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17.2 勾股定理的逆定理 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十七章“勾股定理”17.2节“勾股定理的逆定理”，主要内容包括：理解互逆命题的概念，探索勾股定理逆定理的证明方法，掌握利用三边数量关系判定直角三角形的方法，认识勾股数及其性质。
内容解析
学生已掌握勾股定理（若三角形是直角三角形，则三边满足 ）。本节课从古埃及用绳子画直角的实际问题出发，提出其逆命题（若三边满足 ，则该三角形是直角三角形），通过构造全等三角形完成定理证明，建立几何与代数的逻辑关联。逆定理是判定直角三角形的核心工具，在测量、航海、工程等领域有广泛应用，并为后续学习四边形、相似形奠定推理基础。
二、目标和目标解析
目标
通过生活实例抽象出逆命题猜想，发展数学建模能力；
经历“猜想→构造→证明”的过程，掌握勾股定理逆定理的演绎推理方法，提升逻辑推理能力；
运用逆定理解决方位判断、几何计算等实际问题，强化应用意识；
通过探究勾股数的性质，感悟从特殊到一般的数学思想。
目标解析
学生需从实际问题中抽象出数学模型，理解互逆命题的逻辑关系；通过动手作图、代数运算与几何证明的结合，体会数形统一性；在解决航海方位问题时，能将距离计算转化为三边关系分析，培养空间观念；对勾股数倍数性质的探究，为后续学习数的整除性埋下伏笔。
三、教学问题诊断分析
逻辑关系混淆：学生易将原定理与逆定理的条件结论颠倒，例如误认为“若 ，则不是直角三角形”；
证明思路障碍：构造辅助三角形需逆向思维，部分学生难以想到通过拼接直角三角形验证全等；
实际应用脱节：在方位问题中，难以将距离数据转化为三角形三边关系模型；
勾股数理解片面：易忽略“正整数”前提，或认为非整数比的三边不能构成直角三角形。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 古埃及人用打结的绳子画直角：绳上等距13结，以3结、4结、5结为边长围成三角形，则夹角为直角。为什么这种方法可行？
问题2 三边长分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm的三角形，满足 ，它是直角三角形吗？
问题3 若三角形三边满足 ，能否断定它是直角三角形？
设计意图
通过历史文化背景激发兴趣，引导学生从特殊数值猜想一般规律，体会由具体到抽象的数学思想，对应目标1的建模能力培养。
（二）合作探究1
探究1 观察下列命题：
命题1（勾股定理）：若△ABC是直角三角形（∠C=90°），则 。
命题2：若△ABC满足 ，则∠C=90°。
两者条件与结论有何关系？
答：命题2的条件是命题1的结论，命题2的结论是命题1的条件。这样的两个命题互为逆命题。
追问：命题“对顶角相等”的逆命题是什么？它成立吗？
答：逆命题为“相等的角是对顶角”，不成立（反例：等腰三角形底角）。
（三）巩固练习1
命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是________________，它______（成立/不成立）。
答：两直线平行，同位角相等；成立。
命题“若 ，则 ”的逆命题是________________，它______（成立/不成立）。
答：若 ，则 ；不成立（反例：)。
（四）合作探究2
探究2 如何证明命题2（勾股定理的逆定理）？
已知：△ABC中，（c为最长边）；
求证：∠C=90°。
猜想：通过构造直角三角形验证全等。
验证：
步骤1：作Rt△ABC，使∠C°，BC=a，AC=b；
步骤2：由勾股定理，AB = a + b ；
步骤3：由已知 ，得AB=c；
步骤4：在△ABC与△ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，
∴ △ABC ≌ △ABC（SSS），
∴ ∠C=∠C°。
结论：勾股定理的逆定理成立。
设计意图
通过构造法将代数条件转化为几何直观，渗透数形结合思想，突破证明难点；全等推理过程强化严谨逻辑，对应目标2的能力提升。
（五）典例分析
例1 判断由线段组成的三角形是否为直角三角形：
(1) a=15, b=8, c=17；
(2) a=13, b=14, c=15。
解：
(1) ∵ ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形（最长边c对角为直角）。
(2) ∵ ，
，
∴ ，
∴ 不是直角三角形。
知识点：先比较三边大小，计算较小两边的平方和是否等于最大边的平方。
设计意图
通过正反例题辨析定理条件，强调“最长边对角为直角”这一隐含结论，强化计算规范，对应目标3的应用能力。
（六）巩固练习
下列各组数能否作为直角三角形的三边？
(1) 9, 12, 15
(2) 7, 24, 25
(3) 5, 6, 7
答：
(1) ，能；
(2) ，能；
(3) ，不能。
一艘船以16 n mile/h的速度向东北方向航行，另一艘以12 n mile/h的速度同时出发。1.5小时后，两船相距30 n mile。求第二艘船的航行方向。
解：
第一艘船行程：16 × 1.5 = 24 n mile；
第二艘船行程：12 × 1.5 = 18 n mile；
两船距离：30 n mile。
∵ ，
∴ 两船连线与第一艘船航向夹角为90°。
∵ 东北方向为45°，
∴ 第二艘船航向为西北方向（45° + 90° = 135°，即西偏北45°）。
在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边中线AD=12，求AC。
解：
BD=DC=5（中线性质）；
△ABD中：，，
∴ △ABD为直角三角形（∠ADB=90°）；
△ADC中，AD=12，DC=5，
。
设计意图
分层设置基础题、实际应用题、综合题，巩固定理应用；航海问题培养空间建模能力，中线问题渗透转化思想，对应目标3、4。
（七）归纳总结
核心概念 定义/定理 关键点
互逆命题 若原命题为“若P则Q”，则逆命题为“若Q则P” 逆命题不一定成立
勾股定理逆定理 若 ，则∠C=90° 最长边c对角为直角
勾股数 满足 的正整数组 例：3k, 4k, 5k (k∈N)
（八）感受中考
(2023·江苏) △ABC三边a,b,c满足 ，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
答：B（由非负性得a=5,b=12,c=13，满足 ）
(2024·浙江) 已知点A(1,2), B(4,6), C(0,5)，则△ABC的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形
解：
，
，
，
∵ ，
∴ 钝角三角形（∠C为钝角）。
(2022·北京) 四边形ABCD中，AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, ∠B=90°，则四边形面积为______。
解：
连接AC，则 ；
△ACD中，，
∴ ∠ACD=90°；
面积 = S△ABC + S△ACD = 。
(2023·福建) 若n为正整数，且三边n, n+1, n+2能构成直角三角形，则n=______。
解：
∵ n+2为最大边，
∴ 需满足 ，
解得 ，
，
（舍负）。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识模块 思维方法 应用方向
互逆命题 逻辑关系辨析 命题真伪判断
逆定理证明 构造全等三角形 几何推理能力训练
直角三角形判定 计算平方和并比较 测量、方位问题
勾股数性质 从特殊到一般的归纳 整数解问题
（十）布置作业
必做题
教材习题17.2第1题：判断是否为直角三角形
(1) a=7,b=24,c=25 → 是（）
(2) a=40,b=50,c=60 → 否（）
教材习题17.2第3题：小明向东80m后走60m，再走100m回原点。求第二次行走方向。
解：
三边为60,80,100，满足 ，
第一次向东，第二次需向南或北走60m。
选做题
探索勾股数规律：
(1) 观察3k,4k,5k（k为正整数）是否恒为勾股数？
答：是，∵ 。
(2) 若a,b,c是勾股数，则ak,bk,ck（k∈N）是否恒为勾股数？
答：是，∵ 。
在平面直角坐标系中，点A(0,4), B(2,0)，在x轴上找点C，使△ABC为直角三角形。
解析：
分类讨论：∠A=90°时，C(-2,0)；∠B=90°时，C(2,0)（舍）；∠C=90°时，C(x,0)满足 ，解得 或 （舍）。
五、教学反思
（课后根据实际教学情况填写）

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