资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
重难点突破01 集合新定义问题
【题型归纳目录】
题型一：定义新概念
题型二：定义新运算
题型三：定义新性质
题型四：定义新背景
【知识点梳理】
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
【典型例题】
题型一：定义新概念
【例1】已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集.
(1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由.
【变式1-1】（2025·高三·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
【变式1-2】（2025·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分，使其满足；
(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.
题型二：定义新运算
【例2】如图，设是由个实数组成的2行列数表，其中表示数表中第行第列的实数，满足：，且.
…
…
记为所有这样的数表组成的集合.对于任意，记，；记为的一个子集，定义“变换”为：对于任意，若，则令，不变；若，则令，不变.数表A经过“变换”所得新数表记为.
(1)对如下数表A，直接写出一个集合，使其满足；
2 4 0
2 0 4
(2)证明：对于任意，存在集合满足；
(3)证明：对于任意，存在集合满足且.
【变式2-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列，记集合．
(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．
(3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值．
【变式2-2】（2025·浙江金华·三模）给定正整数，考虑集合的所有排列，对每个，定义：，并规定.记为所有排列中的最大值.
(1)对于排列，计算，再直接写出和的值，并分别给出一个满足的排列和一个满足的排列；
(2)对任意整数，证明：；
(3)证明：.
【变式2-3】定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由.
题型三：定义新性质
【例3】（2025·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
(1)若，，写出Y，并求；
(2)若，，求所有的总和；
(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【变式3-1】（2025·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数 若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的
(3)记，问是否存在最小值 若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【变式3-2】设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义.
(1)当时，求和；
(2)是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由；
(3)当时，求的最小值，并给出此时的集合.
题型四：定义新背景
【例4】定义：对于集合，若不存在常数，使得，且对于中的任意数列，均有，其中常数和的值唯一，则称数列可用，线性表示，其中是的一组基底.（注：若，则）已知集合中的任意数列均满足递推关系：，而均为集合中的数列.
(1)若；；
①求出和；
②写出数列关于的线性表示（无需证明）.
(2)若，且，证明：是的一组基底.
【变式4-1】设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
(1)当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合．若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
【变式4-2】（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
【强化训练】
1．已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集．
(1)判断是否为连续生成数集？说明理由；
(2)数集是否为连续生成数集？说明理由；
(3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值．
2．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的.且，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点 ，称集合S为n连续共线点集.
(1)若 判断S是否为3连续共线点集 是否为4连续共线点集
(2)已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为.
（i）若，求n的最大值;
（ii）对给定的正整数n，求的最小值.
3．由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值.
4．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
(1)若，求；
(2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，.
5．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域.
(1)求元素个数最小的数环；
(2)记，证明：是数域；
(3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.
6．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.
(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；
(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；
(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.
7．已知数列的各项均为整数，对的非空子集M，用表示i取遍集合M的所有元素时的之和，例如．
(1)若数列A：1，2，3，4，直接写出所有满足的集合I与J的组合（其中I的最小元素小于J的最小元素）；
(2)若n为奇数，，求证：存在集合，，使得；
(3)设数列A中正数共t项，负数共s项，若，求证：存在集合，使得．
8．集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下，
(1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
9．设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.
(1)若，，直接写出，的所有“平衡子集”；
(2)若，
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由.
10．已知集合，对于，，定义．
(1)已知，求所有的，使得：
(2)已知，求证：为偶数；
(3)已知，对任意，均有，求的最大值．
11．已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合.
(1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合；
(2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数；
(3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数.
12．定义集合，.
(1)求与；
(2)设集合中元素的个数为，是否存在，使得成立？若存在，求出一组，，的值；若不存在，说明理由；
(3)记表示不超过的最大整数，且，求的值．
13．对于任意实数c，，定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这几个区间的长度的和称为I的长度.特别地，记正整数集，且，若区间的端点满足，则称该集合为“称心集”.
(1)若的解集为B，求集合B的区间长度；
(2)若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为6，求实数t的取值范围；
(3)求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.
14．（2025·河北石家庄·一模）已知数列，其中.
(1)若，集合表示集合的非空子集个数.集合的第个非空子集中的所有元素之和记为，设.
（i）直接写出；
（ii）计算的前项相和；
(2)取，在数列中至少有一项为负值，且，将数列各项依次放在正五边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为，若中间项，则进行如下交换，将变换为，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的，上述变换终止只需进行有限多次.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难点突破01 集合新定义问题
【题型归纳目录】
题型一：定义新概念
题型二：定义新运算
题型三：定义新性质
题型四：定义新背景
【知识点梳理】
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
【典型例题】
题型一：定义新概念
【例1】已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集.
(1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由.
【解析】（1）若，有，
由，则，
满足，集合是的恰当子集.
（2）若（）是的恰当子集，则
得到，由，则或
当时，，此时，，满足题意，
当时，，此时，，满足题意，
综上可得，或，.
【变式1-1】（2025·高三·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
【解析】（1）因为，
所以集合，所以.
（2）证明：因为是递增数列，且，
因为是递增数列，所以，
所以且互不相等，所以，
又因为，
所以且互不相等，所以
所以，
所以，
所以，所以为等比数列.
【变式1-2】（2025·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分，使其满足；
(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.
【解析】（1）由题因为，
所以若使，则可以，
此时，满足题意.
（2）根据题意对于任意点集，不妨设，
且，，，
若，则，令，
则，此时恒有；
若，则，可令，
此时，则，满足题意；
若，则，令，
此时，则，满足题意；
若，则，则
令，
此时，则，满足题意；
所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足.
（3）不妨设，
若，则B取其中一点即可满足；
若，
则必存在正整数k使得，
则有，于是，
又因为
，当且仅当时取等号；
于是取，
即可满足且，命题得证.
题型二：定义新运算
【例2】如图，设是由个实数组成的2行列数表，其中表示数表中第行第列的实数，满足：，且.
…
…
记为所有这样的数表组成的集合.对于任意，记，；记为的一个子集，定义“变换”为：对于任意，若，则令，不变；若，则令，不变.数表A经过“变换”所得新数表记为.
(1)对如下数表A，直接写出一个集合，使其满足；
2 4 0
2 0 4
(2)证明：对于任意，存在集合满足；
(3)证明：对于任意，存在集合满足且.
【解析】（1）当 时满足条件，变换后的数表为
2 4 0
0 0 0
S = 2 + 4 + 0 = 6，T = 0 + 0 + 0 = 0，S + T = 6，符合题意；
当时,变换后的数表为
0 0 0
2 0 4
，符合题意；
当时,变换后的数表为
2 0 0
0 0 4
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
0 4 0
2 0 4
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
0 0 0
2 0 0
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
0 4 0
2 0 0
，符合题意；
当时,变换后的数表为
2 0 0
0 0 0
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
2 4 0
0 0 4
，不符合题意；
以上任意符合题意的集合都可以作为集合，即.
（2）证明：因为，且.
,
定义,
即将列中第一行的数大于等于第二行的数的列的列数构成集合，
则变换后每一列中只剩一个不超过2的数，，符合题意.
这就证明了对于任意，存在集合满足；
（3）每一列的数对可能为(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2),(1,2),(2,1),
对于(0,4),(1,3),(1,2)的列的列数不属于，对于(4,0),(3,1),(2,1)的列的列数属于，这样的变换后相应的这些列中的数字都变成0或者1.
如果(2,2)的列如果有偶数列，则随意将其中的列的列数加入，
这些列中有第一行的数字变为0，第二行的数字还是2，另外的列的列数不在中的列第一行的数字为2，第二行的数字为0，
则,
如果(2,2)的列如果有奇数列，则随意将其中的列的列数加入，
这些列中有第一行的数字变为0，第二行的数字还是2，另外的列的列数不在中的列第一行的数字为2，第二行的数字为0，
则,符合题意，
这样就证明了对于任意，存在集合满足且.
【变式2-1】（2025·广东·模拟预测）已知数列，记集合．
(1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由．
(3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值．
【解析】（1）由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下：
，，，
，，，
所以；
（2）假设存在，使得，
则，
因为为偶数，所以与奇偶性相同，则与奇偶性不同，
又因为，，所以必等于奇数因子（大于等于3）和偶数因子（大于等于3）的乘积，
又，，
即，解得，
或，解得，
或，解得，
所以存在，使得；
（3），
先证明正整数中所有的奇数与形式的整数都无法由表示，
因为为奇数，
所以的因子为一奇一偶，
而奇数没有偶数因子，没有奇数因子，无法由表示；
其次证明除奇数与形式以外的数，都可以表示成的形式，
若正偶数，其中，任何一个形式以外的偶数都能表示成该形式，
则，解得，
或，解得，满足条件，
故存在，使得成立，
由前面可知正整数以及奇数不是集合中的元素，
所以的最大值为.
【变式2-2】（2025·浙江金华·三模）给定正整数，考虑集合的所有排列，对每个，定义：，并规定.记为所有排列中的最大值.
(1)对于排列，计算，再直接写出和的值，并分别给出一个满足的排列和一个满足的排列；
(2)对任意整数，证明：；
(3)证明：.
【解析】（1）排列，则，，，，
所以，
对应排列为，对应排列为.
（2）设原排列为，交换最后两项得到新排列.
显然，即交换排列的最后两项不改变的总和.
考虑一般情况：设原排列为，
交换1和的位置后得到新排列.
显然，对于或的项，有，
因此只需比较和的大小.
设，分三种情况分析：
情况1：当时，有，且，
情况2：当时，有，且，
情况3：当时，有，且，
综上，在三种情况下都有，即交换后总和不会减少，
对于任意排列，构造其对称排列时，对任意恒有.
由于将原排列中的1后移等价于在对称排列中将后移，结合已证向右移动1不减少整个的总和，故向右移动也不减少总和.
因此，最优排列的构造中，将固定在末位同样能保证寻找到总和最大.
设原排列为，前项中的和为的和为.
固定项，
因此.
（3）设原排列为，
前项中，的和为的和为，
固定项，因此，
设，则，不等式变为，两边除以得.
定义：设，则递推关系为.
当时，，则有.
对于.
【变式2-3】定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由.
【解析】（1）对任意的，有，，
全集且，
则
由，得，或，或，
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
（2），由且，，得，，
因此，所以.
（3）由（1）（2）知，，，则，
假设集合，能满足，则，或且，
又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求，
所以实数的值为0或.
题型三：定义新性质
【例3】（2025·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
(1)若，，写出Y，并求；
(2)若，，求所有的总和；
(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【解析】（1）由题意知，，
所以．
（2）对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
（3）对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【变式3-1】（2025·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数 若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的
(3)记，问是否存在最小值 若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，使得等于同一常数；
（2）因为，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，由，解得，
所以，，，，中有个，个，
所以方程①的解共有组.
（3）因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
【变式3-2】设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义.
(1)当时，求和；
(2)是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由；
(3)当时，求的最小值，并给出此时的集合.
【解析】（1）由，可得：；
所以.
（2）不存在，理由如下：
假设存在这样的三元正整数集合满足条件，不妨设.
考虑：注意到，所以.
当时，，此时，
所以.
事实上，，
所以当取最小值时，一定有.
考虑：注意到，所以.
当时，，此时，
所以.
事实上，，
所以当取最小值时，一定有.
所以.
即，此时，矛盾.
所以满足上述条件的集合不存在.
（3）当时，不妨假设，
此时总有，所以.
对应的，考虑中元素个数最多的情况，
此时显然有互不相同，所以.
所以
下面证明当时，等号成立.
事实上，，且在和之间的所有整数值都取得到，所以此时.
对于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
从小到大排序为：，，，，，，，，，
；
显然这10个数互不相等，此时.
综上，当时，，
即为的最小值.
题型四：定义新背景
【例4】定义：对于集合，若不存在常数，使得，且对于中的任意数列，均有，其中常数和的值唯一，则称数列可用，线性表示，其中是的一组基底.（注：若，则）已知集合中的任意数列均满足递推关系：，而均为集合中的数列.
(1)若；；
①求出和；
②写出数列关于的线性表示（无需证明）.
(2)若，且，证明：是的一组基底.
【解析】（1）由题意，，
，，
（2）若存在常数，使得，则，，
又，则，这与矛盾，
故不存在常数，使得，
由得其特征方程为，解得或，
故设，
由得，故，
故，，
对于中的任意数列也有，
设，则由题意可知，
则，
故，得，即常数和的值唯一，
故中的任意数列可用，线性表示，
故是的一组基底.
【变式4-1】设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
(1)当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合．若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
【解析】（1）由，
显然只有唯一解，即，
所以为的完美子集；
同理，对于，，
令，
即，方程组的解不唯一，
比如，，为方程组的一组解，所以不是的完美子集.
（2）由题意得，
所以，
由不是的完美子集，即方程组的解不唯一，
因为，
由集合的互异性得，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以或，
检验：
当时，存在，，，使得，
当时，因为，所以，，舍，
所以.
（3）是完美子集，理由如下：
假设存在不全为0的实数，，满足，
不妨设，则否则与假设矛盾，
由，得，
所以，
与，即矛盾，
所以假设不成立，所以．所以，
所以一定是完美子集.
【变式4-2】（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
【解析】（1）的“相邻元”为：.
（2）因为，所以.
设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”.
设，构造，
则集合中的元素个数为.
对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个，
满足，
从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”.
（3）设，且，且.
①当时，
集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”.
设，则中含有个元素.
设.
则中含有个元素，.并且两两交集为空集，
设，则共有：
②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”.
由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同.
设与不同位置为，即；与不同位置为，即.
当相同时，又中与差为1的只有一个数，则.
当时，，
所以在每一个中，至多有一个“相邻元”.
③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论：
元素中第都是中元素.
中第都是中元素.
故中至少有3个元素属于不同的和.
所以不存在，均是的“相邻元”.
由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”.
【强化训练】
1．已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集．
(1)判断是否为连续生成数集？说明理由；
(2)数集是否为连续生成数集？说明理由；
(3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值．
【解析】（1），，
∵，∴不是连续生成数集.
（2）若为连续生成数集，则，
又中最多有10个元素，
则，从而，
∴，
即，
∵，∴为偶数，
而55为奇数，不能成立，
∴数组不是连续生成数集.
（3）当时，，，，，，，，是连续生成数集，所以，
∵中至多有10个元素，∴，
假设是连续生成数集，不妨设 ，
当时，中至多有7个元素，不成立，
若，因为是中最小的元素，此时，不成立，
因此必有，为使，必有，
此时，，所以，，
∵中至多有10个元素，，
∴，
，
即不成立.
∴假设不成立，不是连续生成数集.
假设是连续生成数集，则是连续生成数集，矛盾，
所以假设不成立.结合（2）结论，可知的最大值为7.
2．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的.且，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点 ，称集合S为n连续共线点集.
(1)若 判断S是否为3连续共线点集 是否为4连续共线点集
(2)已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为.
（i）若，求n的最大值;
（ii）对给定的正整数n，求的最小值.
【解析】（1）直线经过个点，直线经过个点，
直线经过1个点，所以为3连续共线点集.
没有直线经过中的4个点，所以不是4连续共线点集.
（2）（i）因为，即直线最多经过中的6个点，所以．
时，6个点在一条直线上，没有一条直线恰经过5个点，不满足．
时，5个点在一条直线上，则仅剩1个点，没有一条直线恰经过4个点，不满足．
又当时，
分别恰好经过中4，3，2，1个点，为4连续共线点集，所以．
（ii）设恰经过中的个点，
由于经过个点，恰经过个点，最多与交1个点，即最少需要多个点；
恰经过个点，最多分别与各交1个点，即最少需要多个点；
依次类推，恰经过个点，最多分别与各交1个点，
即最少需要多个点，
所以当是偶数时，最少需要个点，
当是奇数时，最少需要个点．
所以（为不超过的最小整数）．
下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集，
①时，因为当时，最少需要1个点，而，结论成立，
当，最少需要2个点，而，结论成立；
②假设时，中有个点，直线恰经过中的个点，
作一条直线不经过原来的个点，且与均各有一个交点，
并在上取异于的两个点，
则各经过个点，然后任选一点，
过该点作不经过其余个点的直线，
则各经过个点，
则点集为连续共线点集，
此时．
所以．
3．由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值.
【解析】（1）由集合，可得，且的子集为，，，，
当时，；当时，；
当时，，所以集合是“满集”；
又由，可得，且的子集为，，，，
当时，不存在集合的两个子集，使得成立，
所以不是“满集”.
（2）设，因为集合为“满集”对任意的正整数，
都存在集合的两个子集，使得成立，
所以，且，所以或.
当时，，此时；
当时，，
因为，所以为最大，此时，
综上可得：.
4．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
(1)若，求；
(2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，.
【解析】（1）由集合，知，，所以.
（2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意.
5．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域.
(1)求元素个数最小的数环；
(2)记，证明：是数域；
(3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.
【解析】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，
若，则，可知为数环；
若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环；
综上所述：元素个数最少的数环为.
（2）设，，，可知，
则有：，
，
，
因为，则，，，，，，
可知，，，所以是数环；
因，则必存在使，此时，满足①；
若，则，
因为，则，，
可知，满足②；综上所述：是数域.
（3）不一定是数域，理由如下：
①若，，显然，均为数域，且是数域；
②设，，
设，，，可知，则有：
，
，
，
因为，则，，，，，，
可知，，，所以是数环；
因，则必存在使，此时，满足①；
若，则，
因为，则，，
可知，满足②；
综上所述：是数域.
因，，但，
所以不是数域；
综上所述：不一定是数域.
6．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.
(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；
(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；
(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.
【解析】（1）且为闭集知：，成立，
故而，从而命题成立.
（2）取，
知不一定是闭集合.
（3）若或，且均是的真子集，命题显然成立，
故不妨设存在满足，且存在满足,
取知，否则
或者而得出矛盾，故命题成立.
7．已知数列的各项均为整数，对的非空子集M，用表示i取遍集合M的所有元素时的之和，例如．
(1)若数列A：1，2，3，4，直接写出所有满足的集合I与J的组合（其中I的最小元素小于J的最小元素）；
(2)若n为奇数，，求证：存在集合，，使得；
(3)设数列A中正数共t项，负数共s项，若，求证：存在集合，使得．
【解析】（1）
（2）记；
数列，各项均为正整数，所以，
因为为奇数．所以
而有项，所以必有两项相同，设
其中，不妨，则，
所以命题得证．
（3）首先证明，数列，各项均为正整数，且正整数满足
，则必存在非空数集，其中，满足
，
记：
数列，各项均为正整数．所以
而有项，所以必有两项相同，设
其中，不妨，则
，所以命题得证．
其次，①如果数列中有0，则结论显然成立；
②当数列中没有0，则，将数列重新排列，，
其中前项为负，后项为正，并且，
则由前面结论知必存在非空数集，其中，满足,
∴，
∴，所以存在，使得.
8．集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下，
(1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
【解析】（1）根据题意，由,则，；
（2）由于集合，且，
所以中也只包含四个元素，即，
于是，剩下的，
由于
所以，
注意到，于是；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，
中最小的元素为，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，
则，
依题意有，即，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是．
9．设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.
(1)若，，直接写出，的所有“平衡子集”；
(2)若，
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由.
【解析】（1）由题可得的平衡子集为：；
由题可得的平衡子集为：；
（2）（ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为：
，又注意到，
而这样的相加为的组合，U中有组，
注意到这些组合的算术平均数及这些组合相加的算术平均数均为
又U的所有“平衡子集”都由这些组合所组成.
则U的所有“平衡子集”的个数为：
（ⅱ）由（ⅰ）可得U的所有元素的算术平均数为，
则“平衡子集”的元素个数应为偶数，则.
又注意到表示从（ⅰ）中涉及的相加为的n个组合中，选择个的个数，
则，
则.
又由题可得，
则.
因，则，
一方面从个元素中选n个元素，有种方法.
另一方面，可将个元素分为2组，每组n个元素，则从个元素中选n个元素，
可先从第一组取k个，再从第二组取个，其中，则有种方法.
两种方法是等价的，则.
又，
则.
10．已知集合，对于，，定义．
(1)已知，求所有的，使得：
(2)已知，求证：为偶数；
(3)已知，对任意，均有，求的最大值．
【解析】（1）由题意，若，使得，设，
则，注意到，
从而这四个数中的其中一个要么是0，要么是1，
结合，可知必有3个1和一个0，
所以我们分四种情况讨论即可：
（i），，解得，即此时；
（ii），，解得，即此时；
（iii），，解得，即此时；
（iv），，解得，即此时；
综上所述，满足题意的为或或或；
（2）若，设，，，
则，
由的定义可知， ，
不妨设中有个1，个0，
中有个1，个0，
中有个1，个0，
这意味着有组满足，组满足，
组满足，组满足，
组满足，组满足，
不失一般性，设，
则，
因为，
所以设，
注意到，
在这里，分三种情况讨论：
（i）若，则有，
即组满足，此时，
故是偶数，
（ii）若，则，
，
此时，
故是偶数；
（ii）若，则，
，
此时，
故是偶数；
综上所述，若，则为偶数；
（3）若，对任意，则可设，，
根据的定义可知，，从而，
若，则只能，
即，
这表明，
则所有可能的情况为：或；或；……；或；
下面证明所求的最大值是2，
一方面：当时，可取（取法不唯一），此时满足题意；
另一方面：当时，任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等，
比如我们就让的第一个分量相等，
而这会导致，这就和矛盾，
故是不可能的，
综上所述，的最大值是2.
11．已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合.
(1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合；
(2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数；
(3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数.
【解析】（1）因为集合是“2－间断整数集”，且，
所以或，解得，
所以符合条件的元素所构成的集合为.
（2）因为集合是1－间断整数集”，所以集合至少有两个连续整数，且不能四个元素连续.
集合的四元子集有个，
其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”，
所以无连续整数的四元子集个数为个，
又四个元素都连续的集合有个，
所以，满足条件的集合的个数为个.
（3）集合的子集个数为个，
根据间断整数集的定义可知，和单元集合不满足题意，共11个；
连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个，
连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个，
连续的八元集合有3个，连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个，
综上，非间断整数集共有个，
所以合的所有子集中，“间断整数集”的个数为个.
12．定义集合，.
(1)求与；
(2)设集合中元素的个数为，是否存在，使得成立？若存在，求出一组，，的值；若不存在，说明理由；
(3)记表示不超过的最大整数，且，求的值．
【解析】（1）对于，，，
在不大于16的所有正整数中，
即不能被3整除又不能被4整除的数有，
；
同理，在中，，，
在不大于27的所有正整数中，
即不能被3整除又不能被4整除的数有，
.
（2）因为在不大于的所有正整数中，
能被3整除的有个，被4整除的有个，被12整除的有个，
所以，
若，则，即，
，，
等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，
故不存在，，使得成立.
（3）由（2）知，当时，，，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，则，
.
13．对于任意实数c，，定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这几个区间的长度的和称为I的长度.特别地，记正整数集，且，若区间的端点满足，则称该集合为“称心集”.
(1)若的解集为B，求集合B的区间长度；
(2)若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为6，求实数t的取值范围；
(3)求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.
【解析】（1）由，得，即，
故，其区间长度为；
（2）不等式的解集为，区间长度为，
因为关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为6，
即时，不等式恒成立，
由可得，
所以在时恒成立，
即在时恒成立，
解得，故实数t的取值范围是.
（3）因为，所以，，可得，因此，
同时，又因为，可得，
所以均成立，
当时，取，则，故可知，
又当时，，所以，
因此，“称心集”A中元素个数的最大值为9.
14．（2025·河北石家庄·一模）已知数列，其中.
(1)若，集合表示集合的非空子集个数.集合的第个非空子集中的所有元素之和记为，设.
（i）直接写出；
（ii）计算的前项相和；
(2)取，在数列中至少有一项为负值，且，将数列各项依次放在正五边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为，若中间项，则进行如下交换，将变换为，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的，上述变换终止只需进行有限多次.
【解析】（1）（i）由则，，因此可得；
由则，，因此可得；
由则，，因此可得；
故；
（ii）由题意得集合，所以，
解法1：（利用子集构成特点）
由于集合的每个元素在其子集中出现的次数均为，
故，
所以，
所以.
解法2：（利用递推关系）
将集合拆分为集合与，
集合的所有非空集合中的元素之和的和为，
集合的所有非空子集中的元素之和的和为与集合的所有子集中的元素加上的和，
集合共有个子集，
所以.
即，易得，累加得，
所以.
所以，
所以.
（2）由题意所述的变换不变，且始终为整数，所以，
构造一个函数，
不妨对进行一次操作，此时五边形顶点上的数变为，
所以有
，
因为，得，又，
所以，
则经过每一次变换，函数的值至少减少2，且恒非负，
所以变换只能进行有限多次.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑