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第5讲 计数问题（一）
1、加法原理 2
2、乘法原理 5
3、容斥原理 7
4、抽屉原理 10
热点考点 考查频率 考点难度
加法原理 ★★ ★★★
乘法原理 ★★ ★★★
容斥原理 ★★ ★★★
抽屉原理 ★★★ ★★★
【考情分析】计数问题是小升初数学考试中的重要模块，主要考查学生的逻辑思维、分类讨论能力和对基本计数方法的掌握。知识点包括加法原理、乘法原理、容斥原理、抽屉原理等，该部分题目通常出现在填空题、选择题和应用题中，难度中等，但灵活性较强，容易因遗漏或重复计数导致失分。
加法原理
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法…，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2…+mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的分类方法．
基本特征：每一种方法都可完成任务．
例1：
例1：Karry到早餐店吃早餐，有包子、油条、烧卖三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有（　　）种不同的选择方法．
A、3 B、6 C、7 D、9
【分析】分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种有几种方法，然后利用加法原理解答即可．
【解答】①吃一种，有包子、油条、烧卖三种选择方法，
②吃两种有包子、油条；包子、烧卖；油条、烧卖三种选择方法，
③吃三种就是三种一起吃，有一种选择方法；
一共有：3+3+1=7（种）．
答：有7种不同的选择方法．
故选：C．
【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
例2：高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用（　　）分钟就能通知到每个人．
A、24 B、12 C、6 D、5
【分析】第一分钟老师和学生一共有2人；
第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2=2人，第二分钟老师和学生一共有：2+2=4=2×2人；
第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4=4人，第二分钟老师和学生一共有：4+4=8=2×2×2人；
第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8=8人，第二分钟老师和学生一共有：8+8=16=2×2×2×2人；
同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，
所以，2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
【解答】根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，
所以2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，即16＜25＜32；
因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
故选：D．
【点评】注意本题为了便于研究规律，不要把老师和学生分隔开研究，这样有利于使问题简单化；通过本题我们可以总结出这种题的一般规律：有几分钟总人数就是几个2连乘（2的n次方）．
【跟踪训练1】学校举办班级乒乓球比赛．共有16支球队参加，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）．一共要进行（　　）场比赛后才能产生冠军．
A．13 B．14 C．15 D．16
【跟踪训练2】一把钥匙开一把锁，现有3把钥匙和3把锁弄混了，最多试开（　　）次，就能把锁和钥匙配起来．
A．3 B．4 C．5 D．6
【跟踪训练3】一个火车站，上站台有电梯2部，自动梯1部，扶梯3部．上站台有______种不同的走法．
【跟踪训练4】口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，除颜色外全部相同，任意摸出一个球，颜色有 ______种可能．
【跟踪训练5】往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站．问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
【跟踪训练6】小丹的叔叔从南京出差去上海，可以乘飞机去，也可以乘火车去，还可以乘汽车或轮船去。一天中从南京到上海有4班不同的飞机，10班不同的火车，5班不同的汽车和1班轮船。问：一天中乘坐这些交通工具，从南京到上海共有多少种走法？
乘法原理
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的完成步骤．
基本特征：每一步只能完成任务的一部分．
例1：
例1：小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法．
A、3 B、4 C、7 D、12
【分析】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有4×3=12种不同的捐法
【解答】4×3=12（种）．
所以共有12种不同的捐法．
故选：D
【点评】乘法原理与加法原理加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这两种原理的区别．
例2：小红有2件不同的上衣，3双不同的鞋子，2件不同的裙子，共有（　　）穿法．
A、9 B、12 C、24
【分析】要完成不同的穿衣搭配，需要分三步，第一步从2件不同的上衣取一件有2种取法；第二步从2件不同的裙子取一条有2种取法；第三步从3双不同的鞋子取一双有3种取法；根据乘法原理，共有：2×3×2=12（种），据此解答
【解答】2×3×2
=6×2
=12（种）；
答：共有12种不同的穿法．
故选：B
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法；本题有三种衣物，所以需要分三步完成不同的穿衣搭配．
【跟踪训练1】（2024 巧家县校级模拟）A、B、C、D四位同学排成一排照相，B与C要求站在一起，一共有（　　）种不同的站法。
A．3 B．6 C．8 D．12
【跟踪训练2】（2024 福州）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法．
A．3 B．4 C．7 D．12
【跟踪训练3】（2024秋 合肥期末）小红有2件不同颜色的上衣，有3条不同颜色的裤子，共有 ______种搭配方法．
【跟踪训练4】（2023秋 成都期末）三年级（2）班的同学去儿童乐园，每人带一份盒饭，每份盒饭要含一个荤菜和一个素菜，荤菜有排骨和鱼，素菜有白菜、黄瓜和油菜，厨师共有 ______种不同的配菜方法．
【跟踪训练5】（2024春 兴庆区期末）孙悟空在和妖怪打斗时，把自己的名字“孙行者”三个字变化了许多次来迷惑妖怪，你也来试试看，能变出几个？
【跟踪训练6】下面是爱心之家餐厅盒饭的菜单，每盒有一个荤菜和一个素菜．
荤菜：红烧肉、鱼香肉丝
素菜：炒瓜片、土豆丝、烧茄子、炖豆角
一共有几种不同的配菜方法？请列举出来．
容斥原理
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
例1：
例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（　　）人参加聚会．
A、18 B、12 C、10
【分析】由题意可知，聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可．
【解答】5+6+4-3=12（人）
答：共有12人参加聚会．
故选：B
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题
例2：用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母（　　）表示氦气．
A、X B、Y C、Z D、W
【分析】根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，而X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案．
【解答】根据题意和所给出的图知道，
Z是三个星球都含有的气体，
W是只有天王星含有的气体，
Y是只有冥王星含有的气体，
X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，
而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有，
所以，图中字母X表示氮气．
故选：A．
【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）．
【跟踪训练1】（2024秋 宽城县期末）我们班会打乒乓球的有23人，会打篮球的有16人，两种都会的人最多不超过（　　）人。
A．23 B．16 C．17 D．7
【跟踪训练2】（2024秋 新建区期末）一次数学测试，全班36人中，做对第一道题的有21人，做对第二道题的有18人，每人至少做对一道。两道题都做对的有（　　）人。
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练3】（2025 重庆模拟）老师组织六一班45名同学观看了《哪吒2之魔鬼闹海》，在做观影调查的时候，发现喜欢哪吒的有36人。喜欢敖丙的有18人，两个都喜欢的有10人，那么两者都不喜欢的有 ______人。
【跟踪训练4】（2024秋 潮南区期末）一次数学测试，全班46人中，做对第一道思考题的有28人，做对第二道思考题的有23人，每人至少做对一道，则两道思考题都做对的有 ______人。
【跟踪训练5】（2024秋 建邺区期末）六年级二班有48人，其中喜欢打羽毛球，喜欢打篮球，没有人既不喜欢打羽毛球又不喜欢打篮球。既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球的有多少人？
【跟踪训练6】（2024秋 历城区期末）为了提升道路交通安全意识，阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频，148名同学观看了“道路安全警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时．
②k=个物体：当n能被m整除时．
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．
例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
例1：
例1：在任意的37个人中，至少有（　　）人属于同一种属相．
A、3 B、4 C、6
【分析】把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答
【解答】37÷12=3…1
3+1=4（人）
答：至少有4人的属相相同．
故选：B
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑
例2：在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（　　）粒玻璃珠．
A、3 B、5 C、7 D、无法确定
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答
【解答】根据题干分析可得：
2×3+1=7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选：C
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．
【跟踪训练1】（2024秋 长春期末）一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各5个，至少摸出（　　）个球，可以保证有两个球颜色相同。
A．4 B．5 C．6 D．10
【跟踪训练2】（2024秋 如皋市期末）一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【跟踪训练3】（2024秋 惠山区期末）一个盒子里放着7个除颜色外其他完全一样的小球，其中4个红球，3个白球，至少从中摸出 ______个球，才能保证摸出的球里一定有白球。
【跟踪训练4】（2024 墨竹工卡县模拟）袋子里有红球、黄球、白球分别为3个、5个、7个，为使取出的球中保证有4个同色，最少要取 ______个球。
【跟踪训练5】（2024 德宏州）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
【跟踪训练6】（2024春 巧家县校级期中）袋子里有同样大小的红、白、黄、蓝颜色的球各5个，至少取出多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第5讲 计数问题（一）
1、加法原理 2
2、乘法原理 5
3、容斥原理 9
4、抽屉原理 13
热点考点 考查频率 考点难度
加法原理 ★★ ★★★
乘法原理 ★★ ★★★
容斥原理 ★★ ★★★
抽屉原理 ★★★ ★★★
【考情分析】计数问题是小升初数学考试中的重要模块，主要考查学生的逻辑思维、分类讨论能力和对基本计数方法的掌握。知识点包括加法原理、乘法原理、容斥原理、抽屉原理等，该部分题目通常出现在填空题、选择题和应用题中，难度中等，但灵活性较强，容易因遗漏或重复计数导致失分。
加法原理
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法…，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2…+mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的分类方法．
基本特征：每一种方法都可完成任务．
例1：
例1：Karry到早餐店吃早餐，有包子、油条、烧卖三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有（　　）种不同的选择方法．
A、3 B、6 C、7 D、9
【分析】分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种有几种方法，然后利用加法原理解答即可．
【解答】①吃一种，有包子、油条、烧卖三种选择方法，
②吃两种有包子、油条；包子、烧卖；油条、烧卖三种选择方法，
③吃三种就是三种一起吃，有一种选择方法；
一共有：3+3+1=7（种）．
答：有7种不同的选择方法．
故选：C．
【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
例2：高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用（　　）分钟就能通知到每个人．
A、24 B、12 C、6 D、5
【分析】第一分钟老师和学生一共有2人；
第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2=2人，第二分钟老师和学生一共有：2+2=4=2×2人；
第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4=4人，第二分钟老师和学生一共有：4+4=8=2×2×2人；
第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8=8人，第二分钟老师和学生一共有：8+8=16=2×2×2×2人；
同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，
所以，2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
【解答】根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，
所以2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，即16＜25＜32；
因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
故选：D．
【点评】注意本题为了便于研究规律，不要把老师和学生分隔开研究，这样有利于使问题简单化；通过本题我们可以总结出这种题的一般规律：有几分钟总人数就是几个2连乘（2的n次方）．
【跟踪训练1】学校举办班级乒乓球比赛．共有16支球队参加，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）．一共要进行（　　）场比赛后才能产生冠军．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】16支球队参加比赛．决赛阶段以单场淘汰制进行：打16÷2=8（场）决出8强，再打8÷2=4（场）决出四强，再打4÷2=2（场）决出冠亚军，最后打一场决出冠军，一共要打：8+4+2+1=15（场）．
【解答】解：一共进行：
8+4+2+1，
=12+2+1，
=15（场）．
答：一共要进行15场比赛后才能产生冠军．
故选：C．
【跟踪训练2】一把钥匙开一把锁，现有3把钥匙和3把锁弄混了，最多试开（　　）次，就能把锁和钥匙配起来．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】首先开第一把锁，最多需要两次即可，开第二把锁只要一次即可，由此相加解决问题．
【解答】解：2+1=3（次）；
答：最多试开3次，就能把锁和钥匙配起来．
故选：A．
【跟踪训练3】一个火车站，上站台有电梯2部，自动梯1部，扶梯3部．上站台有______种不同的走法．
【分析】从2部电梯中选一种有2种走法、从1部自动梯中选一种有1种走法，从3部扶梯中选一种有3种走法，根据加法原理可知共有2+1+3=6种不同走法．
【解答】解：2+1+3=6（种），
答：上站台有6种不同的走法．
故答案为：6．
【跟踪训练4】口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，除颜色外全部相同，任意摸出一个球，颜色有 ______种可能．
【分析】因为口袋里有红、黄、花三种颜色的球，所以任意摸出一个球，可能摸到红球，也可能摸到黄球，还可能摸到花球，因此有3种可能．
【解答】解：因为有三种颜色的球，每种颜色的球都有可能摸到，所以任意摸出一个球，有3种可能．
故答案为：3．
【跟踪训练5】往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站．问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
【分析】我们可以根据列车的往与返把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：
在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类．
第1类：从宁出发：宁→常，宁→锡，宁→苏，宁→沪，4种；
第2类：从常出发：常→锡，常→苏，常→沪，3种；
第3类：从锡出发：锡→苏，锡→沪，2种；
第4类：从苏出发：苏→沪，1种．
我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，它的种数与第一大类完全相同．
【解答】解：（4+3+2+1）×2=20（种）
答：铁路部门要准备20种车票．
【跟踪训练6】小丹的叔叔从南京出差去上海，可以乘飞机去，也可以乘火车去，还可以乘汽车或轮船去。一天中从南京到上海有4班不同的飞机，10班不同的火车，5班不同的汽车和1班轮船。问：一天中乘坐这些交通工具，从南京到上海共有多少种走法？
【答案】20种。
【分析】将各种不同的走法相加，即可求出一共的走法种数。
【解答】解：有4班不同的飞机，有4种走法；有10班不同的火车，有10种走法；5班不同的汽车，有5种走法；1班轮船，有1种走法，即列式为：
4+10+5+1=20（种）
答：小丹的叔叔从南京去上海出差共有20种不同的走法。
乘法原理
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的完成步骤．
基本特征：每一步只能完成任务的一部分．
例1：
例1：小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法．
A、3 B、4 C、7 D、12
【分析】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有4×3=12种不同的捐法
【解答】4×3=12（种）．
所以共有12种不同的捐法．
故选：D
【点评】乘法原理与加法原理加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这两种原理的区别．
例2：小红有2件不同的上衣，3双不同的鞋子，2件不同的裙子，共有（　　）穿法．
A、9 B、12 C、24
【分析】要完成不同的穿衣搭配，需要分三步，第一步从2件不同的上衣取一件有2种取法；第二步从2件不同的裙子取一条有2种取法；第三步从3双不同的鞋子取一双有3种取法；根据乘法原理，共有：2×3×2=12（种），据此解答
【解答】2×3×2
=6×2
=12（种）；
答：共有12种不同的穿法．
故选：B
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法；本题有三种衣物，所以需要分三步完成不同的穿衣搭配．
【跟踪训练1】（2024 巧家县校级模拟）A、B、C、D四位同学排成一排照相，B与C要求站在一起，一共有（　　）种不同的站法。
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】根据题意，先将B与C看作一个整体，与A、D进行全排列，再考虑B与C之间的排列顺序，最后根据排列组合的乘法原理解答即可。
【解答】解：把B与C捆绑在一起，此时相当于有3个元素（BC整体、A、D）进行全排列。B与C两人之间也有不同的排列顺序，B在左C在右和B在右C在左，两种不同的站法，所以有ABCD、ACBD、ADBC、ADCB、BCAD、BCDA、CBAD、CBDA、DBCA、DCBA、DABC、DACB，共12种不同的站法。
故选：D。
【跟踪训练2】（2024 福州）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法．
A．3 B．4 C．7 D．12
【答案】D
【分析】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事类图书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有4×3=12种不同的捐法．
【解答】解：4×3=12（种）．
所以共有12种不同的捐法．
故选：D。
【跟踪训练3】（2024秋 合肥期末）小红有2件不同颜色的上衣，有3条不同颜色的裤子，共有 ______种搭配方法．
【分析】从2件上衣中选一件有2种不同的选法；从3条裤子中选一件有3种不同的选法；根据乘法原理可列式为：2×3=6（种），据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
2×3=6（种）
答：一共有6种搭配方法．
故答案为：6．
【跟踪训练4】（2023秋 成都期末）三年级（2）班的同学去儿童乐园，每人带一份盒饭，每份盒饭要含一个荤菜和一个素菜，荤菜有排骨和鱼，素菜有白菜、黄瓜和油菜，厨师共有 ______种不同的配菜方法．
【分析】荤菜是2种选1种，有2种不同的选法；
素菜是3种选1种，有3种不同的选法；这两者的积是全部的选法．
【解答】解：2×3=6（种）；
答：有6种不同的配菜方法．
故答案为：6．
【跟踪训练5】（2024春 兴庆区期末）孙悟空在和妖怪打斗时，把自己的名字“孙行者”三个字变化了许多次来迷惑妖怪，你也来试试看，能变出几个？
【分析】把自己的名字“孙行者”三个字变化，就相当于把“孙行者”三个字的全排列，即排在第一个有3种选法，排在第二个有2种选法，排在第三个有1种选法，根据乘法原理，共有3×2×1=6（种）变化．
【解答】解：3×2×1=6（种）
即：孙行者、孙者行、行者孙、行孙者、者行孙、者孙行．
答：能变出6个．
【跟踪训练6】下面是爱心之家餐厅盒饭的菜单，每盒有一个荤菜和一个素菜．
荤菜：红烧肉、鱼香肉丝
素菜：炒瓜片、土豆丝、烧茄子、炖豆角
一共有几种不同的配菜方法？请列举出来．
【分析】选择一个荤菜和一个素菜分两步完成，荤菜有2种选择，素菜有4种选择，根据乘法原理解答即可．
【解答】解：2×4=8（种）
红烧肉和炒瓜片、红烧肉和土豆丝、红烧肉和烧茄子、红烧肉和炖豆角；
鱼香肉丝和炒瓜片、鱼香肉丝和土豆丝、鱼香肉丝和烧茄子、鱼香肉丝和炖豆角；
共8种；
答：一共有8种搭配方法．
容斥原理
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
例1：
例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（　　）人参加聚会．
A、18 B、12 C、10
【分析】由题意可知，聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可．
【解答】5+6+4-3=12（人）
答：共有12人参加聚会．
故选：B
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题
例2：用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母（　　）表示氦气．
A、X B、Y C、Z D、W
【分析】根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，而X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案．
【解答】根据题意和所给出的图知道，
Z是三个星球都含有的气体，
W是只有天王星含有的气体，
Y是只有冥王星含有的气体，
X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，
而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有，
所以，图中字母X表示氮气．
故选：A．
【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）．
【跟踪训练1】（2024秋 宽城县期末）我们班会打乒乓球的有23人，会打篮球的有16人，两种都会的人最多不超过（　　）人。
A．23 B．16 C．17 D．7
【答案】B
【分析】要使两种都会的人最多不超过16人，即会打篮球的16人都会打乒乓球；据此解答即可。
【解答】解：23＞16，会打篮球的16人都会打乒乓球；那么要使两种都会的人最多不超过16人。
故选：B。
【跟踪训练2】（2024秋 新建区期末）一次数学测试，全班36人中，做对第一道题的有21人，做对第二道题的有18人，每人至少做对一道。两道题都做对的有（　　）人。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】依据题意可知，做对第一道题的人数+做对第二道题的人数-全班的人数=两道都做对的人数。
【解答】解：21+18-36
=39-36
=3（人）
答：两道题都做对的有3人。
故选：C。
【跟踪训练3】（2025 重庆模拟）老师组织六一班45名同学观看了《哪吒2之魔鬼闹海》，在做观影调查的时候，发现喜欢哪吒的有36人。喜欢敖丙的有18人，两个都喜欢的有10人，那么两者都不喜欢的有 ______人。
【答案】1。
【分析】根据“容斥原理公式总人数=A+B-既A又B”求出至少喜欢一种的人数，再与45作差即可。
【解答】解：36+18-10
=54-10
=44（人）
45-44=1（人）
答：两者都不喜欢的有1人。
故答案为：1。
【跟踪训练4】（2024秋 潮南区期末）一次数学测试，全班46人中，做对第一道思考题的有28人，做对第二道思考题的有23人，每人至少做对一道，则两道思考题都做对的有 ______人。
【答案】5。
【分析】根据题意，全班人数等于做对第一题的人数加上做对第二题的人数，再减去全班的人数即为重复计算的人数也就是两道题都做对的人数。列式计算即可。
【解答】解：28+23-46
=51-46
=5（人）
答：两道思考题都做对的有5人。
故答案为：5。
【跟踪训练5】（2024秋 建邺区期末）六年级二班有48人，其中喜欢打羽毛球，喜欢打篮球，没有人既不喜欢打羽毛球又不喜欢打篮球。既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球的有多少人？
【答案】20人。
【分析】依据题意，计算出喜欢打羽毛球人数，喜欢打篮球人数，既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球的人数=喜欢打羽毛球人数+喜欢打篮球人数-总人数，由此解答本题。
【解答】解：48×=32（人）
48×=36（人）
32+36-48
=68-48
=20（人）
答：既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球的有20人。
【跟踪训练6】（2024秋 历城区期末）为了提升道路交通安全意识，阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频，148名同学观看了“道路安全警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？
【答案】200名。
【分析】用观看了“一盔一带安全教育”视频的学生人数加上观看了“道路安全警示”视频的人数，然后再减去重叠部分的人数，也就是减去两个视频都观看的同学人数即可解题。
【解答】解：根据分析可得：
164+148-112
=312-112
=200（名）
答：本次活动一共有200名同学观看了视频。
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[]+1个物体：当n不能被m整除时．
②k=个物体：当n能被m整除时．
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．
例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
例1：
例1：在任意的37个人中，至少有（　　）人属于同一种属相．
A、3 B、4 C、6
【分析】把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答
【解答】37÷12=3…1
3+1=4（人）
答：至少有4人的属相相同．
故选：B
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑
例2：在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（　　）粒玻璃珠．
A、3 B、5 C、7 D、无法确定
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答
【解答】根据题干分析可得：
2×3+1=7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选：C
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．
【跟踪训练1】（2024秋 长春期末）一个袋子里有红、白、蓝三种颜色的球各5个，至少摸出（　　）个球，可以保证有两个球颜色相同。
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】A
【分析】由题意可知，有红、白、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各摸出1，即摸出3个，此时只要再任摸一个，即摸出3+1=4个就能保证至少有2个球颜色相同，据此解答。
【解答】解：3+1=4（个）
答：至少摸出4个球，可以保证有两个球颜色相同。
故选：A。
【跟踪训练2】（2024秋 如皋市期末）一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】考虑最不利原则，把3个黄球全部摸出，再任意摸一个，必有1个红球，即最少一次性摸出4个球。
【解答】解：3+1=4（个）
答：一次至少摸出球的个数是4个。
故选：D。
【跟踪训练3】（2024秋 惠山区期末）一个盒子里放着7个除颜色外其他完全一样的小球，其中4个红球，3个白球，至少从中摸出 ______个球，才能保证摸出的球里一定有白球。
【答案】5。
【分析】从最差情况考虑，如果前4个先摸出红球，一个白球没摸到，那么红球都摸完了，再去摸一定是白球，所以至少摸比红球个数多1个球，才能保证摸出的球里一定有白球。
【解答】解：4+1=5（个）
答：至少从中摸出5个球，才能保证摸出的球里一定有白球。
故答案为：5。
【跟踪训练4】（2024 墨竹工卡县模拟）袋子里有红球、黄球、白球分别为3个、5个、7个，为使取出的球中保证有4个同色，最少要取 ______个球。
【答案】10。
【分析】考虑最不利原则，把红球3个全部取完，黄球和白球分别去3个，则再任意取一个，必有4个球同色，据此解答。
【解答】解：3+3+3+1=10（个）
答：为使取出的球中保证有4个同色，最少要取10个球。
故答案为：10。
【跟踪训练5】（2024 德宏州）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
【答案】5个。
【分析】最坏情况是四种颜色的球各取出一个，此时再取出1个，一定有两个颜色相同的球，一共需要取出5个球。
【解答】解：最差情况为：摸出4个球，红、黄、蓝、白四种颜色各一个，
所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球，即4+1=5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
【跟踪训练6】（2024春 巧家县校级期中）袋子里有同样大小的红、白、黄、蓝颜色的球各5个，至少取出多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
【答案】5个。
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数。
【解答】解：考虑最差情况，先取出4个球，这4个球可能是红、白、黄、蓝四种颜色各取了一个，再取任意一个，就能保证两个球颜色相同。
4+1=5（个）
答：至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
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