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《建立平面直角坐标系解决几何问题》自主学习单（答案）
知识梳理：
《义务教育数学课程标准（2022）年版》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题。其中“图形与坐标”强调数形结合，用代数方法研究图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题。建立平面直角坐标系是研究函数问题的重要一步，反过来从函数的角度去研究几何问题也是很重要的。初中阶段的几何题里大多是以矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形等为背景，而这些几何图形都能通过建立平面直角坐标系来解决问题，从而做到几何问题代数化。这种“建立平面直角坐标系解决几何问题”简称“建系法”的方法既增加了代数推理，又增强了几何直观，从而达到数与形的完美统一。
1.知识储备
（1）两点间距离公式
（2）中点坐标公式
（3）一次函数求“k”
关于一次函数“k”的重要结论
二、学习过程
模块一：《建系法的认识》
问题1：什么是建系法？
在初中数学中，建系法（即建立坐标系的方法）是一种通过构造平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决的策略。它属于数形结合的思想，常用于简化几何证明或计算。
问题2：什么题型适合建系？
正方形 长方形 直角三角形 等腰三角形 菱形
问题3：坐标原点如何选取？
正方形 长方形 直角三角形 等腰三角形 菱形
问题4: 用建系法的优缺点？
典型对比案例
问题：证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”。
几何法：利用矩形对角线性质证明。
建系法：设直角顶点在原点，两直角边沿坐标轴，通过中点公式和距离公式直接计算。
优点：
①程序化操作
步骤固定：建系 → 标坐标 → 求解析式 → 计算，适合不擅长几何思维的学生。
②化抽象为具体
将几何图形中的点、线、角等抽象元素用具体的坐标和方程表示，使问题更直观。
③通用性强
适用于大多数规则图形（如三角形、矩形、菱形等），尤其是对称性或垂直性明显的图形。
例如：求非特殊三角形面积时，直接利用顶点坐标和面积公式（如铅锤法）比几何分割更快捷。
④简化动态问题
对动点轨迹、最值问题可通过函数或方程分析，避免复杂几何构造。
例如：求线段最小值时，可转化为求二次函数顶点或两点间距离。
缺点：
①依赖坐标系的选择
坐标系选取不当（如斜放图形）会导致坐标复杂，计算量增大。
例如：若将三角形的边与坐标轴不平行，坐标表达式会变得繁琐。
②计算易出错
涉及多步代数运算（如距离公式、斜率、联立方程等），容易因粗心出错。
例如：验证两条直线垂直时，需计算斜率乘积是否为-1，符号错误可能导致结论错误。
③丧失几何直观
过度依赖代数可能掩盖几何本质，不利于培养空间想象能力。
例如：用坐标法证明“勾股定理”虽可行，但不如几何拼图法直观。
④不适用于所有问题
对非规则图形（如任意四边形）或求图形的角度关系可能效率低下。
模块二：建系法在矩形下的运用
典例精讲：
跟综练习
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P在线段BG上，若∠PEF=45 ，AE=CG=5,PG=5，则EP=_______
解答：以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2，则由“∠PEF=45 ”联想到函数中的一大典型题型“点角存在性问题”，故作PM⊥EP交EF于点M，作MN⊥x轴于点N，构造“一线三垂直模型”，则易证△BPE≌△NMP，则BP=MN,BE=PN，设OP=a，则AB=BC=a+10，BE=a+5，∴PN=BE=a+5，MN=BP=a，则由条件可得G(a+5,0),E(0,a+5),M(2a+5,a)，D(a+10,a+10)，由EF⊥DG可知直线EF与直线DG的k值互为负倒数，即,解得a=5，由BP=5,BE=10,由勾股定理EP=5.
如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______________．
解答：以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，连接CF，由折叠性质可得CF⊥PE，由AP⊥PE可得AP//FC，由AF//BC可得四边形APCF是平行四边形，由AF=PC，设OP=a，则AF=PC=2-a，由条件可知A(0,1),P(a,0),C(2,0),D(2,1),F(2-a,1)，由折叠性质可得PF=PC，由两点之间的距离公式可列方程为：,解得a=1或,即BP的长为1或.
模块三：建系法在三角形下的运用
典例精讲
跟踪练习
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线与边BC交于点D，那么BD的长为________
解答：如图建立平面直角坐标系，由题易得OB=OC=12,由tanC=2可得AO=24,
则B(-12,0),C(12,0),由E是AC中点及中点坐标可得E(6,12),由折叠性质可
得FD垂直平分BE，即F是BE的中点，可得F(-3,6),由B、E两点坐标可得
直线BE的解析式为y=x+8,由BE⊥DF可设直线DF的解析式为y=x+b,代
入F点坐标可得直线DE的解析式为y=x+,当y=0时x=1,由D(1,0),∴BD=13.
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，点D为BC上一点，点E为线段CD上一点，且CE=1,AB=2,∠DAE=60 ，则DE的长为_______
解答：如图建立直角坐标系，由∠DAE=60 联想到函数的典型题型“点角存在性问题”，故作NE⊥AE交AD延长线于点N，并如图构造“一线三垂直模型”，由∠DAE=60 易得，由△MNE∽△FEA可得，由题易得OA=,EC=1,OE=2，则ME=2,MN=3,则OG=2,NG=MN-GM=1,由OD//GN可得OA:AG=OD:NG，即：3=OD:1，则OD=,∴DE=OE+OD=2+ = .
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