资源简介 第2讲 行程问题(二)1、环形跑道问题 22、列车过桥问题 53、发车间隔问题 74、错车问题 10热点考点 考查频率 考点难度环形跑道问题 ★★★ ★★★列车过桥问题 ★★ ★★★★发车间隔问题 ★★ ★★★★错车问题 ★★ ★★★【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现,其中应用题出现的比例又较高。主要命题点有:相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、列车过桥问题等问题环形跑道问题环形跑道问题,从同一地点出发,如果是相向而行,则每相遇一次合走一圈(每隔第一次相遇时间就相遇一次);第几次相遇就合走几圈;如果是同向而行,则每多跑一圈就追上一次(每隔第一次追及时间就追上一次).第几次追上就多跑几圈.环形跑道:同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.2.解题方法:(1)审题:看题目有几个人或物参与; 看题目时间:“再过多长时间”就是从此时开始计时,“多长时间后”就是从开始计时;看地点是指是同地还是两地甚至更多. 看方向是同向、背向还是相向;看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点,准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助,一些是题目中直接给出在哪里相遇,有些则需要我们自己根据两人速度来判断. 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点,从而找到路程差.比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差.这个是追击问题经常用到的,通过路程差求速度差(2)简单题利用公式(3)复杂题,尤其是多人多次相遇,一定要画路径图,即怎么走的线路画出来.相遇问题就找路程和,追击问题就找路程差.例1:例1:环绕小山一周的公路长1920米,甲、乙两人沿公路竞走,两人同时同地出发,反方向行走,甲比乙走得快,12分钟后两人相遇.如果两人每分钟多走16米,则相遇地点与前次相差20米.(1)求甲乙两人原来的行走速度.(2)如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发,同向行走,则甲在何处第二次追上乙?【分析】(1)根据题干不难得出甲乙的速度之和是:1920÷12=160米/分;则提高速度后的速度之和就是160+16+16=192米/分,所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是:1920÷192=10分钟;因为甲的速度较快,提高速度之后,二人行走的时间变短,所以甲比原来少走了20米,由此设甲原来的速度是x米/分,则提高速度后,甲的速度是x+16米/分,由此根据,即可列出方程,求出x的值即可解答.(2)甲第二次追上乙时,比乙多走了两周,用两周的路程除以速度差即可得走的时间,用甲的速度乘以时间再除以一周的路程,余数即是离出发点的距离.【解答】(1)甲乙原来的速度之和是:1920÷12=160(米),提高速度之后的速度之和是:160+16+16=192(米),所以提高速度之后二人相遇的时间是:1920÷192=10(分钟),设甲原来的速度是x米/分,则提高速度后,甲的速度是(x+16)米/分,根据题意可得方程:12x-10(x+16)=20,12x-10x-160=20,2x=180,x=90,则乙原来的速度是:160-90=70(米/分),答:甲原来的速度是90米/分,乙原来的速度是70米/分;(2)1920×2÷(90-70)=1920×2÷20=192(分),192×90÷1920=9,说明正好在出发点.答:甲在出发点第二次追上乙.【点评】本题考查了环形跑道问题.解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和,从而得出第二次相遇的时间,设出甲的速度,利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题.【跟踪训练1】(2024 重庆模拟)电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈,前一半时间每秒是跑5米,后一半的时间每秒跑3米,电子猫后120米用了( )秒.A.40 B.25 C.30 D.36【跟踪训练2】(2024春 江阴市期末)小小和妈妈沿着圆形花坛散步。小小走一圈用12分钟,妈妈走一圈用8分钟。如果两人同时同地出发,相背而行,走了16分钟后,两人的位置是下面的图( )A. B. C. D.【跟踪训练3】(2025春 江岸区期中)一个环形跑道长240m,小刚、小冬、小军三人从同一地点同时同方向跑步。小刚的速度是5米/秒,小冬的速度是4米/秒,小军的速度是6米/秒。至少经过 ______分钟。三人在原出发点相遇。【跟踪训练4】(2024 资中县)A、B是圆形跑道直径的两端,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,两人第一次相遇时,相遇地点距离A地360米,两人按照原速度继续前行,甲经过B地后再与乙第二次相遇,相遇地点距离B地120米,这个圆形跑道的周长是______米。【跟踪训练5】(2025 重庆模拟)甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【跟踪训练6】(2024春 雨花台区校级期中)可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体,他们同时从同一地点出发,向相反方向跑去,可可的速度是6米/秒,乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗?如果没有相遇,两人还相距多少米?列车过桥问题(1)火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间,因此火车的路程是桥长与车身长度之和.(2)火车与人错身时,忽略人本身的长度,两者路程和为火车本身长度;火车与火车错身时,两者路程和则为两车身长度之和.(3)火车与火车上的人错身时,只要认为人具备所在火车的速度,而忽略本身的长度,那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候一定得结合着图来进行.例1:例1:一列火车长200米,以每分钟1200米的速度经过一座大桥,从车头进到车尾出一共用了2分钟.求桥的长度是多少米?正确的算式是( )A、1200×2+200 B、1200×2-200 C、(1200+200)×2 D、(1200-200)×2【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟,则火车等于是跑了桥的全长加车的长度,于是,我们用2分钟所行驶的距离再减去车长200米就是桥的长度.【解答】1200×2-200=2400-200=2200(米),故选:B.【点评】解答此题的关键是知道:火车过桥走过的路程=桥长+车身长,再根据基本的数量关系解决问题.【跟踪训练1】(2024春 宿城区期中)一列长200米的火车,每秒行驶32米,这列火车经过大桥时,从车头上桥到车尾离桥一共用了39秒。这座大桥长( )米。A.1048 B.1248 C.1448【跟踪训练2】(2024 雨城区校级模拟)一列火车长200米,它以72km/h的速度经过一座大桥,从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟,求桥长是多少米的算式正确的是( )A.1200×2-200 B.1200×2+200C.(1200+200)×2 D.(1200-200)×2【跟踪训练3】(2025春 鼓楼区期中)一座大桥长3200米,一列火车以850米/分的速度行驶,从车头上桥到车尾离开桥共用了4分钟。这列火车长 ______米。【跟踪训练4】(2024 重庆模拟)一个9车的婚车车队以每秒6米的速度通过一座长153米的大桥,已知每辆车长5米,每辆车之间间隔3米,通过这座桥需要 ______秒。【跟踪训练5】(2024 商水县模拟)某小学组织学生去参观科技展览,346人排成两路纵队,相邻两排相距0.5米,队伍每分钟走65米。现在要通过一座长889米的桥,从排头2人上桥到排尾2人离开桥共需多少分钟?【跟踪训练6】(2023秋 西湖区期末)某校五年级同学去参观展览。342人排成两路纵队,前后相邻两人各相距0.4米,队伍每分钟走60米。现在要过一座桥,从排头两人上桥到排尾两人离开,共需9.8分钟。桥长多少米?发车间隔问题(1)一般间隔发车问题.用3个公式迅速作答;汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔(2)求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数.标准方法是:画图--尽可能多的列3个好使公式--结合s全程=v×t--结合植树问题数数.(3)当出现多次相遇和追及问题--柳卡.例1:例1:公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟,全程走15分钟,某人骑自行车从乙站往甲站行走,开始时恰好遇见一辆公交车,行走过程中又遇见10辆,到甲站时又一辆公交车要出发,这人走了( )分钟.A、35 B、40 C、50 D、45【分析】因为是相向而行,所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于(10+1)×5=55(分钟),又因为公交车走全程需15分钟,所以骑自行车的时间为:55-15=40(分钟)【解答】由题意可得(10+1)×5-15=55-15=40(分钟).答:他从乙站到甲站共用了40分钟.故选:B.【点评】此题属于多次相遇问题,考查了学生“相向而行”这一知识点,以及分析问题的能力.【跟踪训练1】(2024春 肃北县期中)公交车从甲站到乙站每隔5分钟开出一辆,全程行驶40分钟,某人骑自行车从乙站到甲站,开始出发时恰好遇见一辆公交车,骑行过程中又遇见12辆,到甲站时又遇见一辆公交车刚要出发,这个人从乙站到甲站骑行的时间是( )A.65分钟 B.60分钟 C.70分钟 D.72分钟【跟踪训练2】(2021 泰安模拟)公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟,全程走15分钟,某人骑自行车从乙站往甲站行走,开始时恰好遇见一辆公交车,行走过程中又遇见10辆,到甲站时又一辆公交车要出发,这人走了( )分钟.A.35 B.40 C.50 D.45【跟踪训练3】(2023春 成华区期末)汽车每隔15分钟开出一班,哥哥想乘9时10分的一班车,但到站时,已是9时20分,那么他要等______分钟才能乘上下一班车.【跟踪训练4】(2024 江北区校级模拟)从电车总站每隔一定时间开出一辆电车,甲与乙两人在一条街上反方向步行,甲沿电车发车方向每分钟步行60米,每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己;乙每分钟步行80米,每隔10分遇上迎面开来的一辆电车,那么电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。【跟踪训练5】(2024 渝北区)一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的4倍,每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人,每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人,如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变,那么间隔几分钟发一辆公共汽车?【跟踪训练6】(2024 宁波模拟)在一条马路上,小智骑车与小慧同向而行,小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧,每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车,且每辆车的速度相同,则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟?错车问题多次相遇的基本公式和方法计算:距离、列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题;相向而行错车相当于相遇问题,同向而行错车相当于追及问题.但在实际解题过程中我们会发现:同样是错车,如果给出的题设条件不同,则错车时所计算的路程与车长有关.例1:例1:甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行,恰好有一列火车开来,整列火车经过甲身边用了18秒,2分后又用了15秒从乙身边开过.问:(1)火车速度是甲的速度的几倍?(2)火车经过乙身后,甲、乙两人还需要多少时间才能相遇?【分析】(1)设火车的长度为S,火车速度为V1,甲乙的速度为V2,因为火车经过甲用的时间长,所以甲与火车同向而行,而乙与火车相对而行;则火车经过甲的速度为V1-V2,经过乙的速度V1+V2,由于经过的距离同是火车的长度,由此可得:(V1-V2)×18=(V1+V2)×15,整理后得:V1=11V2,即火车速度为甲的速度的11倍.(2)经过甲后,火车行了2分钟即120秒才与乙相遇,当火车经过了乙,火车一共行驶了120+15秒=135秒.此时甲行走了135秒,火车在此时间段行走了135×V1的路程,甲走了135×V2的路程.那么火车经过乙以后甲乙之间的距离为135V1-135V2=1350V2.所以甲乙走这段路程所需要的时间为1350V2÷(V2+V2)=675秒.即火车经过乙675秒后甲乙两人相遇.【解答】(1)设火车的长度为S,火车速度为V1,甲乙的速度为V2,由此可得:(V1-V2)×18=(V1+V2)×1518V1-18V2=15V1+15V2,3V1=33V2,V1=11V2.答:火车速度为甲的速度的11倍.(2)2分钟=120秒,135V1-135V2=135×11V2-135V2,=1485V2-135V2,=1350V2.1350V2÷(V2+V2),=1350V2÷2V2,=675(秒).答:火车经过乙身后,甲、乙工人还需要675秒才能相遇.【点评】本题为相遇问题与追及问题的综合,完成问题(2)时要注意从火车经过的距离中减去甲行的距离.【跟踪训练1】(2024 中原区)一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是270米,慢车的车长是360米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是( )秒。A.9 B.10 C.11 D.12【跟踪训练2】(2023 涪城区)一列快车和一列慢车相对而行,其中快车的车长200米,慢车的车长250米,坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟,坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟?( )A.6秒钟 B.6.5秒钟 C.7秒钟 D.7.5秒钟【跟踪训练3】(2024 渝北区)张良沿一公路徒步,速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车,如果公共汽车按相等的时间间隔,以同一速度前行,那么,公共汽车发出时间间隔是 ______。【跟踪训练4】(2024 新绛县)一列火车长152米,它的速度是每小时63.36公里,一个人与火车相向而行,全列火车从他身边开过用8秒钟,这个人的步行速度是每秒 ______米。【跟踪训练5】(2024 沙坪坝区)小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是2米/秒,这时从他后面开过来一列火车,从车头遇到小李到车尾经过他身旁共用了21秒。已知火车全长336米,求火车的速度。【跟踪训练6】(2024 双流区)从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行,甲每分钟步行82米,每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行60米,每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2讲 行程问题(二)1、环形跑道问题 22、列车过桥问题 73、发车间隔问题 114、错车问题 15热点考点 考查频率 考点难度环形跑道问题 ★★★ ★★★列车过桥问题 ★★ ★★★★发车间隔问题 ★★ ★★★★错车问题 ★★ ★★★【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现,其中应用题出现的比例又较高。主要命题点有:相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、列车过桥问题等问题环形跑道问题环形跑道问题,从同一地点出发,如果是相向而行,则每相遇一次合走一圈(每隔第一次相遇时间就相遇一次);第几次相遇就合走几圈;如果是同向而行,则每多跑一圈就追上一次(每隔第一次追及时间就追上一次).第几次追上就多跑几圈.环形跑道:同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.2.解题方法:(1)审题:看题目有几个人或物参与; 看题目时间:“再过多长时间”就是从此时开始计时,“多长时间后”就是从开始计时;看地点是指是同地还是两地甚至更多. 看方向是同向、背向还是相向;看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点,准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助,一些是题目中直接给出在哪里相遇,有些则需要我们自己根据两人速度来判断. 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点,从而找到路程差.比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差.这个是追击问题经常用到的,通过路程差求速度差(2)简单题利用公式(3)复杂题,尤其是多人多次相遇,一定要画路径图,即怎么走的线路画出来.相遇问题就找路程和,追击问题就找路程差.例1:例1:环绕小山一周的公路长1920米,甲、乙两人沿公路竞走,两人同时同地出发,反方向行走,甲比乙走得快,12分钟后两人相遇.如果两人每分钟多走16米,则相遇地点与前次相差20米.(1)求甲乙两人原来的行走速度.(2)如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发,同向行走,则甲在何处第二次追上乙?【分析】(1)根据题干不难得出甲乙的速度之和是:1920÷12=160米/分;则提高速度后的速度之和就是160+16+16=192米/分,所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是:1920÷192=10分钟;因为甲的速度较快,提高速度之后,二人行走的时间变短,所以甲比原来少走了20米,由此设甲原来的速度是x米/分,则提高速度后,甲的速度是x+16米/分,由此根据,即可列出方程,求出x的值即可解答.(2)甲第二次追上乙时,比乙多走了两周,用两周的路程除以速度差即可得走的时间,用甲的速度乘以时间再除以一周的路程,余数即是离出发点的距离.【解答】(1)甲乙原来的速度之和是:1920÷12=160(米),提高速度之后的速度之和是:160+16+16=192(米),所以提高速度之后二人相遇的时间是:1920÷192=10(分钟),设甲原来的速度是x米/分,则提高速度后,甲的速度是(x+16)米/分,根据题意可得方程:12x-10(x+16)=20,12x-10x-160=20,2x=180,x=90,则乙原来的速度是:160-90=70(米/分),答:甲原来的速度是90米/分,乙原来的速度是70米/分;(2)1920×2÷(90-70)=1920×2÷20=192(分),192×90÷1920=9,说明正好在出发点.答:甲在出发点第二次追上乙.【点评】本题考查了环形跑道问题.解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和,从而得出第二次相遇的时间,设出甲的速度,利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题.【跟踪训练1】(2024 重庆模拟)电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈,前一半时间每秒是跑5米,后一半的时间每秒跑3米,电子猫后120米用了( )秒.A.40 B.25 C.30 D.36【答案】D【分析】由于他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑3米,所以他的平均速度为(3+5)÷2=4米/秒,则他跑一圈需要时间为(240÷4=60)秒,则一半时间为(60÷2=30)秒,他前30秒共跑了(5×30=150)米,一半路程为(240÷2=120)米,所以后一半路程用每秒5米的速度跑的长度为(150-120=30)米,用时(30÷5=6)秒,用每秒3米跑的长度为(120-30=90)米,用时(90÷3=30)秒,所以后一半路程共用时(6+30=36)秒。【解答】解:跑一圈需要时间为:240÷[(3+5)÷2]=240÷[8÷2]=240÷4=60(秒)前一半时间跑的长度为:60÷2×5=150(米)则后一半路程中用每秒5米的速度跑的时间为:(150-240÷2)÷5=(150-120)÷5=30÷5=6(秒)用每秒3米的速度跑的时间为:(120-30)÷3=90÷3=30(秒)所以后一半路程共用时:6+30=36(秒)答:电子猫后120米跑了36秒。故选:D。【跟踪训练2】(2024春 江阴市期末)小小和妈妈沿着圆形花坛散步。小小走一圈用12分钟,妈妈走一圈用8分钟。如果两人同时同地出发,相背而行,走了16分钟后,两人的位置是下面的图( )A. B. C. D.【答案】C【分析】把圆形花坛的周长看作单位“1”,小小走一圈用12分钟,平均每分钟走圈,妈妈走一圈用8分钟,平均每分钟走圈,根据速度和×时间=总路程,据此求出16分钟时两人走了多少圈,进而确定两人的位置,据此解答。【解答】解:(+)×16=×16=3(圈)因为两人16分钟走了3圈,所以两人相距圈的距离。由此可以确定两人的位置在图象C的位置。故选:C。【跟踪训练3】(2025春 江岸区期中)一个环形跑道长240m,小刚、小冬、小军三人从同一地点同时同方向跑步。小刚的速度是5米/秒,小冬的速度是4米/秒,小军的速度是6米/秒。至少经过 ______分钟。三人在原出发点相遇。【答案】4。【分析】1、本题属于求几个数的最小公倍数,需要掌握求几个数的最小公倍数的方法:2、根据路程、速度与时间的关系式,先求得小刚、小冬、小军三人跑1圈所用的时间分别是多少;3、然后再利用求最小公倍数的方法求得他们三人所用时间的最小公倍数,由此解答即可。【解答】j解:小刚跑1圈所用的时间:240÷5=48(秒)小冬跑1圈所用的时间:240÷4=60(秒)小军跑1圈所用的时间:240÷6=40(秒)48、40和60的最小公倍数是240。240秒=4分钟答:至少经过4分钟,三人在原出发点相遇。故答案为:4。【跟踪训练4】(2024 资中县)A、B是圆形跑道直径的两端,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,两人第一次相遇时,相遇地点距离A地360米,两人按照原速度继续前行,甲经过B地后再与乙第二次相遇,相遇地点距离B地120米,这个圆形跑道的周长是______米。【答案】1920。【分析】由图可知,相遇第一次,两人走了周长的一半;当两人第二次相遇时,相当于走了一个周长加上周长的一半,也就是三个周长的一半;每走一个周长的一半,甲就要走360米,则三个周长的一半,甲走了3×360=1080(米);因为甲已经过了B地,所以甲走的路程减去120米,就是周长的一半,则用1080米减去120米,再乘2就是圆形跑道的周长。【解答】解:(360×3-120)×2=(1080-120)×2=960×2=1920(米)答:这个圆形跑道的周长是1920米。故答案为:1920。【跟踪训练5】(2025 重庆模拟)甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【答案】7。【分析】根据题意可知,甲与乙的速度和是(400÷24)米/秒,根据相遇前与相遇后速度和一定可知,甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同,设原来甲的速度是x米/秒,根据速度和列出方程求解即可。【解答】解:400÷24=(米/秒)设原来甲的速度是x米/秒。x+x+2= 2x+2= 2x= x=7答:甲原来的速度是7米/秒。【跟踪训练6】(2024春 雨花台区校级期中)可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体,他们同时从同一地点出发,向相反方向跑去,可可的速度是6米/秒,乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗?如果没有相遇,两人还相距多少米?【答案】两人还没有相遇;100米。【分析】两人在400米的环形跑道上跑步,他们同时从同一地点出发,向相反方向跑去。要知道30秒后两人是否相遇,根据路程=速度×时间,需要先算出30秒内两人一共跑的距离,再与400米比较大小即可。如果两人一共跑的距离大于400米,那么两人已经相遇过了。如果两人一共跑的距离小于400米,说明两人还没有相遇。【解答】解:两人的速度和:6+4=10(米/秒)10×30=300(米)300<400,所以两人还没有相遇。400-300=100(米)答:30秒后两人还没有相遇,两人还相距100米。列车过桥问题(1)火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间,因此火车的路程是桥长与车身长度之和.(2)火车与人错身时,忽略人本身的长度,两者路程和为火车本身长度;火车与火车错身时,两者路程和则为两车身长度之和.(3)火车与火车上的人错身时,只要认为人具备所在火车的速度,而忽略本身的长度,那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候一定得结合着图来进行.例1:例1:一列火车长200米,以每分钟1200米的速度经过一座大桥,从车头进到车尾出一共用了2分钟.求桥的长度是多少米?正确的算式是( )A、1200×2+200 B、1200×2-200 C、(1200+200)×2 D、(1200-200)×2【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟,则火车等于是跑了桥的全长加车的长度,于是,我们用2分钟所行驶的距离再减去车长200米就是桥的长度.【解答】1200×2-200=2400-200=2200(米),故选:B.【点评】解答此题的关键是知道:火车过桥走过的路程=桥长+车身长,再根据基本的数量关系解决问题.【跟踪训练1】(2024春 宿城区期中)一列长200米的火车,每秒行驶32米,这列火车经过大桥时,从车头上桥到车尾离桥一共用了39秒。这座大桥长( )米。A.1048 B.1248 C.1448【答案】A【分析】根据“速度×时间=路程”可以求出火车39秒一共行驶的路程,这段路程包括桥长和车长,从中去掉车长就是桥长。【解答】解:32×39-200=1248-200=1048(米)答:这座大桥长1048米。故选:A。【跟踪训练2】(2024 雨城区校级模拟)一列火车长200米,它以72km/h的速度经过一座大桥,从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟,求桥长是多少米的算式正确的是( )A.1200×2-200 B.1200×2+200C.(1200+200)×2 D.(1200-200)×2【答案】A【分析】首先将72km/h换算为以米/分为单位的数,即72×1000÷60=1200(米/分),根据路程=速度×时间,列式1200×2求出火车2分钟行的路程是多少米,并把单位化成米;再减去这列火车车身的长,就是这座桥的长度,据此列式。【解答】解:72×1000÷60=1200(米/分)1200×2-200=2200(米)答:桥长是2220米。故选:A。【跟踪训练3】(2025春 鼓楼区期中)一座大桥长3200米,一列火车以850米/分的速度行驶,从车头上桥到车尾离开桥共用了4分钟。这列火车长 ______米。【答案】200。【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用4分钟,则火车等于是跑了桥的全长加车的长度,于是我们用4分钟所行驶的距离再减去桥长3200米就是车身的长度。【解答】解:4×850-3200=3400-3200=200(米)答:这列火车车身长200米。故答案为:200。【跟踪训练4】(2024 重庆模拟)一个9车的婚车车队以每秒6米的速度通过一座长153米的大桥,已知每辆车长5米,每辆车之间间隔3米,通过这座桥需要 ______秒。【答案】37。【分析】由题干可知,用每辆车的长度乘9,求出9辆车一共有多长,用每辆车之间的间隔乘(9-1),求出9辆车之间一共有多少米,用9辆车一共的长度加上9辆车之间的间隔的长度,再加上桥的长度,求出9辆车要行驶的路程,再除以每秒的速度,即可求出通过这座桥需要多少秒。【解答】解:5×9+3×(9-1)+153=45+3×8+153=45+24+153=69+153=222(米)222÷6=37(秒)答:通过这座桥需要37秒。故答案为:37。【跟踪训练5】(2024 商水县模拟)某小学组织学生去参观科技展览,346人排成两路纵队,相邻两排相距0.5米,队伍每分钟走65米。现在要通过一座长889米的桥,从排头2人上桥到排尾2人离开桥共需多少分钟?【答案】15分钟。【分析】根据题意,我们可先求出排成两路纵队时每排的人数,进而根据人数的间隔求得纵队的长度,再得出排头2人上桥到排尾2人离开桥所要走的路程(即桥长+队伍长度),然后结合队伍的速度即可求出所用时间。由此解答。【解答】解:346÷2=173(人)(173-1)×0.5=86(米)86+889=975(米)975÷65=15(分钟)答:从排头2人上桥到排尾2人离开桥需要15分钟。【跟踪训练6】(2023秋 西湖区期末)某校五年级同学去参观展览。342人排成两路纵队,前后相邻两人各相距0.4米,队伍每分钟走60米。现在要过一座桥,从排头两人上桥到排尾两人离开,共需9.8分钟。桥长多少米?【答案】520米。【分析】每路纵队的人数是:342÷2=172(人),根据植树问题可求出队伍的长度是:0.4×(171-1)=68(米);从排头两人上桥到排尾两人离开桥,行驶的路程应为桥长加队伍的长度,求出行驶的路程减去队伍的长度,得到的就是桥的长度。【解答】解:每路纵队的人数是:342÷2=171(人)队伍的长度是:0.4×(171-1)=0.4×170=68(米)60×9.8-68=588-68=520(米)答:桥长520米。发车间隔问题(1)一般间隔发车问题.用3个公式迅速作答;汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔(2)求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数.标准方法是:画图--尽可能多的列3个好使公式--结合s全程=v×t--结合植树问题数数.(3)当出现多次相遇和追及问题--柳卡.例1:例1:公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟,全程走15分钟,某人骑自行车从乙站往甲站行走,开始时恰好遇见一辆公交车,行走过程中又遇见10辆,到甲站时又一辆公交车要出发,这人走了( )分钟.A、35 B、40 C、50 D、45【分析】因为是相向而行,所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于(10+1)×5=55(分钟),又因为公交车走全程需15分钟,所以骑自行车的时间为:55-15=40(分钟)【解答】由题意可得(10+1)×5-15=55-15=40(分钟).答:他从乙站到甲站共用了40分钟.故选:B.【点评】此题属于多次相遇问题,考查了学生“相向而行”这一知识点,以及分析问题的能力.【跟踪训练1】(2024春 肃北县期中)公交车从甲站到乙站每隔5分钟开出一辆,全程行驶40分钟,某人骑自行车从乙站到甲站,开始出发时恰好遇见一辆公交车,骑行过程中又遇见12辆,到甲站时又遇见一辆公交车刚要出发,这个人从乙站到甲站骑行的时间是( )A.65分钟 B.60分钟 C.70分钟 D.72分钟【答案】A【分析】骑车人从开始和到站时一共遇到(12+2)辆公交车,可以看作两端都种树的植树问题,计算间隔数,然后计算从乙站到甲站骑行的时间。【解答】解:一共遇到:12+2=14(辆),(14-1)×5=13×5=65(分钟)答:这个人从乙站到甲站骑行的时间是65分钟。故选:A。【跟踪训练2】(2021 泰安模拟)公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟,全程走15分钟,某人骑自行车从乙站往甲站行走,开始时恰好遇见一辆公交车,行走过程中又遇见10辆,到甲站时又一辆公交车要出发,这人走了( )分钟.A.35 B.40 C.50 D.45【答案】B【分析】因为是相向而行,所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于(10+1)×5=55(分钟),又因为公交车走全程需15分钟,所以骑自行车的时间为:55-15=40(分钟).【解答】解:由题意可得(10+1)×5-15=55-15=40(分钟).答:他从乙站到甲站共用了40分钟.故选:B.【跟踪训练3】(2023春 成华区期末)汽车每隔15分钟开出一班,哥哥想乘9时10分的一班车,但到站时,已是9时20分,那么他要等______分钟才能乘上下一班车.【答案】见试题解答内容【分析】根据“哥哥想乘9时10分的一班车,但到站时,已是9时20分,”说明9:10的车已经发车走了(20-10)10分钟,他要等下一班车需要的时间是:15-10=5(分钟),据此解答.【解答】解:根据分析可得,9时20分-9时10分=10分钟,15-10=5(分钟),答:他要等5分钟才能乘上下一班车.故答案为:5.【跟踪训练4】(2024 江北区校级模拟)从电车总站每隔一定时间开出一辆电车,甲与乙两人在一条街上反方向步行,甲沿电车发车方向每分钟步行60米,每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己;乙每分钟步行80米,每隔10分遇上迎面开来的一辆电车,那么电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。【答案】14。【分析】设电车的速度为x米/分钟,电车和甲属于追及问题,电车和乙属于相遇问题,初距离就是电车在间隔时间行的路程,这个距离是不变的,也就是电车和甲的追及距离(x-60)×20米,电车和乙的相遇距离(x+80)×10米,由此可得方程:(x-60)×20=(x+80)×10,求出速度,再求出电车在间隔时间行的路程,然后进一步解答即可。【解答】解:设电车的速度为x米/分钟。(x-60)×20=(x+80)×10 20x-1200=10x+800 10x=2000 x=200(200-60)×20÷200=2800÷200=14(分钟)答:电车总站每隔14分钟开出一辆电车。故答案为:14。【跟踪训练5】(2024 渝北区)一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的4倍,每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人,每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人,如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变,那么间隔几分钟发一辆公共汽车?【答案】7.5。【分析】根据题意,我们可设步行人的速度为x米/分,则骑车人的速度为4x米/分,公共汽车的速度为y米/分;进而得出一方程8(y-x)=10(y-4x),整理得出:x:y=1:16;然后再根据两个未知数的关系,恰当设出步行人速度为1份,骑车人速度为4份,公共汽车速度为16份,进而用份数表示出“相邻两辆公共汽车之间的距离为:(16-1)×8=120份”,至此便可求出问题答案了。【解答】解:设步行人的速度为x米/分,则骑车人的速度为4x米/分,公共汽车的速度为y米/分,得8(y-x)=10(y-4x)整理得:x:y=1:16若步行人速度为1份,则骑车人速度为4份,公共汽车速度为16份,得(16-1)×8=120;120÷16=7.5(分钟)答:间隔7.5分钟发一辆公共汽车。故答案为:7.5。【跟踪训练6】(2024 宁波模拟)在一条马路上,小智骑车与小慧同向而行,小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧,每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车,且每辆车的速度相同,则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟?【答案】8分钟。【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公交车和小慧,公交车和小智,设每两辆公交车间隔(即追及路程)为1,由此可以得出公交车与小慧的速度之差为:1÷10=,公交车与小智的速度差为:1÷20=;由此可求得小慧的速度为:(-)÷2=,由此即可解决问题。【解答】解:设每两辆公交车间隔(即追及路程)为1;由此可以得出公共汽车与小慧的速度之差为:1÷10=;公共汽车与小智的速度差为:1÷20=;因为小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍;所以小慧的速度为:(-)÷(3-1)=÷2=则公交车的速度是+=1÷=8(分钟)答:相邻两车发车的间隔时间是8分钟。错车问题多次相遇的基本公式和方法计算:距离、列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题;相向而行错车相当于相遇问题,同向而行错车相当于追及问题.但在实际解题过程中我们会发现:同样是错车,如果给出的题设条件不同,则错车时所计算的路程与车长有关.例1:例1:甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行,恰好有一列火车开来,整列火车经过甲身边用了18秒,2分后又用了15秒从乙身边开过.问:(1)火车速度是甲的速度的几倍?(2)火车经过乙身后,甲、乙两人还需要多少时间才能相遇?【分析】(1)设火车的长度为S,火车速度为V1,甲乙的速度为V2,因为火车经过甲用的时间长,所以甲与火车同向而行,而乙与火车相对而行;则火车经过甲的速度为V1-V2,经过乙的速度V1+V2,由于经过的距离同是火车的长度,由此可得:(V1-V2)×18=(V1+V2)×15,整理后得:V1=11V2,即火车速度为甲的速度的11倍.(2)经过甲后,火车行了2分钟即120秒才与乙相遇,当火车经过了乙,火车一共行驶了120+15秒=135秒.此时甲行走了135秒,火车在此时间段行走了135×V1的路程,甲走了135×V2的路程.那么火车经过乙以后甲乙之间的距离为135V1-135V2=1350V2.所以甲乙走这段路程所需要的时间为1350V2÷(V2+V2)=675秒.即火车经过乙675秒后甲乙两人相遇.【解答】(1)设火车的长度为S,火车速度为V1,甲乙的速度为V2,由此可得:(V1-V2)×18=(V1+V2)×1518V1-18V2=15V1+15V2,3V1=33V2,V1=11V2.答:火车速度为甲的速度的11倍.(2)2分钟=120秒,135V1-135V2=135×11V2-135V2,=1485V2-135V2,=1350V2.1350V2÷(V2+V2),=1350V2÷2V2,=675(秒).答:火车经过乙身后,甲、乙工人还需要675秒才能相遇.【点评】本题为相遇问题与追及问题的综合,完成问题(2)时要注意从火车经过的距离中减去甲行的距离.【跟踪训练1】(2024 中原区)一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是270米,慢车的车长是360米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是( )秒。A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【分析】像这样的错车问题,两辆车上的人看对方车速两车是一样的,快车上的人看慢车驶过时,快车行驶的路程为慢车的长度,相反则是慢车的情况;所以只要求出两车相对行驶的速度,再进一步即可求解。【解答】解:270÷(360÷12)=270÷30=9(秒)答:坐在慢车上看见快车驶过的时间是9秒。故选:A。【跟踪训练2】(2023 涪城区)一列快车和一列慢车相对而行,其中快车的车长200米,慢车的车长250米,坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟,坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟?( )A.6秒钟 B.6.5秒钟 C.7秒钟 D.7.5秒钟【答案】D【分析】相遇问题公式“相遇路程=速度和×相遇时间”;坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟,这时相遇路程是快车的全长,根据“路度和=相遇路程÷相遇时间”计算出两车的速度和;坐在快车上的旅客看到慢车驶过,这时相遇路程是慢车的全长,根据“相遇时间=相遇路程÷速度和”解答即可。【解答】解:250÷(200÷6)=250×=7.5(秒)答:坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是7.5秒。故选:D。【跟踪训练3】(2024 渝北区)张良沿一公路徒步,速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车,如果公共汽车按相等的时间间隔,以同一速度前行,那么,公共汽车发出时间间隔是 ______。【答案】见试题解答内容【分析】根据题意,先求出汽车与张良的速度差和速度和,再根据和差公式求出汽车的速度,再根据追及问题求出追及路程,用追及路程除以汽车的速度,就是汽车发车的间隔时间。【解答】解:设汽车速度为每小时x千米。36分=0.6小时12分=0.2小时0.6(x-4.2)=0.2(x+4.2)0.6x-2.52=0.2x+0.840.6x-0.2x=0.84+2.520.4x=3.36 x=8.4汽车与张良的速度差为:8.4-4.2=4.2(千米/时)发车间隔为:4.2×0.6÷8.4=2.52÷8.4=0.3(小时)0.3小时=18分钟答:公共汽车发出时间间隔是18分钟。故答案为:18。【跟踪训练4】(2024 新绛县)一列火车长152米,它的速度是每小时63.36公里,一个人与火车相向而行,全列火车从他身边开过用8秒钟,这个人的步行速度是每秒 ______米。【答案】见试题解答内容【分析】火车过人,相向而行,路程和=车长,根据“速度和=路程÷时间”求出火车经过人时的速度和,用速度和减去火车的速度即是人步行的速度。【解答】解:63.36公里/时=17.6米/秒152÷8=19(米/秒)19-17.6=1.4(米/秒)答:这个人的步行速度是1.4米。故答案为:1.4。【跟踪训练5】(2024 沙坪坝区)小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是2米/秒,这时从他后面开过来一列火车,从车头遇到小李到车尾经过他身旁共用了21秒。已知火车全长336米,求火车的速度。【答案】18米/秒。【分析】根据“路程÷时间=速度”即可求出火车经过小李的速度,即火车和小李的速度差,用速度差加上小李的速度即为火车的速度。【解答】解:336÷21+2=16+2=18(米/秒)答:火车的速度为18米/秒。【跟踪训练6】(2024 双流区)从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行,甲每分钟步行82米,每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行60米,每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?【答案】11分。【分析】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行,10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间,此时甲遇到迎面开来的电车,这辆电车还要经过15秒再与乙相遇,据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和,进而求出电车的速度;甲在遇到第一辆电车后,经过10分钟遇到第二辆电车,由此可知,两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程,用这个路程除以电车的速度,即是两辆电车发车相隔的时间。【解答】解:10分15秒=10.25分(82-60)×10÷(10.25-10)-60=22×10÷0.25-60=220÷0.25-60=880-60=820(米)(82+820)×10÷820=9020÷820=11(分)答:电车总站每隔11分钟开出一辆电车。21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025小升初数学热点考点强化第2讲行程问题(二)(讲义)(原卷版).docx 2025小升初数学热点考点强化第2讲行程问题(二)(讲义)(解析版).docx