资源简介

人教版初中数学八年级下册
第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”中的“19.3 课题学习 选择方案”。主要内容包括：通过实际情境（如上网收费、租车方案等）建立一次函数模型，分析变量之间的关系，利用函数性质解决最优方案选择问题，涉及分段函数的表示、函数图像的比较、不等式与方程的应用。
内容解析
本节课是在学生学习了一次函数的概念、图像和性质的基础上，进一步应用函数模型解决实际决策问题。通过分析不同方案的成本、时间等变量，引导学生将实际问题转化为数学问题，利用函数比较大小、求交点等方法确定最优解。这不仅是函数知识的综合应用，也为后续学习线性规划、决策分析等奠定基础，同时培养学生的数学建模能力和优化意识。
二、目标和目标解析
目标
能根据实际问题中的变量关系建立一次函数模型，特别是分段函数。
通过比较函数值、分析函数图像，掌握方案优劣的判断方法。
综合运用方程、不等式和函数性质解决多变量优化问题。
目标解析
学生通过分析“上网收费” “租车方案”等实际案例，经历“问题抽象→建立模型→求解验证→决策优化”的过程，提升将生活问题数学化的能力。在解决多变量问题时，学会选取关键自变量，用函数描述约束条件，形成通过数学工具优化现实决策的思维模式，为高中学习线性规划和更复杂的优化问题积累经验。
三、教学问题诊断分析
模型建立困难：学生难以从复杂实际背景中抽象出变量关系，尤其对分段函数的定义理解模糊。
多变量分析能力弱：面对多个约束条件（如费用限额、人数要求）时，无法有效整合信息建立函数关系。
应用能力不足：在比较函数图像、求交点时易混淆自变量范围，导致方案选择错误。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1
某家庭需安装宽带，现有三种套餐：
套餐A：月费30元，包25小时，超时每分钟0.05元；
套餐B：月费50元，包50小时，超时每分钟0.05元；
套餐C：月费120元，不限时。
若小明每月上网时间不定，应如何选择最省钱？
问题2
若小明上月上网35小时，分别计算三种套餐的费用，并初步判断哪种可能最省。
问题3
能否用数学方法描述不同上网时间 （小时）与费用 （元）的关系？
设计意图：
通过生活实例激发兴趣，引导学生从定性判断转向定量分析，初步感知函数建模的必要性，对应目标1中的模型建立能力。
（二）合作探究1
探究1
以套餐A为例，分析费用 与时间 的关系：
当 时，；
当 时，超时部分每分钟0.05元（即每小时3元），故 。
追问：
能否将分段关系合并为一个表达式？
答：
（三）巩固练习1
写出套餐B的函数解析式。
答案：
知识点：分段函数定义。
套餐C的函数解析式是什么？
答案：（常函数）。
（四）合作探究2
探究2
在同一坐标系中绘制 的图像（描述关键点）：
：过点 ，，；
：过点 ，，；
：水平线 。
猜想：
通过图像交点判断最优区间。
验证：
解方程求交点：
时： →
时： →
时： →
结论：
时，A最省；
时，B最省；
时，C最省。
设计意图：
通过图像直观和代数求解双验证，强化数形结合思想，提升目标2中的函数分析能力。
（五）典例分析
例1
某学校组织234名学生和6名教师出游，租车费用不超过2300元。车辆信息：
甲种客车：载客45人/辆，租金400元/辆；
乙种客车：载客30人/辆，租金280元/辆。
每辆车需至少1名教师。求最省钱的租车方案。
解：
确定车辆数 ：
总人数240人，每车至少1名教师（共6名），故 （因 ）。
结合教师约束，取 （若 或 ，教师不足）。
建立函数：
设租甲种客车 辆，则乙种客车为 辆。
载客约束： → ；
费用函数：；
费用限额： → 。
综上， 取整数4或5。
比较方案：
：元；
：元。
故选甲种4辆、乙种2辆最省钱。
设计意图：
综合函数、不等式、整数解的应用，训练目标3中的多变量优化能力。
（六）巩固练习
练习1
某健身房收费方案：
方案A：会员费100元/月，每次5元；
方案B：会员费150元/月，每次3元。
每月锻炼多少次时方案B更优惠？
答案：
设次数 ，解 → 。
知识点：函数比较与不等式。
练习2
打印店收费：
方案A：每页0.1元，无底费；
方案B：月费10元，每页0.05元。
每月打印多少页时方案B更省？
答案：
解 → 。
练习3
运输公司租车方案：
大车：载重10吨，运费800元/辆；
小车：载重6吨，运费500元/辆。
现需运62吨货物，如何租车最省钱？
答案：
设大车 辆，小车 辆，则：
枚举得 时 元最优。
设计意图：
分层训练函数建模能力，强化实际问题中的约束整合能力。
（七）归纳总结
问题类型 关键步骤 数学工具
单变量方案比较 1. 分段函数定义 2. 求交点 分段函数、方程
多变量约束优化 1. 确定变量范围 2. 目标函数 不等式组、一次函数
（八）感受中考
(2023·北京)
某快递公司收费：首重10元（1kg内），续重2元/kg。若包裹重 kg（），费用 元为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：分段函数模型。
(2024·浙江)
公园门票方案：
A：成人票40元，儿童票20元；
B：团体票（≥5人）一律30元。
2名成人带3名儿童，选哪种方案省钱？
答案：A方案 元，B方案 元，选A。
(2022·江苏)
某市阶梯电价：月用电≤200度，0.5元/度；>200度部分0.8元/度。小明家某月电费158元，求用电量。
答案：
设用电 度，则：
解得 度。
(2023·四川)
公司采购笔记本，甲店买10送1，单价30元；乙店满100减15元。买55本至少花多少钱？
答案：
甲店：需买50本（送5本），花 元；
乙店：元。
故选乙店。
设计意图：
通过中考真题练习，明确考试方向，熟悉题型，检验学习成果，提升应考能力。
（九）小结梳理
知识模块 核心思想 关联应用
分段函数建模 分类讨论 阶梯收费、快递运费
函数图像比较 数形结合 方案优劣区间分析
多目标优化 约束条件整合 资源分配、成本最小化
（十）布置作业
必做题
教材习题19.3第1题（上网收费方案变式）。
某影院会员卡：A卡年费100元，购票6折；B卡无年费，购票8折。若每年观影 次，票均价40元，分析如何选择。
选做题
某旅行社推出两种优惠：
方案A：成人全价2000元，儿童半价；
方案B：4人以上团体，每人1400元。
现有3名成人、2名儿童，如何购票最省？若增加1名成人，方案是否变化？
五、教学反思
（课后填写）

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