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第8讲 典型应用题（二）
1、植树问题 2
2、方阵问题 6
3、年龄问题 10
4、鸡兔同笼 13
热点考点 考查频率 考点难度
植树问题 ★★ ★★★
方阵问题 ★★ ★★★
年龄问题 ★★ ★★★
鸡兔同笼 ★★★ ★★★
【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。
植树问题
为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题．
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1．
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数．
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1．
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二．
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数．
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数=（每边的棵数-1）×边数．
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数．
例1：
例1：杨老师从一楼办公室到教室上课，每走一层楼有24级台阶，一共走了72级台阶，杨老师到______楼教室上课？
【分析】把楼层与楼层之间的24个台阶看做1个间隔；先求得一共走过了几个间隔：72÷24=3，一楼没有台阶，所以杨老师走到了1+3=4楼．
解：72÷24+1
=3+1
=4（楼）
【解答】杨老师去4楼上课．
故答案为：4．
【点评】因为1楼没有台阶，所以楼层数=1+间隔数．
例2：有48辆彩车排成一列．每辆彩车长4米，彩车之间相隔6米．这列彩车共长多少米？
【分析】根据题意，可以求出车与车的间隔数是48-1=47（个），那么所有的彩车之间的距离和是：47×6=282（米），因为每辆彩车长4米，所有的车长度和是：4×48=192（米），把这两个数加起来就是这列彩车的长度．
【解答】车与车的间隔数是：48-1=47（个），
彩车之间的距离和是：47×6=282（米），
所有的车长度和是：4×48=192（米），
这列彩车共长：282+192=474（米）．
答：这列彩车共长474米．
【点评】根据题意，按照植树问题求出彩车的长，因为每辆彩车还有车长，还要加上所有彩车的车身长，才是这列彩车的总长．
【跟踪训练1】（2024秋 岳麓区期末）小区花园是一个长60米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米．一共要栽（　　）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
【答案】C
【分析】根据长方形的周长公式：C=（a+b）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5米即可，据此解答。
【解答】解：花园的周长是：
（60+40）×2
=100×2
=200（米）
四周可以栽树：
200÷5=40（棵）
答：一共要栽40棵。
故选：C。
【跟踪训练2】（2024秋 宁乡市期末）一根木头长8米，要把它平均锯成4段，每锯下一段需要5分钟，锯完一共要（　　）分钟。
A．20 B．40 C．15 D．25
E．10
【答案】C
【分析】根据题意，要把木头锯成4段，需要锯的次数：4-1=3（次），然后根据锯一次所用时间，求一共用的时间即可。
【解答】解：5×（4-1）
=5×3
=15（分钟）
答：锯完一共要15分钟。
故选：C。
【跟踪训练3】（2025春 怀远县期中）公路一旁，每隔5m栽一棵树，玲玲从第1棵树跑到第260棵树时，跑了 ______m。
【答案】1295。
【分析】此题是典型的植树问题，玲玲从第1棵树跑到第260棵树，相当于植树问题中的两端都栽的情况：间隔数=植树棵数-1；由此即可求得玲玲跑过的间隔数为：260-1=259，每个间隔的距离是5米，由此即可求得玲玲跑的路程。
【解答】解：（260-1）×5
=259×5
=1295（m）
答：跑了1295m。
故答案为：1295。
【跟踪训练4】（2025 金水区模拟）佳佳锯木头，他用12分钟把一根树干锯成了4段，如果保持工作效率不变，要把每段木头再锯成两段，还需要 ______分钟。
【答案】16。
【分析】把一根木头锯成4段，实际上只需要锯4-1=3（下），所以锯一次需要12÷3=4（分钟），现在要求把每段木头再锯成两段，也就是还需要锯4次，则还需要：4×4=16（分钟）；据此解答即可。
【解答】解：12÷（4-1）×4
=12÷3×4
=16（分钟）
答：还需要16分钟。
故答案为：16。
【跟踪训练5】（2025春 邢台期中）小明沿着马路散步，马路一边均匀地竖立着电线杆，每相邻两根之间都是50米。小明从第一根电线杆走到第二十根电线杆处时，他走够1千米了吗？
【答案】没有。
【分析】题目中告诉我们每相邻两根电线杆之间的距离是50米，小明从第一根电线杆走到第二十根电线杆。因此，小明走的总距离是19段电线杆的距离，每段距离是50米。用乘法求出小明走的距离，然后将小明走的总距离与1千米进行比较。
【解答】解：（20-1）×50
=19×50
=950（米）
1千米=1000米
950米＜1000米
答：他没有走够1千米。
【跟踪训练6】（2024秋 海宁市期末）如图，学校在路的一边每隔9米种了一棵树，一共种了8棵。第一棵树与最后一棵树相距多少米？
【答案】63米。
【分析】先用8减1求出间隔数，间隔数乘间隔距离即可求出第一棵树与最后一棵树相距多少米。
【解答】解：（8-1）×9
=7×9
=63（米）
答：第一棵树与最后一棵树相距63米。
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．
数量关系：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4
每边人数=四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2
内边人数=外边人数-层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4．
例1：
例1：四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？
【分析】先根据方阵总人数=每边人数×每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数=每边人数×4-4计算出最外层四周人数即可．
【解答】因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，
7×4-4，
=28-4，
=24（人）；
答：这个方阵的最外层有24人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数；最外层四周点数=每边点数×4-4的灵活应用．
【跟踪训练1】（2024秋 南安市期末）上体育课时，老师让二年（1）班同学排成方阵。天天发现，不管前后左右怎么数，他都是第4个，二年（1）班有（　　）名同学。
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】D
【分析】不管前后左右怎么数，他都是第4个，那么每行每列都有4+4-1=7（人），然后根据“总点数=每边点数×每边点数”解答即可。
【解答】解：4+4-1=7（名）
7×7=49（名）
答：二年（1）班有49名同学。
故选：D。
【跟踪训练2】（2024秋 鹿城区期末）会操表演时，二年级的同学排成了一个正方形队伍，无论是从前往后数还是从后往前数，贝贝都排在第4个，这个方阵一共有（　　）个人。
A．36 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【分析】从前面数，贝贝排在第4个，从后面数，也排在第4个，说明都包括他自己，所以用4加上4求出和，再减去贝贝自己1人求出每行每列的人数，再用乘法解答即可。
【解答】解：4+4-1
=8-1
=7（人）
7×7=49（人）
答：这个方阵一共有49个人。
故选：B。
【跟踪训练3】（2025春 亭湖区期中）为了庆祝节日，中心广场用鸡冠花摆成一个方阵，最外圈是黄色鸡冠花，其余的是红色鸡冠花。红色鸡冠花有16盆，黄色鸡冠花有______盆。
【答案】20。
【分析】如图，
正方形方阵的里面全部都是红色的鸡冠花，且红色鸡冠花的阵型也为正方形，根据红色鸡冠花的数量，可知红色方阵共4行4列，而最外圈均是黄色的鸡冠花，所以整个花坛方阵为6行6列，求出整个花坛共有的鸡冠花盆数，再减去红色的鸡冠花盆数，即可求得黄色的鸡冠花盆数。
【解答】解：4×4=16（盆）
4+1+1=6（盆）
6×6-16
=36-16
=20（盆）
答：黄色的鸡冠花有20盆。
故答案为：20。
【跟踪训练4】（2024秋 阳泉期末）有一个正方形的操场，每边都按7盏路灯，如果四个角上都要按一盏路灯，四边一共按 ______盏路灯。
【答案】24。
【分析】根据方阵每边盏数与四周盏数的关系：四周盏数=（每边盏数-1）×4，代入数据即可解答。
【解答】解：（7-1）×4=24（盏）
答：四边一共按24盏路灯。
故答案为：24。
【跟踪训练5】（2025春 江宁区期中）为了庆祝体育艺术节，学校“啦啦操社团”的学生共排成6个方阵，每个方阵排成4行，每行4人。最外圈是男生，其余的是女生。“啦啦操社团”中男生和女生各多少人？（先画图表示1个方阵的学生，再解答）
【答案】
男生有72人，女生有24人。
【分析】先根据“每边点数×4-4”求出每个方阵男生的人数，再求出女生的人数，最后分别乘6即可。
【解答】解：作图如下：
4×4-4=12（人）
2×2=4（人）
12×6=72（人）
4×6=24（人）
答：男生有72人，女生有24人。
【跟踪训练6】（2025 北碚区）仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？
【答案】44名。
【分析】64=8×8，每相邻的两层相差8人，原来最外层人数=（原计划人数+两层相差人数）÷2，再增加一层时，此时最外层人数=原来最外层人数+每相邻的两层相差人数，由此解答本题。
【解答】解：64=8×8，每相邻的两层相差8人，
（64+8）÷2
=72÷2
=36（名）
36+8=44（名）
答：需要增加44名学生。
年龄问题
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．
例1：
例1：儿子今年6岁，父亲10年前的年龄等于儿子20年后的年龄．当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是在公元哪一年？
【分析】根据题意，可知儿子20年后是6+20=26岁，父亲今年26+10=36岁．根据年龄增长是一样的，找出等量关系列出方程解答即可．
【解答】儿子20年后是6+20=26岁，父亲今年26+10=36岁．
设x年后，父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍．由题意得
36+x=2（x+6）
36+x=2x+12
x=24
由今年是公元2011年，则2011+24=2035，
故当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是公元2035年．
【点评】本题主要是考查年龄问题，首先要把题意弄清，再根据等量关系列出方程解答即可．
【跟踪训练1】（2024秋 鹿城区期末）李老师与平平的年龄和是43岁，3年后李老师和平平的年龄和是（　　）岁。
A．46 B．49 C．40 D．37
【答案】B
【分析】依据题意可知，3年后李老师增加3岁，平平增加3岁，所以两人的年龄和等于现在两人的年龄和加（3+3）岁，由此解答本题。
【解答】解：43+3+3=49（岁）
答：3年后李老师和平平的年龄和是49岁。
故选：B。
【跟踪训练2】（2024秋 哈尔滨期末）小强今年5岁，爸爸的年龄是他的7倍，明年爸爸的年龄是小强的（　　）倍。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，求出小强爸爸今年的年龄，明年父子俩每人都比今年大一岁，根据求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。用爸爸明年的年龄除以小强明年的年龄即可。
【解答】解：5×7=35（岁）
（35+1）÷（5+1）
=36÷6
=6
答：明年爸爸的年龄是小强的6倍。
故选：B。
【跟踪训练3】（2025 黄埔区）小红与哥哥相差几岁不知道，但是知道当哥哥是今年小红年龄时，小红只有3岁，而当小红到了哥哥今年的年龄时，哥哥24岁，则小红今年 ______岁。
【答案】10。
【分析】根据题意，当哥哥是今年小红年龄时，小红只有3岁，而当小红到了哥哥今年的年龄时，哥哥24岁，即哥哥和小红的年龄差的3倍为（24-3）岁，用（24-3）除以3求出兄妹的年龄差，年龄差加3即是小红今年的年龄。
【解答】解：（24-3）÷3+3
=21÷3+3
=7+3
=10（岁）
答：小红今年10岁。
故答案为：10。
【跟踪训练4】（2024秋 南安市期末）奇思的爸爸今年32岁，爷爷比爸爸大27岁，爷爷今年 ______岁；爸爸的岁数是奇思的4倍，奇思今年 ______岁。
【答案】59；8。
【分析】根据求比一个数大几的数，用加法计算，用爸爸的年龄加上爷爷比爸爸大的岁数即可求出爷爷的年龄；求一个数是另一个数的几倍中的另一个数，用除法计算。
【解答】解：32+27=59（岁）
32÷4=8（岁）
答：爷爷今年59岁；奇思今年8岁。
故答案为：59；8。
【跟踪训练5】（2024秋 鹰手营子矿区期末）爷爷今年64岁。小红的年龄是爷爷的，爸爸的年龄是小红的4倍。小红和爸爸各是多少岁？
【分析】根据题意，利用爷爷的年龄×即可求出小红的年龄，再利用小红的年龄×4就是爸爸的年龄，据此解答。
【解答】解：64×=8（岁）
8×4=32（岁）
答：小红8岁，爸爸32岁。
【跟踪训练6】（2024秋 蕉岭县期中）小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍，小红和妈妈分别有多少岁？
【答案】小红8岁，妈妈32岁。
【分析】我们把小红的年龄作为“1”，“妈妈的年龄是小红年龄的4倍”，这样小红和妈妈年龄的和就相当于小红年龄的（4+1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求出1倍是多少，即是小红的年龄，再求妈妈的年龄。
【解答】解：4+1=5
40÷5=8（岁）
8×4=32（岁）
答：小红有8岁，妈妈有32岁。
鸡兔同笼
方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法
公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数
公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数
公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数
公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数
公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数
公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡
公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程）
公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数．
例1：
例1：鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？
【分析】假设全部是兔子，有35×4=140只脚，已知比假设少了：140-94=46只，一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只．
【解答】鸡：（35×4-94）÷（4-2），
=46÷2，
=23（只）；
兔子：35-23=12（只）；
答：鸡有23只，兔子有12只．
【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
例2：班主任王老师，在期末用50元买了2.5元和1.5元的水笔共30支，准备作为优秀作业的奖品．那么2.5元和1.5元的水彩笔各多少支？
【分析】假设30支全是2.5元的水笔，则用30×2.5=75元，这样就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水笔支数，进而得出2.5元的水笔数量．
【解答】1.5元的水笔数量：
25÷（2.5-1.5）
=25÷1
=25（支），
30-25=5（支），
答：2.5元的水彩笔5支，1.5元的水彩笔25支．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．
【跟踪训练1】（2024秋 南安市期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏。星光小学举行投壶比赛，规定：投入壶口得2分，投入壶耳得3分。笑笑一共投进14支箭，总分30分，有（　　）支箭投入壶口。
A．2 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】假设都投中壶耳，利用实际得分与计算得分的差，除以每投中壶口和壶耳得分的差，计算投中壶口的支数即可。
【解答】解：（3×14-30）÷（3-2）
=12÷1
=12（支）
答：有12支投入壶口。
故选：C。
【跟踪训练2】（2024秋 巢湖市期末）组装车间要装配两轮摩托车和三轮摩托车共21辆，需要51个轮胎，两轮摩托车和三轮摩托车的辆数分别是（　　）
A．12和9 B．8和13 C．10和11 D．7和14
【答案】A
【分析】假设都是三轮摩托车，利用计算的轮子数与实际轮子数的差，除以每辆三轮和两轮的差，求两轮摩托车的辆数，再求三轮摩托车的辆数。
【解答】解：（21×3-51）÷（3-2）
=（63-51）÷1
=12（辆）
21-12=9（辆）
答：两轮摩托车有12辆，三轮摩托车有9辆。
故选：A。
【跟踪训练3】（2025春 南京期中）乐乐玩抛硬币游戏，规则是将一枚硬币抛起，落下后，若正面朝上，则向前走5步；若背面朝上，则后退3步。乐乐一共抛了16次，结果向前走了32步，硬币有 ______次正面朝上。
【答案】10。
【分析】假设全部正面朝上，则一共向前走（16×5）步，比实际多走了（16×5-32）步，这多走的步数是把反面朝上看成正面朝上，每走一步多算了（5+3）步，用一共多走的步数除以每走一步多算的步数，就是反面朝上的次数，用总次数减去反面朝上的次数就是正面朝上的次数。
【解答】解：假设全部正面朝上。
（16×5-32）÷（5+3）
=（80-32）÷8
=48÷8
=6（次）
16-6=10（次）
答：硬币有10次正面朝上。
故答案为：10。
【跟踪训练4】（2024秋 沙河口区期末）学校有象棋和跳棋共25副，正好可供82个学生同时进行活动，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，象棋和跳棋各有几副？妙想在用列表法解决这道题的过程中，发现：每增加一副跳棋，减少一副象棋，参加活动的总人数就 ______人，象棋有 ______副，跳棋有 ______副。
【答案】增加4人；17；8。
【分析】假设都是跳棋，则可以让25×6=150（人）同时进行活动，已知比假设少了：150-82=68（人），每增加一副跳棋，减少一副象棋，参加活动的总人数就增加6-2=4（人），则象棋有：68÷4=17（副），跳棋有：25-17=8（副）；据此解答即可。
【解答】解：每增加一副跳棋，减少一副象棋，参加活动的总人数就增加6-2=4（人）；
25×6=150（人）
150-82=68（人）
象棋：68÷4=17（副）
跳棋：25-17=8（副）
答：每增加一副跳棋，减少一副象棋，参加活动的总人数就增加4人，象棋有17副，跳棋有8副。
故答案为：增加4人；17；8。
【跟踪训练5】（2024秋 西安期末）2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
【答案】6组，12组。
【分析】假设18组都是双人合唱，那么参加比赛的学生有（18×2）名，比实际参加比赛的学生多（18×2-30）名，每组单人独唱比每组双人合唱少（2-1）名学生，用比实际多的学生人数除以每组单人独唱比每组双人合唱少的学生人数，即可求出单人独唱的组数，用总组数减去单人独唱的组数，即可求出双人合唱的组数。
【解答】解：单人独唱：（18×2-30）÷（2-1）
=（36-30）÷1
=6÷1
=6（组）
双人合唱：18-6=12（组）
答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。
【跟踪训练6】（2025春 江阴市期中）一个游乐场的门票有两种，儿童票售价40元/张，成人票售价60元/张。王老师购买了7张门票，一共用去380元，两种票各买了多少张？
【答案】成人票5张，儿童票2张。
【分析】假设王老师买的都是儿童票，则一共花了40×7=280（元），比实际少花了380-280=100（元），是因为每张儿童票比成人票便宜60-40=20（元），用比实际少花的钱数除以每张儿童票比成人票便宜的钱数即可求出成人票的张数，进而求出儿童票的张数。
【解答】解：40×7=280（元）
380-280=100（元）
60-40=20（元）
100÷20=5（张）
7-5=2（张）
答：王老师成人票买了5张，儿童票买了2张。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第8讲 典型应用题（二）
1、植树问题 2
2、方阵问题 5
3、年龄问题 7
4、鸡兔同笼 9
热点考点 考查频率 考点难度
植树问题 ★★ ★★★
方阵问题 ★★ ★★★
年龄问题 ★★ ★★★
鸡兔同笼 ★★★ ★★★
【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。
植树问题
为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题．
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1．
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数．
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1．
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二．
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数．
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数=（每边的棵数-1）×边数．
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数．
例1：
例1：杨老师从一楼办公室到教室上课，每走一层楼有24级台阶，一共走了72级台阶，杨老师到______楼教室上课？
【分析】把楼层与楼层之间的24个台阶看做1个间隔；先求得一共走过了几个间隔：72÷24=3，一楼没有台阶，所以杨老师走到了1+3=4楼．
解：72÷24+1
=3+1
=4（楼）
【解答】杨老师去4楼上课．
故答案为：4．
【点评】因为1楼没有台阶，所以楼层数=1+间隔数．
例2：有48辆彩车排成一列．每辆彩车长4米，彩车之间相隔6米．这列彩车共长多少米？
【分析】根据题意，可以求出车与车的间隔数是48-1=47（个），那么所有的彩车之间的距离和是：47×6=282（米），因为每辆彩车长4米，所有的车长度和是：4×48=192（米），把这两个数加起来就是这列彩车的长度．
【解答】车与车的间隔数是：48-1=47（个），
彩车之间的距离和是：47×6=282（米），
所有的车长度和是：4×48=192（米），
这列彩车共长：282+192=474（米）．
答：这列彩车共长474米．
【点评】根据题意，按照植树问题求出彩车的长，因为每辆彩车还有车长，还要加上所有彩车的车身长，才是这列彩车的总长．
【跟踪训练1】（2024秋 岳麓区期末）小区花园是一个长60米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米．一共要栽（　　）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
【跟踪训练2】（2024秋 宁乡市期末）一根木头长8米，要把它平均锯成4段，每锯下一段需要5分钟，锯完一共要（　　）分钟。
A．20 B．40 C．15 D．25
【跟踪训练3】（2025春 怀远县期中）公路一旁，每隔5m栽一棵树，玲玲从第1棵树跑到第260棵树时，跑了 ______m。
【跟踪训练4】（2025 金水区模拟）佳佳锯木头，他用12分钟把一根树干锯成了4段，如果保持工作效率不变，要把每段木头再锯成两段，还需要 ______分钟。
【跟踪训练5】（2025春 邢台期中）小明沿着马路散步，马路一边均匀地竖立着电线杆，每相邻两根之间都是50米。小明从第一根电线杆走到第二十根电线杆处时，他走够1千米了吗？
【跟踪训练6】（2024秋 海宁市期末）如图，学校在路的一边每隔9米种了一棵树，一共种了8棵。第一棵树与最后一棵树相距多少米？
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．
数量关系：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4
每边人数=四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2
内边人数=外边人数-层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4．
例1：
例1：四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？
【分析】先根据方阵总人数=每边人数×每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数=每边人数×4-4计算出最外层四周人数即可．
【解答】因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，
7×4-4，
=28-4，
=24（人）；
答：这个方阵的最外层有24人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数×每边点数；最外层四周点数=每边点数×4-4的灵活应用．
【跟踪训练1】（2024秋 南安市期末）上体育课时，老师让二年（1）班同学排成方阵。天天发现，不管前后左右怎么数，他都是第4个，二年（1）班有（　　）名同学。
A．16 B．25 C．36 D．49
【跟踪训练2】（2024秋 鹿城区期末）会操表演时，二年级的同学排成了一个正方形队伍，无论是从前往后数还是从后往前数，贝贝都排在第4个，这个方阵一共有（　　）个人。
A．36 B．49 C．64 D．81
【跟踪训练3】（2025春 亭湖区期中）为了庆祝节日，中心广场用鸡冠花摆成一个方阵，最外圈是黄色鸡冠花，其余的是红色鸡冠花。红色鸡冠花有16盆，黄色鸡冠花有______盆。
【跟踪训练4】（2024秋 阳泉期末）有一个正方形的操场，每边都按7盏路灯，如果四个角上都要按一盏路灯，四边一共按 ______盏路灯。
【跟踪训练5】（2025春 江宁区期中）为了庆祝体育艺术节，学校“啦啦操社团”的学生共排成6个方阵，每个方阵排成4行，每行4人。最外圈是男生，其余的是女生。“啦啦操社团”中男生和女生各多少人？（先画图表示1个方阵的学生，再解答）
【跟踪训练6】（2025 北碚区）仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？
年龄问题
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．
例1：
例1：儿子今年6岁，父亲10年前的年龄等于儿子20年后的年龄．当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是在公元哪一年？
【分析】根据题意，可知儿子20年后是6+20=26岁，父亲今年26+10=36岁．根据年龄增长是一样的，找出等量关系列出方程解答即可．
【解答】儿子20年后是6+20=26岁，父亲今年26+10=36岁．
设x年后，父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍．由题意得
36+x=2（x+6）
36+x=2x+12
x=24
由今年是公元2011年，则2011+24=2035，
故当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是公元2035年．
【点评】本题主要是考查年龄问题，首先要把题意弄清，再根据等量关系列出方程解答即可．
【跟踪训练1】（2024秋 鹿城区期末）李老师与平平的年龄和是43岁，3年后李老师和平平的年龄和是（　　）岁。
A．46 B．49 C．40 D．37
【跟踪训练2】（2024秋 哈尔滨期末）小强今年5岁，爸爸的年龄是他的7倍，明年爸爸的年龄是小强的（　　）倍。
A．5 B．6 C．7 D．8
【跟踪训练3】（2025 黄埔区）小红与哥哥相差几岁不知道，但是知道当哥哥是今年小红年龄时，小红只有3岁，而当小红到了哥哥今年的年龄时，哥哥24岁，则小红今年 ______岁。
【跟踪训练4】（2024秋 南安市期末）奇思的爸爸今年32岁，爷爷比爸爸大27岁，爷爷今年 ______岁；爸爸的岁数是奇思的4倍，奇思今年 ______岁。
【跟踪训练5】（2024秋 鹰手营子矿区期末）爷爷今年64岁。小红的年龄是爷爷的，爸爸的年龄是小红的4倍。小红和爸爸各是多少岁？
【跟踪训练6】（2024秋 蕉岭县期中）小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍，小红和妈妈分别有多少岁？
鸡兔同笼
方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法
公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数
公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数
公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数
公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数
公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数
公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡
公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程）
公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数．
例1：
例1：鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？
【分析】假设全部是兔子，有35×4=140只脚，已知比假设少了：140-94=46只，一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只．
【解答】鸡：（35×4-94）÷（4-2），
=46÷2，
=23（只）；
兔子：35-23=12（只）；
答：鸡有23只，兔子有12只．
【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
例2：班主任王老师，在期末用50元买了2.5元和1.5元的水笔共30支，准备作为优秀作业的奖品．那么2.5元和1.5元的水彩笔各多少支？
【分析】假设30支全是2.5元的水笔，则用30×2.5=75元，这样就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水笔支数，进而得出2.5元的水笔数量．
【解答】1.5元的水笔数量：
25÷（2.5-1.5）
=25÷1
=25（支），
30-25=5（支），
答：2.5元的水彩笔5支，1.5元的水彩笔25支．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．
【跟踪训练1】（2024秋 南安市期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏。星光小学举行投壶比赛，规定：投入壶口得2分，投入壶耳得3分。笑笑一共投进14支箭，总分30分，有（　　）支箭投入壶口。
A．2 B．10 C．12 D．15
【跟踪训练2】（2024秋 巢湖市期末）组装车间要装配两轮摩托车和三轮摩托车共21辆，需要51个轮胎，两轮摩托车和三轮摩托车的辆数分别是（　　）
A．12和9 B．8和13 C．10和11 D．7和14
【跟踪训练3】（2025春 南京期中）乐乐玩抛硬币游戏，规则是将一枚硬币抛起，落下后，若正面朝上，则向前走5步；若背面朝上，则后退3步。乐乐一共抛了16次，结果向前走了32步，硬币有 ______次正面朝上。
故答案为：10。
【跟踪训练4】（2024秋 沙河口区期末）学校有象棋和跳棋共25副，正好可供82个学生同时进行活动，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，象棋和跳棋各有几副？妙想在用列表法解决这道题的过程中，发现：每增加一副跳棋，减少一副象棋，参加活动的总人数就 ______人，象棋有 ______副，跳棋有 ______副。
【跟踪训练5】（2024秋 西安期末）2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
【跟踪训练6】（2025春 江阴市期中）一个游乐场的门票有两种，儿童票售价40元/张，成人票售价60元/张。王老师购买了7张门票，一共用去380元，两种票各买了多少张？
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