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第五章 分式
考点分布
一．分式的定义
二．分式有意义的条件
三．分式的值为零
四．分式的基本性质
五．约分
六．最简分式
七．分式的乘除法
八．最简公分母
九．分式的加减法
十．分式方程的解
十一．解分式方程
一．分式的定义
知识点梳理：
分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
例题讲解：
1．在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 　 　 个．
二．分式有意义的条件
知识点梳理：
分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
例题讲解：
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
4．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
三．分式的值为零
知识点梳理：
分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
例题讲解：
5．分式的值是零，则x的值为（　　）
A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5
6．分式的值为0，则x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
7．已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
四．分式的基本性质
知识点梳理：
分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
例题讲解：
8．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
9．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
10．若把分式中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
11．若2，则 　 　 ．
12．已知，则　 　 ．
13．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 　 　 ．
14．不改变分式的值，把分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是　 　 ．
五．约分
知识点梳理：
约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
例题讲解：
15．约分：（　　）
A． B． C． D．
16．化简的结果是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．1﹣x D．﹣x﹣1
17．化简的结果为（　　）
A． B． C．﹣1 D．2x﹣1
六．最简分式
知识点梳理：
最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
例题讲解：
18．分式，，，中，最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．将分式化为最简分式，所得结果是 　 　 ．
七．分式的乘除法
知识点梳理：
分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
例题讲解：
20．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
21．计算（﹣a）2 的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．ab D．
22．计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
23．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
24．计算结果为（　　）
A． B． C． D．
25．如果0，那么代数式 （2m+n）的值是　 　 ．
26．已知：a5，则　 　 ．
27．把式子化到最简其结果为 　 　 ．
28．一列数a1，a2，a3， ，an，其中a1＝﹣3，a2，a3， ，an，则a1×a2×a3× ×a2023＝　 　 ；a1+a2+a3+ +a37＝　 　 ．
八．最简公分母
知识点梳理：
最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
例题讲解：
29．下列三个分式、、的最简公分母是（　　）
A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2
C． D．4（m﹣n）x2
30．分式与的最简公分母是（　　）
A．x4﹣y4 B．（x+y）2（x2﹣y2）
C．（x﹣y）4 D．（x+y）2（x﹣y）
31．分式与的最简公分母是 　 　 ．
32．分式，，的最简公分母是　 　 ．
33．分式，，的最简公分母是 　 　 ．
34．和的最简公分母是 　 　 ．
九．分式的加减法
知识点梳理：
分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
例题讲解：
35．计算的结果是（　　）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
36．化简的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
37．化简的结果是（　　）
A．x﹣2 B． C． D．
38．计算a﹣1的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
39．已知1，则代数式的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
40．若m+n＝1，mn＝2，则的值为 　 　 ．
41．若b2+2b+1＝0，则a2|b|＝　 　 ．
42．，则A+B＝　 　 ．
43．若，，则　 　 ．
十．分式方程的解
知识点梳理：
分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
例题讲解：
44．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
45．若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
46．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　 　 ．
47．若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是 　 　 ．
48．已知关于x的方程：2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
49．观察下列方程的特征及其解的特点；
①x3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2．
②x5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3．
③x7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4；
解答下列问题；
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　 　 ，其解为 　 　 ．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　 　 ，其解为 　 　 ．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x2（n+2）（其中n为正整数）的解．
十一．解分式方程
知识点梳理：
解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
例题讲解：
50．解分式方程3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
51．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（　　）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
52．分式的值比分式的值大3，则x的值为 　 　 ．
53．解分式方程：1．
54．解方程：1．
55．我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如x4为十字分式方程，可化为x1+3，
∴x1＝1，x2＝3．
再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4），
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若x5为十字分式方程，则x1＝ 　 　 ，x2＝ 　 　 ．
（2）若十字分式方程x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程xk﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．
56．已知关于x的分式方程1的解为负数，求k的取值范围．
57．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝　 　 ，q＝　 　 ；
（2）方程x8的两个解中较大的一个为 　 　 ；
（3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）
(
1
)第五章 分式
一．分式的定义（共2小题）
1．在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有，，，一共3个．
故选：B．
2．在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 　4　 个．
【解答】解：在式子①；②；④；⑤的分母中含有字母，都是分式，共有4个．
故答案为：4．
二．分式有意义的条件（共2小题）
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选：D．
4．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、x＝±2时，|x|﹣2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、x时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、x＝0时，x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、无论x取何值，2x2+1≥1，分式都有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
三．分式的值为零（共3小题）
5．分式的值是零，则x的值为（　　）
A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5
【解答】解：由题意得：x+5＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣5，
故选：D．
6．分式的值为0，则x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
7．已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
【解答】解：（1）由题意得，m2﹣3m+2≠0，
解得，m≠1且m≠2；
（2）由题意得，（m﹣1）（m﹣3）＝0，m2﹣3m+2≠0，
解得，m＝3，
则当m＝3时，此分式的值为零．
四．分式的基本性质（共7小题）
8．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得：，
故选：C．
9．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【解答】解：x，y同时变为原来的4倍，
则有 ，
∴该分式的值是原分式值的，
故选：D．
10．若把分式中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
【解答】解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么
，
∴把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值缩小3倍，
故选：C．
11．若2，则 　　 ．
【解答】解：由2，得x+y＝2xy
则．
故答案为．
12．已知，则　　 ．
【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则．
故答案为．
13．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 　　 ．
【解答】解：∵，
∴3，即3①；
同理可得4②，
5③；
∴①+②+③得：2（）＝3+4+5；6；
又∵的倒数为，即为6，则原数为．
故答案为．
14．不改变分式的值，把分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是　　 ．
【解答】解：分子分母上同时乘以100得到，
故分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是．
五．约分（共3小题）
15．约分：（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：；
故选：B．
16．化简的结果是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．1﹣x D．﹣x﹣1
【解答】解：，
故选：A．
17．化简的结果为（　　）
A． B． C．﹣1 D．2x﹣1
【解答】解：原式
．
故选：A．
六．最简分式（共2小题）
18．分式，，，中，最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1，
；；这三个是最简分式．
故选：C．
19．将分式化为最简分式，所得结果是 　　 ．
【解答】解：．
故答案为：．
七．分式的乘除法（共9小题）
20．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选：C．
21．计算（﹣a）2 的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．ab D．
【解答】解：（﹣a）2
＝b．
故选：A．
22．计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选：A．
23．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式
．
故选：A．
24．计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式 x（x﹣2）
．
故选：B．
25．如果0，那么代数式 （2m+n）的值是　　 ．
【解答】解：原式 （2m+n），
设k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式，
故答案为：．
26．已知：a5，则　24　 ．
【解答】解：；
∵a5，∴52﹣1＝24．
故答案为24．
27．把式子化到最简其结果为 　　 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
28．一列数a1，a2，a3， ，an，其中a1＝﹣3，a2，a3， ，an，则a1×a2×a3× ×a2023＝　﹣3　 ；a1+a2+a3+ +a37＝　﹣20　 ．
【解答】解：∵a1＝﹣3，
∴a2，
∴a3，
∴a43，......，
∵2023÷3＝674......1，37÷3＝12......1，
∴a1×a2×a3× ×a2023
＝[（﹣3）]674×（﹣3）
＝（﹣1）674×（﹣3）
＝1×（﹣3）
＝﹣3，
a1+a2+a3+ +a37＝12×（﹣3）+（﹣3）＝﹣20．
故答案为：﹣3，﹣20．
八．最简公分母（共6小题）
29．下列三个分式、、的最简公分母是（　　）
A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2
C． D．4（m﹣n）x2
【解答】解：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．
故选：D．
30．分式与的最简公分母是（　　）
A．x4﹣y4 B．（x+y）2（x2﹣y2）
C．（x﹣y）4 D．（x+y）2（x﹣y）
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∴（x+y）2与x2﹣y2的最简公分母为（x+y）2（x﹣y），
故选：D．
31．分式与的最简公分母是 　2a2b2c　 ．
【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．
故答案为2a2b2c．
32．分式，，的最简公分母是　12x3yz　 ．
【解答】解：因为三分式中常数项的最小公倍数12，x的最高次幂为3，y、z的最高次幂都为1，所以最简公分母是12x3yz．
故答案为：12x3yz．
33．分式，，的最简公分母是 　x（x+1）2（x﹣1）　 ．
【解答】解：分式，，的分母分别为：x﹣1，x2+2x+1＝（x+1）2，x2﹣x＝x（x﹣1），
则分式，，的最简公分母是x（x+1）2（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）2（x﹣1）．
34．和的最简公分母是 　x（y﹣1）2　 ．
【解答】解：分式和的最简公分母是x（y﹣1）2，
故答案为：x（y﹣1）2．
九．分式的加减法（共9小题）
35．计算的结果是（　　）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
【解答】解：原式m﹣1．
故选：B．
36．化简的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【解答】解：原式x，
故选：A．
37．化简的结果是（　　）
A．x﹣2 B． C． D．
【解答】解：原式，
故选：B．
38．计算a﹣1的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式，
，
．
故选：B．
39．已知1，则代数式的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：∵1，
∴1，
则1，
∴mn＝n﹣m，即m﹣n＝﹣mn，
则原式
＝﹣3，
故选：D．
40．若m+n＝1，mn＝2，则的值为 　　 ．
【解答】解：∵m+n＝1，mn＝2，
∴原式．
故答案为：
41．若b2+2b+1＝0，则a2|b|＝　6　 ．
【解答】解：有题意得：，
解得：b＝﹣1，
a2﹣3a+1＝0，即：a3，等式两边平方得：a27；
原式＝a21＝7﹣1＝6．
故答案为：6．
42．，则A+B＝　2　 ．
【解答】解：．
∵，
∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．
∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．
∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．
∴A，B．
∴A+B＝2．
故答案为：2．
43．若，，则　3　 ．
【解答】解：两式相加得，12，
等式两边都除以4，得
3．
一十．分式方程的解（共6小题）
44．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C．
45．若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【解答】解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，
即4﹣m＝0或x，
∴m＝4或m＝0，
故选：D．
46．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　a＜﹣1且a≠﹣2　 ．
【解答】解：去分母得2x+a＝x﹣1，
解得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
47．若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是 　m＜6且m≠2　 ．
【解答】解：3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m＝3x﹣6，
解得，x，
∵2，
∴m≠2，
由题意得，0，
解得，m＜6，
故答案为：m＜6且m≠2．
48．已知关于x的方程：2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
【解答】解：（1）由原方程，得
2x＝mx﹣2x﹣6，
①整理，得
（4﹣m）x＝﹣6，
当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；
②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，
故2×（﹣3）＝﹣3m﹣2×（﹣3）﹣6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2或4；
（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，
当m≠4时．x0，
解得m＜4
综上所述，m＜4且m≠2．
49．观察下列方程的特征及其解的特点；
①x3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2．
②x5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3．
③x7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4；
解答下列问题；
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　x9　 ，其解为 　x1＝﹣4，x2＝﹣5　 ．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　x2n﹣1　 ，其解为 　x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1　 ．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x2（n+2）（其中n为正整数）的解．
【解答】解：（1）x，其解为：x1＝﹣4，x2＝﹣5，
经检验：x1＝﹣4，x2＝﹣5是原方程的解，
故答案为：x9，x1＝﹣4，x2＝﹣5；
（2）x（2n+1），其解为：x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1，
故答案为：x（2n+1），x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1；
（3）x2（n+2）
x+32（n+2）+3
（x+3）（2n+1）
∴x+3＝﹣n或x+3＝﹣（n+1），
即：x1＝﹣n﹣3，x2＝﹣n﹣4．
经检验：x1＝﹣n﹣3，x2＝﹣n﹣4是原方程的解，
一十一．解分式方程（共8小题）
50．解分式方程3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）．
故选：D．
51．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（　　）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）＝x﹣2．
故选：D．
52．分式的值比分式的值大3，则x的值为 　1　 ．
【解答】解：根据题意得：3，
去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，
移项合并得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
53．解分式方程：1．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程无解．
54．解方程：1．
【解答】解：方程两边乘 （x﹣3）（x+3），
得 x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，
解得：x＝1，
检验：当 x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝1．
55．我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如x4为十字分式方程，可化为x1+3，
∴x1＝1，x2＝3．
再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4），
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若x5为十字分式方程，则x1＝ 　﹣2　 ，x2＝ 　﹣3　 ．
（2）若十字分式方程x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程xk﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．
【解答】解：（1）x5可化为x（﹣2）+（﹣3），
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∴
．
（3）原方程变为x﹣2k﹣3，
∴x﹣2k+（﹣2k﹣3）
∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，
∴
．
56．已知关于x的分式方程1的解为负数，求k的取值范围．
【解答】解：去分母得（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
整理得x＝1﹣2k，
因为分式方程1的解为负数，
所以1﹣2k＜0且x≠±1，
即1﹣2k≠±1，
解得k且k≠1，
即k的取值范围为k且k≠1．
57．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝　﹣6　 ，q＝　1　 ；
（2）方程x8的两个解中较大的一个为 　7　 ；
（3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）
【解答】解：（1）∵方程xq的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，
∴x2+3，
即：x1．
∴p＝﹣6，q＝1．
故答案为：﹣6；1；
（2）∵方程x8，
∴x7+1，
∴关于x的方程x7+1有两个解，分别为x1＝7，x2＝1，
∴方程x8的两个解中较大的一个为7，
故答案为：7；
（3）关于x的方程2x2n就是：
2x﹣12n﹣1，
∴2x﹣1n+n﹣1．
∴2x﹣1＝n或2x﹣1＝n﹣1，
∴x或x．
∵x1＜x2，
∴x1，，
∴原式．
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