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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第二单元 长方体（一）
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：九大易错知识点 3
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：对长方体的特征了解不彻底，误认为只有六个面都是长方形时,才是长方体。 3
易错点二：不理解正方体展开图的特点，只要看到由六个完全--样的正方形组成的图形,就误认为它可以组成正方体。 4
易错点三：计算长方体的表面积时,易漏掉部分面的面积。 4
易错点四：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 4
第三部分：十八种易错题型突破 5
突破题型一长方体的认识和特征 5
突破题型二正方体的认识和特征 6
突破题型三长方体棱长的应用 7
突破题型四正方体棱长的应用 8
突破题型五长方体的展开图 9
突破题型六正方体的展开图 10
突破题型七立体图形的切拼 12
突破题型八长方体的表面积 13
突破题型九正方体的表面积 14
突破题型十组合图形的表面积 16
突破题型十一作长方体的展开图 17
突破题型十二作正方体的展开图 18
突破题型十三根据长方体展开图解决实际问题 19
突破题型十四根据正方体展开图解决实际问题 21
突破题型十五长方体表面积的实际应用 21
突破题型十六正方体表面积的实际应用 23
突破题型十七立体图形的切拼（表面积） 24
突破题型十八露在外面的面（表面积） 25
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。
4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。
5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。
6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。
7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。
8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。
易错点一：对长方体的特征了解不彻底，误认为只有六个面都是长方形时,才是长方体。
判断:正方体的六个面都是正方形，长方体的六个面都是长方形。( )
【错误答案】正确
【错解分析】正方体的每一个面都是正方形;有的长方体的六个面都是长方形,而有的长方体有两个面是正方形。正方体是特殊的长方体。
【正确答案】错误
易错点二：不理解正方体展开图的特点，只要看到由六个完全--样的正方形组成的图形,就误认为它可以组成正方体。
判断:只要是由六个完全一样的正方形组成的图形就一定能围成正方体。( )
【错误答案】正确
【错解分析】由六个完全一样的正方形组成的图形不一定都可以围成正方体。判断将图形进行折叠后能否围成正方体,除了看所判断的图形是否符合正方体展开图的特点外,还可以动手折一折,试一试。如下图就不能围成正方体。
【正确答案】错误
易错点三：计算长方体的表面积时,易漏掉部分面的面积。
一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米,高是5厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米
【错误答案】10×8+8×5+10×5=170(平方厘米)
答:这个长方体的表面积是170平方厘米。
【错解分析】相对的两个面面积相等,容易出现只求出表面积的一半的错误。求长方体的表面积,就是求它的6个面的面积之和,也就是求出3个相邻面的面积和,再乘2即可,长方体的表面
积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
【正确答案】（10×8+8×5+10×5）×2=340(平方厘米)
答:这个长方体的表面积是340平方厘米。
易错点四：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。
判断:4个相同的小正方体摆放在一起,露在外面的面有14个。( )
【错误答案】正确
【错解分析】4个相同的小正方体摆放在一起,有不同的摆法，因为摆放的方法不同,露在外面的面的个数不一定相同,所以这种说法不正确。
【正确答案】错误
突破题型一长方体的认识和特征
1．长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。
2．在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。
3．把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，高是( )分米。
4．看图填空。
长/cm 宽/cm 面积/cm2
上面
左面
后面
突破题型二正方体的认识和特征
5．3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成( )种不同形状的长方体（包括正方体）。
6．一个上下两层的长方体储物柜，每层高0.3米，后来往上又加了一层，这时储物柜的形状是正方体，这个储物柜现在占地( )平方米。
7．长方体和正方体都有( )个顶点，( )个面，( )条棱，正方体可以看作是长、宽、高都( )的长方体，正方体是特殊的( )体。
8．三种不同长度的小棒分别有8根、12根、8根。请你搭出一个长方体和一个正方体。
图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
突破题型三长方体棱长的应用
9．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。
10．民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如图）正面周长是200cm，那么宽就不能超过( )cm。
11．下图是一个长方体的三条棱，这个长方体右面的面积是( )dm2，棱长总和是( )dm。
12．下图中，A面的面积是40cm2。那么：
(1)B面的面积是( )cm2。
(2)要做这个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。
突破题型四正方体棱长的应用
13．把一根48分米长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），它的棱长是( )分米。
14．张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。
15．做一个长5厘米，宽4厘米，高7厘米的长方体框架，至少需要( )厘米的铁丝。一根长60厘米的铁丝最大可以做棱长( )厘米的正方体。
16．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。
突破题型五长方体的展开图
17．在下面图2的8个面中找出6个面，使它们能围成图1的长方体．这6个面的编号分别是 ．
18．下面图是长方体的展开图：折成立体后，有哪些相对且全等的面？( )和( )相对，( )和( )相对．
19．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图，单位：cm）。图中阴影部分的面积是( )cm2。
20．下面的图形折叠后，能围成长方体的图形是( )，能围成正方体的图形是( )。
突破题型六正方体的展开图
21．合阳县是国家扶贫开发工作重点县、国家生态示范县、国家卫生县城、国家园林县城、全国文明城市提名城市、全国“四好农村路”示范县、省级文一明县城、省级环保模范县。将下面这个展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？
共对( )，合对( )，建对( )。
22．2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。下图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“( )”。
23．用下图折成一个正方体，如果“5”在底面，那么“2”在( )面。
24．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察这个正方体，观察结果如图所示，则数字3对面是数字( )。

突破题型七立体图形的切拼
25．把6个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的正方形面有( )个。
26．将6个棱长是1厘米的小正方体按如图的方式摆放在桌面，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。
27．下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有( )个，总面积为( )平方厘米。
18个。总面积为72平方厘米。
【点评】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数，进而解答。
28．有5个棱长是4厘米的小正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。
突破题型八长方体的表面积
29．计算下面长方体的表面积。（列式计算，并写出单位和答语）
30．计算长方体的表面积。
31．算出下面长方体的表面积。
32．下图是一个长方体盒子的展开图，求出该盒子的表面积。
突破题型九正方体的表面积
33．计算下面图形的表面积。
34．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）
35．求如图长方体的体积和正方体的表面积。
36．计算如图图形的表面积和体积。
突破题型十组合图形的表面积
37．计算下图的表面积。（单位：分米）
38．计算如图图形的表面积。（单位：cm）
39．计算下面图形的表面积。
（1）（2）
40．计算下图的表面积。（单位：分米）
突破题型十一作长方体的展开图
41．如图是一个长方体展开图的前面、下面和左面，请画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的哪个面（右面、后面、上面）。
42．画一个长方体的展开图。
43．下图中的长方形是长方体中的两个不同的面，请画出另一个不同的面。
44．在长方体的展开图上找出相对的面，并用上、下、前、后、左、右标出，再用a、b、c标出每条棱。
突破题型十二作正方体的展开图
45．折成如图的小正方体（如左图）需要6个相连的正方形纸片，认真思考，怎样排列的小正方形才能刚好折成，把它的形状画出来。
46．骰子是古代汉族民间娱乐用来投掷的博具。最常见的六面骰，其相对两面的点数之和都是7，请你把下面各展开图中缺少的点子画出来。
47．笑笑准备制作一个封闭的正方体盒子，她先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形，经过折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个正方体盒子。

48．如图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下将它剪成三部分，使每部分都可以沿某些格线折成一个没有盖的小方盒，应怎样剪？请在图中用线画出来。
突破题型十三根据长方体展开图解决实际问题
49．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？
50．下面是同一个长方体的展开图，说一说每个图是怎样展开的。
找一些正方体纸盒将其展开，你能展开成多少种不同的形状？
【答案】（1）见详解
（2）图形见详解；11种
51．如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至少要用去多大面积的纸板？
52．下面的正方体A、B、C、D、E哪个肯定不是由下图围成的？
突破题型十四根据正方体展开图解决实际问题
53．淘气在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如下图所示。
（1）在上图中画出第六个面，标上“F”，帮助淘气完成展开图。（画出一种即可）
（2）在这幅展开图中，与“A”相对的面是“（ ）”。
54．奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算）
突破题型十五长方体表面积的实际应用
55．某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。
（1）该游泳池占地面积是多少平方米？
（2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？
56．学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？
57．新学期到了，学校发起了“爱书、护书”倡议活动。妙妙要为每本新书都粘上塑料膜，下图是数学书的测量数据，如果在它的外面（三个面）粘书膜，至少需要多大面积的塑料膜？（单位：厘米）
58．笑笑买了一本《漫画儿童》，如下图。为了保护新书，笑笑准备在它的外面（三个面）粘上一层塑料膜，至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接口处忽略不计）
突破题型十六正方体表面积的实际应用
59．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？
60．用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？
61．一个长方体的表面积是210平方厘米，正好可以分成3个相同的正方体，每个小正方体的表面积是多少？
62．王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6分米的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计）
（1）如果要给这个正方体框架安装上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？
（2）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计）
（3）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8分米，宽3分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少分米？
突破题型十七立体图形的切拼（表面积）
63．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。
64．把一块长和宽都是1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比原来增加了2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？
65．将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。
66．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？
突破题型十八露在外面的面（表面积）
67．将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？
68．如图，4个棱长是2cm的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是多少平方厘米？
69．如图，将若干个正方体纸箱放置在墙角，已知纸箱的棱长是50厘米，它们露在外面的面积有多大？占地面积是多少？
70．在墙角堆放4个棱长为2分米的正方体纸箱（如下图），露在外面的面积是多少平方分米？
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第二单元 长方体（一）
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：九大易错知识点 3
第二部分：四大常考易错点 3
易错点一：对长方体的特征了解不彻底，误认为只有六个面都是长方形时,才是长方体。 3
易错点二：不理解正方体展开图的特点，只要看到由六个完全--样的正方形组成的图形,就误认为它可以组成正方体。 4
易错点三：计算长方体的表面积时,易漏掉部分面的面积。 4
易错点四：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 4
第三部分：十八种易错题型突破 5
突破题型一长方体的认识和特征 5
突破题型二正方体的认识和特征 6
突破题型三长方体棱长的应用 9
突破题型四正方体棱长的应用 11
突破题型五长方体的展开图 13
突破题型六正方体的展开图 15
突破题型七立体图形的切拼 17
突破题型八长方体的表面积 19
突破题型九正方体的表面积 21
突破题型十组合图形的表面积 24
突破题型十一作长方体的展开图 26
突破题型十二作正方体的展开图 28
突破题型十三根据长方体展开图解决实际问题 31
突破题型十四根据正方体展开图解决实际问题 34
突破题型十五长方体表面积的实际应用 36
突破题型十六正方体表面积的实际应用 38
突破题型十七立体图形的切拼（表面积） 40
突破题型十八露在外面的面（表面积） 43
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。
4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。
5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。
6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。
7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。
8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。
易错点一：对长方体的特征了解不彻底，误认为只有六个面都是长方形时,才是长方体。
判断:正方体的六个面都是正方形，长方体的六个面都是长方形。( )
【错误答案】正确
【错解分析】正方体的每一个面都是正方形;有的长方体的六个面都是长方形,而有的长方体有两个面是正方形。正方体是特殊的长方体。
【正确答案】错误
易错点二：不理解正方体展开图的特点，只要看到由六个完全--样的正方形组成的图形,就误认为它可以组成正方体。
判断:只要是由六个完全一样的正方形组成的图形就一定能围成正方体。( )
【错误答案】正确
【错解分析】由六个完全一样的正方形组成的图形不一定都可以围成正方体。判断将图形进行折叠后能否围成正方体,除了看所判断的图形是否符合正方体展开图的特点外,还可以动手折一折,试一试。如下图就不能围成正方体。
【正确答案】错误
易错点三：计算长方体的表面积时,易漏掉部分面的面积。
一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米,高是5厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米
【错误答案】10×8+8×5+10×5=170(平方厘米)
答:这个长方体的表面积是170平方厘米。
【错解分析】相对的两个面面积相等,容易出现只求出表面积的一半的错误。求长方体的表面积,就是求它的6个面的面积之和,也就是求出3个相邻面的面积和,再乘2即可,长方体的表面
积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
【正确答案】（10×8+8×5+10×5）×2=340(平方厘米)
答:这个长方体的表面积是340平方厘米。
易错点四：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。
判断:4个相同的小正方体摆放在一起,露在外面的面有14个。( )
【错误答案】正确
【错解分析】4个相同的小正方体摆放在一起,有不同的摆法，因为摆放的方法不同,露在外面的面的个数不一定相同,所以这种说法不正确。
【正确答案】错误
突破题型一长方体的认识和特征
1．长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。
【答案】6 8
【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点。据此解答。
【解答】通过分析可得：长方体和正方体都有6个面，8个顶点。
2．在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。
【答案】①③④⑤⑥⑦
【分析】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。
【解答】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。
3．把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，高是( )分米。
【答案】6 2 2
【分析】
三个小正方体拼成长方体，只有一种拼法，即一字排列；拼成的这个长方体长为（3×2）分米，宽和高则都等于原来小正方体的棱长，据此解答。
【解答】3×2＝6（分米）
1×2＝2（分米）
1×2＝2（分米）
因此把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的长是6分米，宽是 2分米，高是2分米。
4．看图填空。
长/cm 宽/cm 面积/cm2
上面
左面
后面
【答案】6；4；24；
4；3；12；
6；3；18
【分析】
长方体的特征：长方体有6个面，一般情况下，6个面都是长方形。找出图中长方体的上面、左面、后面的长、宽，根据长方形的面积＝长×高，求出各面的面积，并填入表格中。
【解答】上面：6×4＝24（cm2）
左面：4×3＝12（cm2）
后面：6×3＝18（cm2）
如下表：
长/cm 宽/cm 面积/cm2
上面 6 4 24
左面 4 3 12
后面 6 3 18
突破题型二正方体的认识和特征
5．3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成( )种不同形状的长方体（包括正方体）。
【答案】10
【分析】根据长方体棱长的特征：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；正方体特征：12条棱长度都相等，据此可以列表解答。
【解答】由分析可得：
一组棱长 一组棱长 一组棱长
第1种 4根3厘米 4根3厘米 4根3厘米
第2种 4根4厘米 4根4厘米 4根4厘米
第3种 4根5厘米 4根5厘米 4根5厘米
第4种 4根5厘米 4根4厘米 4根3厘米
第5种 4根5厘米 4根4厘米 4根4厘米
第6种 4根5厘米 4根3厘米 4根3厘米
第7种 4根4厘米 4根3厘米 4根3厘米
第8种 4根4厘米 4根4厘米 4根3厘米
第9种 4根5厘米 4根5厘米 4根3厘米
第10种 4根5厘米 4根5厘米 4根4厘米
如表，3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成10种不同形状的长方体（包括正方体）。
【点评】本题考查了长方体的棱长特征，需要学生可以列举出所有的可能，其中不能漏项，不能重复。
6．一个上下两层的长方体储物柜，每层高0.3米，后来往上又加了一层，这时储物柜的形状是正方体，这个储物柜现在占地( )平方米。
【答案】0.81
【分析】上下两层的长方体储物柜，又加了一层变成了正方体，每层高0.3米，证明正方体的棱长为0.3×3＝0.9（米），根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【解答】0.9×0.9＝0.81（平方米）
这个储物柜现在占地0.81平方米。
【点评】此题主要考查正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．长方体和正方体都有( )个顶点，( )个面，( )条棱，正方体可以看作是长、宽、高都( )的长方体，正方体是特殊的( )体。
【答案】8 6 12 相等 长方
【解答】长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长方体有6个面，都是长方形，也可能有2个相对的面是正方形。长方体相对的面完全相同。长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体有8个顶点；
因为长方体的特征正方体都符合，比如相对的棱长度相等、相对的面完全相同等等，只不过正方体更特殊一些，它每条棱、每个面都一样，所以说它是特殊的长方体。
8．三种不同长度的小棒分别有8根、12根、8根。请你搭出一个长方体和一个正方体。
图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】长方体；8；3；3；
正方体；5；5；5
【分析】根据长方体的特征、正方体的特征：长方体的12条棱分3组，每组4条棱的长度相等，特殊情况，当长方体有两个相对的面是正方形时，这个长方体中有8条棱的长度相等，其余4条棱的长度相等；正方体的12条棱长都相等，据此解答。
【解答】选取8根3cm的小棒和4根8cm的小棒，可以搭出一个长方体；
选取12根5cm的小棒，可以搭出一个正方体；
表格如下：
图形名称 长/cm 宽/cm 高/cm
长方体 8 3 3
正方体 5 5 5
突破题型三长方体棱长的应用
9．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。
【答案】80
【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。
【解答】
（cm）
用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。
10．民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如图）正面周长是200cm，那么宽就不能超过( )cm。
【答案】15
【分析】根据题意可知，民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出李叔叔拿的手提包行李箱的长与高的和；再用115－行李箱的长与高的和，即可求出李叔叔行李箱的宽不能超过的长度，据此解答。
【解答】115－200÷2
＝115－100
＝15（cm）
宽就不能超过15cm。
11．下图是一个长方体的三条棱，这个长方体右面的面积是( )dm2，棱长总和是( )dm。
【答案】15 48
【分析】根据题意可知，长方体的长是4dm，宽是3dm，高是5dm；右面是一个长是5dm，宽是3dm的长方形；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出右面的面积；再根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【解答】5×3＝15（dm2）
（4＋3＋5）×4
＝（7＋5）×4
＝12×4
＝48（dm）
下图是一个长方体的三条棱，这个长方体右面的面积是15dm2，棱长总和是48dm。
12．下图中，A面的面积是40cm2。那么：
(1)B面的面积是( )cm2。
(2)要做这个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。
【答案】(1)56
(2)80
【分析】（1）根据图分析，A面是一个长方形，宽是5cm，面积是40cm2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据求出A面的长是多少。A面的长，也是B面的长，同时也是整个长方体的长，B面的宽为7cm，代入长方形面积公式可求B面面积。
（2）根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，从图上可知该长方体高为5cm，宽为7cm，再利用上一问求出的长方体的长，计算即可。
【解答】（1）（1）40÷5＝8（cm）
8×7＝56（cm2）
B面的面积是56cm2。
（2）（8＋7＋5）×4
＝（15＋5）×4
＝20×4
＝80（cm）
要做这个长方体框架，至少需要80cm的铁丝。
【点评】本题主要考查了长方形的面积公式和长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。
突破题型四正方体棱长的应用
13．把一根48分米长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），它的棱长是( )分米。
【答案】4
【分析】根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。
【解答】48÷12＝4（分米）
【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有12条棱，所有的棱长度相等。
14．张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是( )厘米。
【答案】6
【分析】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体总棱长，又长方体棱长总和＝正方体棱长总和；再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。
【解答】
＝（13＋5）×4÷12
（厘米）
【点评】利用长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，进行解答。
15．做一个长5厘米，宽4厘米，高7厘米的长方体框架，至少需要( )厘米的铁丝。一根长60厘米的铁丝最大可以做棱长( )厘米的正方体。
【答案】64 5
【分析】根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”求铁丝的长，再根据“正方体的棱长＝正方体的棱长总和÷12”进行解答即可。
【解答】（5＋4＋7）×4
＝16×4
＝64（厘米）
60÷12＝5（厘米）
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的特征，正方体、长方体的棱长总和公式及应用，关键是熟记公式。
16．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。
【答案】7
【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。
【解答】6×12＝72（cm）
72÷4－6－5
＝18－6－5
＝7（cm）
高是7cm。
突破题型五长方体的展开图
17．在下面图2的8个面中找出6个面，使它们能围成图1的长方体．这6个面的编号分别是 ．
【答案】A、E、D、G、C、F
18．下面图是长方体的展开图：折成立体后，有哪些相对且全等的面？( )和( )相对，( )和( )相对．
【答案】A C E F
19．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图，单位：cm）。图中阴影部分的面积是( )cm2。
【答案】10
【分析】根据题意，一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图，图中阴影部分是一个长5cm，宽是2cm的长方形，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。
【解答】5×2＝10（cm2）
所以图中阴影部分的面积是10cm2。
20．下面的图形折叠后，能围成长方体的图形是( )，能围成正方体的图形是( )。
【答案】①③ ②④⑥
【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。
正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。
正方体展开图的特点：“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体。
【解答】①展开图的6个面都是长方形，相对的面相同，属于展开图的“1—4—1”型，可以围成长方体；
②展开图的6个面都是完全一样的正方形，属于正方体展开图的“2—3—1”型，可以围成正方体；
③展开图中有2个面是正方形，其余4个面是完全一样的长方形，属于展开图的“1—4—1”型，可以围成长方体；
④展开图的6个面都是完全一样的正方形，属于正方体展开图的“1—4—1”型，可以围成正方体；
⑤展开图的6个面虽然都是完全一样的正方形，但不属于正方体展开图的任何一种，不能围成正方体；
⑥展开图的6个面都是完全一样的正方形，属于正方体展开图的“3—3”型，可以围成正方体。
综上所述，能围成长方体的图形是①③，能围成正方体的图形是②④⑥。
突破题型六正方体的展开图
21．合阳县是国家扶贫开发工作重点县、国家生态示范县、国家卫生县城、国家园林县城、全国文明城市提名城市、全国“四好农村路”示范县、省级文一明县城、省级环保模范县。将下面这个展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？
共对( )，合对( )，建对( )。
【答案】阳 美 丽
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，围成正方体后，共与阳相对，合与美相对，建与丽相对。
【解答】由分析可知；将围成正方体后，共与阳相对，合与美相对，建与丽相对。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
22．2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。下图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“( )”。
【答案】发
【分析】根据正方体展开图的可知，符合正方体展开图的“1－4－1”型，叠成正方体后，“神”对面上的字是“射”；“14”对面上的字是“功”；“成”的对面上的字是“发”；据此解答。
【解答】根据分析可知，2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。下图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“发”。
【点评】熟记正方体展开图的特征是解答本题的关键。
23．用下图折成一个正方体，如果“5”在底面，那么“2”在( )面。
【答案】前
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1—4—1”型，折成正方体后，“2”与“4”是相对面，“1”与“5”是相对面，“3”与“6”是相对面。
【解答】如图：
折成一个正方体，如果“5”在底面，那么“2”在前面。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
24．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察这个正方体，观察结果如图所示，则数字3对面是数字( )。

【答案】6
【分析】观察第2个图形可以发现：3的对面不是1或2；观察第3个图形可以发现，3的对面也不是4或5。那么数字3对面是数字6。
【解答】通过观察、分析可知，数字3对面是数字6。
【点评】本题考查推理问题。根据数字3相邻面上的数字，运用排除法即可推理出3对面的数字。
突破题型七立体图形的切拼
25．把6个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的正方形面有( )个。
【答案】13
【分析】由图可知，从正面看有4个面露在外面，从上面看有5个面露在外面，从右面看有4个面露在外面，一共有（4＋5＋4）个面露在外面，据此解答。
【解答】4＋5＋4
＝9＋4
＝13（个）
把6个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的正方形面有13个面。
【点评】数清楚露在外面的面的个数是解答本题的关键。
26．将6个棱长是1厘米的小正方体按如图的方式摆放在桌面，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。
【答案】21 21
【分析】有从上、左、右、前、后五个方向看到的面露在外面，左面和右面看到小正方形面数量一样，前面和后面看到的小正方形面数量一样；据此解答即可。
【解答】从上面看到3个小正方形面，从左右面看到各3个小正方形面，从前后面各看到6个小正方形面
3＋3×2＋6×2
＝3＋6＋12
＝21（个）
1×1×21＝21（平方厘米）
【点评】按一定的顺序计算立体图形从外面看到的面，避免出现遗漏和重复。
27．下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有( )个，总面积为( )平方厘米。
【答案】18 72
【分析】从正面看有6个面露在外面，从上面看有6个面露在外面，从右面看有6个面露在外面，一共有（6＋6＋6）个面露在外面，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出总面积。
【解答】6＋6＋6
＝12＋6
＝18（个）
2×2×18
＝4×18
＝72（平方厘米）
下图是一些棱长为2厘米小正方体搭成的，堆放在墙角，则这些小正方体露在外面的面共有18个。总面积为72平方厘米。
【点评】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数，进而解答。
28．有5个棱长是4厘米的小正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。
【答案】10 160
【分析】观察题意可知，露在外面的小正方形面有（4＋3＋3）个，每个面是（4×4）平方厘米，根据乘法的意义，用每个面的面积乘个数，即可求出露在外面的面积。据此解答。
【解答】4＋3＋3＝10（个）
4×4×10＝160（平方厘米）
有10个面露在外面，露在外面的面积是160平方厘米。
【点评】解答本题的关键是数出有几个露在外面的面。
突破题型八长方体的表面积
29．计算下面长方体的表面积。（列式计算，并写出单位和答语）
【答案】70平方厘米
【分析】这个长方体的长是8厘米，宽是1厘米，高是3厘米，根据长方体的表面积＝2×（前面面积＋上面面积＋左面面积）＝2×（长×高＋长×宽＋宽×高），代入数据计算即可。
【解答】2×（8×3＋8×1＋1×3）
＝2×（24＋8＋3）
＝2×（32＋3）
＝2×35
＝70（平方厘米）
答：长方体的表面积是70平方厘米。
30．计算长方体的表面积。
【答案】136平方米
【分析】由图可知，这个长方体的长是8米，宽是3米，高是4米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出这个长方体表面积。
【解答】长方体的表面积：
（8×3＋8×4＋3×4）×2
＝（24＋32＋12）×2
＝68×2
＝136（平方米）
31．算出下面长方体的表面积。
【答案】286cm2
【分析】从图中可知，长方体的长是16cm、宽是3cm、高是5cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出它的表面积。
【解答】（16×3＋16×5＋3×5）×2
＝（48＋80＋15）×2
＝143×2
＝286（cm2）
长方体的表面积是286cm2。
32．下图是一个长方体盒子的展开图，求出该盒子的表面积。
【答案】640平方厘米
【分析】根据展开图可知，长为20厘米，宽为10厘米，两条高＋两条高＝28厘米，据此用（28－10×2）÷2即可求出高，再根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。
【解答】（28－10×2）÷2
＝（28－20）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
（20×10＋20×4＋10×4）×2
＝（200＋80＋40）×2
＝320×2
＝640（平方厘米）
这个长方体的表面积是640平方厘米。
突破题型九正方体的表面积
33．计算下面图形的表面积。
【答案】94cm2；150dm2
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。
【解答】（5×3＋5×4＋3×4）×2
＝（15＋20＋12）×2
＝47×2
＝94（cm2）
5×5×6＝150（dm2）
34．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）
【答案】22800cm2；216cm2
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可求解。
【解答】（1）2×（60×40＋60×90＋40×90）
＝2×（2400＋5400＋3600）
＝2×11400
＝22800（cm2）
长方体的表面积是22800cm2。
（2）6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
正方体的表面积是216cm2。
35．求如图长方体的体积和正方体的表面积。
【答案】480立方厘米；1350平方分米
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把图中数据代入公式计算即可。
【解答】10×6×8
＝60×8
＝480（立方厘米）
15×15×6
＝225×6
＝1350（平方分米）
所以，长方体的体积是480立方厘米，正方体的表面积是1350平方分米。
36．计算如图图形的表面积和体积。
【答案】486平方厘米；729立方厘米
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此代入数值进行计算即可。
【解答】表面积：9×9×6
＝81×6
＝486（平方厘米）
9×9×9
＝81×9
＝729（立方厘米）
突破题型十组合图形的表面积
37．计算下图的表面积。（单位：分米）
【答案】844平方分米
【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。
【解答】长方形的表面积：
（15×10＋15×8＋10×8）×2
＝（150＋120＋80）×2
＝350×2
＝700（平方分米）
正方体的表面积：
6×6×4
＝36×4
＝144（平方分米）
700＋144＝844（平方分米）
图形的表面积为844平方分米。
38．计算如图图形的表面积。（单位：cm）
【答案】306cm2
【分析】由于正方体与长方体有重合面，相当于少了2个正方形的面积，所以上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后相加即可求出组合图形的表面积。
正方体表面积＝棱长×棱长×6；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【解答】4×4×4＋（10×7＋10×3＋7×3）×2
＝16×4＋（70＋30＋21）×2
＝64＋121×2
＝64＋242
＝306（cm2）
它的表面积是306cm2。
39．计算下面图形的表面积。
（1）（2）
【答案】（1）150cm2
（2）432m2
【分析】（1）根据正方形边长＝周长÷4，求出底面边长，可知这是一个正方体，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可；
（2）看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。
【解答】（1）20÷4＝5（cm）
5×5×6＝150（cm2）
正方体的表面积是150cm2。
（2）（12×6＋12×8＋6×8）×2
＝（72＋96＋48）×2
＝216×2
＝432（m2）
这个立体图形的表面积是432m2。
40．计算下图的表面积。（单位：分米）
【答案】248平方分米
【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。
【解答】
＝
＝
＝（平方分米）
（平方分米）
（平方分米）
（平方分米）
则图形的表面积是248平方分米。
突破题型十一作长方体的展开图
41．如图是一个长方体展开图的前面、下面和左面，请画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的哪个面（右面、后面、上面）。
【答案】见详解
【分析】根据长方体的展开图的特征，长方体展开图对面是相同的长方形，左面与右面是相对的两个面，上面与下面是相对的两个面，前面与后面是相对的两个面，据此可依次画出右面、后面、上面。
【解答】作图如下：
【点评】此题的解题关键是理解掌握长方体展开图的特征。
42．画一个长方体的展开图。
【答案】见详解
【分析】根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面形状完全相同，据此即可画出长方体的展开图。
【解答】
【点评】本题主要考查长方体展开图的特征。
43．下图中的长方形是长方体中的两个不同的面，请画出另一个不同的面。
【答案】见详解
【分析】由图意可知这个长方体的长为5个小格的长，宽为3个小格的长，高为2个小格的长，由此即可知另一外一个不同的面长为5个小格的长，宽为2个小格的长；据此画图即可。
【解答】
【点评】解答此题的关键是根据已知的两个面确定出长方体的长、宽，高再画图。
44．在长方体的展开图上找出相对的面，并用上、下、前、后、左、右标出，再用a、b、c标出每条棱。
【答案】见详解
【分析】根据长方体展开图的特征，右图属于左图的展开图，展开后，相等的面为相对的面，根据相对面的长、宽分别相等，在左图所标出的面和各棱，即可在右图中分别用上、下、前、后、左、右标出，再用a、b、c标出每条棱。
【解答】
【点评】本题考查长方体的展开图，长方体展开图对面是相同的长方形（特殊长方体有一组对面是正方形，其余是四个相同的长方形）。
突破题型十二作正方体的展开图
45．折成如图的小正方体（如左图）需要6个相连的正方形纸片，认真思考，怎样排列的小正方形才能刚好折成，把它的形状画出来。
【答案】见详解
【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。根据正方体展开图的11中特征作图即可。
【解答】如图：
（答案不唯一）
46．骰子是古代汉族民间娱乐用来投掷的博具。最常见的六面骰，其相对两面的点数之和都是7，请你把下面各展开图中缺少的点子画出来。
【答案】见详解
【分析】骰子相对的两面点数之和为 7，1 点和 6 点相对，2 点和 5 点相对，3 点和 4 点相对。据此解答。
【解答】展开图中缺少的点子画图如下：
47．笑笑准备制作一个封闭的正方体盒子，她先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形，经过折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个正方体盒子。

【答案】见详解
【分析】观察已知5个面可知：图形符合正方体展开图的3－3型或3－2－1型；据此解答。
【解答】画图如下：

【点评】本题主要考查正方体展开图的认识。
48．如图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下将它剪成三部分，使每部分都可以沿某些格线折成一个没有盖的小方盒，应怎样剪？请在图中用线画出来。
【答案】见详解
【分析】根据正方体的表面展开图的判断方法即可解答。
【解答】如图：
（答案不唯一）
【点评】解答此题的关键是掌握正方体常见的几种展开图的形式。
突破题型十三根据长方体展开图解决实际问题
49．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？
【答案】最小22厘米；最大34厘米
【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米；
如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。
【解答】
周长最小：
（3×1＋2×2＋1×4）×2
＝（3＋4＋4）×2
＝11×2
＝22（厘米）
周长最大：
（3×4＋2×2＋1×1）×2
＝（12＋4＋1）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。
【点评】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。
50．下面是同一个长方体的展开图，说一说每个图是怎样展开的。
找一些正方体纸盒将其展开，你能展开成多少种不同的形状？
【答案】（1）见详解
（2）图形见详解；11种
【分析】（1）根据长方体的展开图的特征进行解答；
（2）可以把一个正方体模型动手剪一下，并把展开图进行分类，以便于记忆；展开后可分为：“1－4－1”型6个，“2－3－1”型3个，“2－2－2”型1个，“3－3”型1个。
【解答】（1）观察图形可知，第一个图是将长方体的上面向右侧打开，然后再将与底面相连的4个侧面向四面展开；第二个图是先将长方体左侧面向上打开，接着再将左侧面连着顶面向右打开最后再将与底面相连的3个面分别打开。
（2）如图：
答：能展开成11种不同的形状。
51．如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至少要用去多大面积的纸板？
【答案】32平方厘米
【分析】先将平面图折叠成立体图，判断出房屋模型中的屋顶面是哪个面，然后根据屋顶面形状，求出它的大小。在此模型中，屋顶面是由两个长方形面组成，所以运用长方形面积计算公式计算即可。
【解答】由分析可知：屋顶是由两个长为8厘米，宽为2厘米的长方形组成的。
8×2×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：至少要用去32平方厘米的纸板。
【点评】本题主要考查对图形的展开与折叠灵活运用。
52．下面的正方体A、B、C、D、E哪个肯定不是由下图围成的？
【答案】E
【分析】1－4－1型正方体展开图，观察展开图，5点和1点相对，6点和4点相对，2点和3点相对，4点、1点、6点、2点、5点在前面时，分别分析5个正方体上面和右面的点数，找出不是由展开图围成的正方体即可，需要一定的空间想象能力。
【解答】A．如果4点在前面，则6点在后面；2点在下面，则3点在上面；1点在右面，5点在左面，有可能是由展开图围成的正方体；
B．如果1点在前面，则5点在后面；4点在上面，则6点在下面；3点在右面，2点在左面，有可能是由展开图围成的正方体；
C．如果6点在前面，则4点在后面；1点在右面，则5点在左面；2点在上面，3点在下面，有可能是由展开图围成的正方体；
D．如果2点在前面，则3点在后面；4点在右面，则6点在左面；5点在上面，1点在下面，有可能是由展开图围成的正方体；
E．如果5点在前面，则1点在后面；6点在右面，则4点在左面；此时应该2点在上面，3点在下面，正方体与展开图不符，肯定不是由展开图围成的。
答：E肯定不是由展开图围成的。
【点评】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。
突破题型十四根据正方体展开图解决实际问题
53．淘气在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如下图所示。
（1）在上图中画出第六个面，标上“F”，帮助淘气完成展开图。（画出一种即可）
（2）在这幅展开图中，与“A”相对的面是“（ ）”。
【答案】（1）见详解
（2）E
【分析】（1）将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形共有11种展开图：
①正方体展开在有四个在同一层，即“141”排列，有6种；
②正方体展开后有3个在同一层，即“231”排列，有3种；（也可以看做“132”）
③正方体展开后每两个一层，即“222”排列，只有1种；
④第四种“33”形排列，只有1种；
据此画出展开图即可。
（2）把D看成下面，C就为左面，E为前面，A为后面，B为右面，因为A为后面，后面的对面是前面，即E面，据此解答。
【解答】由分析可知：
（1）（答案不唯一）
（2）在这幅展开图中，与“A”相对的面是“E”。
54．奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算）
【答案】150平方厘米
【分析】
正方体展开图如图所示，根据正方体每条棱长都相等的特征可知，用展开图的周长除以14计算出正方体的棱长；该展开图的面积可以看作是2个正方形的面积加上一个长方形的面积，据此解答。
【解答】正方体的展开图如下：
70÷14＝5（厘米）
5×5×2＋（5＋5＋5＋5）×5
＝25×2＋20×5
＝50＋100
＝150（平方厘米）
答：奇思剪开的正方体展开图的面积是150平方厘米。
突破题型十五长方体表面积的实际应用
55．某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。
（1）该游泳池占地面积是多少平方米？
（2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？
【答案】（1）240平方米
（2）368平方米
【分析】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积；
（2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面的面积和，即游泳池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【解答】（1）20×12＝240（平方米）
答：游泳池占地面积是240平方米。
（2）20×12＋（20×2＋12×2）×2
＝240＋（40＋24）×2
＝240＋64×2
＝240＋128
＝368（平方米）
答：至少需要瓷砖368平方米。
56．学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？
【答案】444平方米
【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，然后减去门窗和黑板的面积，即是每间教室需粉刷的面积，再乘3，求出三间教室需粉刷的总面积。
【解答】10×6＋10×3×2＋6×3×2
＝60＋60＋36
＝156（平方米）
156－8＝148（平方米）
148×3＝444（平方米）
答：三间教室需要粉刷的面积一共是444平方米。
57．新学期到了，学校发起了“爱书、护书”倡议活动。妙妙要为每本新书都粘上塑料膜，下图是数学书的测量数据，如果在它的外面（三个面）粘书膜，至少需要多大面积的塑料膜？（单位：厘米）
【答案】954.2平方厘米
【分析】图中数学书是长方体，长方体相对的两个面面积相等。已知要在三个面粘书膜，粘书膜的三个面为前、后面和一个侧面，三个面均为长方形，其中前、后面两个长方形的长为26厘米、宽为18厘米，侧面长方形的长为26厘米、宽为0.7厘米，根据长方形的面积＝长×宽解答即可。
【解答】0.7×26＋18×26×2
＝18.2＋468×2
＝18.2＋936
＝954.2（平方厘米）
答：至少需要954.2平方厘米的塑料膜。
58．笑笑买了一本《漫画儿童》，如下图。为了保护新书，笑笑准备在它的外面（三个面）粘上一层塑料膜，至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接口处忽略不计）
【答案】954.2平方厘米
【分析】根据题意，粘塑料膜的三个面分别是书的前、后面和左侧面，根据长方体的表面积公式，粘塑料膜的面积＝长×高×2＋宽×高（书的厚度即是长方体的宽），据此解答。
【解答】18×26×2＋0.7×26
＝936＋18.2
＝954.2（平方厘米）
答：至少需要954.2平方厘米的塑料膜。
突破题型十六正方体表面积的实际应用
59．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？
【答案】150平方分米
【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。
【解答】60÷12＝5（分米）
5×5×6＝150（平方分米）
答：至少需要150平方分米的铁皮。
60．用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？
【答案】正方体；多8平方厘米。
【分析】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。
【解答】1分米厘米
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。
【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
61．一个长方体的表面积是210平方厘米，正好可以分成3个相同的正方体，每个小正方体的表面积是多少？
【答案】90平方厘米
【分析】3个相同小正方体一共有18个面，因为切了两刀，所以有4个面是新增的，那原来的长方体的表面积等于14个面的面积，一个面的面积就可以用210除以14，再乘上6就可以算出小正方体的表面积。
【解答】3×6－（3－1）×2
＝18－2×2
＝18－4
＝14（个）
正方体：210÷14×6
＝15×6
＝90（平方厘米）
答：每个小正方体的表面积是90平方厘米。
62．王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6分米的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计）
（1）如果要给这个正方体框架安装上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？
（2）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计）
（3）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8分米，宽3分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少分米？
【答案】（1）63元；
（2）216升；
（3）7分米
【分析】（1）无盖正方体玻璃箱只有5个面，棱长×棱长×5＝玻璃的面积，再统一单位，用玻璃的面积×每平方米钱数即可；
（2）根据正方体的容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可；
（3）根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出钢材长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。
【解答】（1）6×6×5
＝36×5
＝180（平方分米）
180平方分米＝1.8平方米
1.8×35＝63（元）
答：制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要63元。
（2）6×6×6
＝36×6
＝216（立方分米）
216立方分米＝216升
答：这个正方体玻璃箱的容积是216升。
（3）6×12÷4－8－3
＝72÷4－8－3
＝18－8－3
＝10－3
＝7（分米）
答：这个长方体框架的高是7分米。
突破题型十七立体图形的切拼（表面积）
63．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。
【答案】三种；42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米
【分析】第一种拼法如题中的图。第二种拼法，将小长方体沿着2厘米的棱依次相接。第三种拼法，将小长方体沿着3厘米的棱依次相接。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入公式，求出它们的表面积即可。
【解答】拼法一：
（1×3×2＋1×3×3＋2×3）×2
＝（6＋9＋6）×2
＝21×2
＝42（平方厘米）
拼法二：
（2×3×1＋2×3×3＋1×3）×2
＝（6＋18＋3）×2
＝27×2
＝54（平方厘米）
拼法三：
（3×3×1＋3×3×2＋1×2）×2
＝（9＋18＋2）×2
＝29×2
＝58（平方厘米）
答：有三种拼法，它们的表面积分别是42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米。
64．把一块长和宽都是1.5米的长方体木料平均锯成三段（如下图），表面积比原来增加了2.4平方米。原来这根木料的体积是多少立方米？
【答案】0.9立方米
【分析】长方体木料平均锯成三段，表面积增加了4个截面面积，增加的表面积÷增加的截面＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式解答即可。
【解答】2.4÷4×1.5＝0.9（立方米）
答：原来这根木料的体积是0.9立方米。
65．将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。
【答案】图见详解；90平方厘米
【分析】根据题意，将长方体切成两个完全一样的小长方体，则表面积会增加两个截面的面积；因为5×2＜10×2＜10×5，所以平行于长方体的左右面切割增加的表面积最小，据此画图。
根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个小长方体的表面积。
【解答】如图：
10÷2＝5（厘米）
（5×5＋5×2＋5×2）×2
＝（25＋10＋10）×2
＝45×2
＝90（平方厘米）
答：一个小长方体的表面积90平方厘米。
66．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？
【答案】90平方厘米
【分析】据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6，即可得解。
【解答】
（平方厘米）
答：涂色的面积和是90平方厘米。
突破题型十八露在外面的面（表面积）
67．将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？
【答案】9000平方厘米
【分析】先判断出露在外面一共有多少个面，再根据正方形的面积＝边长×边长，用正方形一个面的面积乘露在外面的面的数量，所得结果即为露在外面的面积。
【解答】露在外面一共有10个面。
30×30×10＝9000（平方厘米）
答：露在外面的面积是9000平方厘米。
68．如图，4个棱长是2cm的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是多少平方厘米？
【答案】36平方厘米
【分析】从正面看，露在外面的有4个正方形面；从上面看，露在外面的有3个正方形面；从右面看，露在外面的有2个正方形面。则一共有4＋3＋2＝9（个）正方形面露在外面。正方形面积＝边长×边长，据此代入数据求出一个面的面积，再乘9即可求出露在外面的面积是多少平方厘米。
【解答】4＋3＋2＝9（个）
2×2×9＝36（平方厘米）
答：露在外面的面积是36平方厘米。
【点评】从不同的位置观察立体图形，确定露在外面的正方形面的数量是解题的关键。
69．如图，将若干个正方体纸箱放置在墙角，已知纸箱的棱长是50厘米，它们露在外面的面积有多大？占地面积是多少？
【答案】47500平方厘米；15000平方厘米
【分析】通过三视图可知，露在外面的面一共有（8＋6＋5）个，然后根据正方形面积公式，用50×50即可求出一个面有多少，进而求出19个面的面积；观察题意可知，纸箱的占地面积相当于6个正方形面的面积，用一个面的面积乘6即可求出占地面积。
【解答】8＋6＋5＝19（个）
50×50＝2500（平方厘米）
2500×19＝47500（平方厘米）
2500×6＝15000（平方厘米）
答：它们露在外面的面积有47500平方厘米；占地面积是15000平方厘米。
【点评】解答本题的关键是数出有几个露在外面的面。
70．在墙角堆放4个棱长为2分米的正方体纸箱（如下图），露在外面的面积是多少平方分米？
【答案】36平方分米
【分析】从正面看有3个面露在外面，从上面看有3个面露在外面，从右面看有3个面露在外面；一共有3＋3＋3＝9个面露在外面；根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，求出一个面的面积，再乘9，即可解答。
【解答】3＋3＋3
＝6＋3
＝9（个）
2×2×9
＝4×9
＝36（平方分米）
答：露在外面的面积是36平方分米。
【点评】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数，进而解答。
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