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第12讲 平行与垂直
1、平行的概念 2
2、垂直与平行的特征及性质 4
3、过直线外一点作已知直线的平行线 7
4、相交与垂直 12
5、过直线上或直线外一点作直线的垂线 14
热点考点 考查频率 考点难度
平行的概念 ★★ ★★
垂直与平行的特征及性质 ★★★★ ★★
过直线外一点作已知直线的平行线 ★★★ ★★★
相交与垂直 ★★★★ ★★★
过直线上或直线外一点作直线的垂线 ★★★ ★★★
【考情分析】平行与垂直是小学几何的核心内容，也是初中几何学习的重要基础。在小升初考试中，该部分占比约 10%~15%，题型涵盖 选择题、判断题、作图题、应用题 等，主要考查学生的 空间观念、几何直观和逻辑推理能力。虽然题目难度中等，但容易因概念混淆或作图不规范失分。
平行的概念
1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。
2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
3.定理：平行线间的距离处处相等。
4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
这个需要我们和垂直公理进行辨析。
5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。
这个可以用来判定两条直线平行。
例1：
例1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．√．（判断对错）
【解答】√
例2.在一张纸上画甲、乙、丙三条直线，甲和乙都是丙的垂线，那么甲、乙两条直线（　　）
A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直又不平行
【解答】B
例3.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行．×．（判断对错）
解：两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内；
【解答】×．
【跟踪训练1】下面各组直线中，互相平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此解答。
【解答】解：
两条直线互相平行。
故选：D。
【跟踪训练2】只有一组平行线的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，而长方形有2组平行线，六边形有3组平行线，三角形没有平行线；据此解答即可。
【解答】解：只有一组平行线的图形是梯形。
故选：B。
【跟踪训练3】（2024秋 法库县月考）火车道上的两条铁轨是互相 ______的。
【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；由此解答即可。
【解答】解：根据平行线的含义可知：火车道上的两条铁轨是互相平行。
故答案为：平行。
【跟踪训练4】（2023秋 沈丘县期末）一般情况下，两条路互相 ______的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相 ______的白线组成的斑马线。
【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。
【解答】解：一般情况下，两条路互相垂直的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相平行的白线组成的斑马线。
故答案为：垂直，平行。
【跟踪训练5】（2024秋 番禺区期末）如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小棒一定互相平行______．
【分析】如果把两根小棒都摆成和第棒垂直，如果两根小棒在第三根小棒的异侧，且它们在互相的反向延长线上，则它们在同一条直线上．据此解答．
【解答】解：根据分析两根小棒的位置可能如图：
故答案为：×．
【跟踪训练6】（2024 新建区）不相交的两条直线是平行线．______．（判断对错）
【答案】×
【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，
故答案为：×．
垂直与平行的特征及性质
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
例1：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
【解答】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线．______．（判断对错）
【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
【解答】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
【跟踪训练1】（2024秋 望花区期末）两条平行线之间的（　　）都相等。
A．线段 B．射线 C．垂直的线段 D．斜线
【答案】C
【分析】垂直和平行的性质：两条平行线之间的距离都相等，即垂线段长度相等。进而得出结论。
【解答】解：两条平行线之间的垂直的线段都相等。
故选：C。
【跟踪训练2】（2024秋 禅城区期末）在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁（　　）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交
【答案】A
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线，垂直于同一条直线的两直线平行。
【解答】解：在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁互相平行。
故选：A。
【跟踪训练3】（2024秋 大观区期末）在同一平面内，相交成直角的两条直线互相 ______，垂直于同一条直线的两条直线互相 ______。
【答案】垂直，平行。
【分析】本题根据直线相交与垂直、平行的相关知识分析作答：同一平面内，两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
【解答】解：在同一平面内，相交成直角的两条直线互相垂直，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
故答案为：垂直，平行。
【跟踪训练4】（2024秋 长沙期末）在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相 ______。
【答案】平行。
【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。
【解答】解：在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相平行。
故答案为：平行。
【跟踪训练5】（2024秋 李沧区期末）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．______．（判断对错）
【答案】见试题解答内容
【分析】同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此解答．
【解答】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知，
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的说法是正确的；
故答案为：√．
【跟踪训练6】（2024秋 保康县期末）两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。 ______（判断对错）
【答案】√。
【分析】直线a与直线c互相垂直，直线b与直线c互相垂直，把直线b与直线a延长后，永不会相交，而在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，由此可知直线b与直线a互相平行。
【解答】解：两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。故原题说法正确。
故答案为：√。
过直线外一点作已知直线的平行线
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
例1：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　）
A、1条 B、2条 C、无数条
【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
【解答】过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
【分析】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
【解答】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
【跟踪训练1】（2024秋 白云区期末）（如图）过点P可以画（　　）条b的平行线。
A．0条 B．1条 C．无数条
【答案】B
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此解答。
【解答】解：如上图，过点P可以画1条b的平行线。
故选：B。
【跟踪训练2】（2024秋 翔安区期末）画一组平行线，下面画法正确的是（　　）
A．①②③ B．①④ C．②④ D．①②
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，据此性质选择解答。
【解答】解：分析可知，画一组平行线，画法正确的是①②③。
故选：A。
【跟踪训练3】（2024秋 南安市期中）通过一点能画 ______条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画 ______条。
【答案】无数，一。
【分析】根据直线的特征，过一点能画无数条直线。根据平行的性质，过直线外一点画已知直线的平行线，有且只有一条直线与已知直线平行，据此解答即可。
【解答】解：过一点能画无数条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画一条。
故答案为：无数，一。
【跟踪训练4】（2023秋 仪征市期末）如图是四边形ABDC。经过点A画BD边的平行线。经过点C向AB边画出垂线，点C到AB边的距离是 ______毫米。
【答案】
19。
【分析】过点A画BD边的平行线：把三角板的一边与BD边重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与BD边重合的一边经过已知点A时，沿这边画直线即可；
过点C向AB边画出垂线：把三角板的一直角边与AB重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点C时，沿这条直角边画直线，最后表上直角符号；
用直尺测量出点C到AB边的垂线段的长度，即为点C到AB边的距离。
【解答】解：画图如下：
点C到AB边的距离是19毫米。
故答案为：19。
【跟踪训练5】（2024秋 寿光市期末）在点子图上画出已知直线的平行线。
【答案】
（画法不唯一）。
【分析】根据平行线的意义，在同一平面内永不相交的两条直线互相平行，即在点子图上画出已知直线的平行线。
【解答】解：画图如下（画法不唯一）：
【跟踪训练6】（2024秋 新县期末）过O点分别画AB边的垂线，画AC边的平行线。
【答案】
【分析】画AB边的垂线把三角板的一条直角边与AB边重合。沿着AB边平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点O。沿着经过点O的直角边，从O点向AB边画一条直线，这条直线就是AB边的垂线。
画AC边的平行线用三角板的一条边与AC边重合。把直尺靠紧三角板的另一条边。固定直尺，然后平移三角板，使三角板原来与AC边重合的边经过点O。沿着这条边经过点O画一条直线，这条直线就是AC边的平行线。
【解答】解：
相交与垂直
当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例1：
例1.下列说法中，正确的是（　　）
A．平行线就是不相交的两条直线
B．两条直线相交，交点就是垂足
C．垂直是相交的一种特殊情况
【解答】C
例2.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种。______（判断对错）
【解答】×
例3.下列说法错误的是（　　）
A．垂直是相交的一种特殊位置
B．平行线是不相交的两条直线
C．同一平面内的两条直线，不平行就一定相交
D．两点之间线段最短
【解答】B
【跟踪训练1】（2024秋 阿荣旗期末）在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交
【答案】C
【分析】根据垂直的性质：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；进行解答即可．
【解答】解：在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
【跟踪训练2】（2024秋 肥西县期末）数学课本相邻两边互相______，相对的两边互相______．
【分析】依据在同一平面内，两条直线的位置关系即可解答．
【解答】解：数学课本相邻两边互相垂直，相对的两边互相平行．
故答案为：垂直，平行．
【跟踪训练3】（2023秋 怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是60°，那么与它相邻的角是 ______。
【答案】120°。
【分析】因为这个已知的角和它相邻的角组成一个平角，所以用180°减去60°即可求出和它相邻的角的度数。
【解答】解：180°-60°=120°
答：与它相邻的角是120°。
故答案为：120°。
【跟踪训练4】（2023秋 海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的______最短，它的______叫做这点到直线的______．
【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短；由此判断即可．
【解答】解：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离；
故答案为：垂线，长度，距离．
【跟踪训练5】（2023秋 新市区期末）在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 ______（判断对错）
【答案】√
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。据此判断即可。
【解答】解：在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【跟踪训练6】（2024秋 长安区校级期中）同一平面内，当两条直线相交成直角时，我们说这两条直线互相垂直。______（判断对错）
【答案】√
【分析】根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线；由此解答即可。
【解答】解：根据垂直的性质可得：在同一平面内，当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线。
故答案为：√。
过直线上或直线外一点作直线的垂线
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
例1：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画______条．
【分析】直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
【解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
【解答】根据分析画图如下：
【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
【跟踪训练1】（2024秋 成武县期末）小东想画出直线mn的垂线，以下方法正确的是（　　）
A． B． C．
【答案】C
【分析】利用三角板的一条直角边与已知直线重合，直角顶点与已知直线上的某一点重合，据此测量。
【解答】解：小东想画出直线MN的垂线，画图方法正确。
故选：C。
【跟踪训练2】（2024秋 如皋市期末）经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四条线段中有一条线段是垂直线段，那么这一点到已知直线的距离是（　　）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
【答案】A
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短，它的长度叫作这点到直线的 距离；据此进行解答即可。
【解答】解：经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米，四条线段中有一条线段是垂直线段。
但四条线段中最短的那条，即3厘米，是垂直线段，所以这一点到已知直线的距离是3厘米。
故选：A。
【跟踪训练3】（2023秋 尉氏县月考）过直线外一点画这条直线的平行线，可以画 ______条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画 ______条。
【答案】1；1。
【分析】结合过直线外一点画已知直线的平行线和垂线的方法，过直线外一点画这条直线的平行线，可以画1条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画1条。据此解答即可。
【解答】解：过直线外一点画这条直线的平行线，可以画1条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画1条。
故答案为：1；1。
【跟踪训练4】（2022秋 新化县期末）在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相 ______。
【答案】平行。
【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。如图所示：
。
【解答】解：在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相平行。
故答案为：平行。
【跟踪训练5】（2024秋 沛县期末）过A点画直线a的垂线。
【答案】
【分析】把三角板的一直角边靠紧已知直线a,沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是过A点直线a的垂线。
【解答】解：根据题意画图如下：
【跟踪训练6】（2024秋 丰县期末）如图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。
【答案】
。
【分析】作平行线：把三角尺的一条直角边和已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过C点与AB平行的直线。
作垂线：用直角三角尺的一条直角边和AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线，即可画出经点B到AC的垂直线段。
【解答】解：如图所示：
。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第12讲 平行与垂直
1、平行的概念 2
2、垂直与平行的特征及性质 3
3、过直线外一点作已知直线的平行线 5
4、相交与垂直 7
5、过直线上或直线外一点作直线的垂线 9
热点考点 考查频率 考点难度
平行的概念 ★★ ★★
垂直与平行的特征及性质 ★★★★ ★★
过直线外一点作已知直线的平行线 ★★★ ★★★
相交与垂直 ★★★★ ★★★
过直线上或直线外一点作直线的垂线 ★★★ ★★★
【考情分析】平行与垂直是小学几何的核心内容，也是初中几何学习的重要基础。在小升初考试中，该部分占比约 10%~15%，题型涵盖 选择题、判断题、作图题、应用题 等，主要考查学生的 空间观念、几何直观和逻辑推理能力。虽然题目难度中等，但容易因概念混淆或作图不规范失分。
平行的概念
1.定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。
2.平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
3.定理：平行线间的距离处处相等。
4.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
这个需要我们和垂直公理进行辨析。
5.平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。
这个可以用来判定两条直线平行。
例1：
例1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．√．（判断对错）
【解答】√
例2.在一张纸上画甲、乙、丙三条直线，甲和乙都是丙的垂线，那么甲、乙两条直线（　　）
A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直又不平行
【解答】B
例3.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行．×．（判断对错）
解：两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内；
【解答】×．
【跟踪训练1】下面各组直线中，互相平行的是（　　）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】只有一组平行线的图形是（　　）
A． B． C． D．
【跟踪训练3】（2024秋 法库县月考）火车道上的两条铁轨是互相 ______的。
【跟踪训练4】（2023秋 沈丘县期末）一般情况下，两条路互相 ______的路口称为十字路口，行人在过马路时应走由互相 ______的白线组成的斑马线。
【跟踪训练5】（2024秋 番禺区期末）如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小棒一定互相平行______．
【跟踪训练6】（2024 新建区）不相交的两条直线是平行线．______．（判断对错）
垂直与平行的特征及性质
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
例1：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
【解答】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线．______．（判断对错）
【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
【解答】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
【跟踪训练1】（2024秋 望花区期末）两条平行线之间的（　　）都相等。
A．线段 B．射线 C．垂直的线段 D．斜线
【跟踪训练2】（2024秋 禅城区期末）在建筑房屋的过程中，用铅垂线来检查墙壁是否竖直，若墙壁竖直，则铅垂线会与墙壁（　　）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交
【跟踪训练3】（2024秋 大观区期末）在同一平面内，相交成直角的两条直线互相 ______，垂直于同一条直线的两条直线互相 ______。
【跟踪训练4】（2024秋 长沙期末）在同一平面内，直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c（三条直线均不重合），那么直线a与直线c的位置关系是互相 ______。
【跟踪训练5】（2024秋 李沧区期末）同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．______．（判断对错）
【跟踪训练6】（2024秋 保康县期末）两根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒互相平行。 ______（判断对错）
过直线外一点作已知直线的平行线
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
例1：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　）
A、1条 B、2条 C、无数条
【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
【解答】过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
【分析】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
【解答】用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
【跟踪训练1】（2024秋 白云区期末）（如图）过点P可以画（　　）条b的平行线。
A．0条 B．1条 C．无数条
【跟踪训练2】（2024秋 翔安区期末）画一组平行线，下面画法正确的是（　　）
A．①②③ B．①④ C．②④ D．①②
【跟踪训练3】（2024秋 南安市期中）通过一点能画 ______条直线。过直线外一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画 ______条。
【跟踪训练4】（2023秋 仪征市期末）如图是四边形ABDC。经过点A画BD边的平行线。经过点C向AB边画出垂线，点C到AB边的距离是 ______毫米。
【跟踪训练5】（2024秋 寿光市期末）在点子图上画出已知直线的平行线。
【跟踪训练6】（2024秋 新县期末）过O点分别画AB边的垂线，画AC边的平行线。
相交与垂直
当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例1：
例1.下列说法中，正确的是（　　）
A．平行线就是不相交的两条直线
B．两条直线相交，交点就是垂足
C．垂直是相交的一种特殊情况
【解答】C
例2.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种。______（判断对错）
【解答】×
例3.下列说法错误的是（　　）
A．垂直是相交的一种特殊位置
B．平行线是不相交的两条直线
C．同一平面内的两条直线，不平行就一定相交
D．两点之间线段最短
【解答】B
【跟踪训练1】（2024秋 阿荣旗期末）在同一平面内如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交
【跟踪训练2】（2024秋 肥西县期末）数学课本相邻两边互相______，相对的两边互相______．
【跟踪训练3】（2023秋 怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是60°，那么与它相邻的角是 ______。
【跟踪训练4】（2023秋 海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的______最短，它的______叫做这点到直线的______．
【跟踪训练5】（2023秋 新市区期末）在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 ______（判断对错）
【跟踪训练6】（2024秋 长安区校级期中）同一平面内，当两条直线相交成直角时，我们说这两条直线互相垂直。______（判断对错）
过直线上或直线外一点作直线的垂线
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
例1：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画______条．
【分析】直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
【解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
【解答】根据分析画图如下：
【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
【跟踪训练1】（2024秋 成武县期末）小东想画出直线mn的垂线，以下方法正确的是（　　）
A． B． C．
【跟踪训练2】（2024秋 如皋市期末）经过一点到已知直线画了四条线段，分别长3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四条线段中有一条线段是垂直线段，那么这一点到已知直线的距离是（　　）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
【跟踪训练3】（2023秋 尉氏县月考）过直线外一点画这条直线的平行线，可以画 ______条；在同一个平面内，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画 ______条。
【跟踪训练4】（2022秋 新化县期末）在同一平面内，给一条直线作两条垂直线，这两条垂直线的关系是互相 ______。
【跟踪训练5】（2024秋 沛县期末）过A点画直线a的垂线。
【跟踪训练6】（2024秋 丰县期末）如图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。
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