资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 基本不等式及其应用
【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：双换元求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：齐次化求最值
题型八：利用基本不等式证明不等式
题型九：利用基本不等式解决实际问题
题型十：三角函数法
题型十一：多次使用基本不等式
题型十二：参数构造法
题型十三：多元均值不等式
题型十四：判别式法
题型十五：跨知识点综合
题型十六：特定形式的最值问题
题型十七：恒(能)成立问题
题型十八：构造不等式法求最值
【考点预测】
1、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2、均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
【典型例题】
题型一：基本不等式及其应用
【例1】（2025·山东济南·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2025·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】设、、满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-3】（2025·贵州安顺·二模）已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：直接法求最值
【例2】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
【变式2-2】已知均为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【变式2-3】已知，则的最大值为 ．
题型三：常规凑配法求最值
【例3】设，，若，则的最大值为 .
【变式3-1】设 ,则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式3-2】若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】若则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：消参法求最值
【例4】（2025·高三·河北·期末）若实数，满足，则的最小值为 .
【变式4-1】已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-2】已知为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知均为锐角，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型五：双换元求最值
【例5】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【变式5-1】设为正实数，且，则的最小值为 .
【变式5-2】已知，则的最小值为 .
题型六：“1”的代换求最值
【例6】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【变式6-1】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
题型七：齐次化求最值
【例7】已知正数满足，则的最小值是 ．
【变式7-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2025·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
题型八：利用基本不等式证明不等式
【例8】已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【变式8-1】已知，当时，不等式成立．
(1)求的最大值；
(2)设正数，的和恰好等于的最大值，求证：．
【变式8-2】已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
题型九：利用基本不等式解决实际问题
【例9】（2025·高三·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（ ）.
A． B． C． D．
【变式9-1】（2025·高三·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2025·广东珠海·一模）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定
题型十：三角函数法
【例10】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ．
【变式10-2】已知非负实数，满足，则的最大值为 .
题型十一：多次使用基本不等式
【例11】（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
【变式11-1】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型十二：参数构造法
【例12】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
【变式12-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
题型十三：多元均值不等式
【例13】已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式13-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
,
的最小值为．
【变式13-2】函数的最小值是（ ）．
A． B． C．1 D．不存在
题型十四：判别式法
【例14】（2025·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 .
【变式14-1】若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 .
【变式14-2】设x、y为实数，若，则的最大值是 ．
题型十五：跨知识点综合
【例15】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ．
【变式15-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， .
【变式15-2】（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
题型十六：特定形式的最值问题
【例16】（多选题）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-1】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
【变式16-2】（多选题）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为
【变式16-3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十七：恒(能)成立问题
【例17】（2025·陕西咸阳·一模）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式17-1】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数，若，，，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-2】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十八：构造不等式法求最值
【例18】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 .
【变式18-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．8
【过关测试】
1．（2025·河北·模拟预测）已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（多选题）（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C．若，则 D．若，则
10．（多选题）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最大值是 D．的最小值是
11．（多选题）（2025·高三·河南焦作·阶段练习）若，则（ ）
A． B．x，y不能同时为整数
C． D．
12．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
14．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
15．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ．
16．（2025·四川·三模）若，，则实数m的取值范围为 ．
17．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 .
18．（2025·高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 基本不等式及其应用
【题型归纳目录】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：双换元求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：齐次化求最值
题型八：利用基本不等式证明不等式
题型九：利用基本不等式解决实际问题
题型十：三角函数法
题型十一：多次使用基本不等式
题型十二：参数构造法
题型十三：多元均值不等式
题型十四：判别式法
题型十五：跨知识点综合
题型十六：特定形式的最值问题
题型十七：恒(能)成立问题
题型十八：构造不等式法求最值
【考点预测】
1、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2、均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
【典型例题】
题型一：基本不等式及其应用
【例1】（2025·山东济南·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数及其导函数的定义域均为，得的图象在上连续不断，
对于A，取，由，得，
当时，取，，而在上单调递增，
则在上不恒为0，因此，即，A错误；
对于B，，取，，由选项A知，，
不恒为0，B错误；
对于C，由在上单调递增，得当时，；
当时，由，得，C错误；
对于D，，则，
因此，D正确.
故选：D
【变式1-1】（2025·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于A项：，
当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误；
对于B项：因为，所以，
，当时取得等号，此时，故B错误；
对于C项：因为，所以，所以，
于是等价于，等价于，
构造函数，，
所以在上单调递增；
所以恒成立，所以不等式成立，故C正确；
对于D项：根据B选项的分析，，
则，即，
当时取得等号，此时，故D错误.
故选：C
【变式1-2】设、、满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】、、且，，，则，
先比较与的大小关系，
构造函数，其中，
则，所以，，
则，
令，其中，则，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，故，
所以，函数在上单调递增，则，即，
因为，则，
所以，，
所以，，
因为，所以，
，
所以，对任意的，，
故函数在上单调递减，
因为，则，故，
由基本不等式可得（，故取不了等号），所以，，
故选：A.
【变式1-3】（2025·贵州安顺·二模）已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，
所以，即，
对于选项AB：因为，
即，且函数是增函数，
所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
题型二：直接法求最值
【例2】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，得到，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
【变式2-1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
【答案】A
【解析】，
当且仅当，
即，等号成立，
所以的最小值为6，
故选：A
【变式2-2】已知均为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由均为正数，得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：D
【变式2-3】已知，则的最大值为 ．
【答案】1
【解析】由，则，
当且仅当时取等号．
故答案为：1
题型三：常规凑配法求最值
【例3】设，，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意得，，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为.
故答案为：.
【变式3-1】设 ,则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．
故选：A.
【变式3-2】若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为2.
故选：B.
【变式3-3】若则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，设，
则，当且仅当时等号成立，
此时，解得，
故选：A．
题型四：消参法求最值
【例4】（2025·高三·河北·期末）若实数，满足，则的最小值为 .
【答案】1
【解析】因，则，
由，当且仅当，时等号成立，
即当，时，取得最小值2，
又因是单调增函数，故此时取得最小值为1.
故答案为：1.
【变式4-1】已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由，得，令得，，令，则，当且仅当，即时取等号．
故选：B．
【变式4-2】已知为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
已知，则有：
，
移项可得：，
即，由于，
两边同时除以，得到，
则
令（，因为为锐角），则.
根据均值不等式对于有：
当且仅当，即时等号成立.
所以，即的最大值为.
故选：A.
【变式4-3】已知均为锐角，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得，
因为均为锐角，两边同时除以得，
所以，
因为均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：C．
【变式4-4】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
，
当且仅当时取等.
故选：B.
题型五：双换元求最值
【例5】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】/0.25
【解析】方法一
设，，则，
，
，
当且仅当，，即，时取等号，
．
方法二，，
，
当且仅当，时取等号，．
故答案为：
【变式5-1】设为正实数，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】∵ ,令，
∴，
∴，
∴
又∵
∴；
当且仅当时，即时取得最小值，
∴的最小值为.
故答案为：
【变式5-2】已知，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】令，
则
，
所以，
因此当且仅当，即时，取得最小值为4.
故答案为：4.
题型六：“1”的代换求最值
【例6】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【解析】，，化简得，
，
当且仅当且，即时等号成立；
又，，当且仅当时等号成立，
，
的最小值为.
故选：B.
【变式6-1】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，，，即，时等号成立，
所以的最大值为．
故选：A.
【变式6-2】已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
题型七：齐次化求最值
【例7】已知正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
故答案为：
【变式7-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
【变式7-2】（2025·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
又，
所以，即，
因为，，所以，所以，所以，
又，即，
所以，所以，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
则实数的最大值为.
故选：A
题型八：利用基本不等式证明不等式
【例8】已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【解析】（1）∵，，均为正数，
∴，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立．
又∵，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，
有，当且仅当时等号成立．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴.
（2）,同理可得,
∴,
设有
则原式=
由可得，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴.
【变式8-1】已知，当时，不等式成立．
(1)求的最大值；
(2)设正数，的和恰好等于的最大值，求证：．
【解析】（1）当，，
，则，
，两边平方，
即，
当，又，不满足题意；
，此时只需，
；
又时，不等式恒成立，
，
所以，
综上，的最大值为.
（2）据题意，，且；
；
，
则，
；
；
当且仅当，即时等号成立.
∴得证.
【变式8-2】已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【解析】（1）因为，所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因为，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．
解法二：因为，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
当且仅当时等号成立．
题型九：利用基本不等式解决实际问题
【例9】（2025·高三·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，行车的总费用为，其中，
由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，经济的车速是.
故选：C.
【变式9-1】（2025·高三·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，
且最大，又，
又设所以
当且仅当时取等号，
此时
解得：
故选：A.
【变式9-2】（2025·广东珠海·一模）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定
【答案】B
【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．
第一种方案的均价：
，当且仅当时取等号；
第二种方案的均价：
,因，则，故，当且仅当时取等号.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选:B．
题型十：三角函数法
【例10】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由可得，
因此，可得，
当且仅当时，等号成立，即A正确；
对于B，将表达式化简可得，
将方程参数化可知，；
所以，其中；
又，所以，可得B正确；
对于C，由可得，
即，
因此，解得，
当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确.
故选：ABD
【变式10-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】由，得，
记，其中，
原不等式化为，所以，
所以，即．
所以，
当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1．
故答案为：1．
【变式10-2】已知非负实数，满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.由题意得：，令，，
又，为非负实数，
，
，，即，
解得，.
故（其中），
，即，
，即
又在上单调递增，∴当时，取得最大值，
故当，时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
题型十一：多次使用基本不等式
【例11】（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，，，所以，
因为，
所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，
此时，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
即当，时，有最小值为.
故答案为：
【变式11-1】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，当且仅当时等号成立.
，由对勾函数性质，所以，
则，同理
则，
故的取值范围是.
故选：B.
【变式11-2】已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，，
由于、、均为正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：C.
题型十二：参数构造法
【例12】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设，由对应系数相等得，
解得
所以，整理得，
即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
【变式12-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【变式12-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【解析】，，，则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为16.
故选：A．
题型十三：多元均值不等式
【例13】已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】方法一：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
方法二：，
故，
当且仅当，且时，即时，等号成立．
故的最小值为4；
故选：D
【变式13-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
,
当且仅当即时等号成立，
的最小值为．
故选：．
【变式13-2】函数的最小值是（ ）．
A． B． C．1 D．不存在
【答案】B
【解析】，，
当，时等号成立.
故选：B
题型十四：判别式法
【例14】（2025·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 .
【答案】4
【解析】令，由消去a得：，即，
而，，则，，，
依题意，解得.
故答案为：4
【变式14-1】若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 .
【答案】 / /
【解析】令，则，
则，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以当且仅当，时，等号成立，
故答案为：，
【变式14-2】设x、y为实数，若，则的最大值是 ．
【答案】/
【解析】方法一：令，则，代入，整理得，其，
解得，当时，.
故的最大值是．
方法二：由
，即，
当时，.
故的最大值是．
故答案为：
题型十五：跨知识点综合
【例15】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】在中，由，得，而，所以；
的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：；
【变式15-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， .
【答案】
【解析】由条件可知，,，
所以，所以，
，，
，
，
当时等号成立，
所以的最小值为；
在上的投影向量为，则，即,
因为，所以，得，，
则.
故答案为：；.
【变式15-2】（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【解析】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为，
设，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，所以点纵坐标为，此时点，
当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以，
对任意的，，所以的定义域为，
对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为，当时，，即在区间上单调递增，
所以当时，若，则，所以②错误，
对于命题③，，因为，当时，，
当时，，又，当且仅当，即时取等号，
所以，故③正确，
对于命题④，，令，
则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若，即时，，
即当时，的最小值为，所以④错误，
故答案为：①③.
题型十六：特定形式的最值问题
【例16】（多选题）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确；
对于B，由，则，由，则，
所以，故B错误；
对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确；
对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确.
故选：ACD.
【变式16-1】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】由题意得，A项错误；
，所以（当且仅当时取等号），B项正确；
，当且仅当时取等号，C项正确；
，
又因为，
所以，
设，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，D项正确．
故选:BCD．
【变式16-2】（多选题）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
【变式16-3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
对于选项D：因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
对于选项B：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
故选：ACD.
题型十七：恒(能)成立问题
【例17】（2025·陕西咸阳·一模）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，
所以函数在上为增函数，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
当且仅当时等号成立，
∵不等式对任意的正实数恒成立，
∴ ，
故选：D.
【变式17-1】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数，若，，，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，则，
若，，，均有，
则，可得，
令，则，
由题意可知，，，
所以，函数在区间上为增函数，
所以，在上为增函数，则在上为增函数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，的最大值为.
故选：D.
【变式17-2】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正实数,满足，所以，
则：，
当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．
故选：B．
题型十八：构造不等式法求最值
【例18】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意可得：，即，
设，
则：，，
，
，，
解得或，
又，
，化简得，
①当时，不等式不成立；
②当时，，即，
，又恒成立，可得，
的取值范围为.
故答案为：.
【变式18-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故选：A．
【变式18-2】（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，故，
由，可得，
当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8.
故选：D.
【过关测试】
1．（2025·河北·模拟预测）已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
由于，均为锐角，故，
同除得，
故，
即，故，
当且仅当时取到等号，
因此，
故选：B
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】由，得，所以．
由已知，得，则，
当且仅当时等号成立．
故选：A
3．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【解析】由，得，
当且仅当时取等号得出最小值4，
故选：C.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知，.由，得，
两边同时除以，得.
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
5．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为正实数，满足，
所以
，当且仅当，即、时等号成立.
故选：A
6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，且有，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】依题意，且，即，
又，所以，当且仅当时取等号，由，解得，
故当，时该同学的得分最高.
故选：A
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因为三点共线，所以存在实数，使，即，
又向量不共线，所以，整理，得，
由，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为4.
故选：B．
9．（多选题）（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】根据规律可得，，；
当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增.
当时，取最小值，最小值为，正确.
易得，所以，即，所以，错误.
若，则，，，，；
记数列为1，2，3，5，…，则，.
记，则；
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.
，正确.
，要使得取最小值；
则n为奇数，此时，正确.
故选：.
10．（多选题）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】ABC
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，则，
当且仅当时取等号，D错误.
故选：ABC
11．（多选题）（2025·高三·河南焦作·阶段练习）若，则（ ）
A． B．x，y不能同时为整数
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由，且，得，，A正确；
对于B，由选项A知，若，则，取，则，；
当时，，则，；同理当时，，
因此不能同时为整数，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，
则，，，C错误；
对于D，由，得，则，
当且仅当时，即，时取等号，
因此，D正确．
故选：ABD
12．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，可得，，，且，
则，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以，所以.
故选：AD.
13．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示：
依题意得：，且，则.
设，则，，，
所以，令，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
14．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于，故，且，
故
，
当且仅当，结合，故当时等号取到，
故答案为：
15．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ．
【答案】9
【解析】由题设，
当且仅当，即时取等号，故的最小值是9.
故答案为：9.
16．（2025·四川·三模）若，，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，可得，
因为，故只需，
令，则，
当且仅当，即时取等号，所以，所以实数的取值范围为．
故答案为：.
17．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由随机变量，且，得，而，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
18．（2025·高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ．
【答案】/0.5
【解析】配凑，
当，即时，，
所以，从而．
当且仅当时等号成立，故的最大值为，
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑