x）2016展开式中含x2014项的系数，
由（x）2016＝x2016﹣2016 x2015 （）+…
可知，展开式中第二项为﹣2016 x2015 （）＝﹣4032x2014，
∴（x）2016展开式中含x2014项的系数是﹣4032，
故答案为﹣4032．
18．已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x2x，则B+A＝　2x3+x2+2x　 ．
【解答】解：∵B÷A＝x2x，A＝2x，
∴B＝（x2x） 2x＝2x3+x2．
∴B+A＝2x3+x2+2x，
故答案为：2x3+x2+2x．
19．若规定符号的意义是ad﹣bc，则当a2+2a﹣3＝0时，的值为 　3　 ．
【解答】解：由题意得：
a（a+2）﹣（a+3）（1﹣a）
＝a2+2a﹣（a﹣a2+3﹣3a）
＝a2+2a﹣a+a2﹣3+3a
＝2a2+4a﹣3，
∵a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴当a2+2a＝3时，原式＝2（a2+2a）﹣3
＝2×3﹣3
＝6﹣3
＝3，
故答案为：3．
20．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　﹣16m4n3　 ．
【解答】解：由题意可得，
＝（﹣4mn×2）×2n2m3
＝﹣8mn×2n2m3
＝﹣16m4n3，
故答案为：﹣16m4n3．
21．计算：
（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a．
【解答】解：（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy
＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25
＝﹣4x+26；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a
＝（16a4+8a3﹣4a2）÷2a
＝16a4÷2a+8a3÷2a﹣4a2÷2a
＝8a3+4a2﹣2a．
22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　 ．
（2）若M＝a2﹣3a+1，求M的最小值．
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【解答】解（1）∵（a+2）2＝a2+4a+4，
∴常数项为4．
故答案为：4．
（2）M＝a2﹣3a+1
＝a2﹣3a
＝（a）2，
∵（a）2≥0，
∴M的最小值为；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4+c2﹣6c+9＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝b＝2，c＝3，
∴a+b+c＝7．
(
1
)第三章 整式的乘除
考点分布
一．负整数指数幂
二．整式的除法
三．整式的混合运算
一．负整数指数幂
知识点梳理：
负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
例题讲解：
1．化简2﹣1的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意义，则x取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠3且x≠﹣2 D．x≠3且x≠2
3．将代数式3x﹣2y3化为只含有正整数指数幂的形式是　 　 ．
4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值．
二．整式的除法
知识点梳理：
整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项
式．
例题讲解：
5．计算3a6÷a的结果是（　　）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
6．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（　　）
A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
7．已知长方形的面积是6a3+9a2﹣3ab，一边长是3a，则它的邻边长是（　　）
A．3a2﹣b+2a2 B．2a2+3a﹣b C．b+3a+2a2 D．3a2﹣b+2a
8．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（　　）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
9．计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　 　 ．
10．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
三．整式的混合运算
知识点梳理：
整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
例题讲解：
11．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
12．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
13．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（　　）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①④
14．将一张边长为a的正方形纸片按图1方式放置于长方形ABCD内，再将长为b（b＜a），宽为的长方形纸片按图2，图3两种方式放置，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为S1，图3中阴影部分的面积为S2，且S2﹣S1＝2b，则AD﹣AB的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
15．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（　　）
A．m B．m2 C．m+1 D．m﹣1
16．定义运算a b＝a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：
①2 （﹣2）＝6；
②a b＝b a；
③若a+b＝0，则（a a）+（b b）＝2ab；
④若a b＝0，则a＝0．
其中正确结论的序号是　 　 ．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x）2016展开式中含x2014项的系数是　 　 ．
18．已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x2x，则B+A＝　 　 ．
19．若规定符号的意义是ad﹣bc，则当a2+2a﹣3＝0时，的值为 　 　 ．
20．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　 　 ．
21．计算：
（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a．
22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　 ．
（2）若M＝a2﹣3a+1，求M的最小值．
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
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