资源简介

2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第四单元 长方体（二）
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：八大易错知识点 2
第二部分：六大常考易错点 3
易错点一：易错点1:混淆了体积与容积的概念。 3
易错点二：选择单位名称时错误，单位不同的量进行大小比较。 3
易错点三：对表面积和体积的意义理解不透彻。 4
易错点四：误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。 4
易错点五：易错点:单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。 4
易错点六：对测量较小物体的体积的方法不明确。 4
第三部分：十三大易错题突破 5
突破题型一体积与容积的认识 5
突破题型二体积单位与容积单位的认识及选择 6
突破题型三体积与容积大小的比较 8
突破题型四计算长方体的体积 9
突破题型五计算正方体的体积 11
突破题型六计算组合体的体积 12
突破题型七体积的等积变形 14
突破题型八立体图形的切拼问题 16
突破题型九运用体积单位间的换算解决问题 17
突破题型十运用容积单位间的换算解决问题 19
突破题型十一运用体积与容积单位间的相互换算解决问题 20
突破题型十二长方体正方体的容积 22
突破题型十三测量不规则物体的体积 24
1、混淆了体积与容积的概念。
若不是特别注明,容器的体积一般大于容积。有的物体有容积,有的没有容积,比如魔方只有体积没有容积。
2、混淆了表面积与体积的概念。
物体的形状不管怎样变化,它所占空间的大小都不会变化,也就是物体的体积不变。
3、误把单位名称不同的量进行大小比较。
体积和面积是不同类的单位,不能比较大小。
4、混淆了容积与体积的概念。
物体所占空间的大小,指的是体积;计量它能装多少物体,指的是容积。
5、对表面积和体积的意义理解不透彻。单位不同类,无法比较大小。
6、误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。
正方体的棱长扩大到原来的n倍,则表面积扩大到原来的n2倍,体积扩大到原来的n3倍。
7、单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。
注意观察题目,单名数换算成复名数去掉整数部分后还要进行换算。
8、对测量较小物体的体积的方法不明确。
在测量体积较小的不规则物体的体积时,要先测量出一定数量该物体的体积,再计算出一个物体的体积。
易错点一：易错点1:混淆了体积与容积的概念。
判断:物体的体积越大,容积也越大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】所有物体都有体积,但不是所有物体都有容积。
【正确答案】错误
易错点二：选择单位名称时错误，单位不同的量进行大小比较。
把判断:54 dm的纸箱和54 dm2的纸板一样大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】
【正确答案】错误
易错点三：对表面积和体积的意义理解不透彻。
判断:棱长是6 cm的正方体,它的表面积和体积相等。( ）
【错误答案】正确
【错解分析】棱长是6 cm的正方体的表面积是6×6×6=216(cm2) ,体积是6×6×6=216( cm3)。虽然结果都是216,但它们的单位不同,一个表示面积,一个表示体积,单位不同类,表达的意义不同,不能进行比较。
【正确答案】错误
易错点四：误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。
判断:正方体的棱长扩大到原来的3倍,体积也就扩大到原来的3倍。( )
【错误答案】正确
【错解分析】如果正方体的棱长为a cm,则它的体积为a3cm3,棱长扩大到原来的3倍,变为3a cm ,则它的体积变为3a×3a×3a= 27a3cm3 ,体积扩大到原来的27倍。
【正确答案】错误
易错点五：易错点:单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。
把填空:7.6 dm3=( ) dm3( )cm3
【错误答案】7 6
【错解分析】7.6 dm3的整数部分是7dm3,去掉整数部分是0.6 dm3,0.6 dm3 = 600 cm3,而不是6 cm3。
【正确答案】7 600
易错点六：对测量较小物体的体积的方法不明确。
判断:测量一粒黄豆的体积时,可以将这粒黄豆放入一个盛水的量杯中,根据水面升高的情况,便可以测出它的体积。( )
【错误答案】正确
【错解分析】一粒黄豆尽管占有一定的空间,但它的体积很小,很难看出水面的变化,也就无法测出这粒黄豆的体积。我们可以数出100粒黄豆或更多(黄豆大小一样),全部放入盛水的量杯中,根据水面升高的情况，计算出这些黄豆的体积,然后求出一粒黄豆的体积。
【正确答案】错误
突破题型一体积与容积的认识
1．下列说法错误的是（ ）。
A．淘气家书房的体积约是60m3。
B．一个物体的体积越大，容积也越大。
C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积。
D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积。
【答案】B
【分析】根据生活经验以及对体积、容积单位和数据大小的认识，逐一判断选项里的说法是否正确即可。
【解答】A.淘气家书房的体积约是60m3，说法正确；
B．物体的体积越大，表示其所占的空间越大，所以一个物体的体积越大，而容积是物体里面容量的大小，物体的体积大，里面容量可能小，故说法错误；
C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积,说法正确。
D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积，说法正确。
故答案为：B
2．求一只圆柱形油桶能装油多少升，是求它的（ ）；求这只铁桶所占空间的大小，是求它的（ ）。（ ）
A．表面积；体积 B．体积；容积 C．容积；体积
【答案】C
【分析】一个物体的体积是指物体所占空间的大小，而容积是指容器所能容纳物体体积的大小。
【解答】根据体积容积的概念可知：求一个油桶能装油多少升，是求它的容积，求这个油桶所占空间的大小，是求它的体积。
故答案为：C
【点评】理解容积、体积概念是解题关键，跟油桶的形状无关。
3．如果两个不同容器的容积相等，他们的体积（ ）。
A．相等 B．不相等 C．无法判断
【答案】C
【分析】根据题意，容积和体积是两个不同的概念，容积是指容器所能容纳物体的体积大小，而体积是指物体本身所占空间的大小。因此，即使两个容器的容积相等，由于容器壁的厚度、容器外部和内部的尺寸可能不同，导致它们的体积无法直接比较。
【解答】如果两个不同容器的容积相等，他们的体积无法判断。
故答案为：C
突破题型二体积单位与容积单位的认识及选择
4．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位）
【答案】升/L 毫升/mL
【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大约是1升，毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
【解答】根据实际情况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
5．填上适当的容积单位。
500_______ 5_______ 18.9_______ 16_______
【答案】毫升或mL；升或L；升或L；升或L
【分析】1毫升液体的体积就是1立方厘米，20滴水大约是1毫升；计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶矿泉水的体积用“毫升”作单位比较合适；
1升液体的体积就是1立方分米，两瓶矿泉水的体积是1升，所以计量食用油、桶装矿泉水的体积用“升”作单位比较合适；
容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，1升是1立方分米，所以计量微波炉的容积用“升”作单位比较合适。
【解答】
500毫升 5升 18.9升 16升
6．在（ ）里填上合适的单位。
（1）一块橡皮擦的体积约是6（ ）
（2）一个仓库的体积大约是320（ ）
（3）一个冰箱的容积约是200（ ）
（4）一个纯净水桶的容积约是19（ ）
（5）一瓶眼药水的体积约是5（ ）
【答案】（1）立方厘米/cm3
（2）立方米/m3
（3）升/L
（4）升/L
（5）立方厘米/cm3
【分析】根据体积（容积）单位和数据大小的认识，结合生活实际，1立方厘米大约有大拇手指头的大小，所以一块橡皮擦的体积用立方厘米比较合适；1米的正方体体积是1立方米，所以仓库的体积用立方米比较合适；常见的容积单位有升和毫升，升是较大的容积单位，毫升是较小的容积单位，冰箱的容积较大，所以用升比较合适；一桶食用油大约5升，一个纯净水桶的容积比油桶大，所以纯净水的容积用升比较合适；1立方厘米大约有大拇手指头的大小，所以眼药水的体积用立方厘米比较合适
【解答】（1）一块橡皮擦的体积约是6立方厘米。
（2）一个仓库的体积大约是320立方米。
（3）一个冰箱的容积约是200升。
（4）一个纯净水桶的容积约是19升。
（5）一瓶眼药水的体积约是5立方厘米。
突破题型三体积与容积大小的比较
7．（热水壶）和（茶杯）相比，（ ）盛的水多，我们就可以说（ ）的容量大一些，（ ）的容量小一些。
【答案】热水壶 热水壶 茶杯
【解答】容器所能容纳物体的体积叫做这个容器的容积。根据生活经验，一个烧水壶装满水和一个茶杯装满水相比较，一个烧水壶装的水比一个茶杯装的水多。
和相比，热水壶盛的水多，我们就可以说热水壶的容量大一些，茶杯的容量小一些。
8．如下图，先把②号杯装满水倒入①号杯，再把②号杯装满水倒入③号杯。（ ）号杯的容量最大，（ ）号杯的容量最小。
【答案】③ ①
【分析】根据题意可知，把②号杯装满水倒入①号杯，①号杯被倒满，并且②号杯有剩余，说明②号杯比①号杯的容量大；把②号杯装满水倒入③号杯，③号杯没有被倒满，并且②号杯无剩余，说明③号杯比②号杯的容量大，据此解答。
【解答】根据分析可知，②号杯比①号杯的容量大，③号杯比②号杯的容量大，说明③号杯的容量最大，①号杯的容量最小。
9．下面各组哪个物体的体积大？在后面的括号里画“√”。
（1） （ ） （ ）
（2）（ ） （ ）
（3）（ ） （ ）
（4）（ ） （ ）
【答案】（1）（√）（ ）
（2）（√）（ ）
（3）（ ）（√）
（4）（ ）（√）
【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；据此解答。
【解答】
（1） （ √ ） （ ）
（2）（ √ ） （ ）
（3）（ ） （ √ ）
（4）（ ） （ √ ）
突破题型四计算长方体的体积
10．求下面图形的表面积和体积。
【答案】表面积：376cm2
体积：480cm3
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此将数值代入计算即可求得图形的表面积和体积。
【解答】（10×6＋10×8＋6×8）×2
＝（60＋80＋48）×2
＝188×2
＝376（平方厘米）
10×6×8
＝60×8
＝480（立方厘米）
表面积为：376cm2，体积为：480cm3。
11．下图是长方体的展开图，求出这个长方体的表面积和体积。
【答案】表面积：158平方分米；体积：120立方分米
【分析】观察图形可知，长方体的长是8分米，宽是5分米，高是3分米；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【解答】长方体的长是8分米，宽是5分米，高是3分米。
表面积：（8×5＋8×3＋5×3）×2
＝（40＋24＋15）×2
＝（64＋15）×2
＝79×2
＝158（平方分米）
体积：8×5×3
＝40×3
＝120（立方分米）
长方体的表面积是158平方分米，体积是120立方米。
12．求下图长方体的体积。
【答案】2400dm3
【分析】根据长方体的体积V＝abh，代入数据解答即可。
【解答】
（dm3）
长方体的体积为2400dm3。
突破题型五计算正方体的体积
13．计算下面正方体的体积。
【答案】125立方分米
【分析】观察图形可知，这个正方体的棱长为5分米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【解答】5×5×5
＝25×5
＝125（立方分米）
所以这个正方体的体积是125立方分米。
14．计算正方体的体积。
【答案】27立方分米
【分析】由图可知，正方体的棱长是3分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出正方体的体积。
【解答】正方体的体积：3×3×3＝27（立方分米）
15．计算下列图形的表面积和体积。
【答案】（1）136cm2；体积是96cm3（2）486dm2；体积是729dm3
【分析】（1）该图形是长方体，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算即可。
（2）该图形是正方体，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算即可。
【解答】（1）表面积：（8×3＋8×4＋4×3）×2
＝（24＋32＋12）×2
＝68×2
＝136（cm2）
体积：8×4×3＝96（cm3）
因此长方体的表面积是136cm2，体积是96cm3。
（2）表面积：9×9×6＝486（dm2）
体积：9×9×9＝729（dm3）
因此正方体的表面积是486dm2，体积是729dm3。
突破题型六计算组合体的体积
16．计算下面图形的表面积和体积。（单：厘米）
【答案】表面积：216平方厘米；体积：189立方厘米
【分析】观察图形发现，通过平移这个图形的表面积就是棱长为6厘米的正方体的表面积，体积用棱长为6厘米的正方体体积减去棱长为3厘米的正方体体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此解答即可。
【解答】表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
17．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm）
【答案】224cm2；208cm3
【分析】通过平移的知识可以发现，立体图形的表面积比棱长为6cm的正方体的表面积多了2个边长为2cm的正方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可；立体图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长即可解答。
【解答】6×6×6＋2×2×2
＝36×6＋4×2
＝216＋8
＝224（cm2）
6×6×6－2×2×2
＝36×6－4×2
＝216－8
＝208（cm3）
立体图形的表面积是224cm2，体积是208cm3。
18．求下面各立体图形的体积。（单位：cm）
（1） （2）
【答案】（1）325cm3；（2）580cm3
【分析】（1）观察图形可知，组合图形的体积＝正方体的体积＋长方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
（2）如下图，把组合图形分成左右两部分，那么组合图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
【解答】（1）5×5×5＋8×5×5
＝125＋200
＝325（cm3）
组合图形的体积是325cm3。
（2）8×10×（2＋3）＋6×10×3
＝8×10×5＋180
＝400＋180
＝580（cm3）
组合图形的体积是580cm3。
突破题型七体积的等积变形
19．工人叔叔要把一个棱长6厘米的正方体钢坯锻造成一个长9厘米、宽6厘米的长方体零件，这个零件的高是多少厘米？
【答案】4厘米
【分析】由题意可知，正方体钢坯锻造成长方体零件后体积不变，先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出钢坯的体积，再根据“长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽”求出这个零件的高度，据此解答。
【解答】6×6×6÷9÷6
＝216÷9÷6
＝24÷6
＝4（厘米）
答：这个零件的高是4厘米。
20．王师傅需要把一个48立方分米的正方体铁块锻造成一个长方体，长是6分米，宽是4分米，那么这个长方体的高是多少分米？
【答案】2分米
【分析】根据题意，将一个正方体铁块锻造成一个长方体，则铁块的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可求出这个长方体铁块的高。
【解答】48÷6÷4
＝8÷4
＝2（分米）
答：这个长方体的高是2分米。
21．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？
【答案】18厘米
【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深，如果让长10厘米、宽20厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。
【解答】30×20×6
＝600×6
＝3600（立方厘米）
3600÷（10×20）
＝3600÷200
＝18（厘米）
答：里面的水深应该是18厘米。
突破题型八立体图形的切拼问题
22．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？
【答案】93立方厘米
【分析】由题意可知，截去最大的正方体，这个正方体的棱长是长方体的最短边，即3厘米，根据和，用长方体的体积减正方体的体积即可得解。
【解答】
（立方厘米）
答：剩下的体积是93立方厘米。
23．有一根长方体木料，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果将这根木料正好截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大，那么小正方体木块的棱长是多少？可以截成多少个这样的小正方体木块？
【答案】25厘米；273个
【分析】先换算单位，将米转化成厘米。因为要截成尽可能大的小正方体木块，就是找325，175和75的最大公因数，求出小正方体木块的棱长；要求可以截成多少个小正方体木块，沿长方体木料的长能截成多少块，沿长方体的宽能截成多少块，沿长方体的高能截成多少块，沿长、宽、高所截成的块数相乘，即可解答。
【解答】3.25米325厘米
1.75米175厘米
0.75米75厘米
325＝5×5×13
175＝5×5×7
75＝5×5×3
325、175和75的最大公因数是5×5＝25。
正方体的棱长为25厘米。
（325÷25）×（175÷25）×（75÷25）
＝13×7×3
＝91×3
＝273（个）
答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成273个这样的小正方体木块。
24．用12个大小相同的小正方体，分别按下面的要求想一想，搭一搭。
（1）搭出两个物体，使它们的体积相同。
（2）搭出两个物体，使其中一个物体的体积是另一个的2倍。
【答案】（1）（2）见详解
【分析】（1）要使搭出的物体体积相等，则两个物体所用的小正方体的块数是相等的； （2）因为8是4的2倍，所以两个物体一个用8块搭，一个用4块搭，据此即可解答。
【解答】（1）12÷2＝6（个）
（答案不唯一）
（2）8＋4＝12（个），8÷4＝2
（答案不唯一）
突破题型九运用体积单位间的换算解决问题
25．飞机场登机口写着：体积超过20厘米×40厘米×55厘米或质量超过10千克的行李，需要将其托运。李叔叔带了一个长38厘米、宽15厘米、体积是34.2立方分米，质量为9.8千克的礼品盒，这个礼品盒需要托运吗？
【答案】需要托运。
【分析】根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长×宽，代入数据，求出李叔叔带的礼品盒的高，再和规定进行比较，如果超过规定，就要托运，如果小于规定，就不需要托运，据此解答。
【解答】34.2立方分米＝34200立方厘米
34200÷38÷15
＝900÷15
＝60（厘米）
15厘米＜20厘米
38厘米＜40厘米
60厘米＞55厘米
答：这个礼品盒需要托运。
【点评】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
26．40根方木，堆成一个长1.5米、宽0.8米、高1米的长方体。平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？
【答案】0.03立方米；30立方分米
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出40根方木组成的长方体的体积，再除以40，即可求出1根方木的体积；再根据1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，进而解答。
【解答】1.5×0.8×1÷40
＝1.2×1÷40
＝1.2÷40
＝0.03（立方米）
0.03立方米＝30立方分米
答：平均每根木料的体积是0.03立方米，合30立方分米。
【点评】熟练掌握长方体体积公式以及单位进率是解答本题的关键。
27．一个无盖的长方体木箱，木板的厚度是3厘米，从外面量长46厘米，宽31厘米，高33厘米。这个木箱的容积是多少立方分米？
【答案】30立方分米
【分析】根据长方体的容积公式：v＝abh，首先求出木箱里面的长、宽、高，然后把数据代入公式解答即可。
【解答】（46－3×2）×（31－3×2）×（33－3）
＝40×25×30
＝1000×30
＝30000（立方厘米）
30000立方厘米＝30立方分米，
答：这个木箱的容积是30立方分米。
【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用。注意：单位不统一时要换算单位。
突破题型十运用容积单位间的换算解决问题
28．淘淘去超市购买儿童牛奶，买哪种包装的比较合算？
【答案】D包装
【分析】先统一单位，1L＝1000mL，将单位都换算成mL，再根据单价＝总价÷数量，用总价除以容积即可求出每mL的单价，然后再比较即可，越便宜越合算。
【解答】2.5÷200＝0.0125（元）
3.8÷380＝0.01（元）
1L＝1000mL
9÷1000＝0.009（元）
1.5L＝1500mL
12÷1500＝0.008（元）
0.008＜0.009＜0.01＜0.0125
答：买D包装的比较合算。
29．笑笑买了一瓶1.5升装的可乐分给同学喝，同学们手里拿的是容积为60毫升杯子，笑笑一共能倒满多少杯？
【答案】25杯
【分析】高级单位化低级单位乘进率，1升＝1000毫升，1.5×1000＝1500，所以1.5升＝1500毫升，再用1500除以60即可得解。
【解答】由分析可知：
1.5升＝1500毫升
1500÷60＝25（杯）
答：笑笑一共能倒满25杯。
【点评】本题考查容积单位的换算，注意：高级单位化低级单位乘进率。
30．一种无盖的长方体形铁皮水桶，底面是边长4分米的正方形，高1米。做一只这样的水桶至少要多少铁皮？这只水桶能装水多少升？
【答案】176平方分米；160升
【分析】1米＝10分米，无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，用4×4＋4×10×2＋4×10×2即可求出无盖的长方体铁皮箱的表面积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用4×4×10即可求出这只水桶的体积，再把单位换算成升。
【解答】1米＝10分米
4×4＋4×10×2＋4×10×2
＝16＋80＋80
＝176（平方分米）
4×4×10＝160（立方分米）
160立方分米＝160升
答：做一只这样的水桶至少要176平方分米铁皮；这只水桶能装水160升。
【点评】本题主要考查了长方体表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确表面积有几个面。
突破题型十一运用体积与容积单位间的相互换算解决问题
31．张叔叔要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸。
（1）至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）这个鱼缸最多可装水多少升？（玻璃的厚度忽略不计）
【答案】（1）1125平方厘米
（2）3.375升
【分析】（1）根据题意，要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸，求至少需要玻璃的面积，就是求正方体5个面的面积之和，根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算求解。
（2）求这个鱼缸最多可装水的体积，就是求正方体的容积；根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，代入数据计算求解。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。
【解答】（1）15×15×5
＝225×5
＝1125（平方厘米）
答：至少需要玻璃1125平方厘米。
（2）15×15×15
＝225×15
＝3375（立方厘米）
3375立方厘米＝3.375升
答：这个鱼缸最多可装水3.375升。
32．如图，一种果汁的包装盒是一个从外面量长7厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体。请你通过计算说明商家是否欺骗了消费者？
【答案】欺骗了
【分析】从图中可知，果汁包装盒上注明“280毫升”，说明果汁包装盒的容积是280毫升。
已知包装盒从外面量的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出包装盒的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位，然后与“280毫升”进行比较，因为包装盒有厚度，所以包装盒的体积一定会大于容积，由此得出商家是否欺骗了消费者。
【解答】7×4×10＝280（立方厘米）
280立方厘米＝280毫升
答：商家欺骗了消费者。
33．一个长方体水箱，长0.8米，宽0.6米，高0.5米。做这个水箱至少要用多少平方米铁皮？如果往水箱里注入96升水，水深多少分米？
【答案】2.36平方米；2分米
【分析】求用铁皮的面积，就是求这个长方体水箱的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数据，求出水深，注意单位名数的换算。
【解答】（0.8×0.6＋0.8×0.5＋0.6×0.5）×2
＝（0.48＋0.4＋0.3）×2
＝（0.88＋0.3）×2
＝1.18×2
＝2.36（平方米）
96升＝96立方分米；0.8米＝8分米；0.6米＝6分米。
96÷8÷6
＝12÷6
＝2（分米）
答：做这个水箱至少要用2.36平方米铁皮，水深2分米。
突破题型十二长方体正方体的容积
34．一个长方体果汁盒从里面量长9厘米，宽6厘米，高19厘米，包装盒上标着“净含量1升”的字样，这个果汁盒能不能装进1升的果汁呢？
【答案】能
【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体果汁盒的容积，在换算成升，再和1升的果汁进行比较，即可解答。
【解答】9×6×19
＝54×19
＝1026（立方厘米）
1026立方厘米＝1.026升
1.026升＞1升，这个果汁盒能装进1升果汁。
答：这个果汁盒能装进1升的果汁。
35．为了调查一个水龙头的漏水情况，淘气设计了一个实验：第一天晚上10时，他拿出一个长12厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体容器，放在水龙头下面接水，紧接着他又测量出这个水龙头每分钟漏水40滴；第二天早上7时，他测量出这个容器的水位高度为9厘米。你能根据以上信息，计算出每滴水是多少毫升吗？
【答案】0.05毫升
【分析】根据题意分析，从第一天晚上10：00到第二天早上7：00，一共用了（12－10＋7）个小时，1时＝60分，所以一共是60×9＝540（分钟），每分钟漏40滴水使水面由0升高了9厘米，所以求出水的体积即是540个40滴水的体积，再进行单位间的换算，据此列式解答即可。
【解答】12×10×9
＝120×9
＝1080（立方厘米）
1080立方厘米＝1080毫升
12－10＋7
＝2＋7
＝9（小时）
1080÷（9×60×40）
＝1080÷（540×40）
＝1080÷21600
＝0.05（毫升）
答：每滴水是0.05毫升。
36．奇奇的爸爸准备开车带一家人去旅游。爸爸汽车的油箱长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米。出发前汽车油箱是满油状态，如果每行驶15千米耗油1升，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？
【答案】900千米
【分析】已知汽车的油箱的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出油箱的容积，再乘每升油行驶的路程，即可求出汽车耗光油箱中的汽油最多行驶的路程。
【解答】50×40×30
＝2000×30
＝60000（立方厘米）
60000立方厘米＝60升
60×15＝900（千米）
答：这辆汽车最多行驶900千米就能耗光油箱中的汽油。
突破题型十三测量不规则物体的体积
37．一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？
【答案】7分钟
【分析】假山石高28厘米，只有水面高度达到28厘米，才能将假山石完全淹没。根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积（水与假山石的体积之和），再减去假山石的体积，就得注水的体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，将水的体积换算成立方分米。最后根据每分注水7立方分米，用水的体积除以7即可求出注水时间。
【解答】45×20×28－4200
＝25200－4200
＝21000（立方厘米）
21000立方厘米＝21立方分米
21÷7＝3（分钟）
答：至少要7分钟才能将假山石完全淹没。
38．把一块石头放入长4分米、宽3分米、高2分米的装有水的长方体容器内，石头完全浸没在水中，这时水面上升到1.5分米，容器内原来水的高度是1分米，这块石头的体积是多少立方分米？
【答案】6立方分米
【分析】根据题意，把一块石头完全浸没在水中，这时水面上升到1.5分米，则水面上升了（1.5－1）分米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出这块石头的体积。
【解答】4×3×（1.5－1）
＝12×0.5
＝6（立方分米）
答：这块石头的体积是6立方分米。
39．张叔叔准备制作一个长方体玻璃鱼缸。他从玻璃剩袋料中找来6块玻璃，形状、大小如下图所示（单位：厘米）。他从中选取5块直接用胶水粘合成一个无盖的玻璃鱼缸。
（1）你认为选哪5块能制作成一个鱼缸？这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）
（2）往这个鱼缸加水至20厘米深，需要水多少升？
（3）接着张叔叔往鱼缸中放入一块鱼缸造景石头，他用尺子量得此时水面距离鱼缸的上边沿4厘米，你能计算出这块鱼缸造景石头的体积吗？请在下面列算式计算。
【答案】（1）①②③④⑤；30升
（2）24升
（3）1200立方厘米
【分析】（1）要选取5块玻璃做成一个无盖的玻璃鱼缸，可以选③“40×30”作底面，①⑤“40×25”作前后面，②④“30×25”作左右面，拼成一个长40厘米、宽30厘米、高25厘米的无盖长方体。
然后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出这个鱼缸的容积。
（2）往这个鱼缸加水至20厘米深，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出需要水的体积。
（3）往鱼缸中放入一块鱼缸造景石头，此时水面距离鱼缸的上边沿4厘米，那么水面上升了（25－20－4）厘米，则水上升部分的体积就是石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×水上升的高度，求出这块鱼缸造景石头的体积。
【解答】（1）选出③作底面，①⑤作前后面，②④作左右面，拼成一个长40厘米，宽30厘米，高25厘米的无盖长方体。
40×30×25
＝1200×25
＝30000（立方厘米）
30000立方厘米＝30升
答：选出③作底面，①⑤作前后面，②④作左右面，拼成一个长40厘米、宽30厘米、高25厘米的无盖长方体。这个鱼缸的容积是30升。
（2）40×30×20
＝1200×20
＝24000（立方厘米）
24000立方厘米＝24升
答：需要水24升。
（3）40×30×（25－20－4）
＝40×30×1
＝1200（立方厘米）
答：这块鱼缸造景石头的体积是1200立方厘米。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
第四单元 长方体（二）
本专题为单元易错讲义，包含三大内容：
1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。
2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。
3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。
目录
第一部分：八大易错知识点 2
第二部分：六大常考易错点 3
易错点一：易错点1:混淆了体积与容积的概念。 3
易错点二：选择单位名称时错误，单位不同的量进行大小比较。 4
易错点三：对表面积和体积的意义理解不透彻。 4
易错点四：误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。 4
易错点五：易错点:单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。 4
易错点六：对测量较小物体的体积的方法不明确。 4
第三部分：十三大易错题突破 5
突破题型一体积与容积的认识 5
突破题型二体积单位与容积单位的认识及选择 6
突破题型三体积与容积大小的比较 6
突破题型四计算长方体的体积 7
突破题型五计算正方体的体积 8
突破题型六计算组合体的体积 9
突破题型七体积的等积变形 10
突破题型八立体图形的切拼问题 11
突破题型九运用体积单位间的换算解决问题 12
突破题型十运用容积单位间的换算解决问题 12
突破题型十一运用体积与容积单位间的相互换算解决问题 13
突破题型十二长方体正方体的容积 14
突破题型十三测量不规则物体的体积 14
1、混淆了体积与容积的概念。
若不是特别注明,容器的体积一般大于容积。有的物体有容积,有的没有容积,比如魔方只有体积没有容积。
2、混淆了表面积与体积的概念。
物体的形状不管怎样变化,它所占空间的大小都不会变化,也就是物体的体积不变。
3、误把单位名称不同的量进行大小比较。
体积和面积是不同类的单位,不能比较大小。
4、混淆了容积与体积的概念。
物体所占空间的大小,指的是体积;计量它能装多少物体,指的是容积。
5、对表面积和体积的意义理解不透彻。单位不同类,无法比较大小。
6、误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。
正方体的棱长扩大到原来的n倍,则表面积扩大到原来的n2倍,体积扩大到原来的n3倍。
7、单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。
注意观察题目,单名数换算成复名数去掉整数部分后还要进行换算。
8、对测量较小物体的体积的方法不明确。
在测量体积较小的不规则物体的体积时,要先测量出一定数量该物体的体积,再计算出一个物体的体积。
易错点一：易错点1:混淆了体积与容积的概念。
判断:物体的体积越大,容积也越大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】所有物体都有体积,但不是所有物体都有容积。
【正确答案】错误
易错点二：选择单位名称时错误，单位不同的量进行大小比较。
把判断:54 dm的纸箱和54 dm2的纸板一样大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】
【正确答案】错误
易错点三：对表面积和体积的意义理解不透彻。
判断:棱长是6 cm的正方体,它的表面积和体积相等。( ）
【错误答案】正确
【错解分析】棱长是6 cm的正方体的表面积是6×6×6=216(cm2) ,体积是6×6×6=216( cm3)。虽然结果都是216,但它们的单位不同,一个表示面积,一个表示体积,单位不同类,表达的意义不同,不能进行比较。
【正确答案】错误
易错点四：误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。
判断:正方体的棱长扩大到原来的3倍,体积也就扩大到原来的3倍。( )
【错误答案】正确
【错解分析】如果正方体的棱长为a cm,则它的体积为a3cm3,棱长扩大到原来的3倍,变为3a cm ,则它的体积变为3a×3a×3a= 27a3cm3 ,体积扩大到原来的27倍。
【正确答案】错误
易错点五：易错点:单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。
把填空:7.6 dm3=( ) dm3( )cm3
【错误答案】7 6
【错解分析】7.6 dm3的整数部分是7dm3,去掉整数部分是0.6 dm3,0.6 dm3 = 600 cm3,而不是6 cm3。
【正确答案】7 600
易错点六：对测量较小物体的体积的方法不明确。
判断:测量一粒黄豆的体积时,可以将这粒黄豆放入一个盛水的量杯中,根据水面升高的情况,便可以测出它的体积。( )
【错误答案】正确
【错解分析】一粒黄豆尽管占有一定的空间,但它的体积很小,很难看出水面的变化,也就无法测出这粒黄豆的体积。我们可以数出100粒黄豆或更多(黄豆大小一样),全部放入盛水的量杯中,根据水面升高的情况，计算出这些黄豆的体积,然后求出一粒黄豆的体积。
【正确答案】错误
突破题型一体积与容积的认识
1．下列说法错误的是（ ）。
A．淘气家书房的体积约是60m3。
B．一个物体的体积越大，容积也越大。
C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积。
D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积。
2．求一只圆柱形油桶能装油多少升，是求它的（ ）；求这只铁桶所占空间的大小，是求它的（ ）。（ ）
A．表面积；体积 B．体积；容积 C．容积；体积
3．如果两个不同容器的容积相等，他们的体积（ ）。
A．相等 B．不相等 C．无法判断
突破题型二体积单位与容积单位的认识及选择
4．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位）
5．填上适当的容积单位。
500_______ 5_______ 18.9_______ 16_______
6．在（ ）里填上合适的单位。
（1）一块橡皮擦的体积约是6（ ）
（2）一个仓库的体积大约是320（ ）
（3）一个冰箱的容积约是200（ ）
（4）一个纯净水桶的容积约是19（ ）
（5）一瓶眼药水的体积约是5（ ）
突破题型三体积与容积大小的比较
7．（热水壶）和（茶杯）相比，（ ）盛的水多，我们就可以说（ ）的容量大一些，（ ）的容量小一些。
8．如下图，先把②号杯装满水倒入①号杯，再把②号杯装满水倒入③号杯。（ ）号杯的容量最大，（ ）号杯的容量最小。
9．下面各组哪个物体的体积大？在后面的括号里画“√”。
（1） （ ） （ ）
（2）（ ） （ ）
（3）（ ） （ ）
（4）（ ） （ ）
突破题型四计算长方体的体积
10．求下面图形的表面积和体积。
11．下图是长方体的展开图，求出这个长方体的表面积和体积。
12．求下图长方体的体积。
突破题型五计算正方体的体积
13．计算下面正方体的体积。
14．计算正方体的体积。
15．计算下列图形的表面积和体积。
突破题型六计算组合体的体积
16．计算下面图形的表面积和体积。（单：厘米）
17．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm）
18．求下面各立体图形的体积。（单位：cm）
（1） （2）
突破题型七体积的等积变形
19．工人叔叔要把一个棱长6厘米的正方体钢坯锻造成一个长9厘米、宽6厘米的长方体零件，这个零件的高是多少厘米？
20．王师傅需要把一个48立方分米的正方体铁块锻造成一个长方体，长是6分米，宽是4分米，那么这个长方体的高是多少分米？
21．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？
突破题型八立体图形的切拼问题
22．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？
23．有一根长方体木料，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果将这根木料正好截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大，那么小正方体木块的棱长是多少？可以截成多少个这样的小正方体木块？
24．用12个大小相同的小正方体，分别按下面的要求想一想，搭一搭。
（1）搭出两个物体，使它们的体积相同。
（2）搭出两个物体，使其中一个物体的体积是另一个的2倍。
突破题型九运用体积单位间的换算解决问题
25．飞机场登机口写着：体积超过20厘米×40厘米×55厘米或质量超过10千克的行李，需要将其托运。李叔叔带了一个长38厘米、宽15厘米、体积是34.2立方分米，质量为9.8千克的礼品盒，这个礼品盒需要托运吗？
26．40根方木，堆成一个长1.5米、宽0.8米、高1米的长方体。平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？
27．一个无盖的长方体木箱，木板的厚度是3厘米，从外面量长46厘米，宽31厘米，高33厘米。这个木箱的容积是多少立方分米？
突破题型十运用容积单位间的换算解决问题
28．淘淘去超市购买儿童牛奶，买哪种包装的比较合算？
29．笑笑买了一瓶1.5升装的可乐分给同学喝，同学们手里拿的是容积为60毫升杯子，笑笑一共能倒满多少杯？
30．一种无盖的长方体形铁皮水桶，底面是边长4分米的正方形，高1米。做一只这样的水桶至少要多少铁皮？这只水桶能装水多少升？
突破题型十一运用体积与容积单位间的相互换算解决问题
31．张叔叔要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸。
（1）至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）这个鱼缸最多可装水多少升？（玻璃的厚度忽略不计）
32．如图，一种果汁的包装盒是一个从外面量长7厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体。请你通过计算说明商家是否欺骗了消费者？
33．一个长方体水箱，长0.8米，宽0.6米，高0.5米。做这个水箱至少要用多少平方米铁皮？如果往水箱里注入96升水，水深多少分米？
突破题型十二长方体正方体的容积
34．一个长方体果汁盒从里面量长9厘米，宽6厘米，高19厘米，包装盒上标着“净含量1升”的字样，这个果汁盒能不能装进1升的果汁呢？
35．为了调查一个水龙头的漏水情况，淘气设计了一个实验：第一天晚上10时，他拿出一个长12厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体容器，放在水龙头下面接水，紧接着他又测量出这个水龙头每分钟漏水40滴；第二天早上7时，他测量出这个容器的水位高度为9厘米。你能根据以上信息，计算出每滴水是多少毫升吗？
36．奇奇的爸爸准备开车带一家人去旅游。爸爸汽车的油箱长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米。出发前汽车油箱是满油状态，如果每行驶15千米耗油1升，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？
突破题型十三测量不规则物体的体积
37．一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？
38．把一块石头放入长4分米、宽3分米、高2分米的装有水的长方体容器内，石头完全浸没在水中，这时水面上升到1.5分米，容器内原来水的高度是1分米，这块石头的体积是多少立方分米？
39．张叔叔准备制作一个长方体玻璃鱼缸。他从玻璃剩袋料中找来6块玻璃，形状、大小如下图所示（单位：厘米）。他从中选取5块直接用胶水粘合成一个无盖的玻璃鱼缸。
（1）你认为选哪5块能制作成一个鱼缸？这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）
（2）往这个鱼缸加水至20厘米深，需要水多少升？
（3）接着张叔叔往鱼缸中放入一块鱼缸造景石头，他用尺子量得此时水面距离鱼缸的上边沿4厘米，你能计算出这块鱼缸造景石头的体积吗？请在下面列算式计算。
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