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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第四单元 长方体（二）
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】体积与容积及其单位
1、物体所占空间的大小，是物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
3、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
4、棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作 1 厘米3(cm3 )。
棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作1分米3(dm3)。
棱长为1米的正方体，体积是1立方米，记作1米3(m3)。
5、容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升(mL)作单位。
6、棱长为 1 dm 的正方体的容积是 1 L。
棱长为 1 cm 的正方体的容积是 1 mL。
【知识点二】长方体的体积
1、长方体的体积=长x宽x高，用字母表示为:V=abh( V表示体积,a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)。
2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长。字母公式:V = a×a×a=a3，a3读作a 的立方。
3、长方体和正方体的统一公式。
（1）长方体(或正方体)底面的面积叫作它的底面积。
（2）长方体(或正方体)的体积=底面积x高。如果用S表示底面积，上面的公式可以写成V=Sh。
【知识点三】体积单位及容积单位间的进率
1、1 m3=1000 dm3　1 dm3=1000 cm3
1 L=1000 mL　1 L=1 dm3　1 mL=1 cm3
【知识点四】有趣的测量
1、在测量不规则物体的体积时,一般都是把不规则物体的体积转化成可测量的物体的体积。常用的方法有两种:
（1）统计升高法:将不规则的物体浸入规则的盛有水的容器,水面会升高，升高的水的体积(没有水溢出)就是不规则物体的体积。
（2）排水法:将不规则的物体浸入盛满水的容器中,溢出的水的体积就是不规则物体的体积。
【考点一】体积与容积及其单位
【典例一】1．一个油箱能装汽油60升，那么这个油箱的（ ）是60升。
A．表面积 B．体积 C．容积 D．面积
【分析】物体所能容纳的物体的体积叫做物体的容积；据此解答。
【点评】一个油箱能装汽油60升，那么这个油箱的容积是60升。
故答案为：C
【点评】本题主要考查容积的意义。
【典例二】下面几句话是对生活现象的描述，最符合生活实际的是（ ）。
A．小学生跑完100米最快用时5分钟 B．10个鸡蛋大约重500克
C．数学课本封面的面积大约是5平方厘米 D．一瓶墨水的容量大约50升
【分析】根据生活经验、对时间单位、质量单位、体积单位和面积单位大小的认识和数据的大小，可知计量100米跑用秒作单位；计量10个鸡蛋用克作单位；课本封面用平方分米作单位，计量一瓶墨水用毫升作单位，据此进行解答。
【点评】根据分析可知，下面几句话是对生活现象的描述，最符合生活实际的是10个鸡蛋大约重500克最符合生活实际。
故答案为：B
【点评】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
【典例三】看图回答问题。
（1）这个桔子的体积是多少？
（2）如果再放一个相同体积的桔子，烧杯的刻度应该是多少？
（3）如果不让水溢出来，最多能放几个这样的桔子？这个现象说明了什么？
【分析】（1）由图示知：这个桔子的体积是100立方厘米。
（2）再放一个相同体积的桔子，烧杯的的水由300毫升上升到400毫升。
（3）如果不让水溢出来，最多能放3个这样的桔子，这个现象说明了浸入液体的物体体积＝排开液体的体积。
【点评】（1）300ml﹣200ml＝100ml
（2）300ml＋100ml＝400ml
（3）从图示中可以看出，这个量杯最多可以装450毫升的水，所以最多能放2个这样的桔子，这个现象说明了浸入液体的物体体积＝排开液体的体积。
【点评】解答此题的关键是要明白：桔子的体积等于上升部分的水的体积。
【考点二】长方体的体积
【典例一】一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是（ ）分米。
A．36 B．27 C．24 D．18
【分析】把正方体实心钢坯锻造成长方体，体积不变；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体实心钢胚的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。
【点评】6×6×6÷（4×3）
＝36×6÷12
＝216÷12
＝18（分米）
一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是18分米。
故答案为：D
【点评】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。
【典例二】一块边长6分米的正方形硬纸板，四个角剪去边长10厘米的正方形后，折叠成一个无盖的长方体纸盒。
（1）这个纸盒的容积是多少升？
（2）做这个纸盒用了多少平方分米的硬纸板？
【分析】由题意知：折叠成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒底边边长是6－2＝4分米的正方形，高是1分米 ，进而求得容积和表面积，据此解答。
【点评】（1）这个纸盒的容积：
10厘米＝1分米
（6－2）×（6－2）×1
＝4×4×1
＝16（立方分米 ）
＝16升
（4×4＋4×1＋4×1）×2－4×4
＝24×2－16
＝48－16
＝32（平方分米 ）
答：这个纸盒的容积是16升；做这个纸盒用了3224平方分米的硬纸板。
【点评】掌握长方体的体积和表面积计算公式是解答本题的关键。
【典例三】一个长方体，它的底面是正方形，如果把前后左右四个面展开，正好得到一个周长为96厘米的正方形。原来长方体的体积是多少立方厘米？
【分析】理解长方体的侧面展开图：把它的侧面展开后正好得到一个周长为96厘米的正方形，这说明长方体的底面周长和高相等，都是96÷4＝24（厘米），因长方体的底面是正方形，所以能求出底面边长，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【点评】96÷4＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6×6×24
＝36×24
＝864（立方厘米）
答：原来长方体的体积是864立方厘米。
【点评】本题考查了长方体的侧面展开图和体积公式，关键是弄清侧面展开图与长方体之间的关系。
【考点三】体积单位及容积单位间的进率
【典例一】用棱长1cm的正方体小木块拼成一个棱长1dm的大正方体，需要这样的小木块（ ）个。
A．10 B．30 C．100 D．1000
【分析】此题抓住拼组前后的体积不变，再利用体积单位之间的进率1dm3＝1000cm3，即可解答。
【点评】棱长为1dm的正方体的体积为1dm3，即1000cm3；
棱长为1cm的正方体的体积为1cm3，
1000÷1＝1000（个）
故答案为：D
【点评】此类拼组题目，要抓住它们拼组前后的体积不变这个特点进行解答。
【典例二】如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。
（1）当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面？
（2）小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面吗？若会，请计算小明第二次又注入了多少毫升水。
【分析】（1）根据题意，水形成的长方体第一次出现正方形的面，则水形成的长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为10厘米（这时水的侧面是正方形）。长方体的体积＝长×宽×高，据此可以求出水的体积。
（2）继续注水，水形成的长方体会第二次出现正方形面，这个长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米（水的前、后面是正方形）。第二次注入的水形成的长方体长15厘米，宽10厘米，高（15－10）厘米，根据长方体的体积公式即可解答。
【点评】（1）15×10×10＝1500（立方厘米）＝1500毫升
答：当小明注入1500毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面。
（2）15×10×（15﹣10）
＝15×10×5
＝750（立方厘米）＝750毫升
答：小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面。小明第二次又注入了750毫升水。
【点评】本题考查长方体体积的应用。明确水形成的长方体出现正方形面时的长、宽、高是解题的关键。
【典例三】把一块长50厘米、宽30厘米的铁皮的四角各剪去一个边长为5厘米的正方形（如图①），然后制作成一个长方体水槽（如图②），这个水槽能盛多少升水？

【分析】求长方体容积的方法与求长方体体积的方法一样，长方体的体积＝长×宽×高，长方体的长为：50－5×2＝40（厘米），宽为：30－5×2＝20（厘米），高为：5厘米，则用40×20×5即可算出长方体的体积，再根据低级单位化高级单位除以进率，1升＝1立方分米＝1000立方厘米，用得到的结果除以1000即可把单位立方厘米转化成升；据此解答。
【点评】由分析可知：
（50－5×2）×（30－5×2）×5
＝（50－10）×（30－10）×5
＝40×20×5
＝4000（立方厘米）
4000立方厘米＝4立方分米＝4升
答：这个水槽能盛4升水。
【点评】本题考查长方体的容积的算法及容积单位和体积单位的换算，注意：求长方体容积和体积的方法一样。
【考点四】有趣的测量
【典例一】把一个小石块放入一个长和宽都是20厘米，水深10厘米的长方体玻璃缸内，结果水面上升了4厘米，要计算小石块的体积，正确列式是（ ）。
A．20×20×10 B．20×20×4 C．20×20×（10＋4） D．20×20×（10－4）
【分析】小石头的体积就等于水面上升部分的体积，水在长方体容器内，用长方体容器的底面积乘上升的高度即可。
【点评】底面积为：20×20
小石头体积为：20×20×4
故答案为：B
【点评】本题主要考查了某些不规则的物体测量体积的方法，要明确水面上升部分的体积就是该不规则物体的体积。
【典例二】一个无盖长方体玻璃容器，量得长、宽、高分别为2dm、2dm、3dm。先向容器倒入5.5升水，再把一个苹果放入水中（如图）。这时量得水深是15cm。（计算时，玻璃厚度和接缝忽略不计）
（1）制作这个容器至少需要多少dm2玻璃？
（2）这个苹果的体积是多少dm3？
【分析】（1）制作这个容器至少需要多少dm2玻璃是求这个无盖长方体玻璃容器的表面积，根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为玻璃容器是无盖的，再减去一个上面的面积即可；
（2）用5.5升除以玻璃容器的底面积即可得出放入苹果前水的高度，再用放入苹果后水的高度减去放入前水的高度，再乘以玻璃容器的底面积就是苹果的体积。
【点评】（1）2×2＋2×3×2＋2×3×2
＝4＋12＋12
＝28（dm2）
答：制作这个容器至少需要28dm2玻璃。
（2）5.5升＝5.5dm
5.5÷（2×2）
＝5.5÷4
＝1.375（dm）
＝13.75（cm）
15－13.75＝1.25（cm）＝0.125dm
0.125×（2×2）
＝0.125×4
＝0.5（dm3）
答：这个苹果的体积是1.7 dm3。
【点评】此题考查的是长方体表面积和体积公式的应用；求苹果体积的关键是知道上升的水的体积等于苹果的体积再根据长方体体积计算公式进行计算。
【典例三】笑笑借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如下图，这块石头的体积是( )dm3。

【分析】由于把石头放入水中，水完全淹没了石头，根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，据此代入数据即可求解，再根据1dm3＝1000cm3，转换单位即可。
【点评】25×20×（12－10）
＝500×2
＝1000（cm3）
1000cm3＝1dm3
这块石头的体积是1dm3。
【点评】本题主要考查不规则物体的体积计算方法，要注意单位换算。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）下图是一个装有水的长方体容器，将一个正方体铁块完全浸入水中后，水面上升了1.6cm，水未溢出，这个正方体铁块的体积是（ ）cm3。
【答案】48
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积，就是这个正方体铁块的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×水面上升的高度，代入数据，即可解答。
【解答】6×5×1.6
＝30×1.6
＝48（cm3）
这个正方体铁块的体积是48cm3。
2．（2分）一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深（ ）厘米。
【答案】34.5
【分析】根据长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高，先求出木条被染红的部分体积。再求出长40厘米，宽15厘米，高36厘米的长方体的体积（溶液的体积＋木条被染红的部分体积），减去木条被染红的部分体积，即可求出溶液的体积。根据长方体的高（深）＝体积÷底面积，用溶液的体积除以长方体玻璃容器的底面积，即可求出原来容器内红色溶液深多少厘米。
【解答】40×15×36－5×5×36
＝（40×15－5×5）×36
＝（600－25）×36
＝575×36
＝20700（立方厘米）
20700÷（40×15）
＝20700÷600
＝34.5（厘米）
原来容器内红色溶液深34.5厘米。
3．（2分）心脏为了给我们血液循环提供动力，每分每秒都在持续不停地跳动。普通人的心脏每跳动一次，就能向大动脉和肺动脉送出约升的血液，淘气的心脏平均每分跳动70次，每分约能送出（ ）毫升血液。
【答案】4900
【分析】已知普通人的心脏每跳动一次，就能向大动脉和肺动脉送出约升的血液，淘气的心脏平均每分跳动70次，求每分约能送出多少毫升的血液量，就是求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。先用70乘，再依据1升＝1000毫升换算单位即可。
【解答】因为：70×＝＝＝4.9（升）
4.9升＝4900毫升；
所以：心脏为了给我们血液循环提供动力，每分每秒都在持续不停地跳动。普通人的心脏每跳动一次，就能向大动脉和肺动脉送出约升的血液，淘气的心脏平均每分跳动70次，每分约能送出4900毫升血液。
4．（2分）0.3立方米＝（ ）立方分米 1.5升＝（ ）毫升
【答案】300 1500
【分析】1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，高级单位转化成低级单位乘进率即可解答。
【解答】0.3×1000＝300（立方分米），即0.3立方米＝300立方分米；
1.5×1000＝1500（毫升），即1.5升＝1500毫升。
5．（2分）一种牙膏的包装盒是长方体，长是15cm、宽是3cm、高是4cm。一个长方体纸箱的长是30cm，宽是24cm，高是15cm（从里面量），这个纸箱最多能放（ ）盒这样的牙膏。（注意牙膏盒的摆放不能留有空隙）
【答案】60
【分析】要使纸箱放这种牙膏的数量最多，则纸箱的长、宽、高除以牙膏包装盒的长、宽或高后尽可能整除； 用纸箱的长÷牙膏盒的长求出每行可以装的个数，同理用纸箱的宽除以牙膏盒的高求出行数，利用纸箱的高除以牙膏盒的宽求出层数； 接下来，用每行的个数×行数×层数求解即可。
【解答】（30÷15）×（15÷3）×（24÷4）
＝2×5×6
＝10×6
＝60（盒）
这个纸箱最多能放60盒这样的牙膏。
6．（2分）把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了。原来正方体木块的表面积是（ ），体积是（ ）。
【答案】216 216
【分析】这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了两个正方体木块的两个面的面积，用增加的面积除以2求出正方体木块一个面的面积，即72÷2＝36（），用正方体一个面的面积乘6就是原来正方体木块的表面积；因为6×6＝36（），所以正方体木块的棱长是6cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体木块的体积。
【解答】72÷2＝36（）
6×6＝36（）
36×6＝216（）
6×6×6
＝36×6
＝216（）
所以原来正方体木块的表面积是216，体积是216。
7．（2分）把一个棱长是4厘米的正方体表面上涂上红漆，然后锯成棱长1厘米的正方体小木块，这些正方体小木块中3个面涂色的有（ ）块，2个面涂色的有（ ）块。
【答案】8 24
【分析】把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，再切成棱长1厘米的小正方体，那么把一条棱按照1厘米的长度切割时，能切出4块，两端的两块正好是大正方体的顶点位置且3面被涂色，所以每条棱上2面涂色的有2块，正方体共有12条棱，据此解答。
【解答】2面涂色：2×12＝24（块）
3面涂色的小正方体是在大正方体顶点处的8块。
故这些正方体小木块中3个面涂色的有8块，2个面涂色的有24块。
8．（2分）在括号填入合适的单位。
1支粉笔的体积是8（ ） 1台洗衣机的体积是450（ ）
【答案】立方厘米/cm3 立方分米/dm3
【分析】根据生活经验以及对体积单位和数据大小的认识，可知1颗花生豆的体积是1立方厘米，所以计量1支粉笔的体积以“立方厘米”为单位；一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，所以计量1台洗衣机的体积以“立方分米”为单位。据此解答。
【解答】根据分析可得：
1支粉笔的体积是8立方厘米。
1台洗衣机的体积是450立方分米。
9．（2分）用体积是的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，①（ ）②；①和②的表面积比较，①（ ）②。（用“＞”“＜”“＝”填空）
【答案】＞ ＝
【分析】比较两个立体图形可知：②比①少1个小正方体，②中缺少1个小正方体，表面积少3个小正方形的面，又增加3个小正方形的面，表面积不变；据此解答。
【解答】由分析可得：②比①少1个小正方体，所以①的体积大于②的体积，所以①＞②；②的表面积不变，所以①和②的表面积比较，①＝②。
【点评】理解体积、表面积的意义是解答本题的关键。
10．（2分）一个棱长总和是96cm的正方体，这个正方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。
【答案】384 512
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体的棱长；再根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体的表面积；再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。
【解答】96÷12＝8（cm）
8×8×6
＝64×6
＝384（cm2）
8×8×8
＝64×8
＝512（cm3）
一个棱长总和是96cm的正方体，这个正方体的表面积是384cm2，体积是512cm3。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）棱长是6厘米的正方体，求表面积和体积列式都是，所以它的表面积和体积是相等的。（ ）
【答案】×
【分析】根据正方体的表面积、体积的意义，正方体的表面积是指6个面的总面积，正方体的体积是指所占空间的大小，它们不是同类量不能进行比较。据此判断即可。
【解答】因为正方体的表面积和体积不是同类量不能进行比较，所以棱长是6厘米的正方体的表面积和体积都是216。此说法错误。
故答案为：×
【点评】解掌握正方体的表面积的意义、体积的意义是解答关键。
12．（2分）棱长是1分米的正方体，表面积是6平方分米，体积是1立方分米，所以1立方分米大于1平方分米。（ ）
【答案】×
【分析】正方体的表面积是指正方体的6个面的面积之和。根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出它的表面积。
正方体的体积是指正方体占空间的大小。根据正方体的体积公式V＝a3，求出它的体积。
两者意义不同，不能比较大小。
【解答】1×1×6＝6（平方分米）
1×1×1＝1（立方分米）
棱长是1分米的正方体，表面积是6平方分米，体积是1立方分米，但表面积和体积不是同类量，无法比较大小。
原题说法错误。
故答案为：×
13．（2分）一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木料，削成一个最大的正方体，削去部分的体积是56立方厘米。（ ）
【答案】√
【分析】根据题意可知，长方体削成一个最大的正方体，正方体的棱长等于4厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出长方体体积和正方体体积，再用长方体体积－正方体体积，再进行比较，即可解答。
【解答】6×5×4－4×4×4
＝30×4－16×4
＝120－64
＝56（立方厘米）
一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木料，削成一个最大的正方体，削去部分的体积是56立方厘米。
原题干说法正确。
故答案为：√
14．（2分）把一个长方体切割成两个小长方体，体积之和没变，表面积之和增加了。（ ）
【答案】√
【分析】根据体积的含义：物体所占空间的大小叫做物体的体积；可知把一个长方体切割成两个小长方体，体积不变；把一个长方体切割成两个小长方体，增加两个横截面的面积，所以表面积增加；据此解答。
【解答】根据分析可知，把一个长方体切割成两个小长方体，体积之和没变，表面积之和增加了。
原题干说法正确。
故答案为：√
15．（2分）一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯。（ ）
【答案】√
【分析】250mL换算成L为单位是0.25L，一瓶可乐2L倒在容积为250mL的杯子里，要求可以倒满多少杯，也就是求2里面有多少个0.25，用（2÷0.25）计算，据此判断。
【解答】250mL＝0.25L
2÷0.25＝8
2里面有8个0.25，因此一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯，原题干的说法是正确的。
故答案为：√
三、选择题（满分10分）
16．（2分）把一根长1.2米的长方体木材锯成2个长0.6米的小长方体后，表面积增加了10平方厘米，这根木材原来的体积是（ ）。
A．700立方厘米 B．800立方厘米 C．600立方厘米 D．60立方厘米
【答案】C
【分析】把长方体木材锯开，增加的表面积是两个底面的面积。我们先统一单位，然后通过增加的表面积求出底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可这根木材原来的体积，据此解答。
【解答】1.2米＝120（厘米）
10÷2＝5（平方厘米）
120×5＝600（立方厘米）
即这根木材原来的体积是600立方厘米。
故答案为：C
17．（2分）用棱长为4厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（ ）个这样的小正方体。
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】用小正方体拼成一个大正方体，那么这个大正方体的棱长最少有两个小正方体组成，由此解答即可。
【解答】2×2×2
＝4×2
＝8（个）
用棱长为4厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要8个这样的小正方体。
故答案为：C
18．（2分）如图，把棱长是1厘米的小正方体装入棱长是1分米的正方体盒子里，直到装满，还需要装入（ ）个小正方体。
A．90 B．900 C．990 D．992
【答案】C
【分析】从图中可知：1分米＝10厘米，即正方体的每条棱上要放10÷1＝10个小正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出这个大正方体一共有多少个小正方体，再减去已有个数（10个），即可求出还需要的个数。
【解答】1分米＝10厘米 10÷1＝10（个）
10×10×10＝1000（个）
1000－10＝990（个）
直到装满，还需要装入990个小正方体。
故答案为：C
19．（2分）小新有一块长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块，他想从这块木料中削出一个最大的正方体。他想知道这个正方体的体积是多少立方厘米？（ ）
A．192立方厘米 B．64立方厘米 C．216立方厘米 D．322立法厘米
【答案】B
【分析】根据题意，把一块长方体木料削出一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱；再根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出正方体的体积。
【解答】4＜6＜8
所以这个最大正方体的棱长是4厘米。
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
这个正方体的体积是64立方厘米。
故答案为：B
20．（2分）将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后（ ）。
A．表面积变了，体积不变 B．表面积不变，体积变了
C．体积和表面积都不变 D．体积和表面积都变了
【答案】A
【分析】把一个长方体的橡皮泥捏成正方体，长方体和正方体的体积都是这块橡皮泥的体积，但是六个面的形状发生了变化，表面积变了，据此解答。
【解答】根据分析可知，将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后，表面积变了，体积不变。
故答案为：A
四、计算题（满分6分）
21．（6分）求下图的体积。
【答案】721cm3
【分析】观察图形可知，图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。
【解答】9×9×9－2×2×2
＝81×9－4×2
＝729－8
＝721（cm3）
图形的体积是721cm3。
五、解答题（满分54分）
22．（6分）迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？
【答案】煤渣540立方米；三合土1296立方米
【分析】
已知在一个长方形场地里铺上煤渣和三合土，求煤渣和三合土的体积，就是求长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。
【解答】
5厘米＝0.05米
12厘米＝0.12米
煤渣：
120×90×0.05
＝10800×0.05
＝540（立方米）
三合土：
120×90×0.12
＝10800×0.12
＝1296（立方米）
答：需要煤渣540立方米，三合土1296立方米。
23．（6分）一个长6厘米，宽4厘米的长方体容器内装有5厘米深的水，妙妙把10颗大小、质地相同的玻璃珠放入水中，测得这时水深5.2厘米。每颗玻璃珠的体积是多少？
【答案】0.48立方厘米
【分析】根据题意，上升的水的体积就是10颗玻璃珠的体积，上升的水的体积＝容器的长×容器的宽×水上升的高度，再除以10，即可算出每颗玻璃珠的体积。
【解答】
（立方厘米）
答：每颗玻璃珠的体积是0.48立方厘米。
24．（6分）一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？
【答案】3.6立方分米
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。
【解答】1.8升＝1.8立方分米
3×3×3－3×3×2.8＋1.8
＝27－25.2＋1.8
＝3.6（立方分米）
答：这块石头的体积是3.6立方分米。
25．（6分）学校的种植社团计划为10个种植箱购置营养土。经测量，种植箱的长、宽、高分别为12分米、6分米和3分米。在铺营养土时，要预留出0.5分米高的空间不铺土方便浇水。若箱子的厚度忽略不计，种植社团至少需要买几袋这样的营养土？
【答案】60袋
【分析】根据题意可知，求出长是12分米，宽是6分米，高是（3－0.5）分米的长方体的体积，就是1个种植箱需要的营养土体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出1个种植箱的体积，再乘10，求出10个种植箱需要营养土的体积，由于1升＝1立方分米，则30升＝30立方分米，再用10箱营养土的体积÷30，即可求出需要买几袋这样的营养土，据此解答。
【解答】30升＝30立方分米
12×6×（3－0.5）×10÷30
＝72×2.5×10÷30
＝180×10÷30
＝1800÷30
＝60（袋）
答：种植社团至少需要买60袋这样的营养土。
【点评】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
26．（6分）小花选了下面五块玻璃做了一个无盖的鱼缸。（玻璃厚度忽略不计，单位：分米。）
（1）鱼缸的底面是（ ）号玻璃，鱼缸的高是（ ）分米。
（2）这个鱼缸最多可以盛多少升水？
【答案】（1）②；6（2）192升
【分析】（1）在这五块玻璃中，①和④对应，③和⑤对应，因此鱼缸的底面是②号玻璃，且这个鱼缸是一个长为8分米，宽为4分米，高为6分米的无盖长方体；（2）利用长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，求出这个鱼缸的体积，最后换算成以升为单位，据此解答。
【解答】（1）鱼缸的底面是②号玻璃，鱼缸的高是6分米。
（2）8×4×6
＝32×6
＝192（立方分米）
192立方分米＝192升
答：这个鱼缸最多可以盛192升水。
27．（6分）如下图，如果把这个长方体完全沉没于盛满水的水槽中，会有多少水溢出来？如果要包装这个盒子，至少需要多少平方厘米的包装纸？（单位：厘米）
【答案】160立方厘米；232平方厘米
【分析】溢出水的体积等于这个长方体的体积；需要的包装纸就是求这个长方体的表面积，代入公式计算即可。
【解答】10×8×2
＝80×2
＝160（立方厘米）
（10×8＋10×2＋8×2）×2
＝（80＋20＋16）×2
＝116×2
＝232（平方厘米）
答：会有160立方厘米水溢出来，如果要包装这个盒子，至少需要232平方厘米的包装纸。
【点评】考查了长方体表面积、体积的实际应用。
28．（6分）如图，在一个大正方体的盒子里装着一些小正方体，最多能装下多少个这样的正方体？如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是多少？
【答案】64个；512立方厘米
【分析】观察上图可知：一行可放4个，一层可放4行，则一层共可放：4×4＝16（个），一共可放4层，所以最多能装下这样的正方体的个数为：16×4＝64（个）；容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积，所以用64乘8即可算出这个大正方体的容积。
【解答】由分析可知：
4×4×4
＝16×4
＝64（个）
64×8＝512（立方厘米）
答：最多能装下64个这样的正方体，如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是512立方厘米。
【点评】本题考查容积的意义，注意：容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积。
29．（12分）下图是某品牌的牛奶盒。请你灵活思考，解决下面的问题。
（1）你认为饮料厂向牛奶盒中装多少牛奶合适？
（2）如图所示，用一张大塑料纸将4盒牛奶包起来。至少需要多大面积的塑料纸？
（3）饮料厂将12盒牛奶装在一个纸箱里，请你设计出两种不同的包装箱，并给出设计方案。（设计时不计纸板厚度但要考虑实用性）
【答案】（1）240立方厘米
（2）592平方厘米
（3）一行放6盒，放2行；一行放4盒，放3行（答案不唯一）
【分析】（1）求牛奶盒中装多少牛奶，就是求这个长方体牛奶盒的容积。长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。
（2）图中4个牛奶组成一个大长方体，大长方体的长是6×2＝12（厘米），宽是4×2＝8（厘米），高是10厘米。至少需要多大面积的塑料纸，就是求大长方体的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。
（3）一共有12盒牛奶，可以一行放6盒，放2行，6×2＝12（盒）；也可以一行放4盒，放3行，4×3＝12（盒）。
【解答】（1）6×4×10＝240（立方厘米）
答：饮料厂向牛奶盒中装240立方厘米牛奶合适。
（2）6×2＝12（厘米）
4×2＝8（厘米）
（12×8＋12×10＋8×10）×2
＝（96＋120＋80）×2
＝296×2
＝592（平方厘米）
答：至少需要592平方厘米的塑料纸。
（3）通过分析可得：可以一行放6盒，放2行；也可以一行放4盒，放3行。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第四单元 长方体（二）
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】体积与容积及其单位
1、物体所占空间的大小，是物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
3、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
4、棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作 1 厘米3(cm3 )。
棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作1分米3(dm3)。
棱长为1米的正方体，体积是1立方米，记作1米3(m3)。
5、容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升(mL)作单位。
6、棱长为 1 dm 的正方体的容积是 1 L。
棱长为 1 cm 的正方体的容积是 1 mL。
【知识点二】长方体的体积
1、长方体的体积=长x宽x高，用字母表示为:V=abh( V表示体积,a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)。
2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长。字母公式:V = a×a×a=a3，a3读作a 的立方。
3、长方体和正方体的统一公式。
（1）长方体(或正方体)底面的面积叫作它的底面积。
（2）长方体(或正方体)的体积=底面积x高。如果用S表示底面积，上面的公式可以写成V=Sh。
【知识点三】体积单位及容积单位间的进率
1、1 m3=1000 dm3　1 dm3=1000 cm3
1 L=1000 mL　1 L=1 dm3　1 mL=1 cm3
【知识点四】有趣的测量
1、在测量不规则物体的体积时,一般都是把不规则物体的体积转化成可测量的物体的体积。常用的方法有两种:
（1）统计升高法:将不规则的物体浸入规则的盛有水的容器,水面会升高，升高的水的体积(没有水溢出)就是不规则物体的体积。
（2）排水法:将不规则的物体浸入盛满水的容器中,溢出的水的体积就是不规则物体的体积。
【考点一】体积与容积及其单位
【典例一】1．一个油箱能装汽油60升，那么这个油箱的（ ）是60升。
A．表面积 B．体积 C．容积 D．面积
【典例二】下面几句话是对生活现象的描述，最符合生活实际的是（ ）。
A．小学生跑完100米最快用时5分钟 B．10个鸡蛋大约重500克
C．数学课本封面的面积大约是5平方厘米 D．一瓶墨水的容量大约50升
【典例三】看图回答问题。
（1）这个桔子的体积是多少？
（2）如果再放一个相同体积的桔子，烧杯的刻度应该是多少？
（3）如果不让水溢出来，最多能放几个这样的桔子？这个现象说明了什么？
【考点二】长方体的体积
【典例一】一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是（ ）分米。
A．36 B．27 C．24 D．18
【典例二】一块边长6分米的正方形硬纸板，四个角剪去边长10厘米的正方形后，折叠成一个无盖的长方体纸盒。
（1）这个纸盒的容积是多少升？
（2）做这个纸盒用了多少平方分米的硬纸板？
【典例三】一个长方体，它的底面是正方形，如果把前后左右四个面展开，正好得到一个周长为96厘米的正方形。原来长方体的体积是多少立方厘米？
【考点三】体积单位及容积单位间的进率
【典例一】用棱长1cm的正方体小木块拼成一个棱长1dm的大正方体，需要这样的小木块（ ）个。
A．10 B．30 C．100 D．1000
【典例二】如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。
（1）当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面？
（2）小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面吗？若会，请计算小明第二次又注入了多少毫升水。
【典例三】把一块长50厘米、宽30厘米的铁皮的四角各剪去一个边长为5厘米的正方形（如图①），然后制作成一个长方体水槽（如图②），这个水槽能盛多少升水？

【考点四】有趣的测量
【典例一】把一个小石块放入一个长和宽都是20厘米，水深10厘米的长方体玻璃缸内，结果水面上升了4厘米，要计算小石块的体积，正确列式是（ ）。
A．20×20×10 B．20×20×4 C．20×20×（10＋4） D．20×20×（10－4）
【典例二】一个无盖长方体玻璃容器，量得长、宽、高分别为2dm、2dm、3dm。先向容器倒入5.5升水，再把一个苹果放入水中（如图）。这时量得水深是15cm。（计算时，玻璃厚度和接缝忽略不计）
（1）制作这个容器至少需要多少dm2玻璃？
（2）这个苹果的体积是多少dm3？
【典例三】笑笑借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如下图，这块石头的体积是( )dm3。

一、填空题（满分20分）
1．（2分）下图是一个装有水的长方体容器，将一个正方体铁块完全浸入水中后，水面上升了1.6cm，水未溢出，这个正方体铁块的体积是（ ）cm3。
2．（2分）一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深（ ）厘米。
3．（2分）心脏为了给我们血液循环提供动力，每分每秒都在持续不停地跳动。普通人的心脏每跳动一次，就能向大动脉和肺动脉送出约升的血液，淘气的心脏平均每分跳动70次，每分约能送出（ ）毫升血液。
4．（2分）0.3立方米＝（ ）立方分米 1.5升＝（ ）毫升
5．（2分）一种牙膏的包装盒是长方体，长是15cm、宽是3cm、高是4cm。一个长方体纸箱的长是30cm，宽是24cm，高是15cm（从里面量），这个纸箱最多能放（ ）盒这样的牙膏。（注意牙膏盒的摆放不能留有空隙）
6．（2分）把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了。原来正方体木块的表面积是（ ），体积是（ ）。
7．（2分）把一个棱长是4厘米的正方体表面上涂上红漆，然后锯成棱长1厘米的正方体小木块，这些正方体小木块中3个面涂色的有（ ）块，2个面涂色的有（ ）块。
8．（2分）在括号填入合适的单位。
1支粉笔的体积是8（ ） 1台洗衣机的体积是450（ ）
9．（2分）用体积是的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，①（ ）②；①和②的表面积比较，①（ ）②。（用“＞”“＜”“＝”填空）
10．（2分）一个棱长总和是96cm的正方体，这个正方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）棱长是6厘米的正方体，求表面积和体积列式都是，所以它的表面积和体积是相等的。（ ）
12．（2分）棱长是1分米的正方体，表面积是6平方分米，体积是1立方分米，所以1立方分米大于1平方分米。（ ）
13．（2分）一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木料，削成一个最大的正方体，削去部分的体积是56立方厘米。（ ）
14．（2分）把一个长方体切割成两个小长方体，体积之和没变，表面积之和增加了。（ ）
15．（2分）一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）把一根长1.2米的长方体木材锯成2个长0.6米的小长方体后，表面积增加了10平方厘米，这根木材原来的体积是（ ）。
A．700立方厘米 B．800立方厘米 C．600立方厘米 D．60立方厘米
17．（2分）用棱长为4厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（ ）个这样的小正方体。
A．2 B．4 C．8 D．16
18．（2分）如图，把棱长是1厘米的小正方体装入棱长是1分米的正方体盒子里，直到装满，还需要装入（ ）个小正方体。
A．90 B．900 C．990 D．992
19．（2分）小新有一块长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块，他想从这块木料中削出一个最大的正方体。他想知道这个正方体的体积是多少立方厘米？（ ）
A．192立方厘米 B．64立方厘米 C．216立方厘米 D．322立法厘米
20．（2分）将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体后（ ）。
A．表面积变了，体积不变 B．表面积不变，体积变了
C．体积和表面积都不变 D．体积和表面积都变了
四、计算题（满分6分）
21．（6分）求下图的体积。
五、解答题（满分54分）
22．（6分）迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？
23．（6分）一个长6厘米，宽4厘米的长方体容器内装有5厘米深的水，妙妙把10颗大小、质地相同的玻璃珠放入水中，测得这时水深5.2厘米。每颗玻璃珠的体积是多少？
24．（6分）一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？
25．（6分）学校的种植社团计划为10个种植箱购置营养土。经测量，种植箱的长、宽、高分别为12分米、6分米和3分米。在铺营养土时，要预留出0.5分米高的空间不铺土方便浇水。若箱子的厚度忽略不计，种植社团至少需要买几袋这样的营养土？
26．（6分）小花选了下面五块玻璃做了一个无盖的鱼缸。（玻璃厚度忽略不计，单位：分米。）
（1）鱼缸的底面是（ ）号玻璃，鱼缸的高是（ ）分米。
（2）这个鱼缸最多可以盛多少升水？
27．（6分）如下图，如果把这个长方体完全沉没于盛满水的水槽中，会有多少水溢出来？如果要包装这个盒子，至少需要多少平方厘米的包装纸？（单位：厘米）
28．（6分）如图，在一个大正方体的盒子里装着一些小正方体，最多能装下多少个这样的正方体？如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是多少？
29．（12分）下图是某品牌的牛奶盒。请你灵活思考，解决下面的问题。
（1）你认为饮料厂向牛奶盒中装多少牛奶合适？
（2）如图所示，用一张大塑料纸将4盒牛奶包起来。至少需要多大面积的塑料纸？
（3）饮料厂将12盒牛奶装在一个纸箱里，请你设计出两种不同的包装箱，并给出设计方案。（设计时不计纸板厚度但要考虑实用性）
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