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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．设且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
6．已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
10．已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
11．已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，则 ．
13．已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .（用集合或区间表示）
14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
16．（15分）
在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）．
(1)求成本函数的边际函数的最大值；
(2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值．
17．（15分）
设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
18．（17分）
已知，.
(1)若，证明；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，求的最大值.
19．（17分）
对于非空数集，，若，则称数集具有性质．
(1)若数集具有性质，证明：；判断，是否具有性质，并说明理由．
(2)若满足①；②，当时，都有．
（ⅰ）判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ⅱ）已知数集具有性质，数集．若数集具有性质且，求满足题意的数集的个数．
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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由全称量词命题的否定可知，
命题的否定是，
故选：D
3．设且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，即.
令，则.
当时，；当时，.
在上单调递增，在上单调递减，
，所以方程有唯一解，即，
所以方程的解为.
若，则，解得或，所以或.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，
因为 ，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
5．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【解析】由，得，
当且仅当时取等号得出最小值4，
故选：C.
6．已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，
所以，即，
对于选项AB：因为，
即，且函数是增函数，
所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因为三点共线，所以存在实数，使，即，
又向量不共线，所以，整理，得，
由，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为4.
故选：B．
8．若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
【答案】AC
【解析】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
10．已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【答案】BCD
【解析】由题意知
所以，
对于 A，因为，且，所以，A 选项错误；
对于B，由于，所以，B 选项正确；
对于C，已知，这意味着既属于A又属于B，
若，当时，
此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，因为，又，所以，D选项正确；
故选：BCD.
11．已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】，
所以，
解得，故A正确；
所以，即，故B错误；
由得，，
，
构造以为两根的一元二次方程，
则，故CD正确；
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
所以．
故答案为：
13．已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .（用集合或区间表示）
【答案】或
【解析】由题意可知的两根分别为，
由韦达定理可得，
所以不等式即为，
即，解得或.
所以原不等式的解集为：或.
故答案为：或
14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 .
【答案】2025
【解析】若集合，则集合，
故，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，则，故；
（2）由，则，可得；
（3）由，即，
若，则，可得；
若，则，无解；
综上，.
16．（15分）
在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）．
(1)求成本函数的边际函数的最大值；
(2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值．
【解析】（1）由，，
可得，，
在时单调递增，
故当时，
（2）由,
故．
记，则该函数在上递减，在上递增，且，
于是当时，得最小值.
由，解得或，（千万元）
17．（15分）
设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
【解析】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为.
（2）由对一切实数恒成立，
即对恒成立，
，
，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的取值范围是.
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．（17分）
已知，.
(1)若，证明；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，求的最大值.
【解析】（1）由得，，
所以，
当且仅当时，取得等号.
（2）由得，，
即，
所以
，当且仅当时等号成立，
由题意可知，，
整理得，
解得或(舍去)，所以，
故实数的取值范围为.
（3）因为，所以，
，
故，
当且仅当时，取得等号，故的最大值为.
19．（17分）
对于非空数集，，若，则称数集具有性质．
(1)若数集具有性质，证明：；判断，是否具有性质，并说明理由．
(2)若满足①；②，当时，都有．
（ⅰ）判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ⅱ）已知数集具有性质，数集．若数集具有性质且，求满足题意的数集的个数．
【解析】（1）令，则，又数集具有性质，即，所以．
，，所以具有性质；
，，，所以，所以不具有性质．
（2）（2）（ⅰ）“数集具有性质”是“数列为等差数列”的充要条件．
先证必要性：由题知，数列单调递增，当数列为等差数列时，设公差为，则．
则，显然，所以数集具有性质．
再证充分性：显然，其中，有个元素，，，
又，数集具有性质，即，
则，所以．
所以，又，所以数列是以0为首项，为公差的等差数列．
综上，“数集具有性质”是“数列为等差数列”的充要条件．
（ⅱ）由（ⅰ）知数列是以0为首项，为公差的等差数列，即，
由知，共有11个元素．数集具有性质，则中的元素从小到大也构成首项为0，公差为的等差数列．
第一种情况：，则的个数为．
第二种情况：，若，则的个数为；
若，则的个数为；
若，则的个数为；
若，则的个数为1．
综上，满足题意的数集的个数为．
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