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第13讲 三角形的认识
1、三角形的特性 2
2、三角形的内角和 6
3、三角形的分类 10
4、等腰三角形与等边三角形 15
5、作三角形的高 19
热点考点 考查频率 考点难度
三角形的特性 ★★ ★★
三角形的分类 ★★★ ★★
三角形的内角和 ★★★★ ★★★
等腰三角形与等边三角形 ★★★★ ★★★★
作三角形的高 ★★★ ★★
【考情分析】三角形是小学几何的核心内容，也是小升初数学考试的重点考查对象。本专题在试卷中占比约15%-20%，主要考查学生对三角形基本性质、分类、等腰三角形与等边三角形以及简单证明的理解和应用能力。
三角形的特性
三角形具有稳定性．
三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
例1：
例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　）
A、 B、 C、
【分析】紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．
【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，
B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，
C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，
故选：C．
【点评】此题是考查了三角形三边关系的应用．
例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　）
A、 B、 C、
【分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．
【解答】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；
故选：C．
【点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．
【跟踪训练1】（2025春 八步区期中）一把椅子有些摇晃，你认为选项（　　）的加固方式最科学。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在生活中，三角形的稳定性有着非常广泛的应用，如：自行车的车架是三角形的，篮球架上的支架是三角形的，电线杆的支架是三角形的。而四边形具有不稳定性。根据生活经验可知：上述物体中的三角形都是能使物体更加稳固。
【解答】解：A．
这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固；
B．
这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固；
C．
这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固；
D．
这种加固方式运用了三角形的稳定性，比较牢固；
一把椅子有所摇晃，我认为选项
的加固方式最好。
故选：D。
【跟踪训练2】（2025春 顺德区期中）一个三角形其中的两条边的长度分别是3厘米、5厘米，那么第三条边的长度可能是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米
【答案】B
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析、解答即可．
【解答】解：由三角形的特性得：5-3＜第三边＜5+3，
即：2＜第三边＜8，所以只能选4厘米符合题意；
故选：B．
【跟踪训练3】（2025春 崂山区期中）苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有 ______。
【答案】稳定性。
【分析】三角形三条边长度一定时，它的形状大小就不会发生变化了，这是三角形具有稳定性的特征。
【解答】解：苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有稳定性。
故答案为：稳定性。
【跟踪训练4】（2024春 齐河县期中）用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是______厘米，最短是______厘米．
【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可．
【解答】解：10-5＜第三边＜10+5，
所以：5＜第三边＜15，
即第三边的取值在5～15厘米（不包括5厘米和15厘米），
因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：15-1=14（厘米），
所以第三根小棒最短为：5+1=6（厘米），
故答案为：14；6．
【跟踪训练5】（2023 朝阳区模拟）要用一根1m长的木条制作一个三角形，小明是这样想的：

①你同意小明的想法吗？说明你的理由。
②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。
【答案】①不同意，因为三角形的两边之和大于第三条边。②把木条锯成三段，分别为4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一）
【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。
【解答】解：①不同意，因为三角形的两边之和大于第三条边。
②1米=10分米
10÷2=5（分米）
则最长的边只能是5分米，
10=4+4+2
4+2＞4
4-2＜4
所以把木条锯成三段，分别为4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一）
【跟踪训练6】（2024春 无棣县期末）笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。
① 5cm
② 7cm
③ 12cm
（1）如果选①，围成的是一个 ______三角形；
（2）如果选②，围成的是一个 ______三角形；
（3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。
【答案】（1）等边；（2）等腰；（3）如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。
【分析】（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）至少有两条边相等的三角形叫等腰三角形；
（3）三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此解答。
【解答】解：（1）如果选①，三条边都是5厘米，则围成的是一个等边三角形；
（2）如果选②，两条边相等，都是5厘米，则围成的是一个等腰三角形；
（3）5+5＜12，12-5＞5；
答：如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。
故答案为：等边；等腰；
三角形的内角和
三角形内角和为180°．
直角三角形的两个锐角互余．
例1：
例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　）
A、90° B、180° C、60°
【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．
【解答】因为三角形的内角和等于180°，
所以每个小三角形的内角和也是180°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．
例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
【分析】根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状．
【解答】因为∠1=∠2+∠3，
所以∠1=180°÷2=90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
【跟踪训练1】（2024春 薛城区期中）在一个等腰三角形中，有一个角是70度，另外两个角可能是（　　）
A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60°
【答案】B
【分析】如果这个角是顶角，用180度减它的度数再除以2，可得两个底角度数；如果这个角是底角，用180度减它的2倍，可得顶角的度数，据此筛选并找到正确选项即可。
【解答】解：令70度的角为顶角，则底角度数为（180°-70°）÷2=55°，
令70度的角为底角，则顶角度数为180°-70°×2=40°，
故选：B。
【跟踪训练2】（2024秋 密云区期末）在一个直角三角形的三个内角中，最小的角的度数是最大角度数的，这个最小的角是（　　）度。
A．30 B．60 C．45 D．18
【答案】A
【分析】直角三角形中最大的角是90°，最小的角的度数是最大角度数的，则最小的角读数为（90×），据此解答。
【解答】解：90×=30（度）
答：这个最小的角是30度。
故选：A。
【跟踪训练3】（2024秋 金牛区期末）直角三角形两个锐角的度数之比是3：2，这两个锐角分别是（　　）
A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30°
【答案】A
【分析】直角三角形两个锐角的和是90°，把90°平均分成5份，求出1份是多少，再求两个锐角即可。
【解答】解：90÷（2+3）
=90÷5
=18（度）
18°×3=54°
18×2=36°
答：这两个锐角分别是54°、36°。
故选：A。
【跟踪训练4】（2025春 城阳区期中）神奇的金字塔：金字塔的每个侧面都是顶角约为52°的等腰三角形，每个侧面的底角约为 ______°。
【答案】64。
【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：（180°-52°）÷2
=128°÷2
=64°
答：每个侧面的底角约为64°。
故答案为：64。
【跟踪训练6】（2025春 碑林区期中）把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。
【答案】180°；90。
【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：180°-45°-45°=90°
答：每个小三角形的内角和是180°，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是90°。
故答案为：180°；90。
【跟踪训练6】（2025春 番禺区期中）列式计算出下列角的度数。
（1）求出下面三角形中，∠1的度数。
∠1= ______
∠1= ______
∠1=
______
（2）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1=45°，求顶角∠3=？
【答案】（1）110°；62°；90°；（2）90°。
【分析】（1）第一个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去35°，再减去35°即可求出∠1的度数；
第二个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去90°，再减去28°即可求出∠1的度数；
第三个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去22°，再减去68°即可求出∠1的度数。
（2）等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去45°×2就是顶角的度数。
【解答】解：（1）180°-35°-35°
=145°-35°
=110°
180°-90°-28°
=90°-28°
=62°
180°-22°-68°
=158°-68°
=90°
（2）∠3180°-45°×2
=180°-90°
=90°
故答案为：110°；62°；90°。
三角形的分类
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90°．
直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．
钝角三角形：有一个角大于90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
钝角三角形：最大角大于90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
例1：
例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（　　）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
【解答】最大角：180×=80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
【跟踪训练1】（2025春 福田区期中）观察如图，扑克牌遮住的是一个三角形，它一定是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】露出来的三角形的一个角是一个钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形。
【解答】解：露出来的三角形的一个角是一个钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形。
故选：A。
【跟踪训练2】（2025春 崂山区期中）三角形从边的特点研究，可以用如图（　　）表示它们之间的关系．
A． B． C．
【答案】C
【分析】从边的特点研究，三角形包括等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形，所以三角形、等腰三角形和等边三角形是依次包含的关系，据此解答即可．
【解答】解：三角形从边的特点研究，可以用如图
表示它们之间的关系．
故选：C。
【跟踪训练3】（2025春 龙华区期中）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是 ______°，原来这张纸片的形状按边分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。
【答案】70，等腰，锐角。
【分析】根据三角形的内角和是180度，求出撕去的角的度数，然后结合等腰三角形、锐角三角形的特征解答即可。
【解答】解：180°-40°-70°=70°
答：这个角是70°，原来这张纸片的形状按边分是等腰三角形，按角分是锐角三角形。
故答案为：70，等腰，锐角。
【跟踪训练4】（2025春 昌邑市期中）下面被纸盖住的三角形是什么三角形？（按角分）
（1）______三角形
（2）______三角形
（3）______三角形
【答案】（1）直角；（2）钝角；（3）锐角。
【分析】锐角三角形和钝角三角形及直角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角为直角的三角形为直角三角形；据此判断。
【解答】解：图（1）中，因为露在外面的角是一个直角，一个锐角，所以被遮住的是直角三角形；
图（2）中露在外面的角是两个锐角，因此被遮住的是钝角三角形；
图（3）中露在外面的是两个锐角，因此被遮住的是锐角三角形。如下图所示：
（1）直角三角形
（2）钝角三角形
（3）锐角三角形
故答案为：直角；钝角；锐角。
【跟踪训练5】（2025春 南安市期中）如图是三角形的纸撕去了一个角后留下的部分，请求出撕去角的度数和写出原来是什么三角形。（按角分）
【答案】
【分析】根据三角形的内角和是180°，分别计算出撕去角的度数，然后根据三角形分类知识判断三角形的类型即可。
【解答】解：180°-36°-54°=90°，是直角三角形；
180°-65°-60°=55°，是锐角三角形；
120°-30°-30°=120°，是钝角三角形。
【跟踪训练6】（2025春 八步区期中）如图的三角形被挡住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余两个角的度数。
（1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是 ______°和 ______°。
（2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。
（3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。
【答案】（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。
【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可。
【解答】解：（1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是30°和90°。
（2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是60°和60°。
（3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是20°和100°。
故答案为：（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。
等腰三角形与等边三角形
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
例1：
例1：等边三角形是（　　）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
【分析】等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
【解答】因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
【点评】解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（　　）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
【分析】根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
【解答】因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
【跟踪训练1】（2024秋 鄠邑区期末）一个等腰三角形的周长是60cm,其中两条边的长度比是1：2，这个等腰三角形的腰长是（　　）cm。
A．12 B．20 C．15 D．24
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，三角形的三边之比为1：2：2，再根据周长即可求出腰长。
【解答】解：60×=24（厘米）
答：这个三角形的一条腰长24厘米。
故选：D。
【跟踪训练2】（2025春 宝安区期中）一个等腰三角形，其中一个内角的度数是68°，顶角是（　　）
A．68° B．44° C．112° D．68°或44°
【答案】D
【分析】等腰三角形两底角度数相等，其中一个角是68°，没有说明是顶角还是底角，需要分两种情况。
1、顶角是68°。
2、底角是68°，根据两底角度数相等，两底角度数之和就是68°×2=136°，根据三角形内角和是180°，顶角的度数就是180°-136°=44°
据此解答即可。
【解答】解：底角是68°时，
底角度数之和：68°×2=136°，
底角度数：180°-136°=44°
还有顶角是68°的情况，
所以顶角是68°或44°。
故选：D。
【跟踪训练3】（2024春 茂名期中）等边三角形的每个内角都是 ______度。
【答案】60。
【分析】根据等边三角形的性质可知，等边三角形三个内角相等，再结合三角形内角和180度即可解答。
【解答】解：180°÷3=60°
答：等边三角形的每个内角都是60度。
故答案为：60。
【跟踪训练4】（2025春 顺德区期中）有一个等腰三角形的风筝，其中两条边分别是1.8米和2米，这个等腰三角形风筝的周长是 ______米或
______米。
【答案】5.6；5.8。
【分析】根据等腰三角形的特征及三角形任意两边之和大于第三条边的关系解答。
【解答】解：2+1.8+1.8=5.6（米）
1.8+2+2=5.8（米）
答：这个等腰三角形风筝的周长是5.6米或5.8米。
故答案为：5.6；5.8。
【跟踪训练5】（2024春 南充期末）小李准备把一根长10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管围成一个等腰三角形。他已经剪了一次，请在图中剪一剪，并标注出三根吸管的长。
【答案】
【分析】由图可知，10-6=4厘米，即第三段的长是4厘米，则另外两根的长度和是6厘米。已知6可以分为1和5、2和4、3和3，根据三角形三边之间的关系确定两条边的长度，再根据等腰三角形的特征得出结果。
【解答】解：10-4=6（厘米）
6=1+5=2+4=3+3
根据三角形三边之间的关系可知，1+4=5，不符合三角形三边的关系；
2+4=6，6＞4，符合三角形三边的关系，且有两条边长度相等，符合等腰三角形的特征；
3+3=6，6＞4，符合三角形三边的关系，且有两条边长度相等，符合等腰三角形的特征；
所以三根吸管的长可以是2厘米、4厘米、4厘米；也可以是3厘米、3厘米和4厘米。
【跟踪训练6】（2024秋 石狮市期末）周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是56cm,有两条边的比是2：3，那么这个等腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。
【答案】24厘米或14厘米。
【分析】分三条边的比是2：2：3或2：3：3分别计算即可。把边长看作份数，用周长除以份数和求出1份数，用1份数乘底边长的份数即可解答。
【解答】解：第一种情况：
三条边的比是2：2：3
56÷（2+2+3）=8（cm）
8×3=24（cm）
第二种情况：
三条边的比是2：3：3
56÷（2+3+3）=7（cm）
7×2=14（cm）
答：这个等腰三角形的底边长可能会是24厘米或14厘米。
作三角形的高
1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高
2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长．
3．方法：
（1）找到顶点和对应的边
（2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点．
例1：
例：画出下列三角形指定底的高．
【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可．
【解答】作图如下：
【点评】此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可．
【跟踪训练1】（2024春 宁津县期末）下面图示中，（　　）画的是△ABC中BC底上的高。
A． B． C．
【答案】B
【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，据此解答即可。
【解答】解：分析可知，
画的是△ABC中BC底上的高。
故选：B。
【跟踪训练2】（2024 奈曼旗）图中阴影三角形AB边上的高是（　　）
A．DA B．AC C．CE D．AB
【答案】C
【分析】根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，即可求出答案。
【解答】解：根据分析知，阴影三角形AB边上的高是CE。
故选：C。
【跟踪训练3】（2023秋 栾城区期末）如图三角形ABC中，AB边上的高是______，BC边上的高是______。（填序号）
【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）。
【解答】解：如图
三角形ABC中，AB边上的高是①，BC边上的高是③。
故答案为：①，③。
【跟踪训练4】（2024春 江夏区期末）如图是由两个边长为6cm、4cm的正方形组成，△ABC中，若以BC为底，高是 ______cm。
【答案】2。
【分析】因为钝角三角形以钝角的一边为底，它的高在底边的延长线上，所以在三角形ABC中以BC为底边的高等于大正方形与小正方形边长的差，据此解答。
【解答】解：
6-4=2（厘米）
故答案为：2。
【跟踪训练5】（2024春 商河县期末）画出下面各三角形指定底边上的高。
【答案】
【分析】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点与垂足之间的线段，就是三角形的高，据此解答即可。
【解答】解：如图：
【跟踪训练6】（2024春 罗山县期末）画出指定底边上的高，并求出∠1的度数。
【答案】
30°。
【分析】（1）从钝角的顶点利用直角三角板向对边做垂线段即可；
（2）55°与三角形的钝角形成180度的角，利用180度减去55度即可求出三角形的钝角，再利用三角形的内角和180度减去已知的两个角的度数即可求出∠1。
【解答】解：如图：
180°-55°=125°
180°-125°-25°=30°
因此∠1等于30°。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第13讲 三角形的认识
1、三角形的特性 2
2、三角形的内角和 5
3、三角形的分类 7
4、等腰三角形与等边三角形 10
5、作三角形的高 12
热点考点 考查频率 考点难度
三角形的特性 ★★ ★★
三角形的分类 ★★★ ★★
三角形的内角和 ★★★★ ★★★
等腰三角形与等边三角形 ★★★★ ★★★★
作三角形的高 ★★★ ★★
【考情分析】三角形是小学几何的核心内容，也是小升初数学考试的重点考查对象。本专题在试卷中占比约15%-20%，主要考查学生对三角形基本性质、分类、等腰三角形与等边三角形以及简单证明的理解和应用能力。
三角形的特性
三角形具有稳定性．
三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
例1：
例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　）
A、 B、 C、
【分析】紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．
【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，
B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，
C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，
故选：C．
【点评】此题是考查了三角形三边关系的应用．
例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　）
A、 B、 C、
【分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．
【解答】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；
故选：C．
【点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．
【跟踪训练1】（2025春 八步区期中）一把椅子有些摇晃，你认为选项（　　）的加固方式最科学。
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（2025春 顺德区期中）一个三角形其中的两条边的长度分别是3厘米、5厘米，那么第三条边的长度可能是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米
【跟踪训练3】（2025春 崂山区期中）苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有 ______。
【跟踪训练4】（2024春 齐河县期中）用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是______厘米，最短是______厘米．
【跟踪训练5】（2023 朝阳区模拟）要用一根1m长的木条制作一个三角形，小明是这样想的：

①你同意小明的想法吗？说明你的理由。
②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。
【跟踪训练6】（2024春 无棣县期末）笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。
① 5cm
② 7cm
③ 12cm
（1）如果选①，围成的是一个 ______三角形；
（2）如果选②，围成的是一个 ______三角形；
（3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。
三角形的内角和
三角形内角和为180°．
直角三角形的两个锐角互余．
例1：
例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　）
A、90° B、180° C、60°
【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．
【解答】因为三角形的内角和等于180°，
所以每个小三角形的内角和也是180°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．
例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
【分析】根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状．
【解答】因为∠1=∠2+∠3，
所以∠1=180°÷2=90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
【跟踪训练1】（2024春 薛城区期中）在一个等腰三角形中，有一个角是70度，另外两个角可能是（　　）
A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60°
【跟踪训练2】（2024秋 密云区期末）在一个直角三角形的三个内角中，最小的角的度数是最大角度数的，这个最小的角是（　　）度。
A．30 B．60 C．45 D．18
【跟踪训练3】（2024秋 金牛区期末）直角三角形两个锐角的度数之比是3：2，这两个锐角分别是（　　）
A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30°
【跟踪训练4】（2025春 城阳区期中）神奇的金字塔：金字塔的每个侧面都是顶角约为52°的等腰三角形，每个侧面的底角约为 ______°。
【跟踪训练6】（2025春 碑林区期中）把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。
【跟踪训练6】（2025春 番禺区期中）列式计算出下列角的度数。
（1）求出下面三角形中，∠1的度数。
∠1= ______
∠1= ______
∠1=
______
（2）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1=45°，求顶角∠3=？
三角形的分类
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90°．
直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．
钝角三角形：有一个角大于90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
钝角三角形：最大角大于90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
例1：
例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（　　）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
【解答】最大角：180×=80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
【跟踪训练1】（2025春 福田区期中）观察如图，扑克牌遮住的是一个三角形，它一定是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【跟踪训练2】（2025春 崂山区期中）三角形从边的特点研究，可以用如图（　　）表示它们之间的关系．
A． B． C．
【跟踪训练3】（2025春 龙华区期中）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是 ______°，原来这张纸片的形状按边分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。
【跟踪训练4】（2025春 昌邑市期中）下面被纸盖住的三角形是什么三角形？（按角分）
（1）______三角形
（2）______三角形
（3）______三角形
【跟踪训练5】（2025春 南安市期中）如图是三角形的纸撕去了一个角后留下的部分，请求出撕去角的度数和写出原来是什么三角形。（按角分）
【跟踪训练6】（2025春 八步区期中）如图的三角形被挡住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余两个角的度数。
（1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是 ______°和 ______°。
（2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。
（3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。
等腰三角形与等边三角形
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
例1：
例1：等边三角形是（　　）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
【分析】等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
【解答】因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
【点评】解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（　　）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
【分析】根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
【解答】因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
【跟踪训练1】（2024秋 鄠邑区期末）一个等腰三角形的周长是60cm,其中两条边的长度比是1：2，这个等腰三角形的腰长是（　　）cm。
A．12 B．20 C．15 D．24
【跟踪训练2】（2025春 宝安区期中）一个等腰三角形，其中一个内角的度数是68°，顶角是（　　）
A．68° B．44° C．112° D．68°或44°
【跟踪训练3】（2024春 茂名期中）等边三角形的每个内角都是 ______度。
【跟踪训练4】（2025春 顺德区期中）有一个等腰三角形的风筝，其中两条边分别是1.8米和2米，这个等腰三角形风筝的周长是 ______米或
______米。
【跟踪训练5】（2024春 南充期末）小李准备把一根长10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管围成一个等腰三角形。他已经剪了一次，请在图中剪一剪，并标注出三根吸管的长。
【答案】
【跟踪训练6】（2024秋 石狮市期末）周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是56cm,有两条边的比是2：3，那么这个等腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。
作三角形的高
1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高
2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长．
3．方法：
（1）找到顶点和对应的边
（2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点．
例1：
例：画出下列三角形指定底的高．
【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可．
【解答】作图如下：
【点评】此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可．
【跟踪训练1】（2024春 宁津县期末）下面图示中，（　　）画的是△ABC中BC底上的高。
A． B． C．
【跟踪训练2】（2024 奈曼旗）图中阴影三角形AB边上的高是（　　）
A．DA B．AC C．CE D．AB
【跟踪训练3】（2023秋 栾城区期末）如图三角形ABC中，AB边上的高是______，BC边上的高是______。（填序号）
【跟踪训练4】（2024春 江夏区期末）如图是由两个边长为6cm、4cm的正方形组成，△ABC中，若以BC为底，高是 ______cm。
【跟踪训练5】（2024春 商河县期末）画出下面各三角形指定底边上的高。
【跟踪训练6】（2024春 罗山县期末）画出指定底边上的高，并求出∠1的度数。
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