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第四章 因式分解
一．因式分解的意义（共7小题）
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
【解答】解：A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；
C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
2．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），
∴x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，
∴3n＝﹣15，m＝n+3，
解得n＝﹣5，m＝﹣5+3＝﹣2．
故选：C．
3．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
【解答】解：设4x2+5x+m＝（x+2）（4x+b）＝4x2+（b+8）x+2b，
则b+8＝5，m＝2b，
解得：b＝﹣3，m＝﹣6，
故选：A．
4．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　﹣3　 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
5．若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　　 ．
【解答】解：设第三个因式为2x+c，
（2x+c）（x﹣1）（x+2）
＝（2x+c）（x2+x﹣2）
＝2x3+2x2﹣4x+cx2+cx﹣2c
＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c，
∵多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，
∴﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a，
∴c＝3，b＝﹣1，a＝5，
∴ab＝5﹣1．
故答案为：．
6．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
7．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式．
②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）．
∴当x＝2时，（x﹣2）（mx+n）＝0．
此时x2+ax﹣2＝0．
将x＝2代入得，4+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1．
（1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式吗？　不是　 （填“是”或“不是”）；
（2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常数m的值．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）．
故x+4不是x2﹣2x﹣8的因式；
故答案为：不是；
（2）∵x+3是x2+8x+m的因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+8x+m＝（x+3）（mx+n），
∴当x＝﹣3时，（x+3）（mx+n）＝0，则x2+8x+m＝0，
当x＝﹣3时，（﹣3）2+8×（﹣3）+m＝0，
解得m＝15．
二．公因式（共6小题）
8．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
9．把多项式8a2b2﹣16a2b2c2分解因式，应提的公因式是（　　）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
【解答】解：8a2b2﹣16a2b2c2＝8a2b2（1﹣2c2）．
故选：A．
10．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故选：A．
11．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（　　）
A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故选：B．
12．（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是：　x+y　 ．
【解答】解：∵（x2﹣y2）＝（x+y）（x﹣y），（﹣2x﹣2y）＝﹣2（x+y），
∴（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是（x+y）．
故答案为：x+y．
13．多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 　x+y　 ．
【解答】解：3x+3y＝3（x+y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
则多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是x+y．
故答案为：x+y．
三．因式分解-提公因式（共8小题）
14．把多项式a2+2a分解因式得（　　）
A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
15．分解因式：a2﹣ab＝　a（a﹣b）　 ．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
16．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　（a﹣b）（a﹣b+1）　 ．
【解答】解：原式＝（a﹣b）2+（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）
17．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
18．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
则m2+n2＝6，
∴m3n+mn3＝mn（m2+n2）
＝1×6
＝6．
故选：A．
19．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（　　）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a2+ab﹣4＝a（a+b）﹣4
＝0﹣4
＝﹣4．
故选：D．
20．下列各数中，不能整除803﹣80的是（　　）
A．78 B．79 C．80 D．81
【解答】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
21．因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
【解答】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（2x+3y）（2x﹣y）
＝（2x﹣y）[（x+3y）+（2x+3y）]
＝（2x﹣y）（x+3y+2x+3y）
＝（2x﹣y）（3x+6y）
＝3（2x﹣y）（x+2y）．
四．因式分解-运用公式法（共6小题）
22．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x2﹣y2；④﹣x2+y2，共2个，
故选：B．
23．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，不符合题意；
②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；
③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；
④（m2﹣m）＝﹣（m）2，不符合题意；
⑤不能用完全平方公式分解．
故选：C．
24．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．3 C．6 D．±6
【解答】解：∵x2+6x+9＝（x+3）2，
x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴k＝±6，
故选：D．
25．若4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
【解答】解：∵4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或﹣11，
故选：D．
26．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
27．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　C　 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣2）4　 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【解答】解：（1）故选：C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，
设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+1）（y+7）+9，
＝y2+8y+16，
＝（y+4）2，
＝（x2﹣4x+4）2，
＝（x﹣2）4；
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2+2x+1）2，
＝（x+1）4．
五．完全平方式（共6小题）
28．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，
∴则a可为：16．
故选：C．
29．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±4）2，
x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8；
故选：D．
30．已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，则m+n＝　﹣2　 ．
【解答】解：根据题意，m2+n2﹣6m+10n+34＝0，
变形后：（m﹣3）2+（n+5）2＝0；
得m＝3，n＝﹣5；
所以，m+n＝﹣2．
31．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【解答】解：（1）∵xy＝4，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2×4＝25，
∴x2+y2＝17．
（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9，
∴m＝9，
∵4a2+na+m＝4a2+na+9是完全平方式，
∴na＝±2×2a×3＝±12a，
∴n＝±12．
32．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　±1　 ；
（2）有同学猜测B﹣2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式x2+2x+n2的值为﹣1，求x和n的值．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴x2+2x+n2＝（x+1）2，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：±1；
（2）猜测不正确，理由：
∵A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3，
∴B﹣2A＝2x2+4x+3n2+3﹣2（x2+2x+n2）＝2x2+4x+3n2+3﹣2x2﹣4x﹣2n2＝n2+3，
∵结果含字母n，
∴B﹣2A的结果不是定值；
（3）由题意可得x2+2x+n2＝﹣1，
∴x2+2x+n2+1＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∴x+1＝0，n＝0，
∴x＝﹣1．
33．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ．
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【解答】解：（1）由图2可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝（8﹣x）2+2（8﹣x）（x﹣2）+（x﹣2）2＝36，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
∴2（8﹣x）（x﹣2）＝16，
∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
(
1
)第四章 因式分解
考点分布
一．因式分解的意义
二．公因式
三．因式分解-提公因式
四．因式分解-运用公式法
五．完全平方式
一．因式分解的意义
知识点梳理：
因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
例题讲解：
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
2．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
3．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
4．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　 　 ．
5．若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　 　 ．
6．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
7．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式．
②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）．
∴当x＝2时，（x﹣2）（mx+n）＝0．
此时x2+ax﹣2＝0．
将x＝2代入得，4+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1．
（1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式吗？　 　 （填“是”或“不是”）；
（2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常数m的值．
二．公因式
知识点梳理：
公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
例题讲解：
8．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
9．把多项式8a2b2﹣16a2b2c2分解因式，应提的公因式是（　　）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
10．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
11．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（　　）
A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
12．（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是：　 　 ．
13．多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 　 　 ．
三．因式分解-提公因式
知识点梳理：
因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
例题讲解：
14．把多项式a2+2a分解因式得（　　）
A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
15．分解因式：a2﹣ab＝　 　 ．
16．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　 　 ．
17．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
18．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
19．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（　　）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
20．下列各数中，不能整除803﹣80的是（　　）
A．78 B．79 C．80 D．81
21．因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
四．因式分解-运用公式法
知识点梳理：
因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
例题讲解：
22．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．3 C．6 D．±6
25．若4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
26．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
27．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
五．完全平方式
知识点梳理：
完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
例题讲解：
28．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
29．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
30．已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，则m+n＝　 　 ．
31．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
32．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　 　 ；
（2）有同学猜测B﹣2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式x2+2x+n2的值为﹣1，求x和n的值．
33．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　 　 ．
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
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