资源简介

《反比例函数涉及线段比的解法》教学设计
深圳市罗湖区滨河实验中学 林翠凤
知识技能梳理
《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于反比例函数的教学目标中，“能根据已知条件确定反比例函数的表达式”指的是根据题目的条件求出k的值。深圳中考近五年的数学卷中，倒数第二个填空题都是考查反比例函数求k值，由此推断2025年中考大概率还在原来的位置考查反比函数的知识，难度中等。此类题通常要借助特殊三角形与特殊四边形的性质、全等与相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识解决。
本课程主要讲解反比例函数中涉及线段比的解法，分为三个模块。
模块一是直接求点坐标法。主要解决一些简单的，根据题目信息能快速求出双曲线上的点坐标，进而用待定系数法求k。
模块二是利用比例设坐标法。此法先根据线段比例特征，设出关键点的坐标，再综合利用题目的其他信息求解。
模块三是k的几何意义面积法。根据题干中给出的已知图形的面积，结合线段比推出若干图形的面积比，由面积可得到|k|的值，再结合图象所在象限确定k的符号，从而求出k的值。
学习过程
模块一：直接求点坐标法
典例精讲
例1．（2024.深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴点，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∴（负值已舍），
则点，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点，
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：．
例2．如图，在中，，点的坐标，顶点在反比例函数的图象上．若，且，则 ．
【答案】3
【分析】作CH⊥y轴于H．由相似三角形的性质求出点C坐标，进而求出k的值．
【详解】如图，作CH⊥y轴于H．
∵A（0，2），OA=OB，
∴OA=OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
又∵∠AOB=∠AHC=90°，
∴△ABO∽△CAH，
∴，
∴CH=AH=1，
∴OH=OA+AH=3，
∴C（1，3），
∵点C在的图象上，
∴k=1×3=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
跟踪练习
1．（2021.深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ．
【答案】
【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．
【详解】设：，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l
过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点
则
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
2．如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，
∵四边形是平行四边形，点，，，
∴，
∴，即，则，
∵轴，轴，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图像上，过点作轴，交反比例函数的图像于点．若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特征，过点作轴于，过点作于，再过点作 的延长线于，可证，得到，进而由可得，即可得点的横坐标为，得到点的纵坐标为，即得，同理可得，得到，，即得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，得到，再根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于，过点作于，再过点作 的延长线于，则，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴点的纵坐标为，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
故答案为：．

模块二：利用比例设坐标法
典例精讲
例3．如图，点A，C在反比例函数的图象上，且，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】过作，过C作，连接，得到，根据的几何意义和，得到，再根据，求出的面积即可得解．
【详解】解：过作，过C作，分别交于点，连接，
则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点A，C在反比例函数的图象上，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，则，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查已知图形的面积求值，熟练掌握的几何意义，构造与有关的几何图形是解题的关键．
例4．如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为 ．
【分析】如图（见解析），先根据反比例函数的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后又根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得一个关于k的方程，解方程即可得．
【详解】如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，连接OA，
由反比例函数的性质可知，，
，
，
，
在和中，，
，
，
解得，
，
，
又轴，轴，
，
，
，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则的值为6，
【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定是解题关键．
跟踪练习
1．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为，，则的值为 ．
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据，即可求解，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：设，则， ，
，
，，
轴，，
轴，
，
，
，四边形的面积为，
，
解得：．
2．如图，的边在轴上，边交轴于点，，反比例函数过点，且交线段于，，连接，若，则的值为 ．
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，求出C点坐标，再根据相似三角形的性质分别求出D点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CNAE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数上
∴C（2a，）
∴CE=NO=
∵CEDF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF=，
∵D点在函数上
∴D点坐标为（8a，）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式及反比例函数的坐标特点．
3．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
【详解】解：如图，

延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
模块三：k的几何意义面积法
典例精讲
例5．如图，反比例函数的图象交Rt的斜边于点，交直角边于点，点在轴上．若的面积为5，，则的值为 ．
【分析】过点作轴，交轴于点，则和的面积相等，均为，由轴，，得，由，得，从而即可求出的值．
【详解】解：过点作轴，交轴于点，如图所示，
则和的面积相等，均为，
的面积为5，
的面积，
轴，，
，
，
，
，
即，
解得，
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．
例2．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．如图连接，，作于，轴于，．根据，得到，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图连接，，作于，轴于，则．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
跟踪练习
1．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是 ．
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．
【详解】过点E作，则，
∴，
∴
设，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
2．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图像上，延长交轴于点，若，的面积为，则的值为 ．

【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数几何意义，过点作于点，证明，结合等腰三角形性质推出，进而得到，推出的面积，进而得到，根据反比例函数几何意义得到进行求解，即可解题．
【详解】解：过点作于点，
，
，
，
等腰三角形，
，
，
，
，
，
的面积为，
的面积为，
即，
，
，
故答案为：．
3．如图所示，双曲线经过斜边上的点，且满足，与交于点，，求的值.
【答案】8
【分析】过作轴，垂足为,易得，再由相似三角形面积比等于相似比的平方，得到面积比例关系，然后根据反比例函数k的几何意义，用k表示出△AOE和△DOC的面积，得到方程即可求解.
【详解】过作轴，垂足为，则
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵点，分别在双曲线上，
∴.
∴
∴
∴
【点睛】本题考查相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，还综合了反比例函数中k的几何意义，掌握这些性质是解题的关键.

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