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第3讲 分数问题（一）
1、分数的大小比较 2
2、分数的拆项 4
3、巧算分数和 7
4、分数和百分数应用题 9
热点考点 考查频率 考点难度
分数的大小比较 ★★★ ★★
分数的拆项 ★★ ★★★
巧算分数和 ★★ ★★★★
分数和百分数应用题 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。
分数的大小比较
分数的大小比较常用方法：
（1）通分母：分子小的分数小．
（2）通分子：分母小的分数大．
（3）比倒数：倒数大的分数小．
（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）
（5）重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
（6）放缩法．
例1：
例1：在这四个数中，最大的数是（　　）
A、 B、 C、 D、
【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如=1+，=1+，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
【解答】因为＜1，＜1，＞1，＞1，因此和应排除；
=1+，
=1+，
＞，
因此＞．
最大数是．
故选：B．
【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答．
【跟踪训练1】（2024 天河区）（a,b,c都是不等于0的自然数），a,b,c中最小的是（　　）
A．无法确定 B．a C．b D．c
【跟踪训练2】（2024 云城区）若＜＜，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数．
A．6 B．7 C．8 D．9
【跟踪训练3】在314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。
【跟踪训练4】把下列分数按大小顺序排列：，，，，______．
【跟踪训练5】比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大，并进行验证．
【跟踪训练6】五（1）班有的同学看过《西游记》，有的同学看过《朝花夕拾》，有的同学看过《红楼梦》，还有的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？
分数的拆项
（1）分母为两个相邻自然数时：=-
（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：=-或=（+）×．
例1：
例1：＝　　 ．
【分析】根据平方差公式：原式＝，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可．
【解答】，
＝，
＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算．
【跟踪训练1】++++……++=（　　）
A．1 B． C．
【跟踪训练2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可以是（　　）
A．12 B．24 C．14 D．15
【跟踪训练3】计算：=______．
【跟踪训练4】（2024 晋州市）观察下列式子：，，，……请计算=______。
【跟踪训练5】（2023春 泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充完整。
你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？
=______=______
【跟踪训练6】（2023秋 曾都区期末）先阅读，再计算：
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以
根据以上材料，计算
=______
巧算分数和
1．凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化．
2．约分法
3．裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算．
4．代数法
5．分组法．
例1：
例1：计算：
1+3+5+7+9+11+13+15+17=
81
．
【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为n（n+1）形式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式巧算，分数部分可据=-进行巧算．
【解答】1+3+5+9+11+13+15+17
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++），
=，
=81+（），
=81+，
=81．
【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于数的巧算公式．
【跟踪训练1】算式，再加上（　　）后，结果就是1。
A． B． C． D．
【跟踪训练2】计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
【跟踪训练2】一列数：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整数部分之和是 ______。
【跟踪训练4】如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______．
【跟踪训练5】（2024秋 白云区校级期中）请用简便方法计算求和。
已知，
求：
【跟踪训练6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此我们可以推断：++++=1-=
分数和百分数应用题
下列五种基本类型的解题方法：
1．求：一个数的百分之几是多少？
方法：单位1×对应分率=比较量
2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．
方法：比较量÷对应分率=单位1；
或设这个数（单位1）为X，用方程解．
3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”，
求：标准量（单位1）或比较量？
方法：（1）单位1±单位1×n%=比较量
（2）单位1×（1±n%）=比较量
（3）比较量÷（1±n%）=单位1
找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．
4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？
方法：相差数÷单位1
5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）”
方法：比较量÷单位1
（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．
例1：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1-）×÷2=，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
【解答】甲分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5），
=18000×{[1--]÷5-÷2}×11，
=18000×{}×11，
=3300（元）；
丙分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5），
=18000×{[1--]÷5-}×（2+5），
=18000×{-}×（2+5），
=18000××7，
=5600（元）；
乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）．
答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．
【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率=工作量÷工作时间．
【跟踪训练1】小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的和蓝球的一样多。两种球相差（　　）个。
A．19 B．20 C．25 D．30
【跟踪训练2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【跟踪训练3】（2024 渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 ______厘米。
【跟踪训练4】（2024 苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%．
【跟踪训练5】（2024 西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原来有多少千克？
【跟踪训练6】（2023 临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第3讲 分数问题（一）
1、分数的大小比较 2
2、分数的拆项 6
3、巧算分数和 10
4、分数和百分数应用题 14
热点考点 考查频率 考点难度
分数的大小比较 ★★★ ★★
分数的拆项 ★★ ★★★
巧算分数和 ★★ ★★★★
分数和百分数应用题 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。
分数的大小比较
分数的大小比较常用方法：
（1）通分母：分子小的分数小．
（2）通分子：分母小的分数大．
（3）比倒数：倒数大的分数小．
（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）
（5）重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
（6）放缩法．
例1：
例1：在这四个数中，最大的数是（　　）
A、 B、 C、 D、
【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如=1+，=1+，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
【解答】因为＜1，＜1，＞1，＞1，因此和应排除；
=1+，
=1+，
＞，
因此＞．
最大数是．
故选：B．
【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答．
【跟踪训练1】（2024 天河区）（a,b,c都是不等于0的自然数），a,b,c中最小的是（　　）
A．无法确定 B．a C．b D．c
【答案】D
【分析】根据分数加法的计算方法可知：+的和一定大于其中任意一个加数，也就是一定大于、，再根据分数比较大小的方法可知：分子相等的分数，分母大的反而小，从而找出a、b、c中最小的。
【解答】解：因为+=，所以＞、＞。
根据分子相等的分数，分母大的反而小，可知：＞，则c＜a,同理，因为＞，所以c＜b,所以a,b,c中最小的是c。
故选：D。
【跟踪训练2】（2024 云城区）若＜＜，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】把＜＜，分成，两个不等式来解，据此解答．
【解答】解：
2A＜7×17
2A＜119
A＜59.5
A＞17×3
A＞51
所以51＜A＜59.5
在51和59.5之间的自然数有52、53、54、55、56、57、58、59共8个；
故选：C．
【跟踪训练3】在314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。
【答案】，3.122。
【分析】首先把、314%化成小数，再求出π的近似值，然后再根据小数的大小比较方法，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大，解答即可。
【解答】解：=3.4
π≈3.1416
314%=3.14
因为3.4＞3.1416＞3.14＞3.122
所以314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是，最小的数是3.122。
故答案为：，3.122。
【跟踪训练4】把下列分数按大小顺序排列：，，，，______．
【答案】见试题解答内容
【分析】把分数的分子都化为相同的数，而2，5，15，10，12的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，分子扩大多少倍，分母就扩大多少倍，再利用分子相同时，分母大的分数反而小即可．
【解答】解：因为：
==
==
==
==
==
且90＜92＜95＜96＜102
所以：＞＞＞＞
故答案为：＞＞＞＞．
【跟踪训练5】比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大，并进行验证．
【答案】我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。
猜想＜，≈0.94，=0.95，0.94＜0.95猜想成立。
【分析】先化成小数来比较、、、的大小，再猜想并验证与哪个更大即可。
【解答】解：=0.5
≈0.67
=0.75
≈0.83
因此＞＞＞。
我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。
猜想＜。
≈0.94
=0.95
0.94＜0.95
因此猜想成立。
【跟踪训练6】五（1）班有的同学看过《西游记》，有的同学看过《朝花夕拾》，有的同学看过《红楼梦》，还有的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？
【答案】《红楼梦》。
【分析】根据分数的基本性质，将各分数都化为分母为8的分数；接着根据同分母分数比较大小的方法，即可解答。
【解答】解：=
=
＞＞
答：看过《红楼梦》的同学最多。
分数的拆项
（1）分母为两个相邻自然数时：=-
（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：=-或=（+）×．
例1：
例1：＝　　 ．
【分析】根据平方差公式：原式＝，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可．
【解答】，
＝，
＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算．
【跟踪训练1】++++……++=（　　）
A．1 B． C．
【答案】C
【分析】根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算．
【解答】解：++++……++
=1-+-+-+-+……+-+-
=1-
=
故选：C．
【跟踪训练2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可以是（　　）
A．12 B．24 C．14 D．15
【答案】C
【分析】把分子分解成3个数的和，并且这3个加数都是分母的因数，然后约分即可变成分子为1的分数；据此解答即可。
【解答】解：=1
所以=
==
则a=9，b=3，c=2。
a+b+c=14
故选：C。
【跟踪训练3】计算：=______．
【分析】=×（-），=×（-），=×（-），=×（-），再根据乘法分配律简算．
【解答】解：
=×（-）+×（-）+×（-）+×（-）
=×（-+-+-+-）
=×（-）
=×
=
故答案为：．
【跟踪训练4】（2024 晋州市）观察下列式子：，，，……请计算=______。
【答案】。
【分析】根据“”可得：
……
【解答】解：
=（1-）+（-）+（-）+……+（-）+（-）
=1-+-+-+……+-+-
=1-
=
故答案为：。
【跟踪训练5】（2023春 泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充完整。
你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？
=______=______
【分析】观察可得规律，分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差。据此解答。
【解答】解：因为
则-=
由规律分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差可得，
=-+-+-+-+-=
故答案为：-+-+-+-+-，。
【跟踪训练6】（2023秋 曾都区期末）先阅读，再计算：
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以
根据以上材料，计算
=______
【答案】。
【分析】根据分数裂项直接简便运算即可。
【解答】解：
=1-+++……-+-
=1-
=
故答案为：。
巧算分数和
1．凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化．
2．约分法
3．裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算．
4．代数法
5．分组法．
例1：
例1：计算：
1+3+5+7+9+11+13+15+17=
81
．
【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为n（n+1）形式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式巧算，分数部分可据=-进行巧算．
【解答】1+3+5+9+11+13+15+17
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++），
=，
=81+（），
=81+，
=81．
【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于数的巧算公式．
【跟踪训练1】算式，再加上（　　）后，结果就是1。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察算式，发现前一项减后一项还等于后一项，根据此将每一项拆成两项，进行抵消计算即可。
【解答】解：
=（1-）+（）+（）+（）+（）+（）
=1-
所以
再加上后，结果就是1。
故选：A。
【跟踪训练2】计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
【答案】A
【分析】根据拆项公式：，拆项后通过加减相互抵消，根据分母越大分数值越小即可确定这个算式的和越来越接近1。
【解答】解：+++++……
=1-++-+++……+
=1-
当n的值越来越大，那么越接近0，
所以1-就越接近1，
所以照这样的规律加下去，这个算式的和越来越接近 1。
故选：A。
【跟踪训练2】一列数：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整数部分之和是 ______。
【答案】49。
【分析】因为1-0.64=0.36，，，所以1.64+之前整数部分是1，之后整数部分是2，共有11个1，19个2，据此解答即可。
【解答】解：1-0.64=0.36
所以1.64、 1.64+的整数部分是1，有11个；1.64+、 1.64+的整数部分是2，有19个，
11×1+19×2=49
整数部分之和是49。
【跟踪训练4】如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______．
【分析】由可变形为：7a+4b=27，因为a和b都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可．
【解答】解：可变形为：7a+4b=27，即b=，
因为a和b都是非零的自然数，所以a＞0，7a＜27，
即0＜a＜，那么a是1，2，3，
则a=1时，b=5，
a+b=1+5=6；
a=2时，b=（不合题意舍去）；
a=3时，b=1.5（不合题意舍去）．
故a+b=6．
故答案为：6．
【跟踪训练5】（2024秋 白云区校级期中）请用简便方法计算求和。
已知，
求：
【答案】。
【分析】把分数转化为两个相减的分数，再计算即可。
【解答】解：+++......++
=1-+-+-+......+-+-
=1-
=
【跟踪训练6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此我们可以推断：++++=1-=
【答案】。
【分析】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此可以得出++++……+=1-，然后代入数据进行解答。
【解答】解：++++
=1-
=
故答案为：。
分数和百分数应用题
下列五种基本类型的解题方法：
1．求：一个数的百分之几是多少？
方法：单位1×对应分率=比较量
2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．
方法：比较量÷对应分率=单位1；
或设这个数（单位1）为X，用方程解．
3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”，
求：标准量（单位1）或比较量？
方法：（1）单位1±单位1×n%=比较量
（2）单位1×（1±n%）=比较量
（3）比较量÷（1±n%）=单位1
找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．
4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？
方法：相差数÷单位1
5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）”
方法：比较量÷单位1
（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．
例1：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1-）×÷2=，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
【解答】甲分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5），
=18000×{[1--]÷5-÷2}×11，
=18000×{}×11，
=3300（元）；
丙分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5），
=18000×{[1--]÷5-}×（2+5），
=18000×{-}×（2+5），
=18000××7，
=5600（元）；
乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）．
答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．
【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率=工作量÷工作时间．
【跟踪训练1】小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的和蓝球的一样多。两种球相差（　　）个。
A．19 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【分析】红球的和蓝球的一样多，所以红球的个数×=蓝球的个数×，红球的个数：蓝球的个数：=2：3，把红球的个数和蓝球的个数分别看作2份和3份，它们的和是2+3=5（份），它们相差是3-2=1（份），用95除以一共的份数就是一份的个数，也就是相差的个数。
【解答】解：95÷（2+3）
=95÷5
=19（个）
答：两种球相差19个。
故选：A。
【跟踪训练2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】考察分数应用题，解题思路是根据题意找到等量关系，然后设未知数进行求解。
【解答】解：设父亲一共有X份财产。则：
第一个儿子（长子）拿了：1+（份），第二个儿子（次子）拿了两份和剩下的，即2+份。
根据长子和次子拿到的财产一样多，可得：
1+=2+
解得：X=81
则长子拿到：1+=9（份）
由于每个儿子拿到的财产一样多，
所以父亲一共有：81÷9=9（个）
答：父亲一共有9个儿子。
故选：C。
【跟踪训练3】（2024 渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 ______厘米。
【答案】60。
【分析】如图
把水深看成单位“1”，甲木棒有露出水面外，那么甲木棒是水深的1÷（1-）份，同理求出乙木棒，丙木各占水深的几分之几，480厘米除以对应分率就是水池的深度。
【解答】解：1÷（1-）
=1÷
=4（份）
1÷（1-）
=1÷
=（份）
1÷（1-）
=1÷
=（份）
480÷（4++）
=480÷8
=60（厘米）
答：水深是60厘米。
故答案为：60。
【跟踪训练4】（2024 苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%．
【分析】由题意知：把一瓶溶液看作单位“1”，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，此时瓶内水占溶液的；
又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的×（1-）=；
然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的×（1-）=；
这时的酒精占全部溶液的1-=．
【解答】解：1-=；
×（1-）=；
×（1-）=；
1-=．
×100%=75%．
答：这时的酒精占全部溶液的 75%．
【跟踪训练5】（2024 西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原来有多少千克？
【答案】60千克。
【分析】依据题意甲筐剩下的水果重量=原来重量×（1-），乙筐剩下的重量=甲筐剩下的重量×3÷4，乙筐原来的重量=乙筐剩下的重量÷（1-20%），由此列式计算即可。
【解答】解：96×（1-）
=96×
=64（千克）
64×3÷4=48（千克）
48÷（1-20%）
=48÷0.8
=60（千克）
答：乙筐水果原来有60千克。
【跟踪训练6】（2023 临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？
【答案】30个。
【分析】读题发现一个很明显的等量关系，“红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等”可以根据这一等量关系列方程求解；设原来红枣粽子的数量是x个，它的数量增加后，就是（1+）x个，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4，也就是这时蛋黄粽子的数量是红枣粽子的，用（1+）x乘就是蛋黄粽子的个数，再减去5个，就是后来蛋黄粽子的个数，后来红枣粽子增加50%，那么后来红枣粽子的个数就是（1+50%）x个，这与后来蛋黄粽子的个数相等，由此列出方程求解。
【解答】解：设王阿姨一共准备了x个红枣粽子。
（1+）x×-5=（1+50%）x
x×-5=1.5x
x-1.5x=5
x=5
x=30
答：王阿姨一共准备了30个红枣粽子。
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