资源简介

2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第二单元 长方体（一）
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】长方体的认识
1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示：
2、长方体的特点。
（1）长方体有8个顶点、6个面、12条棱；
（2）长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形；
（3）长方体相对的棱长度相等。
3、正方体的特点。
（1）正方体有8个顶点、6个面、12条棱；
（2）正方体的6个面完全相同，都是正方形；
（3）正方体每条棱的长度都相等。
4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体。
6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。
【知识点二】展开与折叠
1、长方体的展开图是由6个小长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的，相对的面完全隔开。
2、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。
3、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。
4、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。
【知识点三】长方体的表面积
1、长方体(或正方体)6个面的面积之和，叫作它的表面积。
2、长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2。如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积公式可以用字母表示为S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh)
3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。如果用S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，那么正方体的表面积公式可以用字母表示为S=6a2。
【知识点四】露在外面的面
1、求露在外面的面积，要先判断露在外面的面的个数，再用一个面的面积乘个数。
2、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时,要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数中包含的规律。
【考点一】长方体的认识
【典例一】一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、6厘米，那么这个长方体最多有（ ）条棱长度相等，最多有（ ）个面形状相同，剩下的面都是（ ）形。
【典例二】民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如图）正面周长是200cm，那么宽就不能超过（ ）cm。
【典例三】做一个长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。（单位：dm）
（1）用上面的（ ）号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号）
（2）将做好的鱼缸的各个面的面积填在表中。
下面 前面 后面 左面 右面
面积/dm2
【考点二】展开与折叠
【典例一】下图是一个正方体的展开图，将这个展开图围成一个正方体后，与“国”字相对面上的字是( )。
【典例二】折成如图的小正方体（如左图）需要6个相连的正方形纸片，认真思考，怎样排列的小正方形才能刚好折成，把它的形状画出来。
【典例三】将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体．这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？
【考点三】长方体的表面积
【典例一】求下面图形的表面积。

【典例二】12个棱长的正方体，如图继续拼下去，拼成的新长方体，表面积减少了( )。
【典例三】一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。
（1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？
（2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？
【考点四】露在外面的面
【典例一】由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。
【典例二】4个棱长为6cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。
【典例三】将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与（ ）相对，C与（ ）相对。
2．（2分）一种糖果盒子底面是边长24cm的正方形，高是4.5cm，在外务工的妈妈买了2盒这样的糖果盒子包装在一起寄回去给孩子，至少需要（ ）的包装纸。
3．（2分）如图，把一个棱长15厘米的正方体分成3个相同长方体，表面积增加了（ ）平方厘米，每个小长方体的表面积是（ ）平方厘米。
4．（2分）如图是一个棱长为5厘米的正方体展开图，与4号面相对的是（ ）号，这个展开图的面积是（ ）平方厘米。
5．（2分）淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有（ ）个面露在外面。
6．（2分）如图，8个棱长为1分米的正方体块放在墙角处，则这堆小方块露在外面的面积是（ ）平方分米。
7．（2分）下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有（ ）个，总面积为（ ）平方厘米。
8．（2分）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是（ ）字。与“数”字相对的是（ ）字。
9．（2分）一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和为20米，这个长方体棱长总和（ ）米。
10．（2分）3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成（ ）种不同形状的长方体（包括正方体）。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）按下面的这两种方式在桌面上摆小正方体。两种摆法的规律都是每增加一个小正方体，露在外面的面就增加4个”。（ ）
12．（2分）一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。（ ）
13．（2分）可以折叠成一个正方体。（ ）
14．（2分）相交于一个顶点的三条棱的长度之和是20cm，这个长方体的棱长总和是80cm。（ ）
15．（2分）一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是10厘米。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）把一个长、宽、高分别为4、2、3厘米的长方体切成两个长方体（如图），下面（ ）种切法表面积增加的最大。
A． B． C． D．
17．（2分）将4个长10厘米，宽6厘米，高3.2厘米的长方体盒子包装在一起，下列（ ）种方式最省包装纸。
A． B． C． D．
18．（2分）制作一个棱长30cm的正方体包装盒，至少需要（ ）cm2的包装纸。
A．360 B．900 C．5400 D．27000
19．（2分）老师准备制作一个正方体纸盒，希望大家在下图补上两个小正方形，你知道其中不正确的是（ ）。
A．B．C． D．
20．（2分）一个物体的形状是长方体，下图是它的一部分，它不可能是（ ）。
A．货车车厢 B．数学书 C．仓库 D．无法判断
四、计算题（满分6分）
21．（6分）计算下面图形的表面积。（单位：）
五、作图题（满分6分）
22．（6分）乐乐和天天想将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体。乐乐想使切后的表面积增加154平方厘米；天天想使切后的表面积增加70平方厘米，他们该怎样切？请你在下面的长方体上画出切痕截面图。
乐乐的切法：
天天的切法：
六、解答题（满分48分）
23．（6分）大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？
24．（6分）一间办公室长8米，宽6米，高3米，用涂料粉刷办公室的天花板和四面墙壁，除去门窗的面积40.8平方米，粉刷的面积是多少平方米？
25．（6分）一节长方体通风管长15分米，横截面是边长2.5分米的正方形。做10节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？
26．（6分）一根铁丝可以焊成一个长50厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？
27．（6分）如图，把9个棱长为6分米的正方体纸箱堆放在墙角，露在外面的面的面积是多少？
28．（6分）灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼。元宵节就要到了，笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图，单位：cm），至少需要多少厘米的木条？
29．（6分）有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？
30．（6分）下面是一个长方体展开图的三个面（每个小方格边长是1厘米）。
（1）请你画出长方体展开图的另外三个面。
（2）这个长方体的表面积是多少平方厘米？
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第二单元 长方体（一）
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】长方体的认识
1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示：
2、长方体的特点。
（1）长方体有8个顶点、6个面、12条棱；
（2）长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形；
（3）长方体相对的棱长度相等。
3、正方体的特点。
（1）正方体有8个顶点、6个面、12条棱；
（2）正方体的6个面完全相同，都是正方形；
（3）正方体每条棱的长度都相等。
4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体。
6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。
【知识点二】展开与折叠
1、长方体的展开图是由6个小长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的，相对的面完全隔开。
2、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。
3、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。
4、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。
【知识点三】长方体的表面积
1、长方体(或正方体)6个面的面积之和，叫作它的表面积。
2、长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2。如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积公式可以用字母表示为S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh)
3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。如果用S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，那么正方体的表面积公式可以用字母表示为S=6a2。
【知识点四】露在外面的面
1、求露在外面的面积，要先判断露在外面的面的个数，再用一个面的面积乘个数。
2、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时,要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数中包含的规律。
【考点一】长方体的认识
【典例一】一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、6厘米，那么这个长方体最多有（ ）条棱长度相等，最多有（ ）个面形状相同，剩下的面都是（ ）形。
【解题思路】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等；据此解答。
【详细解答】一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、6厘米，那么这个长方体最多有8条棱长度相等，最多有4个面形状相同，剩下的面都是正方形。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征。
【典例二】民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如图）正面周长是200cm，那么宽就不能超过（ ）cm。
【解题思路】根据题意可知，民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出李叔叔拿的手提包行李箱的长与高的和；再用115－行李箱的长与高的和，即可求出李叔叔行李箱的宽不能超过的长度，据此解答。
【详细解答】115－200÷2
＝115－100
＝15（cm）
宽就不能超过15cm。
【典例三】做一个长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。（单位：dm）
（1）用上面的（ ）号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号）
（2）将做好的鱼缸的各个面的面积填在表中。
下面 前面 后面 左面 右面
面积/dm2
【解题思路】
（1）因为长方体鱼缸无盖，少上面，所以只有下面、前后面、左右面共5个面；结合已知的5块长方形玻璃，只有①号玻璃是一块，所以把①号玻璃做鱼缸的底面最合适。
（2）长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。
根据长方体的特征先确定这个长方体无盖鱼缸用①号玻璃做下面，用②号、④号玻璃做前后面，用③号、⑤号玻璃做左右面；再根据长方形的面积＝长×宽，求出各个面的面积，并填写在表格中。
【详细解答】（1）用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。
（2）下面：6×3＝18（dm2）
前、后面：6×4＝24（dm2）
左、右面：4×3＝12（dm2）
如下表：
下面 前面 后面 左面 右面
面积/dm2 18 24 24 12 12
【考点二】展开与折叠
【典例一】下图是一个正方体的展开图，将这个展开图围成一个正方体后，与“国”字相对面上的字是( )。
【解题思路】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。
【详细解答】把正方体的展开图围成一个正方体后，可以想象成：“里”是下面，“诗”是后面，“唐”是左面，“的”是右面，“中”是上面，“国”是前面。
所以，与“国”字相对面上的字是“诗”。
【典例二】折成如图的小正方体（如左图）需要6个相连的正方形纸片，认真思考，怎样排列的小正方形才能刚好折成，把它的形状画出来。
【解题思路】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。根据正方体展开图的11中特征作图即可。
【详细解答】如图：
（答案不唯一）
【典例三】将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体．这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？
【详细解答】试题分析：将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体，剪成后的图形应是
所以这张长方形的硬纸片的长应是4厘米，宽应是3厘米．然后再根据长方形的面积公式进行解答．
解：根据以上分析知这个长方形硬纸片的长应是4厘米，宽是3厘米，它的面积是：
4×3=12（平方厘米）．
答：这个长方形碣纸片的面积最小是12平方厘米．
【考点点评】本题的关键是求出这个长方形硬纸片的长和宽，再根据长方形的面积公式进行计算．
【考点三】长方体的表面积
【典例一】求下面图形的表面积。

【解题思路】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答。
【详细解答】7×7×6＝294（平方厘米）
正方体的表面积是294平方厘米。
（18×10＋18×12＋10×12）×2
＝（180＋216＋120）×2
＝516×2
＝1032（平方分米）
长方体的表面积是1032平方分米。
【典例二】12个棱长的正方体，如图继续拼下去，拼成的新长方体，表面积减少了( )。
【解题思路】根据正方体的表面积棱长棱长6，长方体的表面积（长宽长高宽高），把数据代入公式求出12个正方体的表面积和与长方体的表面积差即可。
【详细解答】按照图示拼成的长方体的长是12cm，宽和高都是1cm。
（cm2）
则表面积减少了22cm2。
【典例三】一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。
（1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？
（2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？
【解题思路】（1）观察可知，金属支架＝长×2＋宽×4＋高×4，据此列式解答。
（2）根据题意，由于是无盖的帆布收纳箱，只求出这个长方体除了上底面之外的五个表面积和再加上手柄共用的布即可。根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详细解答】（1）5×2＋4.2×4＋3.5×4
＝10＋16.8＋14
＝26.8＋14
＝40.8（分米）
答：焊制收纳箱的金属支架至少需要40.8分米的金属条。
（2）5×4.2＋（5×3.5＋4.2×3.5）×2＋0.6
＝21＋（17.5＋14.7）×2＋0.6
＝21＋32.2×2＋0.6
＝21＋64.4＋0.6
＝85.4＋0.6
＝86（平方分米）
答：加工制作这个收纳箱至少需要86平方分米的帆布。
【考点四】露在外面的面
【典例一】由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。
【解题思路】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。
【详细解答】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。
（个）
（）
由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。
【典例二】4个棱长为6cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。
【解题思路】露在外面的是前面、上面和右面，从前面看有4个小正方形，从上面看有2个小正方形，从右面看有2个小正方形，将前面、上面和右面小正方形的个数相加是露在外面的面；先求出一个小正方形的面积，再乘露在外面的小正方形的个数即可。
【详细解答】4＋2＋2＝8（个）
36×8＝288（cm2）
有8个面露在外面，露在外面的面积是288cm2。
【典例三】将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？
【解题思路】观察可知，将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，减少了4个接触面的面积，用一个面的面积×4＝减少的面积，据此解答。
【详细解答】5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
答：长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，面积减少了，减少了100cm2。
【考点点评】本题考查了立体图形的切拼，每拼一次减少两个面。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与（ ）相对，C与（ ）相对。
【正确答案】F E
【解题思路】据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据特征进行判断即可。
【详细解答】由分析可得：
该展开图中，折成正方体后，“A”和“F”相对，“B”和“D”相对，“C”和“E”相对。
综上所述：A与F相对，C与E相对。
【考点点评】本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。
2．（2分）一种糖果盒子底面是边长24cm的正方形，高是4.5cm，在外务工的妈妈买了2盒这样的糖果盒子包装在一起寄回去给孩子，至少需要（ ）的包装纸。
【正确答案】2016
【解题思路】根据题意可知，要想需要包装纸少，就把糖果盒子最大面重合，则重合后的长方体的长是24cm，宽是24cm，高是（4.5×2）cm，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详细解答】重合后的长方体的长：24cm；宽：24cm；高4.5×2＝9（cm）
（24×24＋24×9＋24×9）×2
＝（576＋216＋216）×2
＝（792＋216）×2
＝1008×2
＝2016（cm2）
【考点点评】利用长方体表面积公式进行解答，关键明确，两个长方体最大面积重合，则长方体的表面积最小。
3．（2分）如图，把一个棱长15厘米的正方体分成3个相同长方体，表面积增加了（ ）平方厘米，每个小长方体的表面积是（ ）平方厘米。
【正确答案】900 630
【解题思路】通过观察图形可知，把一个棱长15厘米的正方体分成3个相同长方体，表面积增加4个截面的面积，每个乘长方体的长是（15÷3）厘米，宽和高都是15厘米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详细解答】15×15×4
＝225×4
＝900（平方厘米）
（5×15＋5×15＋15×15）×2
＝（75＋75＋225）×2
＝375×2
＝750（平方厘米）
表面积增加了900平方厘米，每个小长方体的表面积是750平方厘米。
【考点点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．（2分）如图是一个棱长为5厘米的正方体展开图，与4号面相对的是（ ）号，这个展开图的面积是（ ）平方厘米。
【正确答案】2 150
【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，1号面与5号面相对，2号面与4号面相对，3号面与6号面相对。根据正方体的表面积计算公式“S＝6a2”即可计算出这个正方体的表面积，即展开图的面积。
【详细解答】如图：
与4号面相对的是2号面
这个展开图的面积是：
52×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
这个展开图的面积是150平方厘米。
【考点点评】此题考查了正方体展开图的特征及正方体的表面积计算。
5．（2分）淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有（ ）个面露在外面。
【正确答案】17
【解题思路】第一个图形有5个面露在外面，可以写成：4×1＋1；第二图形有9个面露在外面，可以写成：4×2＋1；第三个图形有13个面露在外面，可以写成：4×3＋1；……，第n个图形有4n＋1个面露在外面，当n＝4时，即可求出露在外面的面的个数。
【详细解答】根据分析可知，当n＝4时：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有17个面露在外面。
【考点点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图就多4个面露在外面是解本题的关键。
6．（2分）如图，8个棱长为1分米的正方体块放在墙角处，则这堆小方块露在外面的面积是（ ）平方分米。
【正确答案】15
【解题思路】看图，数一数露在外面的有几个面。根据正方形的面积公式，求出1个面的面积，再利用乘法求出露在外面的面的面积和。
【详细解答】1×1×15＝15（平方分米）
则这堆小方块露在外面的面积是15平方分米。
【考点点评】本题考查了露在外面的面，数时需细心，避免犯错。
7．（2分）下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有（ ）个，总面积为（ ）平方厘米。
【正确答案】18 72
【解题思路】从正面看有6个面露在外面，从上面看有6个面露在外面，从右面看有6个面露在外面，一共有（6＋6＋6）个面露在外面，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出总面积。
【详细解答】6＋6＋6
＝12＋6
＝18（个）
2×2×18
＝4×18
＝72（平方厘米）
下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有18个。总面积为72平方厘米。
【考点点评】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数，进而解答。
8．（2分）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是（ ）字。与“数”字相对的是（ ）字。
【正确答案】御 乐
【解题思路】正方体相对的面不相连；相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。
【详细解答】通过分析可得：与“射”字相对的字是“书”字；与“礼”字相对的是“御”字；与“数”字相对的是“乐”字。
9．（2分）一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和为20米，这个长方体棱长总和（ ）米。
【正确答案】80
【解题思路】根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知相交于一个顶点的三条棱长总和为20米，这个长方体棱长和用20×4即可。
【详细解答】由分析可得：
20×4＝80（米）
综上所述，一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和为20米，这个长方体棱长总和80米。
【考点点评】本题主要考查了长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。
10．（2分）3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成（ ）种不同形状的长方体（包括正方体）。
【正确答案】10
【解题思路】根据长方体棱长的特征：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；正方体特征：12条棱长度都相等，据此可以列表解答。
【详细解答】由分析可得：
一组棱长 一组棱长 一组棱长
第1种 4根3厘米 4根3厘米 4根3厘米
第2种 4根4厘米 4根4厘米 4根4厘米
第3种 4根5厘米 4根5厘米 4根5厘米
第4种 4根5厘米 4根4厘米 4根3厘米
第5种 4根5厘米 4根4厘米 4根4厘米
第6种 4根5厘米 4根3厘米 4根3厘米
第7种 4根4厘米 4根3厘米 4根3厘米
第8种 4根4厘米 4根4厘米 4根3厘米
第9种 4根5厘米 4根5厘米 4根3厘米
第10种 4根5厘米 4根5厘米 4根4厘米
如表，3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成10种不同形状的长方体（包括正方体）。
【考点点评】本题考查了长方体的棱长特征，需要学生可以列举出所有的可能，其中不能漏项，不能重复。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）按下面的这两种方式在桌面上摆小正方体。两种摆法的规律都是每增加一个小正方体，露在外面的面就增加4个”。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】第一种摆法：摆1个正方体露在外面5个面，5＝1×3＋2；摆2个正方体露在外面8个面，8＝2×3＋2；摆3个正方体露在外面11个面，11＝3×3＋2…由此可知，露在外面的面的个数＝摆几个正方体就用几×3＋2，每增加一个小正方体，露在外面的面就增加3个；
第二种摆法：摆1个正方体露在外面5个面，5＝1×4＋1；摆2个正方体露在外面9个面，9＝2×4＋1；摆3个正方体露在外面13个面，13＝3×4＋1…由此可知，露在外面的面的个数＝摆几个正方体就用几×4＋1，每增加一个小正方体，露在外面的面就增加4个。
【详细解答】根据分析，第一种摆法每增加一个小正方体，露在外面的面就增加3个；第二种摆法每增加一个小正方体，露在外面的面就增加4个，所以原题说法错误。
故答案为：×
12．（2分）一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】由于是无盖的，即这个长方体的表面积是求5个面的面积和，根据无盖长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖水桶的表面积，即做这个水桶需要的铁皮面积，即可解答。
【详细解答】4×3＋（4×5＋3×5）×2
＝12＋（20＋15）×2
＝12＋35×2
＝12＋70
＝82（平方分米）
一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要82平方分米的铁皮。
原题干说法错误。
故答案为：×
【考点点评】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
13．（2分）可以折叠成一个正方体。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“3－3”型，可以折叠成一个正方体。
【详细解答】
可以折叠成一个正方体。
原题说法正确。
故答案为：√
【考点点评】考查了正方体的展开图，识记正方体的表面展开图的11种情形是解决问题的关键。
14．（2分）相交于一个顶点的三条棱的长度之和是20cm，这个长方体的棱长总和是80cm。（ ）
【正确答案】√
【解题思路】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组（长、宽、高），每组4条棱的长度相等，已知相交于一个顶点的三条棱长总和是20cm，也就是长、宽、高的和是20cm，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，由此列式解答。
【详细解答】根据题意可知：长＋宽＋高＝20cm，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4
所以：20×4＝80cm
故答案为：√
【考点点评】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的计算方法，要明确一个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
15．（2分）一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是10厘米。（ ）
【正确答案】×
【解题思路】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，一个顶点的三条棱的和就是长方体的长＋宽＋高的和，用棱长总和÷4，即可取出一个顶点的三条棱长的和，据此解答。
【详细解答】60÷4＝15（厘米）
一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是15厘米。
原题说法错误。
故答案为：×
【考点点评】利用长方体的特征进行解答。
三、选择题（满分10分）
16．（2分）把一个长、宽、高分别为4、2、3厘米的长方体切成两个长方体（如图），下面（ ）种切法表面积增加的最大。
A． B． C． D．
【正确答案】A
【解题思路】观察把一个长方体切成两个长方体后，表面积增加的部分，再分别计算出增加的表面积即可解答。
【详细解答】A．这种切法，表面积增加了两个长4厘米、宽3厘米的长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，4×3×2＝24（平方厘米），表面积增加了24平方厘米；
B．这种切法，表面积增加了两个长4厘米、宽2厘米的长方形的面积，4×2×2＝16（平方厘米），表面积增加了16平方厘米；
C．这种切法，表面积增加了两个长3厘米、宽2厘米的长方形的面积，3×2×2＝12（平方厘米），表面积增加了12平方厘米；
D．这种切法，表面积增加了两个长3厘米、宽2厘米的长方形的面积，3×2×2＝12（平方厘米），表面积增加了12平方厘米。
24＞16＞12，则A种切法表面积增加的最大。
故答案为：A
【考点点评】本题主要考查立体图形的切拼。明确每种切法表面积增加的部分是解题的关键。
17．（2分）将4个长10厘米，宽6厘米，高3.2厘米的长方体盒子包装在一起，下列（ ）种方式最省包装纸。
A． B． C． D．
【正确答案】C
【解题思路】根据各个选项可知，第一个选项的长是10厘米，宽是6厘米，高是4×3.2＝12.8（厘米）；第二个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6厘米，高是3.2×2＝6.4（厘米），第三个选项的宽是10厘米，长是6×2＝12（厘米），高是3.2×2＝6.4（厘米），第四个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6×2＝12（厘米），高是3.2厘米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解，再比较即可。
【详细解答】A．3.2×4＝12.8（厘米）
（10×6＋10×12.8＋6×12.8）×2
＝（60＋128＋76.8）×2
＝264.8×2
＝529.6（平方厘米）
B．10×2＝20（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（20×6＋20×6.4＋6×6.4）×2
＝（120＋128＋38.4）×2
＝286.4×2
＝572.8（平方厘米）
C．6×2＝12（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（10×12＋10×6.4＋12×6.4）×2
＝（120＋64＋76.8）×2
＝260.8×2
＝521.6（平方厘米）
D．10×2＝20（厘米），6×2＝12（厘米）
（20×12＋20×3.2＋12×3.2）×2
＝（240＋64＋38.4）×2
＝342.4×2
＝684.8（平方厘米）
684.8＞572.8＞529.6＞521.6
所以方式包装最省包装纸。
故答案为：C
【考点点评】本题主要考查立体图形的拼接以及长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
18．（2分）制作一个棱长30cm的正方体包装盒，至少需要（ ）cm2的包装纸。
A．360 B．900 C．5400 D．27000
【正确答案】C
【解题思路】已知正方体的棱长，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据解答即可判断。
【详细解答】30×30×6
＝900×6
＝5400（cm2）
至少需要54cm2的包装纸。
故答案为：C
【考点点评】此题考查了正方体的表面积公式，要注意单位的换算。
19．（2分）老师准备制作一个正方体纸盒，希望大家在下图补上两个小正方形，你知道其中不正确的是（ ）。
A．B．C． D．
【正确答案】C
【解题思路】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此逐项分析，进行判断解答。
【详细解答】
A．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，正确；
B．，符合正方体展开图的“1－3－2”结构，正确；
C．，不符合正方体展开图的特征，不正确；
D．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，正确。
不正确的是。
故答案为：C
20．（2分）一个物体的形状是长方体，下图是它的一部分，它不可能是（ ）。
A．货车车厢 B．数学书 C．仓库 D．无法判断
【正确答案】B
【解题思路】根据生活经验、数据大小及对长度单位的认识，小学生两臂伸开的长度大约1米，据此结合单位前的数据，数学书的长不可能是9.6米，据此选择。
【详细解答】由分析可得：一个物体的形状是长方体，下图是它的一部分，它不可能是数学书。
故答案为：B
四、计算题（满分6分）
21．（6分）计算下面图形的表面积。（单位：）
【正确答案】148平方厘米；150平方厘米；440平方厘米
【解题思路】图1和图2利用长方体的表面积公式即可求得解。图3的表面积由长方体的表面积加一周四个正方形的面积组合而成，据此解答。
【详细解答】（6×5＋6×4＋5×4）×2
＝（30＋24＋20）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
（15×8＋15×4＋8×4）×2＋2×2×4
＝（120＋60＋32）×2＋16
＝212×2＋16
＝424＋16
＝440（平方厘米）
五、作图题（满分6分）
22．（6分）乐乐和天天想将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体。乐乐想使切后的表面积增加154平方厘米；天天想使切后的表面积增加70平方厘米，他们该怎样切？请你在下面的长方体上画出切痕截面图。
乐乐的切法：
天天的切法：
【正确答案】见详解
【解题思路】将长方体切成完全一样的2个小长方体，则增加的面积是切面面积×2。乐乐想使切后的表面积增加154平方厘米，则切面面积应为：（平方厘米），是由长和高组成的面：（平方厘米），即从宽的中间点切开；天天想使切后的表面积增加70平方厘米，则切面面积为：（平方厘米），是由宽和高组成的面：（平方厘米），即从长的中间点切开得出答案。
【详细解答】乐乐的切法：
天天的切法：
六、解答题（满分48分）
23．（6分）大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？
【正确答案】128平方分米
【解题思路】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍，因此，这个立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体四个侧面的面积；据此解答。
【详细解答】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么这个立体图形的表面积是128平方分米。
【考点点评】本题主要考查组合体的表面积计算，关键是明确大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍。
24．（6分）一间办公室长8米，宽6米，高3米，用涂料粉刷办公室的天花板和四面墙壁，除去门窗的面积40.8平方米，粉刷的面积是多少平方米？
【正确答案】91.2平方米
【解题思路】求粉刷的面积就是求长方体去掉底面的5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出面积，再减去门窗的面积，即可求出粉刷的面积。
【详细解答】8×6＋（8×3＋6×3）×2－40.8
＝48＋（24＋18）×2－40.8
＝48＋42×2－40.8
＝48＋84－40.8
＝132－40.8
＝91.2（平方米）
答：粉刷的面积是91.2平方米。
【考点点评】熟练掌握和灵活运用长方体表面积公式是解答本题的关键。
25．（6分）一节长方体通风管长15分米，横截面是边长2.5分米的正方形。做10节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？
【正确答案】15平方米
【解题思路】据生活经验可知，长方体的通风管只有侧面，没有底面，根据无底无盖长方体的侧面积公式：S＝（ah＋bh）×2，把数据代入公式求出做一节这样的通风管需要铁皮的面积，然后再乘做的节数即可。
【详细解答】（15×2.5＋15×2.5）×2×10
＝75×2×10
＝150×10
＝1500（平方分米）
1500平方分米＝15平方米
答：做10节这样的通风管需要15平方米的铁皮。
【考点点评】此题主要考查无底无盖长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．（6分）一根铁丝可以焊成一个长50厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？
【正确答案】40厘米
【解题思路】先根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝总长，再用铁丝总长÷12即可。
【详细解答】（50＋40＋30）×4
＝120×4
＝480（厘米）
480÷12＝40（厘米）
答：这个正方体的棱长是40厘米。
【考点点评】长方体和正方体都有12条棱，长方体相对的棱长度相等，正方体12条棱长度都相等。
27．（6分）如图，把9个棱长为6分米的正方体纸箱堆放在墙角，露在外面的面的面积是多少？
【正确答案】612平方分米
【解题思路】观察图形可知，从正面看有6个面露在外面，从上面看有5个面露在外面；从右面看有6个面露在外面，一共有6＋5＋6＝17个面，再乘一个棱长6分米小正方形的面积，就是露在外面的面积，即可解答。
【详细解答】（6＋5＋6）×（6×6）
＝（11＋6）×36
＝17×36
＝612（平方分米）
答：露在外面的面的面积是612平方分米。
【考点点评】本题考查如何观察物体露在外面的面的个数是多少，利用面积公式求出所有露在外面的面的面积。
28．（6分）灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼。元宵节就要到了，笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图，单位：cm），至少需要多少厘米的木条？
【正确答案】240厘米
【解题思路】根据题意，求制作这个长方体灯笼的框架，需要多少厘米的木条，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详细解答】（30＋15＋15）×4
＝（45＋15）×4
＝60×4
＝240（厘米）
答：至少需要240厘米的木条。
【考点点评】利用长方体棱长总和的公式进行解答，关键是熟记公式。
29．（6分）有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？
【正确答案】180平方厘米
【解题思路】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从中去掉一个棱长1厘米的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。
【详细解答】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面积是180平方厘米。
【考点点评】解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。
30．（6分）下面是一个长方体展开图的三个面（每个小方格边长是1厘米）。
（1）请你画出长方体展开图的另外三个面。
（2）这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【正确答案】（1）见详解；
（2）62平方厘米
【解题思路】（1）根据长方体展开图的特征，长方体有6个面，相对的面完全相同，结合此补全长方体展开图的另外三个面；
（2）根据长方体展开图可知，该长方体长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据求解即可。
【详细解答】（1）如图：（画图不唯一）
（2）表面积为：
（5×3＋2×5＋2×3）×2
＝（15＋10＋6）×2
＝（25＋6）×2
＝31×2
＝62（平方厘米）
答：这个长方体的表面积为62平方厘米。
【考点点评】本题考查了长方体展开图的特征及应用，同时还要求熟练掌握长方体表面积公式，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。
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