资源简介

罗湖区中考备考“百师助学”
《二次函数中的线段最值问题》
桂园中学 黎幼彦
一、教材分析
本节课是在学生学习了二次函数的概念、图像及性质的基础上开展的，属于二次函数知识的深化与应用。其核心在于利用二次函数的相关知识解决线段最值问题，这在中考中常作为压轴题的关键考点出现，通过本节课的学习，不仅能提升学生对二次函数知识的综合运用能力，还能培养学生的数学思维和解题技巧，为后续解决更复杂的数学问题奠定基础。
二、教学目标
知识与技能：学生能够熟练掌握利用设点坐标的方法求解线段最值问题，学会将倾斜线段转化为水平或竖直方向线段的技巧，能准确运用二次函数的性质解决相关线段最值问题。
过程与方法：借助层层递进、由浅入深的例题探究，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，在解题过程中深刻体会转化思想的运用，提高学生的数学思维能力。
情感态度价值观：鼓励学生在克服困难的过程中获得成功体验，增强学好数学的信心；引导学生对解题过程进行反思，掌握获取新知识和新思想的方法，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯。
三、教学重难点
教学重点：深入探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法，理解并掌握将各类线段最值问题转化为二次函数问题的思路。
教学难点：如何巧妙地将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而顺利解决最值问题，以及在复杂情境中准确找到线段与二次函数之间的联系。
四、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合，通过教师的讲解引导，学生的小组讨论和自主练习，让学生逐步掌握知识和方法。
五、教学过程
（一）复习引入（3 分钟）
（二）学习过程（42分钟）
模块一：
铅垂线段的求法——横坐标相同
水平线段的求法——纵坐标相同
例1．如图，抛物线与x轴交于A（-2，0）B（6，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），连接BC．
（1）直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N．求线段PN长的最大值．
例2．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求直线L的解析式；
（2）如图，M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交直线L于点N，求MN的最大值．
跟进练习：
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值及直线BC的表达式；
（2）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标．
模块二
斜线段的求法——化斜为直
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x﹣5图象经过A(5,0)，B(-1,0), C(0,5)三点．
直线CA的表达式为：y＝x﹣5
问题：若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
例4．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，直线AC:y＝x+4点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
跟进练习：
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点坐标为（1，4）．
（1）求直线AB与这个二次函数的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？
2.．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
模块三 面积，周长——转化为竖直线段
例5．已知某二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），且图象经过点（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）该二次函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点P是二次函数图象对称轴上一点，且PB+PC的值最小，求点P的坐标．
②若在直线AC上方的抛物线上有一点M，使得△MAC的面积最大，求点M的坐标．
例6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/（三）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，总结求二次函数中线段最值问题的方法和思路。
教师进行补充和完善：
对于水平或竖直线段，通过设点坐标，利用纵坐标或横坐标之差表示线段长度，转化为二次函数最值问题。
对于倾斜线段，常通过构造特殊三角形（如等腰直角三角形）、相似三角形或利用直线斜率关系等，将其转化为水平或竖直线段问题，再借助二次函数求解。
在解决问题过程中，要善于运用转化思想，将复杂问题简单化。
注意在求二次函数最值时，要结合函数的定义域（即点的坐标取值范围）来确定最终的最值。
（四）课后作业
1．如图1，已知二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A、B，与y轴的交点为C．过点A的直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与抛物线另一交点为E，交y轴于D．
（1）用含k的式子表示直线l的解析式；
（2）若a＝3，k，点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN⊥AD于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；
2．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
六、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考，鼓励学生大胆尝试不同的解题方法。对于学生在练习和讨论中出现的问题，要及时给予反馈和指导。通过本节课的教学，学生应能较好地掌握二次函数中线段最值问题的解题方法，但对于一些基础较薄弱的学生，可能在知识的综合运用和转化思想的理解上还存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学中可进一步加强与实际生活的联系，让学生体会数学知识的实用性。
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