资源简介

新函数图像探究教学设计
设计者：深圳市罗湖区桂园中学 郭培香
一、教学目标
1. 知识与技能目标：学生能理解新函数（绝对值函数、分段函数、高次函数、组合函数）的概念，掌握各类新函数图像的绘制方法；能根据函数图像探究函数性质，如最值、增减性、对称性等；学会运用函数知识解决与方程、不等式、几何、实践及新定义相关的综合问题。
2. 过程与方法目标：通过对新函数图像的探究过程，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生知识迁移和运用能力；经历从特殊到一般的探究过程，让学生体会数学中的类比思想和数形结合思想。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学探究的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神；让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点
1. 教学重点：掌握新函数图像的绘制方法和函数性质的探究方法；能运用函数知识解决函数与方程、不等式、几何、实践及新定义的综合问题。
2. 教学难点：理解函数图像与方程、不等式的关系，能运用数形结合思想解决综合问题；对新定义问题的理解和应用，以及在复杂情境中准确分析和解决问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合。
四、教学过程
（一）知识导入（5 分钟）
展示近些年中考数学试卷中出现的新函数图像探究题，引出本节课主题 —— 新函数图像探究。强调新函数图像探究题的重要性，它是对函数图像与性质的综合运用，注重考查学生多种能力，鼓励学生积极探索。
（二）知识技能梳理（5 分钟）
回顾初中阶段函数学习过程，强调新函数图像探究的关键是作出函数图像，其步骤包括分析解析式、列表、描点、连线，且要抓住关键点和基本走势。介绍函数图像性质探究题的常见问题类型，如求变量取值范围、画函数图像、写函数性质、函数与方程或不等式综合考查、函数与几何及新定义综合考查等，让学生对本节课学习内容有整体认识。
（三）模块一：新函数的四种常见类型（30 分钟）
1.绝对值函数（10 分钟）
讲解例1，引导学生根据绝对值意义，对函数y＝2|x﹣2|﹣1 进行分段讨论，得出x≥2和x＜2时的表达式。让学生完成列表、描点、连线，画出函数图像。通过图像分析函数性质，如最小值、增减性等，讲解选项内容，让学生理解如何从图像获取函数性质信息。
针对训练：让学生自主完成函数y＝|x2﹣4x+3|的列表、描点画图过程。组织学生讨论函数图像与y＝x2﹣4x+3图像的关系，以及不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集求法。请学生上台展示解题过程，其他同学进行评价，教师总结完善。
2.分段函数（10 分钟）
讲解例 2，通过定义和示例让学生理解 “镜面函数” 概念。让学生尝试画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的 “镜面函数” 图像，教师巡视指导。引导学生分析函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的 “镜面函数” 与直线y＝﹣x+m有三个公共点时m的值的求法，可通过联立方程和图像分析来解决。
针对训练：讲解 “限变点” 定义，让学生完成相关应用题目。引导学生画出点P在一次函数y＝﹣x+3（﹣2≤x≤6）上时，其限变点Q的函数图像，并讨论纵坐标b'的取值范围。鼓励学生分享解题思路，教师进行点评和补充。
3.高次函数（5 分钟）
讲解例 3，分析函数y|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）在﹣2≤x＜0和x≥0时的变化情况，让学生填写表格并画出x≥0时的函数图像。引导学生思考直线l与函数图像有两个交点时m的最大值问题，培养学生对高次函数的分析能力。
针对训练：让学生借鉴课本研究二次函数的经验，探究函数y＝x4﹣2x2﹣1的图像与性质，包括填写表格、画图、写性质、配方求最值以及讨论函数图像与平行于x轴直线的公共点个数。组织学生小组讨论，每个小组推选代表汇报讨论结果，教师进行总结归纳。
4、组合函数（5 分钟）
讲解例 4，让学生确定函数yx2的自变量取值范围，计算m的值，完成列表、描点画图过程。引导学生通过图像分析函数与x轴交点个数、方程根的个数以及函数性质，体会组合函数的特点。
针对训练：让学生协助小明完成函数y＝x的相关探究，包括确定自变量取值范围、补全表格、画图和写性质。教师对学生的探究结果进行评价，强调组合函数探究的要点。
（四）模块二：函数与综合探究（25 分钟）
1.函数与几何综合探究（12 分钟）
讲解例 1，让学生根据表格数据猜想n与m的关系式，通过描点、连线的方法进行探究。引导学生选择一种方法对二次函数y＝a（x﹣h）2+k进行推理验证，理解函数与几何图形之间的联系。
针对训练：提出问题，让学生分析点P在不同位置时正方形DPEF面积y与点P运动路程x的函数关系。引导学生根据对称轴和已知条件确定函数关系式，以及点A在△DFM内部时x和y的取值范围，培养学生解决函数与几何综合问题的能力。
2.函数与实践综合探究（13 分钟）
讲解例 2，让学生根据乒乓球运行数据在平面直角坐标系中描点画图，分析乒乓球到达最高点和落在对面球台时的相关数据，求出抛物线解析式。引导学生思考如何计算击球高度OA的取值范围，体会函数在实际问题中的应用。
针对训练：开展项目式学习，让学生完成电动自行车充电车棚消防设备相关问题，如计算干粉灭火器喷嘴高度、求抛物线解析式、确定喷淋头地面有效保护直径以及计算加装喷淋头的距离等。组织学生分组讨论，每个小组展示解题过程，教师进行点评和总结。
（五）模块三：函数与新定义（15 分钟）
讲解例 1（8 分钟）：讲解 “垂近点” 概念，让学生判断点M(1.5,0)是否为线段AB的 “垂近点”，并画出点M所有可能的位置。引导学生分析二次函数y＝ax2+2ax+a﹣图象上仅有一个 “垂近点” 时b的值，以及正方形ABCD上存在 “垂近点” 时a的取值范围，培养学生对新定义的理解和应用能力。
针对训练（7 分钟）：讲解 “等距点” 定义，让学生判断函数y＝x2+2x的图象是否存在 “等距点”，并求出其坐标。引导学生根据函数y和y＝﹣x+b的 “等距点” 相关条件，计算满足条件的函数表达式，以及分析函数y＝﹣x2+2x+2m+2 图象只存在 2 个 “等距点” 时m的取值范围，提高学生解决新定义问题的能力。
（六）课堂总结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容，包括新函数的四种常见类型（绝对值函数、分段函数、高次函数、组合函数），函数与几何、实践及新定义的综合探究，强调函数图像绘制、性质探究以及运用函数解决问题的方法和要点。鼓励学生在课后继续巩固练习，提高解决新函数图像探究题的能力。
（七）布置作业（5 分钟）
1.布置课后作业，让学生完成课本或练习册上与新函数图像探究相关的习题，巩固本节课所学知识。
2.让学生收集生活中可以用新函数模型解决的实际问题，下节课进行分享交流，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
五、教学反思
在教学过程中，要关注学生的参与度和理解程度，对于学生在探究过程中遇到的困难，及时给予指导和帮助。通过多种教学方法相结合，让学生积极参与课堂活动，提高学生的学习兴趣和主动性。在讲解综合问题时，要注重引导学生分析问题，培养学生的思维能力和解题能力。同时，鼓励学生在课后继续探索新函数的相关知识，提高学生的数学素养。

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