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第9讲 典型应用题（三）
1、牛吃草问题 2
2、平均数问题 5
3、盈亏问题 8
4、逆推问题 10
热点考点 考查频率 考点难度
牛吃草问题 ★ ★★★
平均数问题 ★★ ★★★
盈亏问题 ★★ ★★★
逆推问题 ★★ ★★★
【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。
牛吃草问题
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长出的草的数量．
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量．
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
牛吃草问题常用到四个基本公式：
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度．
这四个公式是解决消长问题的基础．
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．
例1：
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？
【分析】这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．
【解答】设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20-15×10=50．
为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20-10）=10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10=5．
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10-5）×20=100．
那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；
每天生长草量50÷10=5．
原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100．
25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20=5（天）．
答：可供25头牛吃5天．
【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．
这类问题的基本数量关系是：
1、（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草量．
2、牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草．
【跟踪训练1】（2024 苏州）有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部抽水机10小时可以把水抽干，那么用25部同样的抽水机（　　）小时可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8
【跟踪训练2】（2024 泰安模拟）一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃（　　）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
【跟踪训练3】（2024 渝北区）一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃20天后，又增加了2头牛一起吃，则还可以再吃 ______天。（假设每天新长出来的草都一样多）
【跟踪训练4】（2025 重庆模拟）某水库共有10个灌溉闸，当10个灌溉闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，若水库每小时的入库量稳定，问打开8个泄洪闸时，需要 ______小时可将水位降至安全水位。
【跟踪训练5】（2025 金水区模拟）某超市9时开门营业，开门前就有人等候入场。如果从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数一样多。那么开4个门，等候的人要全部进入超市要8分钟；开6个门，等候的人要全部进入商场要4分钟。问：第一个顾客到达的时间是几时几分？
【跟踪训练6】（2025 黄埔区）有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水，后来，想打开出水管，使池内的水全部排光，如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根水管，则需6小时才能排尽池内的水，若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开几根出水管？
平均数问题
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．
例1：
例1：在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时，后3天平均每天在一线工作15小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
【分析】根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求的答案．
【解答】（74+15×3）÷（4+3），
=（74+45）÷7，
=119÷7，
=17（小时）；
答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作17小时．
【点评】此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克，乙种糖果3千克，丙种糖果5千克混合在一起，问买2千克这种混合糖果需多少元？
【分析】用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价，再用平均价乘2千克就是要求的答案．
【解答】甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
=126÷12，
=10.5（元），
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2=21（元），
答：买2千克这种混合糖果需21元．
【点评】解答此题的关键是根据平均数的意义，先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价，那2千克混合糖的价钱即可求出．
【跟踪训练1】（2024 南湖区）明明计算13个自然数的平均数，保留两位小数是12.44，老师告诉他百分位上的数字是错误的。正确的平均数是（　　）
A．12.48 B．12.47 C．12.46 D．12.45
【跟踪训练2】（2024 舞钢市）甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为（　　）分．
A．a+6 B．4a+1.5 C．4a+6 D．a+1.5
【跟踪训练3】（2024 渝北区）甲乙两人拿出同样多的钱合买一段花布，原约定各拿花布一样多，结果甲拿了6尺，乙拿了14尺，这样，乙就给甲2元钱，每尺花布单价 ______元。
【跟踪训练4】（2024秋 宿城区期末）一个大西瓜，需要2只小猴一起抬。3只小猴要把西瓜从离家300米远的地方抬回家，平均每只小猴要抬 ______米。
【跟踪训练5】（2024 重庆模拟）六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
【跟踪训练6】（2024秋 罗湖区期末）猴爸给猴哥和两个猴弟分一些桃子。它把这些桃子平均分成7份，猴哥得3份，弟弟各得2份，猴哥嫌分的少不开心。猴爸又重新把这些桃子平均分成14份，猴哥得6份，弟弟各得4份。猴哥开心的笑了，猴爸也笑了。猴哥分到桃子个数多了吗？请说明理由。
盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题．
解盈亏问题的公式
一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差
双盈的解法：（大盈-小盈）÷两次每人分配数的差
双亏的解法：（大亏-小亏）÷两次每人分配数的差．
例1：
例1：小红给房里的人分饼干，如果其中3人每人分4块，其余每人分2块，还多出4块．如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块．问房间里有多少人？
【分析】如果其中有3个人每人分4块，其余每人分2块，就多了4块糖，也就是如果每人都分2块，就多了3×（4-2）+4=10块糖；如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块，即如果每人都分3块的话，则缺12-2×（6-3）=6块；即盈10，亏6，两次分配的差为3-2，则共有（10+6）÷（3-2）=16人．
【解答】[3×（4-2）+4]+[12-2×（6-3）]
=[6+4]+[12-6]，
=10+6，
=16（块）；
16÷（3-2），
=16÷1，
=16（人）；
答：房间内共有16人．
【点评】由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键．
【跟踪训练1】（2024 鸡西）篮球联赛要安排男运动员住宿，当房间数一定时，每个房间住3人，则有36人没床位；每个房间住4人，则有13人没床位。如果每个房间住5人，还空（　　）个房间。
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟踪训练2】（2023秋 渝中区期末）动漫节上，张叔叔准备购买蜘蛛侠模型，如果买6个，还剩20元；如果买8个，就缺220元，每个蜘蛛侠模型（　　）元。
A．140 B．120 C．100 D．80
【跟踪训练3】（2025春 泗洪县期中）将一些钢笔作为奖品分到优秀同学，如果每个同学分得8支钢笔就会多6支钢笔；如果每个同学分得9支钢笔就会缺2支钢笔。这些钢笔至少有 ______支。
【跟踪训练4】（2025春 日照期中）秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，则多出48个萝卜；如果每天吃6个，则多出8个萝卜，小白兔收获的萝卜有 ______个。
【跟踪训练5】（2024秋 余杭区期末）琦琦妈妈去超市买牛肉，她带的钱如果买2千克牛肉，那么还剩下56.4元；如果买4千克牛肉，那么还差37.2元，每千克牛肉多少钱？琦琦妈妈带了多少钱？
【跟踪训练6】（2024秋 费县期中）明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；如果每人出7元，就多出了4元，那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕多少钱？
逆推问题
1．逆推问题内容：
逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算．
2．解题方法：
（1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义．
（2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义．
例1：
例1：一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下2米．原来绳长______米．
【分析】根据题干分析可得，这根绳子的一半就是4+2=6米，据此再乘2就是绳子的长度．
解：（4+2）×2=12（米）；
【解答】这根绳子原来长12米．
故答案为：12．
【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．
例2：老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋______个．
【分析】根据最后篮内的鸡蛋个数是0，那第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×（0+），第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（0+）+]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出．
【解答】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个），
第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×=3（个），
第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×=7（个），
原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×=15（个），
答：篮中原有鸡蛋15个，
故答案为：15．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，运用逆推的方法，求出每次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，由此即可得出答案．
【解题思路】：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理．
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算．
③列式时注意运算顺序，正确使用括号．
【跟踪训练1】（2025春 信都区校级期中）打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（　　）
21+56-■=69
△×15-17=73
A．868 B．767 C．898 D．686
【跟踪训练2】（2024秋 鹿城区期末）哥哥有8张画片，将哥哥的画片数乘4再加上6的结果就是弟弟的画片数，弟弟给哥哥（　　）张画片后，弟弟的画片就比哥哥的画片少2张。
A．14 B．15 C．16 D．17
【跟踪训练3】（2024秋 灞桥区期末）食堂叔叔用小推车为各班配送酸奶。给三年级送去小推车上酸奶的一半，给四年级送去剩下的一半，此时小推车上还剩下8盒。原来小推车上的酸奶一共有 ______盒。
【跟踪训练4】（2024春 北仑区校级期中）仓库里有一批粮食，第一天运出全部粮食的一半多10吨，第二天又运出余下的一半多10吨，这时仓库还剩下40吨，仓库里原来有粮食 ______吨。
【跟踪训练5】（2025春 兴化市期中）学校举办图书捐赠活动，小林整理自己的藏书准备捐赠。他先将图书平均分成4堆，打算把其中三堆分别捐赠给三个贫困地区的学校。然后，他把剩下的那一堆图书又平均分成3份，拿出两份送给了学校图书馆，这时他自己还剩下40本书。小林原来整理的藏书一共多少本？
【跟踪训练6】（2025 重庆模拟）幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第9讲 典型应用题（三）
1、牛吃草问题 2
2、平均数问题 8
3、盈亏问题 12
4、逆推问题 16
热点考点 考查频率 考点难度
牛吃草问题 ★ ★★★
平均数问题 ★★ ★★★
盈亏问题 ★★ ★★★
逆推问题 ★★ ★★★
【考情分析】典型应用题是小升初数学考试的核心模块，占比约 30%~40%，主要考查学生 阅读理解能力、数学建模能力、逻辑分析能力 以及 计算准确性。题目涉及 生活场景、经济问题、行程问题、工程问题、比例问题 等，难度中等偏上，是区分学生数学能力的关键题型。
牛吃草问题
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长出的草的数量．
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量．
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
牛吃草问题常用到四个基本公式：
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度．
这四个公式是解决消长问题的基础．
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．
例1：
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？
【分析】这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．
【解答】设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20-15×10=50．
为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20-10）=10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10=5．
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10-5）×20=100．
那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；
每天生长草量50÷10=5．
原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100．
25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20=5（天）．
答：可供25头牛吃5天．
【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．
这类问题的基本数量关系是：
1、（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草量．
2、牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草．
【跟踪训练1】（2024 苏州）有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部抽水机10小时可以把水抽干，那么用25部同样的抽水机（　　）小时可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设每部抽水机每小时能抽泉水1份，每小时涌出的泉水量为：（20×10-15×10）÷（20-10）=5（份）；泉中原有的水量为：20×10-20×5=100（份）；25部抽水机拿出5部抽每小时涌出的5份的泉水，剩下的20台抽泉中原有的水量，所需时间为：100÷20=5（小时），即为所求问题．
【解答】解：（20×10-15×10）÷（20-10）
=50÷10
=5（份）
20×10-20×5
=200-100
=100（份）
100÷（25-5）
=100÷20
=5（小时）
答：用25台这样的抽水机5小时可以把水抽干．
故选：A。
【跟踪训练2】（2024 泰安模拟）一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃（　　）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，设每头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供30头羊吃的天数．
【解答】解：设每头羊每天吃“1”份草，
每天新生草量为：
（10×20-15×10）÷（20-10），
=（200-150）÷10，
=50÷10，
=5（份）；
原有草量为：
20×10-5×20=100（份），
30头羊吃的天数：
100÷（30-5），
=100÷25，
=4（天）；
答：这片牧草可供30头羊吃4天，
故选：C．
【跟踪训练3】（2024 渝北区）一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃20天后，又增加了2头牛一起吃，则还可以再吃 ______天。（假设每天新长出来的草都一样多）
【答案】12。
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（40×4-5×30）÷（40-30）=1（份）；然后求出草地原有的草的份数：5×30-1×30=120（份）；每天增加的1份，相当于1头牛吃；4头牛吃20天还剩原有的120-（4-1）×20=60（份），那么还可吃：60÷（4+2-1）=12（天）；据此解答即可。
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（40×4-5×30）÷（40-30）
=10÷10
=1（份）
草地原有的草的份数：
5×30-1×30
=150-30
=120（份）
还剩原有的：
120-（4-1）×20
=120-60
=60（份）
还可吃：60÷（4+2-1）
=60÷5
=12（天）
答：还可以再吃12天。
故答案为：12。
【跟踪训练4】（2025 重庆模拟）某水库共有10个灌溉闸，当10个灌溉闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，若水库每小时的入库量稳定，问打开8个泄洪闸时，需要 ______小时可将水位降至安全水位。
【答案】12。
【分析】此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪闸每小时泄洪的量为1份，则水库每小时增加的水量为（6×24-8×10）÷（24-8）=4（份），原有的水量超过安水位的部分有（10-4）×8=48（份），如果要打开8个泄洪闸时，需要48÷（8-4）=12小时可将水位降至安全水位；据此解答即可。
【解答】解：假设每个泄洪闸每小时泄洪的量为1份。
（6×24-8×10）÷（24-8）
=64÷16
=4（份）
（10-4）×8
=6×8
=48（份）
48÷（8-4）
=48÷4
=12（小时）
答：打开8个泄洪闸时，需要12小时可将水位降至安全水位。
故答案为：12。
【跟踪训练5】（2025 金水区模拟）某超市9时开门营业，开门前就有人等候入场。如果从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数一样多。那么开4个门，等候的人要全部进入超市要8分钟；开6个门，等候的人要全部进入商场要4分钟。问：第一个顾客到达的时间是几时几分？
【答案】8时52分。
【分析】假设每个门每分钟进1人。4个门8分钟进的人数与6个门4分钟进的人数差是4分钟里进来的人数，即每分钟来2人，那么开门前已经来的人数为4×1×8-8×2=16（人），第一个顾客到达的时间是开门的8分钟前，即8时52分。
【解答】解：假设每个门每分钟进1人。
（4×1×8-6×1×4）÷（8-4）
=8÷4
=2（人）
4×1×8-8×2=16（人）
16÷2=8（分钟）
9时-8分钟=8时52分
答：第一个顾客到达的时间是8时52分。
【跟踪训练6】（2025 黄埔区）有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水，后来，想打开出水管，使池内的水全部排光，如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根水管，则需6小时才能排尽池内的水，若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开几根出水管？
【答案】6根。
【分析】设打开1根出水管每小时可排水1份，8根出水管开3小时共排出8×3=24（份），5根出水管6小时共排出5×6=30（份），30-24=6（份），这6份就是6-3=3（小时）内进水管放进的水，所以进水管每小时进的水是：（30-24）÷（6-3）=2（份）。据此分析就可以解答。
【解答】解：设打开1根出水管每小时可排水1份。
（5×6-8×3）÷（6-3）
=（30-24）÷3
=6÷3
=2（份）
[8×3+（4.5-3）×2]÷4.5
=[24+3]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
或[5×6-（6-4.5）×2]÷4.5
=[30-3]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
答：应该同时打开6根出水管。
平均数问题
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．
例1：
例1：在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时，后3天平均每天在一线工作15小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
【分析】根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求的答案．
【解答】（74+15×3）÷（4+3），
=（74+45）÷7，
=119÷7，
=17（小时）；
答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作17小时．
【点评】此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克，乙种糖果3千克，丙种糖果5千克混合在一起，问买2千克这种混合糖果需多少元？
【分析】用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价，再用平均价乘2千克就是要求的答案．
【解答】甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
=126÷12，
=10.5（元），
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2=21（元），
答：买2千克这种混合糖果需21元．
【点评】解答此题的关键是根据平均数的意义，先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价，那2千克混合糖的价钱即可求出．
【跟踪训练1】（2024 南湖区）明明计算13个自然数的平均数，保留两位小数是12.44，老师告诉他百分位上的数字是错误的。正确的平均数是（　　）
A．12.48 B．12.47 C．12.46 D．12.45
【答案】C
【分析】根据自然数都是整数，可知13个自然数的和一定是整数，又因为12.40×13=161.2，12.49×13=162.37，161.2和162.37之间的整数只能是162，用162÷13，即可求出正确的平均数是多少。
【解答】解：12.40×13=161.2，12.49×13=162.37，161.2和162.37之间的整数只能是162。
162÷13≈12.46
答：正确的平均数是12.46。
故选：C。
【跟踪训练2】（2024 舞钢市）甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为（　　）分．
A．a+6 B．4a+1.5 C．4a+6 D．a+1.5
【答案】D
【分析】由题意得：甲加乙总分为2a,丙的成绩为a+9，丁的成绩为a-3，因此他们四人的平均成绩为（2a+a+9+a-3）÷4，据此解答．
【解答】解：（2a+a+9+a-3）÷4
=（4a+6）÷4
=a+1.5
答：他们四人的平均成绩为（a+1.5）分．
故选：D。
【跟踪训练3】（2024 渝北区）甲乙两人拿出同样多的钱合买一段花布，原约定各拿花布一样多，结果甲拿了6尺，乙拿了14尺，这样，乙就给甲2元钱，每尺花布单价 ______元。
【答案】0.5。
【分析】根据题干，甲乙两人共买了6+14=20（尺），按同样多的钱数来算甲乙两人应该每人拿10尺，结果乙比甲多拿了14-10=4尺，可得这4尺的价格是2元，由此即可求出每尺花布的单价。
【解答】解：2÷[14-（14+6）÷2]
=2÷[14-20÷2]
=2÷[14-10]
=2÷4
=0.5（元）
答：每尺花布单价0.5元。
故答案为：0.5。
【跟踪训练4】（2024秋 宿城区期末）一个大西瓜，需要2只小猴一起抬。3只小猴要把西瓜从离家300米远的地方抬回家，平均每只小猴要抬 ______米。
【答案】200。
【分析】由题意可知，一个西瓜需要2只猴子一起抬，那么2只猴子抬西瓜走的总路程为（300×2）米，而总路程需要3只猴子轮流走，所以用总的路程除以小猴子的总只数，即可求出平均每只猴子要抬的米数；依此解答。
【解答】解：300×2=600（米）
600÷3=200（米），即平均每只小猴要抬200米。
答：平均每只小猴要抬200米。
故答案为：200。
【跟踪训练5】（2024 重庆模拟）六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
【答案】21名；24名。
【分析】本题切入点是平均数的移多补少，男生平均分多出的分数×男生人数=女生平均分少的分数×女生人数。
【解答】解：男生与女生的人数比是（3.6-3.25）：（4-3.6）=7：8
因为全班的人数多于30人，少于50人，
所以全班的人数是（7+8）×3=45（人）。
有男生7×3=21（名）
有女生8×3=24（名）
答：有21名男生和24名女生参加了测验。
【跟踪训练6】（2024秋 罗湖区期末）猴爸给猴哥和两个猴弟分一些桃子。它把这些桃子平均分成7份，猴哥得3份，弟弟各得2份，猴哥嫌分的少不开心。猴爸又重新把这些桃子平均分成14份，猴哥得6份，弟弟各得4份。猴哥开心的笑了，猴爸也笑了。猴哥分到桃子个数多了吗？请说明理由。
【答案】没多，因为=。
【分析】用分数表示出两次分法中猴哥分别分得几分之几，再比较两个分数的大小即可。
【解答】解：把这些桃子平均分成7份，猴哥得3份，用分数表示为，把这些桃子平均分成14份，猴哥得6份，用分数表示为，=，所以猴哥分到桃子个数没多。
盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题．
解盈亏问题的公式
一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差
双盈的解法：（大盈-小盈）÷两次每人分配数的差
双亏的解法：（大亏-小亏）÷两次每人分配数的差．
例1：
例1：小红给房里的人分饼干，如果其中3人每人分4块，其余每人分2块，还多出4块．如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块．问房间里有多少人？
【分析】如果其中有3个人每人分4块，其余每人分2块，就多了4块糖，也就是如果每人都分2块，就多了3×（4-2）+4=10块糖；如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块，即如果每人都分3块的话，则缺12-2×（6-3）=6块；即盈10，亏6，两次分配的差为3-2，则共有（10+6）÷（3-2）=16人．
【解答】[3×（4-2）+4]+[12-2×（6-3）]
=[6+4]+[12-6]，
=10+6，
=16（块）；
16÷（3-2），
=16÷1，
=16（人）；
答：房间内共有16人．
【点评】由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键．
【跟踪训练1】（2024 鸡西）篮球联赛要安排男运动员住宿，当房间数一定时，每个房间住3人，则有36人没床位；每个房间住4人，则有13人没床位。如果每个房间住5人，还空（　　）个房间。
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意可得：每个房间多住（4-3）人，能多住36-13=23（人），用23÷1=23得出房间的个数；然后根据“每个房间住3人，则36人没床位”，用23×3+36计算出运动员一共有多少人；进而算出每个房间住5人，需要几个房间，最后算出空几个房间。
【解答】解：（36-13）÷（4-3）
=23÷1
=23（个）
23-（23×3+36）÷5
=23-21
=2（个）
答：还空2个房间。
故选：C。
【跟踪训练2】（2023秋 渝中区期末）动漫节上，张叔叔准备购买蜘蛛侠模型，如果买6个，还剩20元；如果买8个，就缺220元，每个蜘蛛侠模型（　　）元。
A．140 B．120 C．100 D．80
【答案】B
【分析】多买（8-6）个，金额就从剩20元到缺220元，说明每个蜘蛛模型的单价为（20+220）÷（8-6），据此选择。
【解答】解：（20+220）÷（8-6）
=240÷2
=120（元）
答：每个蜘蛛模型120元。
故选：B。
【跟踪训练3】（2025春 泗洪县期中）将一些钢笔作为奖品分到优秀同学，如果每个同学分得8支钢笔就会多6支钢笔；如果每个同学分得9支钢笔就会缺2支钢笔。这些钢笔至少有 ______支。
【答案】70。
【分析】根据解盈亏问题的方法：盈数加上亏数后除以两次分配差即可求出人数，进而求出钢笔的支数。
【解答】解：（6+2）÷（9-8）
=8÷1
=8（人）
8×8+6
=64+6
=70（支）
答：这些钢笔至少有70支。
故答案为：70。
【跟踪训练4】（2025春 日照期中）秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，则多出48个萝卜；如果每天吃6个，则多出8个萝卜，小白兔收获的萝卜有 ______个。
【答案】128。
【分析】本题可通过两种吃法下萝卜剩余数量的差以及每天吃萝卜数量的差，先求出计划吃的天数，再根据其中一种吃法求出萝卜总数。这是典型的盈亏问题，关键在于找出数量差与分配差的关系。
【解答】解：两种吃法下，萝卜剩余数量的差为：48-8=40（个）
每天吃萝卜数量的差为：6-4=2（个）根据公式“天数=剩余数差+天吃的数量差”，可得计划吃的天数为：40÷2=20（天）根据“如果每天吃4个，则多出48个萝卜”，萝卜总数为：4×20+48=80+48=128（个）
答：小白兔收获的萝卜有128个。
故答案为：128。
【跟踪训练5】（2024秋 余杭区期末）琦琦妈妈去超市买牛肉，她带的钱如果买2千克牛肉，那么还剩下56.4元；如果买4千克牛肉，那么还差37.2元，每千克牛肉多少钱？琦琦妈妈带了多少钱？
【答案】46.8元，150元。
【分析】根据题意，设每千克牛肉x元，结合“单价×数量=总价”，妈妈带的钱数是（2x+56.4）元，据此结合买4千克牛肉，还差37.2元，列方程解答即可。
【解答】解：设每千克牛肉x元。
2x+56.4=4x-37.2
2x=93.6
x=46.8
2x+56.4
=46.8×2+56.4
=93.6+56.4
=150（元）
答：每千克牛肉46.8元，琦琦妈妈带了150元。
【跟踪训练6】（2024秋 费县期中）明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；如果每人出7元，就多出了4元，那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕多少钱？
【答案】4个；24元。
【分析】买蛋糕的总差额是：8-4=4（元），两次的每份的差额是：8-7=1（元），根据“总差额÷每份的差额=总人数”，列式为：4÷1=4（人）；那么蛋糕的价钱是：8×4-8=24（元），据此解答。
【解答】解：人数：（8-4）÷（8-7），
=4÷1，
=4（人）；
书：8×4-8=24（元）；
答：有4个同学去买蛋糕，这个蛋糕的价钱是24元。
逆推问题
1．逆推问题内容：
逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算．
2．解题方法：
（1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义．
（2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义．
例1：
例1：一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下2米．原来绳长______米．
【分析】根据题干分析可得，这根绳子的一半就是4+2=6米，据此再乘2就是绳子的长度．
解：（4+2）×2=12（米）；
【解答】这根绳子原来长12米．
故答案为：12．
【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．
例2：老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋______个．
【分析】根据最后篮内的鸡蛋个数是0，那第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×（0+），第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（0+）+]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出．
【解答】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个），
第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×=3（个），
第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×=7（个），
原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×=15（个），
答：篮中原有鸡蛋15个，
故答案为：15．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，运用逆推的方法，求出每次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，由此即可得出答案．
【解题思路】：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理．
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算．
③列式时注意运算顺序，正确使用括号．
【跟踪训练1】（2025春 信都区校级期中）打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（　　）
21+56-■=69
△×15-17=73
A．868 B．767 C．898 D．686
【答案】A
【分析】根据加减乘除的逆运算从最后的结果逆推即可。
【解答】解：■=21+56-69
=77-69
=8
△=（73+17）÷15
=90÷15
=6
所以知识大门的密码■△■是868。
故选：A。
【跟踪训练2】（2024秋 鹿城区期末）哥哥有8张画片，将哥哥的画片数乘4再加上6的结果就是弟弟的画片数，弟弟给哥哥（　　）张画片后，弟弟的画片就比哥哥的画片少2张。
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】用哥哥的画片数乘4再加上6求出弟弟原来的画片数，无论谁给谁画片，两个人画片的总张数是不变的，将两个人的画片张数相加求出总张数，再减去少的两张，后除以2就是弟弟现在的张数，再用弟弟原来的张数减去弟弟现在的张数。
【解答】解：8×4+6=38（张）
38+8=46（张）
46-2=44（张）
44÷2=22（张）
38-22=16（张）
答：弟弟给哥哥16张画片后，弟弟的画片就比哥哥的画片少2张。
故选：C。
【跟踪训练3】（2024秋 灞桥区期末）食堂叔叔用小推车为各班配送酸奶。给三年级送去小推车上酸奶的一半，给四年级送去剩下的一半，此时小推车上还剩下8盒。原来小推车上的酸奶一共有 ______盒。
【分析】用剩下的8盒乘2计算四年级分之前的盒数，再乘2计算三年级分之前的盒数即可。
【解答】解：8×2×2
=16×2
=32（盒）
答：原来小推车上的酸奶一共有32盒。
故答案为：32。
【跟踪训练4】（2024春 北仑区校级期中）仓库里有一批粮食，第一天运出全部粮食的一半多10吨，第二天又运出余下的一半多10吨，这时仓库还剩下40吨，仓库里原来有粮食 ______吨。
【分析】根据逆推法计算每次运之前的吨数即可。
【解答】解：[（40+10）×2+10]×2
=[100+10]×2
=110×2
=220（吨）
答：仓库里原来有粮食220吨。
故答案为：220。
【跟踪训练5】（2025春 兴化市期中）学校举办图书捐赠活动，小林整理自己的藏书准备捐赠。他先将图书平均分成4堆，打算把其中三堆分别捐赠给三个贫困地区的学校。然后，他把剩下的那一堆图书又平均分成3份，拿出两份送给了学校图书馆，这时他自己还剩下40本书。小林原来整理的藏书一共多少本？
【答案】4800本。
【分析】他把剩下的那一堆图书又平均分成3份，拿出两份送给了学校图书馆，这时他自己还剩下40本书。这40本相当于1份的数量，然后乘3求出每堆的本数，再乘4即可。
【解答】解：40×3×4
=120×4
=480（本）
答：小林原来整理的藏书一共480本。
【跟踪训练6】（2025 重庆模拟）幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？
【答案】52千克。
【分析】利用逆推法，用6千克加上千克，再乘2，计算分给小托班前剩余的质量；再乘2，计算分给小班之前的质量；再加上千克后除以（1-），就是分给中班前的质量；最后减去千克后，再除以（1-），就是这批水果的质量。
【解答】解：{[（6+）×2×2]÷（1-）-}÷（1-）
={[6.5×4+]÷-}÷
={26.5}
=
=52（千克）
答：这批水果有52千克。
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