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1.5 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
题型六：一元二次不等式恒(能)成立问题
题型七：绝对值不等式
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【典型例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式1-1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【例2】若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知实数，则不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2-2】已知，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2-3】已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【例3】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【变式3-1】（多选题）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．的最大值为 D．
【变式3-2】（多选题）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为
【变式3-3】（多选题）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
题型四：其他不等式解法
【例4】不等式的解集为 .
【变式4-1】（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 .
【变式4-2】（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 .
【变式4-3】（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ．
题型五：二次函数根的分布问题
【例5】（2025·高三·江西九江·期末）已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ．
【变式5-1】若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 .
【变式5-2】已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
【变式5-3】关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
题型六：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例6】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
题型七：绝对值不等式
【例7】（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ．
【变式7-1】（2025·高三·上海·开学考试）不等式的解集为 .
【变式7-2】（2025·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 .
【变式7-3】（2025·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ．
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范围是，则 .
【变式8-1】若关于的不等式的解集为，则a＝ .
【变式8-2】若关于的不等式的解集不是，则实数的最大值是
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
【例9】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【例10】（2025·黑龙江·模拟预测）为实数，不等式组的解集为，则 .
【变式10-1】若关于的不等式组有实数解，则实数的取值范围是 .
【变式10-2】已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ．
【变式10-3】若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为 .
【变式10-4】已知、，关于的不等式组解集为，则的值为 ．
【过关测试】
1．（2025·高三·全国·专题练习）已知，且，是方程的两个实数根，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·高一·陕西安康·期末）已知，且是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高一·上海·期中）已知不等式 的解集是，则
①；
②若不等式的解集为，则；
③若不等式的解集为，则；
④若不等式的解集为，且，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③
4．（2025·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·高三·广东深圳·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广西南宁·二模）已知函数，.若不等式的解集为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2025·高一·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2025·高一·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（ ）
A．当时，方程有两实数根
B．当时，方程有两异号的实数根
C．当时，方程有两实数根，，则
D．若方程有两个实数根，，则
10．（多选题）（2025·高一·四川德阳·阶段练习）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
11．（多选题）（2025·高一·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集为
12．（多选题）（2025·高二·山西临汾·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集为
13．（2025·高一·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ．
14．（2025·高三·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
15．（2025·高三·广东揭阳·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
16．（2025·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ．
17．（2025·高三·上海·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ．
18．（2025·高三·甘肃天水·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
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1.5 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
题型六：一元二次不等式恒(能)成立问题
题型七：绝对值不等式
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【典型例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】解不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
【变式1-1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，
解得或
所以不等式的解集为
故选：C.
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式化为：，而，
所以的不等式无解，即解集为.
故选：B
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由，得到，解得或，
所以不等式的解集是或，
故选：D.
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【例2】若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，解，得，
所以不等式的解集为.
故选：D
【变式2-1】已知实数，则不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断.
由，
当时，不等式即为，解得，
即不等式的解集为；
当时，解方程得，
则当时，，函数开口向上，
故不等式的解集为；
当时，，函数开口向下，
所以不等式的解集为或.
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或，
所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集.
故选：D.
【变式2-2】已知，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】，
，
原不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：D.
【变式2-3】已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）由题意，不等式的解集为，
则不等式在上恒成立，
当，即时，不等式为，不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，即，
当，即时，不等式为，解得；
当，即时，，
不等式为，解得或；
当，即时，，
不等式为，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【例3】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】BD
【解析】由题意可得1和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
对于A，因为，故A错误；
对于B，不等式，即，即，得，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：BD.
【变式3-1】（多选题）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．的最大值为 D．
【答案】ACD
【解析】对于：不等式的解集为或，
故和是方程的两个根，
所以，解得，故正确，
对于：可变为，解得或，故错误，
对于，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故正确；
对于，是对应方程的根，所以，故正确.
故选：ACD.
【变式3-2】（多选题）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】因为不等式的解集为，
所以有，因此选项A不正确，选项B正确；
，因此选项C正确；
，选项D正确，
故选：BCD.
【变式3-3】（多选题）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
【答案】AC
【解析】由题意可知，则，
对于A，所以且，故A正确，
对于B，， 故B错误；
对于C，不等式，故C正确；
对于D，不等式，又，
可得，所以或，故D错误.
故选：AC.
题型四：其他不等式解法
【例4】不等式的解集为 .
【答案】
【解析】，
令，因为，所以恒成立，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【变式4-1】（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】因为，
解得且，即，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式4-2】（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由得，即，
整理得：，即，
即，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：
【变式4-3】（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ．
【答案】
【解析】因为，则，
令，可得或或，
由于，则，
，
令，
令可得或或，
由于，则，
由可得，
若，取，，，
当时，，，此时，，
当时，由穿根法可知，，矛盾，
所以，，即，则，
所以，
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，则，解得，
因此，.
故答案为：.
题型五：二次函数根的分布问题
【例5】（2025·高三·江西九江·期末）已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，①
令，
若，则以及，则，即；
由①式消去c，得，
即，即或；
所以，解得，
时“”成立，故；
若，则以及，则，即；
由①式消去c，得，
即，②
当时，②式成立；
当时，由②式得或，
所以，解得，故，
时“”成立，所以，
若，则以及，则，即，
由①式消去a，整理得，
即，即或，
所以，解得，
时“”成立，故．
综上所述，，取“”成立时，或，
故．
故答案为：．
【变式5-1】若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 .
【答案】或.
【解析】有实根，则，
解得或，
有实根，则，
解得或，
故实数a的取值范围是或或或.
故答案为：或.
【变式5-2】已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
【变式5-3】关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，令，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型六：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例6】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“，”等价于有两个不等的实数根，
所以，即，解得或，
故选：D.
【变式6-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意对于恒成立；
当时，显然成立，可得符合题意；
当时，若满足题意可得，解得；
当时，若满足题意可得，此时无解；
综上可得，的取值范围是.
故选：C
【变式6-2】若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，当时，
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
所以满足条件，
若，
当时，不等式对任意的成立，
当时，不等式可化为，
又抛物线的对称轴方程为，
由已知，且，
当时，不等式可化为，
由已知结合条件，且可得，
，且，
所以的取值范围是，
综上：；
故选：A.
【变式6-3】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
【答案】D
【解析】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选：D
题型七：绝对值不等式
【例7】（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ．
【答案】
【解析】，即，解得，
故所求解集为．
故答案为：．
【变式7-1】（2025·高三·上海·开学考试）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，所以或，
所以或或，
所以.
故答案为：.
【变式7-2】（2025·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【变式7-3】（2025·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范围是，则 .
【答案】
【解析】由知，，
有，.
故答案为：
【变式8-1】若关于的不等式的解集为，则a＝ .
【答案】
【解析】①若显然不成立；
②若，不等式的解为，
因为不等式的解集为，
所以，无解；
③若，不等式的解为，
因为不等式的解集为，
所以，解得.
综上所述，.
故答案为：
【变式8-2】若关于的不等式的解集不是，则实数的最大值是
【答案】
【解析】不等式
变形为
构造函数
当时,
当时,
当时,
即,画出函数图像如下图所示:
因为不是空集,即有解
所以从图像可知,
即实数的最大值是3
故答案为:3
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
【例9】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得或；由 ，可得（*）.
① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意；
② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意；
③ 若时，则由（*），可得，
此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即.
综上可得，实数的取值范围
故选：B.
【变式9-1】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，即，
解得或，由，
即，因为，
不等式的解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以.
故选：B.
【变式9-2】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】，解得或，
变形为，
当，即时，不等式解集为空集，不合要求，舍去，
当，即时，解集为，
要想不等式组仅有一个整数解，则，解得，
与求交集得；
当，即时，解决为，
要想不等式组仅有一个整数解，则，解得，
与求交集得，
综上，的取值范围是或.
故选：B
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【例10】（2025·黑龙江·模拟预测）为实数，不等式组的解集为，则 .
【答案】 0 0
【解析】先证明都不小于零，不妨假设，考虑不等式，
因为不等式组有解集，故不等式必定有解，
设方程的两实数根为，
则不等式的解集为，
不等式组的解集为不等式的子集，
与解集为矛盾，故假设错误，.
同理可知，，
再证明至少有一个为零，不妨设均为正数，
则的图象均开口向上，
不等式组的解集应该还有的部分，与已知矛盾，故假设错误，
所以中至少有一个为零.
显然不全为0，分类讨论如下：
若中的两个为0，不妨设，
则不等式组为解集为此时
若中的1个为0，不妨设，
则不等式组为，其中不等式的解集为，
不等式的解集为，不等式恒成立，
因为，故不等式组的解集为，此时，
综上，.
故答案为：0，0
【变式10-1】若关于的不等式组有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意，由解得，
当时，由解得，显然此时不等式组有实数解，
当时，由可知，显然此时不等式组有实数解，
当时，由解得，
∵关于的不等式组有实数解，
∴，又，则有，解得，
综上所述的取值范围为，
故答案为：．
【变式10-2】已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】由可得，
由可得，
若不等式组没有实数解，
则．
故答案为：．
【变式10-3】若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，可得，
对于不等式（*），
若，则不等式（*）的解集为空集，符合题意；
若，则由不等式（*）可得，要使不等式组解集为空集，需使，即；
若，则由不等式（*）可得，要使不等式组解集为空集，需使，故.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：
【变式10-4】已知、，关于的不等式组解集为，则的值为 ．
【答案】
【解析】①当时显然不成立；
②当时，不等式组可化为，
设的两根为，则有，即，
故不等式组化为，根据不等式组的解集为，可知不符合题意；
③当时，不等式组可化为，
即，根据不等式组的解集为，可得
，解得，故，，
所以.
故答案为：.
【过关测试】
1．（2025·高三·全国·专题练习）已知，且，是方程的两个实数根，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，为方程的两个实数根，，为函数的图象与轴交点的横坐标，
令，，为函数的图象与轴交点的横坐标，
函数的图象可由的图象向上平移2024个单位长度得到，
．
故选：C.
2．（2025·高一·陕西安康·期末）已知，且是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在区间内，，.
已知和是方程的两根，
根据韦达定理有，.
因为，所以.
又因为，所以.则.
所以，
又，即，解得.
故选：C.
3．（2025·高一·上海·期中）已知不等式 的解集是，则
①；
②若不等式的解集为，则；
③若不等式的解集为，则；
④若不等式的解集为，且，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】由题意，不等式的解集是，
所以，，所以①正确；
变形为，其解集为，
所以，得，故成立，所以②正确；
若不等式的解集为，由韦达定理知：
，所以③错误；
若不等式的解集为，即的解集为，
由韦达定理知：，
则，解得，
所以④正确.
综上，正确的为：①②④
故选：C
4．（2025·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式可化为，
当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以；
当时，不等式的解集为，此时不符合题意；
当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以．
综上可知，实数的取值范围是．
故选：C．
5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
6．（2025·高三·广东深圳·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以可知，
所以原不等式可化为
显然是方程的两根，
所以只须，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
7．（2025·广西南宁·二模）已知函数，.若不等式的解集为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】，
根据选项可知：只需要考虑，
要使不等式的解集为，
当时，
故，解得，
当时，无法满足的解集为，故舍去，
故选：A
8．（2025·高一·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，
由题意知，
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9．（多选题）（2025·高一·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（ ）
A．当时，方程有两实数根
B．当时，方程有两异号的实数根
C．当时，方程有两实数根，，则
D．若方程有两个实数根，，则
【答案】AB
【解析】对于A：因为，当时，
所以方程有两实数根，故A正确；
对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得，
即当时，方程有两异号的实数根，故B正确；
对于C：当时，方程无实数根，故C错误；
对于D：若方程有两个实数根，，则，即，
当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误.
故选：AB
10．（多选题）（2025·高一·四川德阳·阶段练习）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BD
【解析】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误；
对于B，由题意可得，
由，解得，，故B正确；
对于C，由题意可得，
由B可知不等式的解集为，
解不等式可得，
所以不等式组的解集为，，故C错误，
对于D，由题意可得，解得，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2025·高一·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】由题设及函数图象知：且，
所以，则，，，A错，B、C对；
，则，D对.
故选：BCD
12．（多选题）（2025·高二·山西临汾·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集为
【答案】ABC
【解析】因为不等式的解集为或，
可知，且的根为，故A正确；
则，可得，
则，，B正确；C正确；
因为，即，且，
则0，解得，
所以的解集为，D错误．
故选：ABC．
13．（2025·高一·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ．
【答案】 .
【解析】的解集为，
则有2个大于1的根，则，
由韦达定理，可得，则.
注意到，
因，则，则，
故
.
当且仅当，即时取等号.
故答案为：；.
14．（2025·高三·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由于一元二次不等式的解集为，故是方程的两个实数根，故，解得，
故为，故，解得，
故解集为，
故答案为：
15．（2025·高三·广东揭阳·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】不等式的解集为，
方程的两个实数根为和，
由根与系数的关系得：，则，故，
即：，解得或；
所求不等式的解集为.
故答案为：.
16．（2025·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由于，故不等式的解集为，所以.
这表明条件等价于关于的不等式的解集非空.
假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有.
而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件.
所以的最小值是.
故答案为：.
17．（2025·高三·上海·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ．
【答案】
【解析】由题意知，二次函数开口向上，且与轴最多有一个交点，
则.
故答案为：.
18．（2025·高三·甘肃天水·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
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