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2024-2025学年四年级下册数学易错题型
第五单元 认识方程
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】用字母表示数
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。
2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。
3、用字母表示有关图形的计算公式
①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式:C=（a+b）×2=2（a+b）。
②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式:S=a×b=ab。
③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式:C=4×a=4a。
④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式:S=a×a=a2。
4、用含有字母的式子表示运算律
①加法交换律:a+b=b+a。
②加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c）。
③乘法交换律:a×b=b×a。
④乘法结合律:（a×b）×c=a×（b×c）。
⑤乘法分配律:（a±b）×c=a×c±b×c。
⑥减法的性质:a-b-c=a-（b+c）。
⑦除法的性质:a÷b÷c=a÷（b×c）
【知识点二】等量关系
1、数学术语中的等量关系
一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。
2、常见的数量关系中的等量关系
①速度×时间=路程
②单价×数量=总价
③工作效率×工作时间=工作总量
④增长后的量=原量×（1+增长率）
3、常用的计算公式中的等量关系:
①正方形周长=边长×4
②正方形面积=边长×边长
③长方形周长=（长+宽）×2
④长方形面积=长×宽
【知识点三】方程
1、方程的含义:含有未知数的等式叫方程。
2、方程必须具备的条件:①必须是等式;②必须含有未知数。
3、看图列方程:
看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。
4、方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。
【知识点四】列方程解决问题
1、列出的方程要满足的条件
①未知数写在等号的左边;
②方程无单位;
③等号左右两边是相等的量;
④未知数不能单独放在等号的一边。
2、等式的性质
（1）等式的性质（一）
等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
（2）等式的性质（二）
等式两边都乘（或除以同一个数0除外），等式仍然成立。
3、解方程和方程的解
求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程步骤
（1）先写“解”;
（2）等号对齐;
（3）运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系（“直接想”）解方程;
（4）代入检验。
【考点一】用字母表示数
【典例一】爸爸今年岁，爸爸比小红大28岁，小红今年（ ）岁。
A．＋28 B．－28 C．＋25 D．－25
【分析】】根据“爸爸比小红大28岁”，用爸爸的年龄减28岁，就是小红的年龄，列式为x－28，据此选择。
【解答】根据题干分析可得，小红今年是x－28（岁）。
故答案为：B
【点评】本题考查了用字母表示数，比较简单，是基础题，只要找清数量关系即可列出算式。
【典例二】如下图所示，甲的周长用含有字母的式子表示为( )，a×（b＋c）表示( )。
【分析】甲是长方形，长是a，宽是b，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长和宽分别用字母表示即可。b＋c表示甲和乙拼成的长方形的长，a表示甲和乙拼成的长方形的宽，长×宽求的是长方形的面积，a×（b＋c）表示甲和乙拼成的长方形面积。
【解答】如下图所示，甲的周长用含有字母的式子表示为2（a＋b），a×（b＋c）表示甲、乙面积和。
【点评】此题主要考查的知识点是用含有字母的式子表示数，在含有字母的乘法算式里，可以省略乘号，但是数字要写在字母前面。
【典例三】为了庆祝国庆，学校计划做480面小彩旗。如果平均每天做x面，做了3天，还有多少面没有做？
【分析】根据题意可知，计划做小彩旗的总数－3天做的面数＝没有做的面数，3天做的面数＝平均每天做的面数×3，依此解答。
【解答】3天做的面数为：x×3＝（3x）面；
即没有做的面数为：（480－3x）面。
答：还有（480－3x）面没有做。
【点评】此题考查的是用字母表示数，应先找到题目中对应的关系再解答。
【考点二】等量关系
【典例一】乐乐植树28棵，比花花植树棵数的2倍少4棵。下列等量关系正确的是（ ）。
A．花花植树棵数×2＋4棵＝28棵
B．花花植树棵数×2－4棵＝28棵
C．28棵÷2－4棵＝花花植树棵数
【分析】根据题意可知，花花植树棵数乘2，再减4等于乐乐植树棵数；
或者乐乐植树棵数＋4，再除以2，即等于花花植树棵数；据此即可解答。
【解答】A．根据分析可知，花花植树棵数×2－4棵＝28棵，原等量关系错误。
B．根据分析可知，花花植树棵数×2－4棵＝28棵，原等量关系正确。
C．根据分析可知，（28棵＋4棵）÷2＝花花植树棵数，原等量关系错误。
故答案为：B
【点评】分析清楚数量之间的关系是解答本题的关键。
【典例二】根据下面图意，写出等量关系( )。
【分析】根据图意可知：1把桌子和5把椅子一共230元，1把桌子需要80元，椅子的单价和总价都是未知的，据此写出等量关系式。
【解答】等量关系：1张桌子的钱数＋5把椅子的钱数＝230元。
【点评】此题关键是根据题意找出基本数量关系。
【典例三】张阿姨买了2千克冬枣，王阿姨买了4千克香蕉，李阿姨买了1千克冬枣、1千克香蕉和3千克苹果。如果她们三人用了同样多的钱，那么，冬枣的价格是苹果的多少倍？
【分析】由题意可知，2千克冬枣的价格＝4千克香蕉的价格＝1千克冬枣的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格，那么1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格。4千克香蕉的价格＝2千克香蕉的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格，则1千克香蕉的价格＝3千克苹果的价格。进而可知，2千克香蕉的价格＝6千克苹果的价格，也就是1千克冬枣的价格＝6千克苹果的价格。
【解答】2千克冬枣的价格＝4千克香蕉的价格
则1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格
4千克香蕉的价格＝1千克冬枣的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格＝千克香蕉的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格
则1千克香蕉的价格＝3千克苹果的价格
1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格＝6千克苹果的价格
答：冬枣的价格是苹果的6倍。
【点评】本题考查等量代换和倍数关系，关键是将1千克冬枣的价格用2千克香蕉的价格代替，进而求出香蕉和苹果价格的关系，再进一步解答。
【考点三】方程的认识
【典例一】下列式子中，方程有（ ）个。
①4x＜0.8②5s＋0.1＝8.6③75.2－6.9＝68.3④x－5.7＋2.9＝6.8
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】含有未知数的等式叫做方程。①4x＜0.8含有未知数，不是等式，不是方程；②5s＋0.1＝8.6是含有未知数的等式，是方程；③75.2－6.9＝68.3是等式，但不含未知数，不是方程；④x－5.7＋2.9＝6.8是含有未知数的等式，是方程。
【解答】①4x＜0.8、③75.2－6.9＝68.3不是方程；②5s＋0.1＝8.6、④x－5.7＋2.9＝6.8是方程。
故答案为：C
【典例二】看图回答问题。
（1）图中哪一段表示（400－x）元，哪一段表示（400＋y）元？
（2）根据上图，你能列出两个不同的方程吗？
【分析】（1）观察上图可知，整个线段表示900元，整个线段由是260元、x元、y元组成，其中260元加x元等于400元，所以260元的一段表示（400－x）元；（400＋y）元等于900元，900元所示的线段表示（400＋y）元。
（2）根据260元的一段表示（400－x）元，可以列出方程：400－x＝260；根据900元所示的线段表示（400＋y）元，可以列出方程：400＋y＝900；据此即可解答。
【解答】（1）根据分析可知，260元所示的线段表示（400－x）元，900元所示的线段表示（400＋y）元。
（2）根据上图，列出两个不同的方程为：260＋x＝400和400＋y＝900。（答案不唯一）
【点评】分析清楚图上各种量之间的关系，再作解答。
【考点四】解方程
【典例一】李老师买一部手机花了512元，比原价便宜了35元，这部手机的原价多少元？以下线段图能正确表达题意的是（ ）。
A． B．
C． D．
【分析】分析题意可知，手机现价为512元，现价比原价便宜了35元，则手机的原价－35元＝手机的现价，据此解答。
【解答】解：设手机的原价为x元。
x－35＝512
x－35＋35＝512＋35
x＝547
所以，手机的现价为512元，原价为547元。
故答案为：C
【点评】手机的现价为512元，手机的现价比原价便宜了35元，则手机的原价大于手机的现价。
【典例二】四川省凉山州坚持多元化、差异化发展，突出地方特色，宜种则种、宜养则养。三河村依靠种植云木香和冬桃增加了村民的年收入。
（1）要想求出三河村种植的云木香和冬桃各多少亩，你选择的信息是（ ）和（ ）。（填序号）
（2）根据你选择的信息列方程解答。
【分析】（1）根据A、B、C提供的信息，选择可以求出云木香和冬桃面积的两条信息即可。
（2）根据信息B“云木香的面积比冬桃的2倍多260亩”，设种植冬桃的面积为亩，则种植云木香的面积为（2＋260）亩；
根据信息A“种植云木香的面积比冬桃多630亩”可得等量关系：云木香的面积－冬桃的面积＝云木香比冬桃多的面积，据此列出方程，并求解。
【解答】（1）要想求出三河村种植的云木香和冬桃各多少亩，我选择的信息是A和B。
（答案不唯一）
（2）解：设种植冬桃的面积为亩。
2＋260－＝630
＋260＝630
＋260－260＝630－260
＝370
云木香：370＋630＝1000（亩）
答：种植云木香1000亩，冬桃370亩。
【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
【典例三】买文具。
（1）买12支铅笔和12个卷笔刀，100元够吗？
（2）尺子的单价比橡皮擦单价的2倍少1.6元，橡皮擦的单价是多少？（列方程解答）
【分析】（1）把铅笔和卷笔刀的单价分别乘上12，计算出买12支铅笔和12个卷笔刀需要的总金额，再和100进行比较，判断100元够不够；
（2）设橡皮擦的的单价是x，根据尺子单价和橡皮擦的数量关系，进行列方程。
【解答】（1）0.3×12＋7.7×12
＝（0.3＋7.7）×12
＝8×12
＝96（元）
96元＜100元
答：100元够。
（2）解：设橡皮擦的单价是x元。
2x－1.6＝2.4
2x－1.6＋1.6＝2.4＋1.6
2x＝4
2x÷2＝4÷2
x＝2
答：橡皮擦的单价是2元。
【点评】本题考查的是列方程解决实际问题，关键是找出等量关系式，要注意的是在解方程的过程中要认真细心，严格按照解方程步骤。
【考点五】列方程解决问题
【典例一】洗衣机厂去年每日生产260台洗衣机，受疫情影响今年产量不佳，去年的平均日产量比今年的2.5倍少40台，今年平均日产洗衣机（ ）台。
A．120 B．88 C．104 D．690
【分析】根据题目可知，可以设今年的平均日产量为x台，由于去年的平均日产量比今年的2.5倍少40台，即今年的日产量×2.5－40＝去年的日产量，据此即可列出方程，再根据等式的性质解方程即可。
【解答】解：设今年平均日产洗衣机x台。
2.5x－40＝260
2.5x＝260＋40
2.5x＝300
x＝300÷2.5
x＝120
所以今年平均日产洗衣机120台。
故答案为：A
【点评】本题主要考查方程的应用，找准等量关系是解题的关键。
【典例二】雨燕是长距离飞行最快的鸟，每时可飞行170千米，它的速度比信鸽飞行速度的2倍还多22千米。信鸽每小时飞行多少千米？（列方程解答）
【分析】根据题意，雨燕的飞行速度比信鸽飞行速度的2倍还多22千米，确定等量关系为：雨燕的飞行速度＝信鸽的飞行速度×2＋22，已知雨燕飞行速度为170千米，信鸽的飞行速度是未知量，我们可以设信鸽的飞行速度是x千米，根据等量关系列方程即可。
【解答】解：设信鸽每小时飞行x千米。
2x＋22＝170
2x＋22－22＝170－22
2x＝148
2x÷2＝148÷2
x＝74
答：信鸽每小时飞行74千米。
【点评】理解信鸽和雨燕飞行速度的关系是解答本题的关键。
【典例三】老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？
【分析】两种发放方式的铅笔的数量相等，所以（三好学生人数－2）×2＋4×2＋4＝（三好学生人数－1）×4＋6－12，设三好学生有x名，根据等量关系式列出方程，求出三好学生人数，再求铅笔的支数，据此即可解答。
【解答】解：设三好学生有x名。
（x－2）×2＋4×2＋4＝（x－1）×4＋6－12
2x－4＋12＝4x－4－6
2x＋8＝4x－10
2x＋8＋10＝4x－10＋10
2x＋18＝4x
4x－2x＝18
2x＝18
x＝9
（9－2）×2＋4×2＋4
＝7×2＋8＋4
＝14＋12
＝26（支）
答：老师买来26支铅笔，班上一共有9名三好学生。
【点评】根据题意找出等量关系是解答本题的关键。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如下图。摆1个正方形“□”需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，……照这样摆下去，摆4个这样的正方形，需要（ ）根小棒；31根小棒可以摆（ ）个这样的正方形。
【答案】13 10
【分析】根据题意可知，摆1个正方形需要3×1＋1＝4（根），摆2个正方形需要3×2＋1＝7（根），摆3个正方形需要3×3＋1＝10（根）……，摆n个正方形需要（3n＋1）根，据此即可解答。
【解答】3×4＋1
＝12＋1
＝13（根）
解：设31根小棒可以摆n个这样的正方形。
3n＋1＝31
3n＋1－1＝31－1
3n＝30
3n÷3＝30÷3
n＝10（个）
摆4个这样的正方形，需要13根小棒；31根小棒可以摆10个这样的正方形。
2．（2分）一个三角形中的最大内角是最小内角的5倍，第三个内角是最小内角的3倍，最小内角是（ ）°。按角分，这是一个（ ）三角形。
【答案】20 钝角
【分析】已知三角形的内角和是180°，且最大内角是最小内角的5倍，第三个内角是最小内角的3倍，假设最小内角的度数是x，则最大内角的度数是5x，第三个内角的度数是3x，据此列方程解答即可。
按角分可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。锐角三角形就是三个角都是锐角的三角形，直角三角形就是有一个角是直角的三角形，钝角三角形是有一个角是钝角的三角形。
【解答】解：设最小的内角度数是x，则最大内角的度数是5x，第三个内角的度数是3x。
x＋5x＋3x＝180°
9x＝180°
9x÷9＝180°÷9
x＝20°
则3x＝3×20°＝60°，5x＝5×20°＝100°
这个三角形的三个内角度数分别是20°、60°、100°，这是一个钝角三角形。
3．（2分）淘气买了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，设每副乒乓球拍元，则可列方程为（ ），解方程可知每副乒乓球拍（ ）元。
【答案】2m＋80＝300 110
【分析】根据数量关系每副乒乓球拍的价钱×2＋5盒乒乓球80元＝共用去300元，则可列方程为2m＋80＝300；再根据等式的性质1和2，先等式两边同时减去80，再等式两边同时除以2解方程。
【解答】2×m＋80＝2m＋80＝300，所以可列方程为2m＋80＝300。
2m＋80＝300
解：2m＋80－80＝300－80
2m＝220
2m÷2＝220÷2
m＝110
解方程可知每副乒乓球拍110元。
4．（2分）如图，天平平衡了，如果要拿掉南瓜x千克，天平的右边应该拿掉（ ）千克，才能使天平继续保持平衡。
【答案】3.4
【分析】等式的性质1是指等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
天平平衡意味着左右两边的重量是相等的，可将天平左右两边的物品重量看作一个等式关系，所以，根据等式的性质1解方程，等式两边同时减去0.2求解x。
如果要拿掉南瓜x千克，为了使天平继续保持平衡，也需要在天平的右边拿掉与南瓜相同重量的物品，所以解方程求得x的数值就是天平右边应该拿掉的重量。
【解答】
解：
如果要拿掉南瓜x千克，天平的右边应该拿掉3.4千克，才能使天平继续保持平衡。
5．（2分）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是（ ）。
【答案】3.2m＝14050
【分析】根据等量关系：笑笑平均每小时阅读字的个数×笑笑在图书馆阅读的时间＝一共阅读的字数，据此列方程即可。
【解答】1.2＋2＝3.2（小时）
笑笑在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是3.2m＝14050。
6．（2分）博物馆门票优惠价格是：成人票每张70元，学生票每张35元，某天下午卖出成人票x张，学生票张，一共收入（ ）元；当，时，一共收入（ ）元。
【答案】70x＋35y 2450
【分析】根据单价×数量＝总价，分别用字母表示出成人和学生票的价钱，再相加。然后再代入字母表示的式子中计算。
【解答】70×x＝70x（元）
35×y＝35y（元）
故一共收入（70x＋35y）元
当，时
＝2450（元）
故一共收入2450元。
7．（2分）“十四冬”赛场上，山西运动员以饱满的奋斗热情和最佳的竞技状态，奋勇争先、全力以赴，取得了12枚金牌，比银牌数量的2倍少6枚，根据题意，写出等量关系式（ ）。
【答案】银牌数量×2－6枚＝金牌数量
【分析】根据题意，银牌数量的2倍少6枚即是金牌的数量，即用银牌数量乘2再减6枚，就等于金牌数量，据此列出等量关系。
【解答】等量关系式为：银牌数量×2－6枚＝金牌数量。
8．（2分）笑笑和淘气做手工游戏，在一个长20厘米，宽厘米的长方形纸板上剪去一个最大正方形，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。当时，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。
【答案】20－2 96
【分析】原长方形长20厘米，宽厘米（＜20）。剪去的最大正方形边长应等于长方形的宽，即厘米。原长方形面积：20×＝20，正方形面积：×＝2，剩余面积：20－2，把代入剩余面积：20×12－122＝240 144＝96（平方厘米）
【解答】原长方形面积：20×＝20，正方形面积：×＝2，剩余面积：（20－2）平方厘米。
把代入20－2中
20×12－122＝240 144＝96（平方厘米）
剩余部分的面积是（20－2）平方厘米。当时，剩余部分的面积是96平方厘米。
9．（2分）1朵梅花有5个瓣，2朵梅花共有（ ）个瓣，n朵梅花共有（ ）个瓣。
【答案】10 5n
【分析】每朵梅花瓣数乘梅花朵数，可以算出2朵梅花共有（5×2）个瓣，n朵梅花共有（5×n）个瓣。
【解答】5×2＝10（个）
5×n＝5n（个）
1朵梅花有5个瓣，2朵梅花共有10个瓣，n朵梅花共有5n个瓣。
10．（2分）如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆5个六边形需要（ ）根小棒；摆n个六边形需要（ ）根小棒。
【答案】26 5n＋1
【分析】分析题干可知：摆1个六边形需要（5×1＋1）根小棒，摆2个需要（5×2＋1）根小棒，摆3个需要（5×3＋1）根小棒……摆n个六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答。
【解答】5×5＋1
＝25＋1
＝26（根）
5×n＋1＝（5n＋1）根
用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆5个六边形需要26根小棒；摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）乐乐有a张彩纸，亮亮的彩纸张数比乐乐的多3张，亮亮有（a＋3）张彩纸。（ ）
【答案】√
【分析】根据题意可知，乐乐的彩纸张数＋3张＝亮亮的彩纸张数，已知乐乐有a张彩纸，则用a＋3即可求出亮亮的彩纸张数。据此解答。
【解答】根据分析可知，乐乐有a张彩纸，亮亮的彩纸张数比乐乐的多3张，亮亮有（a＋3）张彩纸。原题干说法正确。
故答案为：√
【点评】本题考查了用字母表示数，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
12．（2分）兄妹两人共有图书24本，哥哥的图书本数是妹妹的3倍。其中的等量关系是：妹妹的图书本数×3＋哥哥的图书本数＝24。（ ）
【答案】×
【分析】根据题意可知，哥哥图书本数＋妹妹图书本数＝24，其中哥哥图书本数＝妹妹图书本数×3，综合两个等量关系得：妹妹图书本数×3＋妹妹的图书本数＝24。据此判断即可。
【解答】兄妹两人共有图书24本，哥哥的图书本数是妹妹的3倍。其中的等量关系是：妹妹的图书本数×3＋哥哥的图书本数＝24。相加的是两个哥哥的图书本数，原题说法错误。
故答案为：错误。
【点评】根据题目描述数学信息找等量关系是列方程解应用题的基础。认真读题解答即可。
13．（2分）解方程时，应让方程两边都减去3。（ ）
【答案】×
【分析】根据等式的性质1，方程两边应该同时加3，据此判断即可。
【解答】x－3＝21
解：x－3＋3＝21＋3
x＝24
解方程x－3＝21时，应让方程两边都减去3。原题说法错误。
故答案为：×
14．（2分）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。（ ）
【答案】√
【分析】等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。
【解答】根据分析：
△×□＝〇（□≠0）
△×□÷□＝〇÷□
△＝〇÷□
〇÷□＝△
所以如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△，原题说法正确。
故答案为：√
15．（2分）若方程4x＋4＝24的解与ax－4＝16的解相同，则a＝4。（ ）
【答案】√
【分析】根据等式的性质，先计算出4x＋4＝24的解，再把4x＋4＝24的解代入到ax－4＝16中，求出a的值，再判断对错。
【解答】4x＋4＝24
4x＋4－4＝24－4
4x＝20
4x÷4＝20÷4
x＝5
把x＝5代入ax－4＝16中。
5a－4＝16
5a－4＋4＝16＋4
5a＝20
5a÷5＝20÷5
a＝4
原题干说法正确。
故答案为：√
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
三、选择题（满分10分）
16．（2分）四（1）班图书角有图书60本，比四（2）班的2倍少4本，四（2）班图书角有多少本？设四年级（2）班有图书x本，下列方程错误的是（ ）。
A．2x＝60－4 B．2x－4＝60 C．2x＝60＋4 D．60＋4＝2x
【答案】A
【分析】根据题意可知，四（2）班图书角图书的本数×2－4＝四（1）班图书角图书的本数，设四年级（2）班有图书x本，根据等量关系式列方程即可解答。
【解答】解：设四年级（2）班有图书x本。
2x－4＝60
2x－4＋4＝60＋4
2x＝60＋4
2x＝64
2x÷2＝64÷2
x＝32
故答案为：A
【点评】本题主要考查学生列方程知识的掌握，找出等量关系式是解答本题的关键。
17．（2分）下面是方程的有（ ）个。
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】方程是含有未知数的等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。
【解答】①，它是等式且含有未知数，所以它是方程。
②，它不是等式但它含有未知数，所以它不是方程。
③，它是等式且含有未知数，所以它是方程。
④，它不是等式但它含有未知数，所以它不是方程。
⑤，它是等式但它不含有未知数，所以它不是方程。
综上所述，方程有2个。
故答案为：B
18．（2分）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，则☆表示（ ）。
A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95
【答案】B
【分析】根据题意，将x＝0.8代入原方程中，则☆＋0.8＝2.15，用和减去其中一个加数等于另一个加数，用2.15－0.8即可求出☆表示多少，据此选择即可。
【解答】2.15－0.8＝1.35
☆表示1.35。
故答案为：B
19．（2分）近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（ ）辆。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，那么用a÷12求出计划每月生产的辆数，然后再加上b即可算出该厂实际每月生产新能源汽车多少辆。
【解答】根据分析可知：a÷12＋b即该厂实际每月生产新能源汽车的辆数。
故答案为：B
20．（2分）一定与3x（x＞0）相等的是（ ）。
A．x＋3 B．x＋x＋x C． D．x
【答案】B
【分析】乘法是几个相同的数相加的简便运算，据此分析每个选项，选出一定相等的即可。
【解答】A．x＋3是x和3相加，不是3个x相加，与3x不相等；
B．x＋x＋x＝3x，是3个x相加，与3x相等；
C．x×x×x，是3个x相乘，只有x＝1时，与3x相等，其他都不相等；
D．x ＝ x×x×x，是3个x相乘，只有x＝1时，与3x相等，其他都不相等。
一定相等的是x＋x＋x。
故答案为：B
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程。
x－8＝15 5.2＋x＝10.6
9x＝54 3x÷2＝12
【答案】x＝23；x＝5.4
x＝6；x＝8
【分析】（1）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时加上8即可解答。
（2）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时减去5.2即可解答。
（3）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时除以9即可解答。
（4）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时乘2可以算出3x的值，然后方程两边再同时除以3即可解答。
【解答】x－8＝15
解：x－8＋8＝15＋8
x＝23
5.2＋x＝10.6
解：5.2＋x－5.2＝10.6－5.2
x＝5.4
9x＝54
解：9x÷9＝54÷9
x＝6
3x÷2＝12
解：3x÷2×2＝12×2
3x＝24
3x÷3＝24÷3
x＝8
五、解答题（满分54分）
22．（6分）2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦现代化 奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列，彰显了中华文明对世界文明的重要贡献。实验小学档案馆第一个书架上有115份档案，比第二个书架上档案数量的3倍多4份，第二个书架上有多少份档案？（列方程解答）
【答案】x＝37
【分析】根据题意找到等量关系是第二个书架上档案数量×3＋4＝第一个书架上有115份档案，然后设未知量第二个书架上有x份档案，把数据代入关系式列方程，利用等式性质1和2解方程。
【解答】解：第二个书架上有x份档案。
3x＋4＝115
3x＋4－4＝115－4
3x＝111
3x÷3＝111÷3
x＝37
答：第二个书架上有37份档案。
23．（6分）某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解）
【答案】344个
【分析】由题意得，假设上半月生产的玩具个数为x，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，那么下半月生产的玩具个数为：2x－127。玩具厂5月份一共生产了玩具905个，据此列出等量关系为：上半月生产的玩具个数＋下半月生产的玩具个数＝905。然后根据等量关系式列出方程并解方程即可。
【解答】解：设上半月生产了x个玩具
x＋2x－127＝905
3x－127＝905
3x－127＋127＝905＋127
3x＝1032
3x÷3＝1032÷3
x＝344
答：上半月生产了344个玩具。
24．（6分）一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。
（1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？
（2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？
【答案】（1）（60t）千米；（2）240千米
【分析】（1）速度×时间＝路程，据此表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程；
（2）将t＝4代入（1）得出的式子中，求出客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米。
【解答】（1）客车从甲地到乙地行驶的总路程用字母表示为（60t）千米。
（2）60t
＝60×4
＝240（千米）
答：客车从甲地到乙地行驶的总路程是240千米。
25．（6分）1970年中国发射了独立自主研制的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，迈出了走向太空的第一步。2020年“嫦娥五号”完成了月球采样返回之旅。从“东方红一号”到“嫦娥五号”，中国成功发射了三百个航天器，俗称“三百星”。完成第一个“百星”用了41年时间，比第三个“百星”所用时间的13倍还多2年。完成第三个“百星”用了多少年？（用方程解答）
【答案】3年
【分析】根据题意可知，发射第三个“百星”所用时间×13＋2年＝发射第一个“百星”所用的时间，据此设发射第三个“百星”用了x年，列方程为13x＋2＝41，然后解出方程即可。
【解答】解：设发射第三个“百星”用了x年。
13x＋2＝41
13x＋2－2＝41－2
13x＝39
13x÷13＝39÷13
x＝3
答：我国达成第三个“百星”用了3年。
26．（6分）习近平主席说：“我希望北京乃至全中国都能够蓝天常在，青山常在，绿水常在，让孩子们都在良好的生态环境之中。”某校组织四、五年级植树，植树情况如下表：
共植120棵 四年级 3个班 平均每个班植16棵
五年级 4个班 平均每个班植？棵
五年级平均每个班植树多少棵？（列方程解答）
【答案】18棵
【分析】先根据总棵数－五年级班数×平均每班植树棵数＝四年级班数×平均每班植树棵数列方程，再利用等式性质1和2解方程。
等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【解答】解：设五年级平均每个班植x棵。
120－4x＝3×16
120－4x＝48
4x＝120－48
4x＝72
4x÷4＝72÷4
X＝18
答：五年级平均每个班植18棵。
27．（6分）课后服务时间，四年级学健美操的有73人，比学硬笔书法人数的2倍多19人。学硬笔书法的有多少人？（列方程解答）
【答案】27人
【分析】根据题意可知，学硬笔书法人数×2＋19＝学健美操的人数，设学硬笔书法的有x人，据此列方程解答。
【解答】解：设学硬笔书法的有x人。
2x＋19＝73
2x＋19－19＝73－19
2x＝54
2x÷2＝54÷2
x＝27
答：学硬笔书法的有27人。
28．（6分）蜂蜜的功效有改善睡眠、增强抵抗力、消除疲劳等，是一种营养丰富的天然滋养食品。峰峰家有一罐蜂蜜，上周用去了0.33千克，这周妈妈又买来1.5千克，这时峰峰家有2.87千克蜂蜜。峰峰家原来有多少千克蜂蜜？（列方程解答）
【答案】1.7千克
【分析】先找到等量关系，原来蜂蜜的重量－用去的重量＋后来购买的重量＝现有的蜂蜜重量，设峰峰家原来有x千克蜂蜜，据此列方程x－0.33＋1.5＝2.87，然后解方程即可。
【解答】解：设峰峰家原来有x千克蜂蜜。
x－0.33＋1.5＝2.87
x＋1.17＝2.87
x＋1.17－1.17＝2.87－1.17
x＝1.7
答：峰峰家原来有1.7千克蜂蜜。
29．（6分）张阿姨买了2千克冬枣，王阿姨买了4千克香蕉，李阿姨买了1千克冬枣、1千克香蕉和3千克苹果。如果她们三人用了同样多的钱，那么，冬枣的价格是苹果的多少倍？
【答案】6倍
【分析】由题意可知，2千克冬枣的价格＝4千克香蕉的价格＝1千克冬枣的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格，那么1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格。4千克香蕉的价格＝2千克香蕉的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格，则1千克香蕉的价格＝3千克苹果的价格。进而可知，2千克香蕉的价格＝6千克苹果的价格，也就是1千克冬枣的价格＝6千克苹果的价格。
【解答】2千克冬枣的价格＝4千克香蕉的价格
则1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格
4千克香蕉的价格＝1千克冬枣的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格＝千克香蕉的价格＋1千克香蕉的价格＋3千克苹果的价格
则1千克香蕉的价格＝3千克苹果的价格
1千克冬枣的价格＝2千克香蕉的价格＝6千克苹果的价格
答：冬枣的价格是苹果的6倍。
【点评】本题考查等量代换和倍数关系，关键是将1千克冬枣的价格用2千克香蕉的价格代替，进而求出香蕉和苹果价格的关系，再进一步解答。
30．（6分）画出第4个和第5个图形，并作答下面的问题。
如果照这样画下去，第n个图形有多少根小棒？如果用了53根小棒，那么它是第几个图形？
【答案】作图见详解；2n＋1；26
【分析】由题意得，第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要3＋2＝5（根）小棒，第3个图形需要3＋2×2＝3＋4＝7（根）小棒，第4个图形需要3＋2×3＝3＋6＝9（根）小棒……由此发现：在一个图形中，除了第一个三角形需要3根小棒，剩下的三角形都只需要2根小棒。所以在第n个图形中，第一个三角形需要3根小棒，剩下的（n－1）个三角形都只需要2根小棒，据此算出第n个图形需要多少根小棒即可。如果用了53根小棒，也就是前面用n表示出来的式子的值是53，直接将值代入并求出n的值即可。
【解答】
3＋（n－1）×2＝3＋2n－2＝2n＋3－2＝（2n＋1）根
如果用了53根小棒，那么2n＋1＝53，2n＝53－1＝52，n＝52÷2＝26。
答：如果照这样画下去，第n个图形有（2n＋1）根小棒。如果用了53根小棒，那么它是第26个图形。
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第五单元 认识方程
（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】用字母表示数
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。
2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。
3、用字母表示有关图形的计算公式
①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式:C=（a+b）×2=2（a+b）。
②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式:S=a×b=ab。
③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式:C=4×a=4a。
④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式:S=a×a=a2。
4、用含有字母的式子表示运算律
①加法交换律:a+b=b+a。
②加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c）。
③乘法交换律:a×b=b×a。
④乘法结合律:（a×b）×c=a×（b×c）。
⑤乘法分配律:（a±b）×c=a×c±b×c。
⑥减法的性质:a-b-c=a-（b+c）。
⑦除法的性质:a÷b÷c=a÷（b×c）
【知识点二】等量关系
1、数学术语中的等量关系
一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。
2、常见的数量关系中的等量关系
①速度×时间=路程
②单价×数量=总价
③工作效率×工作时间=工作总量
④增长后的量=原量×（1+增长率）
3、常用的计算公式中的等量关系:
①正方形周长=边长×4
②正方形面积=边长×边长
③长方形周长=（长+宽）×2
④长方形面积=长×宽
【知识点三】方程
1、方程的含义:含有未知数的等式叫方程。
2、方程必须具备的条件:①必须是等式;②必须含有未知数。
3、看图列方程:
看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。
4、方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。
【知识点四】列方程解决问题
1、列出的方程要满足的条件
①未知数写在等号的左边;
②方程无单位;
③等号左右两边是相等的量;
④未知数不能单独放在等号的一边。
2、等式的性质
（1）等式的性质（一）
等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
（2）等式的性质（二）
等式两边都乘（或除以同一个数0除外），等式仍然成立。
3、解方程和方程的解
求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程步骤
（1）先写“解”;
（2）等号对齐;
（3）运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系（“直接想”）解方程;
（4）代入检验。
【考点一】用字母表示数
【典例一】爸爸今年岁，爸爸比小红大28岁，小红今年（ ）岁。
A．＋28 B．－28 C．＋25 D．－25
【典例二】如下图所示，甲的周长用含有字母的式子表示为( )，a×（b＋c）表示( )。
【典例三】为了庆祝国庆，学校计划做480面小彩旗。如果平均每天做x面，做了3天，还有多少面没有做？
【考点二】等量关系
【典例一】乐乐植树28棵，比花花植树棵数的2倍少4棵。下列等量关系正确的是（ ）。
A．花花植树棵数×2＋4棵＝28棵
B．花花植树棵数×2－4棵＝28棵
C．28棵÷2－4棵＝花花植树棵数
【典例二】根据下面图意，写出等量关系( )。
【典例三】张阿姨买了2千克冬枣，王阿姨买了4千克香蕉，李阿姨买了1千克冬枣、1千克香蕉和3千克苹果。如果她们三人用了同样多的钱，那么，冬枣的价格是苹果的多少倍？
【考点三】方程的认识
【典例一】下列式子中，方程有（ ）个。
①4x＜0.8②5s＋0.1＝8.6③75.2－6.9＝68.3④x－5.7＋2.9＝6.8
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例二】看图回答问题。
（1）图中哪一段表示（400－x）元，哪一段表示（400＋y）元？
（2）根据上图，你能列出两个不同的方程吗？
【考点四】解方程
【典例一】李老师买一部手机花了512元，比原价便宜了35元，这部手机的原价多少元？以下线段图能正确表达题意的是（ ）。
A． B．
C． D．
【典例二】四川省凉山州坚持多元化、差异化发展，突出地方特色，宜种则种、宜养则养。三河村依靠种植云木香和冬桃增加了村民的年收入。
（1）要想求出三河村种植的云木香和冬桃各多少亩，你选择的信息是（ ）和（ ）。（填序号）
（2）根据你选择的信息列方程解答。
【典例三】买文具。
（1）买12支铅笔和12个卷笔刀，100元够吗？
（2）尺子的单价比橡皮擦单价的2倍少1.6元，橡皮擦的单价是多少？（列方程解答）
【考点五】列方程解决问题
【典例一】洗衣机厂去年每日生产260台洗衣机，受疫情影响今年产量不佳，去年的平均日产量比今年的2.5倍少40台，今年平均日产洗衣机（ ）台。
A．120 B．88 C．104 D．690
【典例二】雨燕是长距离飞行最快的鸟，每时可飞行170千米，它的速度比信鸽飞行速度的2倍还多22千米。信鸽每小时飞行多少千米？（列方程解答）
【典例三】老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如下图。摆1个正方形“□”需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，……照这样摆下去，摆4个这样的正方形，需要（ ）根小棒；31根小棒可以摆（ ）个这样的正方形。
2．（2分）一个三角形中的最大内角是最小内角的5倍，第三个内角是最小内角的3倍，最小内角是（ ）°。按角分，这是一个（ ）三角形。
3．（2分）淘气买了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，设每副乒乓球拍元，则可列方程为（ ），解方程可知每副乒乓球拍（ ）元。
4．（2分）如图，天平平衡了，如果要拿掉南瓜x千克，天平的右边应该拿掉（ ）千克，才能使天平继续保持平衡。
5．（2分）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是（ ）。
6．（2分）博物馆门票优惠价格是：成人票每张70元，学生票每张35元，某天下午卖出成人票x张，学生票张，一共收入（ ）元；当，时，一共收入（ ）元。
7．（2分）“十四冬”赛场上，山西运动员以饱满的奋斗热情和最佳的竞技状态，奋勇争先、全力以赴，取得了12枚金牌，比银牌数量的2倍少6枚，根据题意，写出等量关系式（ ）。
8．（2分）笑笑和淘气做手工游戏，在一个长20厘米，宽厘米的长方形纸板上剪去一个最大正方形，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。当时，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。
9．（2分）1朵梅花有5个瓣，2朵梅花共有（ ）个瓣，n朵梅花共有（ ）个瓣。
10．（2分）如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆5个六边形需要（ ）根小棒；摆n个六边形需要（ ）根小棒。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）乐乐有a张彩纸，亮亮的彩纸张数比乐乐的多3张，亮亮有（a＋3）张彩纸。（ ）
12．（2分）兄妹两人共有图书24本，哥哥的图书本数是妹妹的3倍。其中的等量关系是：妹妹的图书本数×3＋哥哥的图书本数＝24。（ ）
13．（2分）解方程时，应让方程两边都减去3。（ ）
14．（2分）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。（ ）
15．（2分）若方程4x＋4＝24的解与ax－4＝16的解相同，则a＝4。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）四（1）班图书角有图书60本，比四（2）班的2倍少4本，四（2）班图书角有多少本？设四年级（2）班有图书x本，下列方程错误的是（ ）。
A．2x＝60－4 B．2x－4＝60 C．2x＝60＋4 D．60＋4＝2x
17．（2分）下面是方程的有（ ）个。
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2分）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，则☆表示（ ）。
A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95
19．（2分）近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（ ）辆。
A． B． C． D．
20．（2分）一定与3x（x＞0）相等的是（ ）。
A．x＋3 B．x＋x＋x C． D．x
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程。
x－8＝15 5.2＋x＝10.6
9x＝54 3x÷2＝12
五、解答题（满分54分）
22．（6分）2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦现代化 奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列，彰显了中华文明对世界文明的重要贡献。实验小学档案馆第一个书架上有115份档案，比第二个书架上档案数量的3倍多4份，第二个书架上有多少份档案？（列方程解答）
23．（6分）某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解）
24．（6分）一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。
（1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？
（2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？
25．（6分）1970年中国发射了独立自主研制的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，迈出了走向太空的第一步。2020年“嫦娥五号”完成了月球采样返回之旅。从“东方红一号”到“嫦娥五号”，中国成功发射了三百个航天器，俗称“三百星”。完成第一个“百星”用了41年时间，比第三个“百星”所用时间的13倍还多2年。完成第三个“百星”用了多少年？（用方程解答）
26．（6分）习近平主席说：“我希望北京乃至全中国都能够蓝天常在，青山常在，绿水常在，让孩子们都在良好的生态环境之中。”某校组织四、五年级植树，植树情况如下表：
共植120棵 四年级 3个班 平均每个班植16棵
五年级 4个班 平均每个班植？棵
五年级平均每个班植树多少棵？（列方程解答）
27．（6分）课后服务时间，四年级学健美操的有73人，比学硬笔书法人数的2倍多19人。学硬笔书法的有多少人？（列方程解答）
28．（6分）蜂蜜的功效有改善睡眠、增强抵抗力、消除疲劳等，是一种营养丰富的天然滋养食品。峰峰家有一罐蜂蜜，上周用去了0.33千克，这周妈妈又买来1.5千克，这时峰峰家有2.87千克蜂蜜。峰峰家原来有多少千克蜂蜜？（列方程解答）
29．（6分）张阿姨买了2千克冬枣，王阿姨买了4千克香蕉，李阿姨买了1千克冬枣、1千克香蕉和3千克苹果。如果她们三人用了同样多的钱，那么，冬枣的价格是苹果的多少倍？
30．（6分）画出第4个和第5个图形，并作答下面的问题。
如果照这样画下去，第n个图形有多少根小棒？如果用了53根小棒，那么它是第几个图形？
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